01 – Determinar os traços do plano (α) definido pela reta (A)(B) e pelo ponto (C). Sabendo-se que: (A){-2; -1; -4}, (B){-6; -2; -1} e (C){-4; 0; -4}.
02 – Dar os traços do plano (β), determinados pelas retas concorrentes (A)(B) e (C)(D). Dados: (A){0; -5; 2}, (B){-7; -3; -4}, (C){-5; -5; -1} e (D){-5; -1; -5}.
03 – Determinar os traços de um plano (φ) definidos pelas retas de perfil (A)(B) e (C)(D). Dados: (A){-6; -1; -2}, (B){?; ?; 0}, (C){10; -1; -4} e (D){?; -5; -1}.
04 – Representar por seus traços o plano (α) definido pela fronto-horizontal (r), que contém o ponto (M) do (βi) e pela fronto-horizontal (s) que contém o ponto (N) do (βp). Dados: (M){-4; 2; ?} e (N)(-8; ?; -1}.
05 – Determinar os traços de um plano (α) a que pertence a horizontal (M)(N) e a frontal (N)(P), utilizando o traço de apenas uma destas retas. Dados: (M){-1; -4; -2}, (N){-5; ?; ?} e (P){-2; 1; -6}.
06 – Construir os traços de um plano (γ) determinado pela reta de perfil (A)(B) e o ponto (M). Dados: (A){-8; 2; -6}, (B){?; -4; -4} e (M){-4; -2; -1}.
07 – Sejam as seguintes afirmativas:
a – Três pontos não alinhados determinam um plano;
b – O traço horizontal απ de um plano é o lugar dos pontos do plano que tem o afastamento nulo;
c – Toda reta concorrente com duas retas de um plano, em pontos distintos, pertence ao plano;
d – Se uma reta tiver seus traços situados nos traços de mesmo nome do plano, pertence ao plano;
e – Sempre que um ponto pertencer a uma reta do plano, ele pertencerá ao plano.
Considerando que, cada afirmativa falsa corresponde a 2 pontos, então os somatórios delas totalizam:
(X) 2 pontos ( ) 4 pontos ( ) 6 pontos ( ) 8 pontos ( ) 10 pontos
08 – Determinar os traços de um plano de topo (β), que contém o segmento de reta (A)(B). Tem-se: (A){0; -1; -1} e (B){-2; -3; -2}.
09 – Fazer passar pelo segmento de reta (C)(D), um plano (φ) paralelo à linha de terra. Sendo dados: (C){-1; 0; -1} e (D){-2; -3; -2}.
10 – Dado um plano (β) paralelo à linha de terra, construir as projeções da reta (M)(N) do plano. Sabendo-se que; (M){ -2; -4; ?}, (N){-7; -4; ?}, cota de βπ’ = -2 e afastamento de βπ = -3.
11 – Dado um plano (α) por seus traços, construir as projeções da reta (T)(U) do plano. Dados: (T){-2; 0; 0}, (U){-6; ?; -2}, απ = 120° e απ’ = -135°.
12 – Dado um plano (φ) definido pelas retas concorrentes (A)(B) e (B)(C), determinar a reta (M)(N) do plano. Dados: (A){0; -1; 0}, (B){-2; -5; -3}, (C){-5; -1; -2}, (M){2; -4; ?} e (N){-6; -2; ?}.
13 – Determinar os traços de um plano horizontal (α), que contém o ponto (O){2; 2; -3}.
14 – Determinar as projeções de um ponto (A), situado em um plano de topo (α), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, (A){-3; -3; ?} e απ’ = -120°.
15 – Determinar as projeções de um ponto (A), situado em um plano qualquer (γ), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, (A){-2; 3; ?}, γπ’ = -135° e γπ =-150°.
16 – Determinar as projeções de um ponto (A), situado em um plano que passa pelos pontos (B), (C) e (D). Dados: (A){0; -2; ?}, (B){0; -1; -1}, (C){2; -3; -4} e (D){-3; -5; -6}.
17 – Determinar um plano (δ) definido por duas retas paralelas (A)(B) e (C)(D), determinar o ponto (O) do plano. Sendo dados: (A){2; -3; -2,5}, (B){-1; 0; -3,5}, (C){0; -4; 0}, (D){-4; 0; 0} e (O){-3; -3; ?}.
18 – Determinar as projeções de um ponto (O), situado em um plano qualquer (α), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, (O){-1; ?; -2}, απ’ = -45° e απ = 60°.
19 – Determinar as projeções de um ponto (C){-3; -2; ?), situado em um plano qualquer (φ), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, φπ’ = -120° e φπ = 135°
20 – Verificar se o ponto (O) pertence ao plano do triângulo (A)(B)(C). Dados: (A){-2; -1; -2}, (B){-4; -4; -7}, (C){-6; 0; -4} e (O){-3; -2; -3}.
(O) ∉ Δ(A)(B)(C) pois (O) ∉ (f) ∈ Δ(A)(B)(C)
21 - Traçar uma reta de máximo declive de um plano, dado pelos pontos (A), (B) e (C), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){0; -3; -4}, (B){ -3; -1; 0} e (C){ -5; -4,5; -3}
Reta solução: (3)(B).
22 - Construir pelo ponto (A), as projeções de uma reta de máximo declive de um plano, dado pelas retas concorrentes (A)(B) e (A)(C), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){ 0; -4; -1}, (B){ -1; 0; -3} e (C){ -3; -1; -2}
Reta solução: (t).
23 - Traçar pelo ponto (B), uma reta de máxima inclinação de um plano, dados pelos pontos (A), (B) e (C), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){0; -2; -4}, (B){ -3; -5; 3} e (C){ -5; 2,5; -1}
Reta solução: (s).
24 - Construir as projeções de uma reta de máxima inclinação de um plano, definido por duas retas paralelas (A)(B) e (C)(D), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){ 0; -4; -1}, (B){ -3; -2; -4}, (C){ -5; -3; -2} e (D){ -8; ?; ?}.
Reta solução: (m).
25 - Determinar os traços de um plano (α), definido por uma horizontal (A)(B) e pelo ponto (C). Dados: (A){ -4; -3; ?}, (B){ -9; -1; -2} e (C){ -7; 0; -6}.
26 - Determinar uma reta de máxima inclinação de um plano, definido pelas retas (A)(B) e (C)(D) paralelas, sem determinar os traços do plano, sabendo-se que: (A){ 3; 1; -3} (B){ -3; -1,5; 2}, (C){ 0; -1; -2} e (D){ -4,5; ?; ?}.
Reta solução: (r).
27 - Determinar os traços de um plano definido pela reta de máxima inclinação (A)(B), sem utilizar os traços desta reta. Sabe-se que: (A){ -2; -6; -2} e (B){ -6; -2; -4}.
28 - Determinar os traços do plano definido pela reta de máximo declive (A)(B), sem utilizar os traços desta reta. Dados: (A){ -5; -4; -1} e (B){ -8; -2; -4}.
29 - Construir pelo ponto (M) de um plano qualquer (α), uma reta de máxima inclinação, sabendo-se que o plano (α) contém o ponto (T). Dão-se: (T){ 0; 0; 0}, (M){ -2; ?; -2,5}, απ’ = -60º e απ = 30º.
Reta Solução: (H)(V)
30 - A reta de máxima inclinação de um plano de topo é uma reta:
a) Horizontal b) Frontal c) Vertical d) De topo e) Qualquer
R: d
31 - A reta de máximo declive de um plano horizontal é uma reta:
a) Qualquer b) Vertical c) De topo d) Horizontal e) Não existe
R: e
32 - Por um ponto (A), traçar uma reta (A)(B) paralela ao plano (α) que contém o ponto (T). Dados: (T){ 1; 0; 0}, (A){ -3; -1; -2}, (B){ -5,5; ?; ?}, απ’ = -120º e απ = 140º.
A reta (A)(B) é paralela ao plano (α), pois a reta (A)(B) é paralela a reta (H)(V) que pertence ao plano (α).
33 - Por um ponto (A), traçar uma reta (A)(B) paralela ao plano (α) de topo que contém o ponto (C) e (T). Dados: (T){ 0; 0; 0}, (A){ -1; -1; -3}, (B){ -8,5; ?; ?} e (C){ -6; -2; -4}.
34 - Por um ponto (A), traçar uma reta (A)(B) paralela ao plano definido pelo ponto (C) e a linha de terra. Dão-se: (A){ 0; 1,5; 2}, (B){ -3; ?; ?} e (C){ -1; -1; -1,5}.
35 - Por um ponto (A) traçar duas retas (A)(B) e (A)(C) paralelas, respectivamente, aos planos bissetores. Dão-se: (A){ -3; -1 ; -1,5}, (B){ -6; ?; ?} e (C){ -7; ?; ?}.
Reta (A)(B) // (βi) e Reta (A)(C) // (βp).
36 - Por um ponto (A) dado, traçar uma frontal (A)(B) paralela ao plano (φ) dado por outras restar concorrentes (C)(D) e (D)(E). Destacar o segmento no 3º diedro da reta solução. Dão-se: (A){ 1,5; -1; 2}, (B){ -4; ?; ?}, (C){ 0; 0; 3,5}, (D){ -2; 2; 1} e (E){ -3; 0; 2}.
Reta solução: (A)(B)
Intervalo no 3º diedro: segmento (B)(H)
37 - Por um ponto (A), fazer passar um plano (β) paralelo a uma reta (B)(C), sendo dados: (A){ -1; -1; -1,5}, (B){ 0,5; -3,5; 2} e (C){ -4; 1; 0,5}.
O plano (β) é paralelo a reta (B)(C), pois, o plano (β) contém a reta (H)(V) e esta é paralela a reta (B)(C).
38 - Por um ponto (A), traçar um plano (ω) paralelo a reta (B)(C), de perfil. Dados: (A){ -1; -2,5; -3}, (B){ -5; -2; -4} e (C){ ?; -3,5; -2}.
(ω)// (B)(C) pois (ω) ⊃ (p) e (p)//(B)(C)
39 - Dada uma reta de perfil (A)(B), traçar pelo ponto (C), um plano (β) paralelo à reta, sendo dados: (A){ -5; -4; 1}, (B){ ?; -2,5; -1} e (C){ -1; -2; -3}.
O plano (β) é paralelo a reta (A)(B), pois, o plano (β) contém a reta (H)(V) e esta é paralela à reta (A)(B).
40 - Por uma reta (M)(N) fronto-horizontal, traçar um plano (α) paralelo à reta, sendo dados:
(A){ 0; 2,5; -2,5}, (B){ -3; 0; 1}, (M){ 3; -1,5; -2} e (N){ -1; ?; ?}.
41 - Traçar por um ponto (A), uma reta paralela à reta (B)(C), e determinar os traços do plano que contenham essas duas retas. Dados: (A){ -3; 2; 1,5}, (B){ -2; -2; -3} e (C){ -5; 0; -6,5}.
42 - Por um ponto (A) dado e um plano (α) definido por seus traços que contém o ponto (T), construir, pelo ponto, o plano (β), paralelo ao plano dado, sendo: (T){ -8; 0; 0}, (A){ -6; -3; -2}, απ’ = -120º e απ = 135º.
43 - Dado um ponto (O) e um plano (φ) de topo definido por seus traços que contém o ponto (T), determinar, pelo ponto, o plano (δ) paralelo (φ) dado, sendo: (T){ -4; 0; 0}, (O){ 8; 4; 3} e φπ’= -135º.
44 - Dado um ponto (P) e um plano (α), paralelo à linha de terra, que contém o ponto (P), traçar pelo ponto (Q), um plano (β) paralelo ao plano (α). Dados: (P){ -4; -2; -5} e (Q){ 0; -4; -1}.
45 - Traçar por um ponto (A), um plano (β) que o contenha e que seja também paralelo ao plano (α), que é paralelo a ππ’. Dados: (A){ 0; -1; -1}, απ’ = -3 e απ = -4.
46 - Achar a reta interseção do plano (α) com cada um dos seguintes planos:
a) Plano (γ), frontal, de afastamento igual a -3;
Reta solução: (f).
b) Plano (φ), horizontal, tal que φπ’ = -4;
Reta solução: (h).
c) Plano (β), de topo, contendo o ponto (U){-4; 0; 0} e tal que βπ’ = -135º;
Reta solução: (V)(1).
d) Plano (δ), vertical, que contém a reta (A)(B), sendo (A){-2; -5; -4} e (B){-6; 0; -6}. Dados: (T){-10; 0; 0}, απ’ = -30º e απ = 120º.
Reta solução: (V)(1).
47 - Obter a interseção dos planos (α) e (β), o 1º contendo (T) e o 2º, o ponto (U). Dados: (T){-4; 0; 0}, απ’ = -30º, απ = 60º, (U){-10; 0; 0}, βπ’ = -150º e βπ = 120º.
48 - Dar a reta comum aos planos (α) e (γ), que contém, respectivamente, (T) e (U). Dados: (T){-4; 0; 0}, απ’ = -30º, απ = 60º, (U){-10; 0; 0}, γπ’ = 120º e γπ = -150º.
Reta solução: (X)(Y).
49 - Obter a reta comum aos planos (α) e (φ). Dados:
Plano (α): (T){- 7; 0; 0}, απ = 120º e απ’ = -135º;
Plano (φ): (U){-7; 0; 0}, φπ = -135º e φπ’ = 120º.
50 - Determinar a interseção de dois planos quaisquer (α) e (β), cujos pontos de concurso dos traços são, respectivamente, (T) e (J). Dados: (T){0; 0; 0}, απ = 150°, απ’ = -120°, (J){-6; 0; 0}, βπ = 60°, βπ ‘ = -105°.
Reta solução: (i).
51 - Determinar a interseção de um plano (α) de cota igual a -2, e um plano (φ), paralelo ao (βp), de cota igual a -3.
52 - Determinar a interseção de um plano (α), que contém o ponto (T), com outro dado pela sua reta de máximo declive (A)(B). Dão-se: (T){0; 0; 0}, απ = 120°, απ’ = -135°, (A){-4; 0; -2,5} e (B){-6; -1; -1,5}.
Reta solução: (s).
53 - Determinar a interseção de um plano (α), que contém o ponto (T), e o plano definido pelas retas concorrentes (A)(B) e (B)(C). Dados. (T){0; 0; 0}, απ = 135°, απ’ = -145°, (A){-6; -2; -2}, (B){ -8; 0; -1} e (C){-11; -3,5; -4,5}.
54 - Obter a interseção entre os planos (α) e (β), paralelos à linha de terra. Dados: απ = -2, απ’ = -5, βπ = -4 e βπ’ = -3.
Reta solução: (A)(B).
55 - A interseção entre um plano horizontal (α) e um plano de topo (β), é uma reta:
a) Vertical b) De topo c) Fronto-Horizontal d) Horizontal e) Frontal
R: b.
56 - Determinar o traço de uma reta (A)(B) sobre um plano (α), que contém o ponto (T). Dados: (T){2,5; 0; 0}, απ = 145°, απ' = -150°, (A){1,5; -3; -3} e (B){-2; -1; -0,5}.
Solução: Ponto (X).
57 – Determinar o traço da reta (A)(B) sobre o plano (α), paralelo a linha de terra. Dados: απ = -2, απ’ = -3; (A){0; -1; -1} e (B){-4; -3; -3,5}.
58 - Determinar o traço da reta (A)(B) no plano (α). Dados: (A) {-2; -1; -5}, (B){-6; -5; 1}, (T){0; 0; 0}, απ = 120° e απ’ = -120°.
Solução: Ponto (Y).
59 - Obter o ponto em que a reta (A)(B) atravessa o plano (γ), paralelo ao (βp). Dados: (A){-1; -6; -6}, (B){-6; -1; -2} e γπ = -4.
60 - Determinar o traço da reta (A)(B) sobre o plano definido pelas retas concorrentes (C)(D) e (D)(E). Dados: (A){-0,5; -2,5; -1), (B){-2,5; -1,5; -3}, (C){-3,5; -2; -2}, (D){-4,5; -1; -2} e (E){-6; -2; -1,5}.
Solução: Ponto (Z).
61 - Determinar o traço da reta frontal (A)(B) sobre o plano (φ), que contém o ponto (T). Dão-se: (A){-2; -1,5; -3}, (B){ -4; ?; -1} (T) {0; 0; 0}, φπ’ = -145º e φπ = 135º.
62 - Determinar o traço da reta horizontal (A)(B) sobre o plano da topo (α), que contém o ponto (T). Sabe-se que: (A){-4; -2; -3}, (B){-6; 0; ?}, (T){-2; 0; 0} e απ’= -140º.
Solução: Ponto (I).
63 - Determinar o ponto em que a reta de perfil (A)(B) fura o plano (α), cujos traços coincidem na origem das coordenadas e é perpendicular ao (βi). Dados: (A){-3; -3; -2}, (B){ ?; -1; 0} e απ1’= -130º.
64 - De um ponto (A), traçar uma reta perpendicular ao plano (φ), paralelo à linha de terra. Dão-se: (A){ 0; -2; -3}, φπ’ = -4 e φπ = 3.
Solução: Reta (A)(B).
65 - Do ponto (O), construir a perpendicular ao plano (α). Dados: (O){-6; -2; -4}, απ’ = -2 e απ = -3.
66 - De um ponto (M), traçar uma perpendicular ao plano definido pelos pontos (A), (B) e (C), do qual não se pode determinar os traços. Dados: (A){3; -4; -3}, (B){-0,5; -2; -4}, (C){ -2,5; -3,5; -2} e (M){-1; -1; -1}.
Solução: Reta (r).
67 - Traçar por um ponto (A), uma reta (A)(B), perpendicular ao plano definido pelo ponto (M) e a linha de terra, devendo o ponto (B), possuir cota e afastamento na razão 2/3. Sabe-se que: (A){-0; -1; -3,5} e (M){-0; -1; -1}.
68 - Por um ponto (A), do (βi), traçar um plano perpendicular a uma reta de perfil (M)(N). Dão-se: (A){-3; ?; -1}, (M){-0; -2,5; -3} e (N){ ?; -1; -1,5}.
Solução: Plano (α).
69 - Pelo ponto (T), construir o plano (η) perpendicular à reta (A)(B). Dados: (T){-8; 0; 0}, (A){-3; -1; -7} e (B){-3; -3; -2}.
70 - Dão-se o ponto (M) e a reta (A)(B). Pede-se construir, pelo ponto (M), a perpendicular à reta (A)(B). Dados: (M){-3; -1; -2}, (A){-8; -6; -3} e (B){-8; 3; 1}.
