Exercício - Mudança de Planos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE MUDANÇA DE PLANOS

01 - Por mudanças de planos de projeção, situar o ponto (A) no 1º diedro do novo sistema, Dado: (A){-1; -2; -3}.

02 – Submeter o ponto (A) a uma mudança que o situe no 1º diedro no novo sistema. Dado: (A){-5; -3; 5}.

03 – Efetuar uma mudança de plano de projeção, de modo que o ponto (A) venha possuir cota igual ao dobro da primitiva e de sinal contrário. Dado: (A){-2; -2; -1}.

04 – Dado o ponto (A), submete-lo a uma mudança de plano que o situe no (βi) do novo sistema. Dado: (A){-2; -2; -3}.

05 – Dado os pontos (A) e (B), efetuar uma mudança de plano, de modo que o ponto (A) se situe no (βi) e o ponto (B) no (βp) do novo sistema. Dados: (A){-1; -3; -1}, (B){-4; -1; 2}.

06 – Efetuando primeiro uma mudança de plano vertical e posteriormente uma mudança de plano horizontal, situar o ponto (A) na Linha de Terra no 3º sistema de planos. Dados: (A){0; -2; -3}.

07 – Dado o ponto (O), submete-lo à mudança de planos de projeção, tal que seu afastamento se duplique no novo sistema. Dado: (O){-5; -2; -3}.

08 – Submeter o ponto (K) à mudança de plano que torne a sua cota igual a z. Dados: (K){-5; 1; -4}, z = 3.

09 – Tornar fronto-horizontal a reta (M)(N). Dados: (M){-2; -6; -1}, (N){-6; -2; -5}.

10 – Fazer com que a reta (A)(B), após mudanças de planos, fique perpendicular ao plano horizontal, sendo dados: (A){-1; -2; -2}, (B){-4; -1; -1,5}.

11 - Fazer com que a reta (A)(B), após uma mudança de plano horizontal, fique situada no (βi) do novo sistema de planos. Dão-se: (A){-3; -2; -1}, (B){-5; -3; -2}.

12 – Por uma mudança de plano vertical, referir a reta (I)(P) ao sistema no qual se tenha (I)(P) = 5,5 situando (I) no (βi) e (P) no (βp). Dados: (I){-3; -1; -3}, (P){-8; ?; -3}.

13 – Fazer com que a reta qualquer (A)(B), após uma mudança de plano, coincida com a linha de terra no 3º sistema de planos. Dados: (A){-1; -2; -1}, (B){-4; -4; -2}.

14 – Redefinir o ponto (P) ao sistema ortogonal que tenha por linha de terra a reta (A)(B). Dados: (A){ -5; -2; -7}, (B){-5; -6; -2}, (P){ -2; -4; 5}.

15 – É conhecida a projeção ABC de um ângulo reto, bem como a projeção vertical A’B’ de um de seus lados. Determinar, por meio de uma mudança de plano, a projeção vertical B’C’ do outro lado do ângulo. Dão-se: (A){0; -2; -1}, (B){-2; -2,5; -3}, (C){-4; -0,5; ?}.

16 – Tornar de topo o plano (α) perpendicular ao (βi), e que contém a reta (T)(A). Dados: (T){-3; 0; 0}, (A){-5; -3; -1}.

.

17 – Tornar vertical, por uma mudança de plano, o plano (φ) perpendicular ao (βp), e que contém os pontos (T){-3; 0; 0}, (A){-1; -2; 0}.

18 – Tornar vertical, por uma mudança de plano, o plano (φ) paralelo ao (βp), cujo o traço vertical possui cota igual a -2.

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19 – Tornar paralelo a linha de terra, por uma mudança de plano, o plano (φ) que contém o ponto (T), devendo a nova linha de terra deve passar pelo ponto de abcissa igual -3. Dados: (T){0; 0; 0}, φπ = -60° e φπ' = 45°.

20 – Tornar de topo, por uma mudança de plano, o plano (α) perpendicular ao (βp), e que contém a reta (A)(B). Dados: (A){0; 0; -1,5} e (B){-3; -2; 0}.

.

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TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM COORDENADAS GEODÉSICAS

MEMORIAL DE CÁLCULO: TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM COORDENADAS GEODÉSICAS

DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

DADOS:

N = 7646340,188 m
E = 514513,253 m
Fuso = 19
MC = 69° W

SISTEMA GEODÉSICO DE REFERÊNCIA

SAD-69

a = 6378160,000 m
b = 6356774,719 m
α = 1/298,25

e² = 0,006694542
e’² = 0,006739661


MEMÓRIA DE CÁLCULO

- Referência Inicial.

N₀ = 10000000,000 m
Cte = 500000,00 m

- Coeficientes para o SAD-69.

α = 111133,3486
β = 16038,95511
γ = 16,83348972
δ = 0,021986053
ε = 3,114475*10^-5
ζ = 4,153111*10^-8

- Determinação de q, q², q³, q⁴, q⁵, q⁶.

q = 0,000001*E’
E’ = |Cte – E|
E’ = |500000,00 - 514513,253|
E’ = 14513,253 m q = 0,000001*14513,253
q = 0,014513253
q² = 0,000210635
q³ = 0,000003057
q⁴ = 0,000000044
q⁵ = 0,000000001
q⁶ = 9,345200*10^-12

- Cálculo da Latitude

φ = φ’ – VIII*q² + VIII*q⁴ – D’₆*q⁶

- Determinação de φ’

N’ = 10000000 – N
N’ = 10000000 – 7646340,188
N’ = 2353659,812 m

- 1ª Aproximação:

φ’₁ = (N’/0,9996)*(1/α)
φ’₁ = (2353659,812/0,9996)*(1/111133,3486)
φ’₁ = 21,18717449°

- 2ª Aproximação:

φ’₂ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₁ - γsen4φ’₁ +δsen6φ’₁ - εsen8φ’₁ + ζsen10φ’₁)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₁ = +10809,80212
- γsen4φ’₁ = -16,76283701
+δsen6φ’₁ = +0,017530387
- εsen8φ’₁ = -5,677073*10^-6
+ ζsen10φ’₁ = + (-2,192924*10^-8)
∑ = 2365394,709
φ’₂ = (1/111133,3486)* 2365394,709
φ’₂ = 21,28429257°

- 3ª Aproximação:

φ’₃ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₂ - γsen4φ’₂ + δsen6φ’₂ - εsen8φ’₂ + ζsen10φ’₂)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₂ = +10849,90839
- γsen4φ’₂ = -16,77289758
+δsen6φ’₂ = +0,017394532
- εsen8φ’₂ = -5,261309*10^-6
+ ζsen10φ’₂ = + (-2,252389*10^-8)
∑ = 2365434,806
φ’₃ = (1/111133,3486)* 2365434,806
φ’₃ = 21,28465336°

- 4ª Aproximação:

φ’₄ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₃ - γsen4φ’₃ + δsen6φ’₃ - εsen8φ’₃ + ζsen10φ’₃)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₃ = +10850,05715
- γsen4φ’₃ = -16,77293352
+δsen6φ’₃ = +0,017394024
- εsen8φ’₃ = -5,269763*10^-6
+ ζsen10φ’₃ = + (-2,252609*10^-8)
∑ = 2365434,954
φ’₄ = (1/111133,3486)* 2365434,954
φ’₄ = 21,28465470°

- 5ª Aproximação:

φ’₅ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₄ - γsen4φ’₄ + δsen6φ’₄ - εsen8φ’₄ + ζsen10φ’₄)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₄ = +10850,05770
- γsen4φ’₄ = -16,77293365
+δsen6φ’₄ = +0,017394022
- εsen8φ’₄ = -5,259757*10^-6
+ ζsen10φ’₄ = + (-2,252609*10^-8)
∑ = 2365434,955
φ’₅ = (1/111133,3486)* 2365434,955
φ’₅ = 21,28465470°

Como φ’₅ = φ’₄ então:

φ’ = 21,28465470°
φ’ = 21°17’4,757” S

- Cálculo dos Coeficientes:

VII*q²

VII = (tgφ’/(2N²sen1”))*(1+e’²cos²φ’)*(1/K₀²)*10¹²

tgφ’ = 0,389575202

N = 6378160,000/(1-0,006694542*0,3630016862)^1/2
N = 6380975,082 m

sen1” = 0,000004848
cosφ’ = 0,931788482

VII = (0,389575202/(2*6380975,0822*0,000004848)*(1/0,99962)*10¹²
VII = 993,3304526
VII*q² = 993,3304526*0,000210635
VII*q² = 0,209229676”

VIII*q⁴

VIII = A * (5 + B + C – D – E – F)*(1/K₀⁴)*10²⁴

A = tgφ’/(24*N⁴*sen1”) = 2,019561*10^-24
+B = + 3tg²φ’ = +0,045306514
+C = + 6e’²cos²φ’ = +0,035109445
-D = - 6e’²sen²φ’ = -0,005328520
-E = - 3e’⁴cos⁴φ’ = -0,000102723
-F = - 9e’⁴cos²φ’sen²φ’ = - 0,000046770
∑ = 5,484937947

1/K₀⁴ = 1,001601601
VIII = 2,019561*10^-24*5,484937947*1,001601601*10²⁴
VIII = 11,094908635
VIII*q⁴ = 0,000000492”

D’₆*q⁶

D’₆ = A * (61 + B + C + D – E – F) * (1/K₀⁶) * 10³⁶

A = tgφ’/(720*N⁶*sen1”) = 1,653338*10^-39
+B = + 90tg²φ’ = +13,659195429
+C = + 45tg⁴φ’ = +1,036520110
+D = - 107e’²cos²φ’ = +0,626118443
-E = - 16e’²sen²φ’ = -0,143870033
-F = - 45e’²tg²φ’sen²φ’ = - 0,006065274
∑ = 76,171898675

1/K₀⁶ = 1,002403364

D’₆ = 1,653338*10^-39*76,171898675*1,002403364*10³⁶
D’₆ = 0,126240570
D’₆*q⁶ = 0,000000000”

φ = φ’ – VIII*q² + VIII*q⁴ – D’₆*q⁶
φ = 21°17’4,757” – 0,209229676 + 0,000000492 – 0,000000000
φ = 21°17’4,548” S

- Cálculo da Longitude

Δλ = IX*q – X*q³ + E’₅*q⁵

- Determinação dos Coeficientes:

IX*q

IX = (secφ’/(Nsen1”)*(1/K₀)*10¹⁶

secφ’/(Nsen1”) = 0,034691314

1/K₀ = 1,000400160

IX = 0,034691314*1,000400160*10¹⁶
IX = 34705,19582
IX*q = 34705,19582*0,014513253
IX*q = 503,6853”

X*q³

X = A*(1+B+C)*(1/K₀³)*10¹⁸

A = (secφ’/(6N³sen1”) = 1420023*10^-16
+B = + 2tg²φ’ = + 0,303537676
+C = e’²cos²φ’ = + 0,005851574
∑ = 1,309389250

(1/K₀³) = 1,001200961

X = 1420023*10^-16*1,309389250*1,001200961*10¹⁸
X = 186,159596
X*q³ = 186,159596*0,000003057
X*q³ = 0,00056909”

E’₅*q⁵

E₅ = A*(5+B+C+D+E)*(1/K₀⁵)*10³⁰

A = (secφ’/(120N⁵sen1”) = 1,743778*10^-31
+B = + 28tg²φ’ = 4,249527467
+C = + 24tg⁴φ’ = 0,552810725
+D = + 6e’²cos²φ’ = 0,035109445
+E = + 8e’²sen²φ’ = 0,007104693
∑ = 9,844552331

(1/K₀⁵) = 1,002002402
E’₅ = 1,743778*10^-31*9,844552331*1,002002402*10³⁰
E’₅ = 1,720109287

E’₅*q⁵ = 1,720109287*0,000000001
E’₅*q⁵ = 0,000000001”

Δλ = IX*q – X*q³ + E’₅*q⁵
Δλ = 503,6853 – 0,00056909 + 0,000000001
Δλ = 00°08’23,685”

Como o ponto está a leste do MC temos:

λ = MC - Δλ
λ = 69° - 00°08’23,685”
λ = 68°51’36,315” W

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