Geometria Descritiva - Rotação do Ponto

ROTAÇÃO DO PONTO

Em torno de um Eixo Vertical

Quando um ponto é rotacionado em torno de um eixo vertical, o círculo por ele descrito pertence a um plano horizontal.

A projeção horizontal do ponto realiza em torno do traço horizontal do eixo uma rotação de mesma amplitude e de mesmo raio.

(A)(O)(Ā) = W = AOĀ
(A)(O) = AO = raio
A cota do ponto permanece constante durante e após a rotação, qualquer que seja a amplitude (W) da rotação.

(A)A = (Ā)Ā = z_(A)
Exemplo 01 - Através de uma rotação em torno de um eixo (e), situar o ponto (A) no (β_i).

Exemplo 02 - Efetuar a rotação do ponto (A) em torno de um eixo (O)(Z) até situá-lo no plano vertical de projeção (π). Dados: (A){0; -1; -3}, (Z){-3; -2; -5} e (O){?; ?; 0}.

Em torno de um Eixo de Topo

Quando um ponto é rotacionado em torno de um eixo de topo, o círculo por ele descrito pertence a um plano frontal.

A projeção vertical do ponto realiza em torno do traço vertical do eixo uma rotação de mesma amplitude e mesmo raio.
(A)(O)(Ā) = W = A'OĀ'
(A)(O) = A'O = raio
O afastamento do ponto permanece constante durante e após a rotação, qualquer que seja a amplitude (W) da rotação.

(A)A' = (Ā)Ā' = y_(A)
Exemplo - Através de uma rotação em torno de um eixo (Z)(O), situar o ponto (A) no (β_p).

Em torno de um Eixo Horizontal

Quando o eixo dado é uma Reta Horizontal, reta esta que não é perpendicular a nenhum plano de projeção, é necessário inicialmente a realização de uma Mudança de Plano Vertical de modo a torna-la perpendicular a esse plano. Assim, a Reta Horizontal após a MPV passa a ser uma Reta de Topo. Na sequência procede-se a Rotação conforme explicado no tópico: Rotação em torno de Eixo de Topo.

Em torno de um Eixo Frontal

Quando o eixo dado é uma Reta Frontal, reta esta que não é perpendicular a nenhum plano de projeção, é necessário inicialmente a realização de uma Mudança de Plano Horizontal de modo a torna-la perpendicular a esse plano. Assim, a Reta Frontal após a MPH passa a ser uma Reta Vertical. Na sequência procede-se a Rotação conforme explicado no tópico: Rotação em torno de um Eixo Vertical.

Rotação em torno de um Eixo Fronto-Horizontal

Nesse caso, pelo fato da reta usada como eixo ser paralela a ambos os planos de projeções, é necessário a realização de uma MPV ou MPH, de modo que a reta fronto-horizontal torne-se uma reta de topo ou uma reta vertical, respectivamente. E assim procede-se a rotação conforme o caso.

MPV

MPH

Porém, neste caso, além das soluções descritas ainda pode-se, pelo fato do plano gerado ao deslocar-se o ponto em torno da reta fronto-horizontal ser de Perfil, determinar as projeções laterais do centro de rotação e do ponto ao qual deseja-se rotacionar. Com isso teremos o raio da rotação em verdadeira grandeza no Plano Lateral de Projeção, assim, basta realizar a rotação no plano lateral e na sequência determinar as projeções horizontal e vertical do ponto rotacionado.

Em torno de um eixo qualquer

Quando dispomos de um eixo qualquer (reta qualquer) e objetivamos realizar a rotação de um ponto em torno deste, podemos chegar a solução aplicando uma dupla mudança de planos. A primeira mudança tornará este eixo qualquer paralelo a um dos planos de projeções, a segunda mudança tornará o eixo perpendicular ao outro plano de plano.

No exemplo abaixo, temos um eixo qualquer (A)(B) e queremos rotacionar o ponto (C) em torno deste. Assim, para a solução, foi realizada inicialmente uma MPH tornando o eixo (A)(B) que era um eixo qualquer em um eixo horizontal, isso ocorreu devido a linha de terra do segundo sistema foi construída paralelamente a PV do eixo (A)(B).

Na sequencia foi realizado então uma MPV tornando o eixo horizontal em um eixo de topo, essa mudança ocorre construindo-se a a linha de terra do terceiro sistema perpendicular a projeção horizontal do eixo horizontal (A)(B).

Por fim, procedeu-se a rotação no terceiro sistema e transportou-se as projeções do ponto rotacionado do 3º para o 1º sistema.

Analogamente, agora iniciando-se com uma MPV. Na figura abaixo, foi realizada inicialmente uma MPV tornando o eixo (A)(B) que era um eixo qualquer em um eixo frontal, isso ocorreu devido a linha de terra do segundo sistema foi construída paralelamente a PH do eixo (A)(B).

Na sequencia foi realizado então uma MPH tornando o eixo frontal em um eixo vertical, essa mudança ocorre construindo-se a linha de terra do terceiro sistema perpendicular a projeção vertical do eixo horizontal (A)(B).

Por fim, procedeu-se a rotação no terceiro sistema e transportou-se as projeções do ponto rotacionado do 3º para o 1º sistema.

Em torno de um eixo de perfil

[...]


Problemas Fundamentais
Sendo dados um ponto, uma reta e um plano. Pede-se: Girar o ponto em torno da reta até situá-lo no plano.

• No primeiro caso temos que a distância do eixo ao plano menor que o raio, assim, temos duas possíveis soluções;
• No segundo caso temos que a distância do eixo ao plano igual ao raio, assim, temos uma única solução;
• Por fim no terceiro caso, temos que a distância do eixo ao plano maior que o raio, nessa situação não temos solução.

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Geometria Descritiva - Rotação

Salve, salve tripulantes dessa nave louca. Vamos dar início ao nosso próximo método descritivo, a Rotação. Este método consiste em modificar a posição da figura no espaço, permanecendo fixo o sistema de representação (Planos de Projeção). Diferentemente do método anterior, Mudança de Planos, ao qual os planos de projeção sofriam deslocamentos e a figura do espaço permaneceria imóvel.

(A) = Ponto no Espaço;
(e) = Eixo de Rotação;
(α) = Plano produzido pelo ponto (A), quando se gira o ponto em torno do eixo;
(O) = Centro de Rotação = Traço do Eixo de Rotação (e) no plano (α);
(Ā) = Ponto (A), após a rotação;
(W) = Amplitude da Rotação.
Um ponto (A) realizou uma rotação em torno de uma reta (e) tomada como eixo, quando ele descreve um arco de círculo (A)(Ā), de centro (O) e raio (O)(A). O eixo deverá ser, sempre, perpendicular a um dos planos de projeção, isto é, sempre usaremos uma Reta de Topo ou uma Reta Vertical. No caso de termos o eixo perpendicular ao Plano Vertical de Projeção (π') chamamos de Eixo de Topo, já quando temos o eixo perpendicular ao Plano Horizontal de Projeção (π) chamamos de Eixo Vertical.

Em situações em que o Eixo não for perpendicular a nenhum dos Planos de Projeção, será necessário antes, por Mudança de Planos, leva-los a condição de perpendicularidade. Nesta situação temos dois casos a considerar:

➀ - Quando o eixo é paralelo a um dos planos de projeção e oblíquo ao outro: Neste caso, basta realizar uma mudança de plano que conseguiremos tornar o eixo perpendicular a um dos planos de projeção.

➁ - Quando o eixo é oblíquo aos dois planos de projeção: Neste caso, é necessário realizar duas mudanças de planos, a primeira para tornar o eixo paralelo a um dos planos de projeção e a segunda para torna-lo perpendicular ao outro.

A rotação é definida pelos elementos: Eixo; Raio e Amplitude.

PS: O sentido da rotação vai depender da conveniência da Épura.

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Excel Aplicado a Topografia: Cálculo das Coordenadas dos Vértices

E aí pessoas que estão acompanhando nossa minissérie sobre o Cálculo de uma Poligonal Fechada utilizando as ferramentas do Excel, blz?

Chegamos aos "finalmente" de nosso minicurso de Excel aplicado topografia, hoje iremos mostrar as rotinas para executar o cálculo das coordenadas dos vértices da nossa poligonal.

No presente momento, nossa Planilha_de_Calculos encontra-se assim:

Restando apenas a determinação das coordenadas dos pontos de interesse, no caso os vértices da nossa poligonal.

Coordenadas (E, N)

O cálculo das coordenadas de um ponto de interesse é dado por:

E = E_n-1 + xc_in-1
N = N_n-1 + yc_in-1
Em resumo, estou dizendo que a coordenada do vértice de interesse é a coordenada do vértice anterior somado a correção da projeção anterior a este vértice.

Ou seja, olhando para o croqui de nosso levantamento:

A coordenada do vértice P₂ é conhecida, assim, para calcular a coordenada do vértice TM₁ usaremos a coordenada do vértice P₂ somada a projeção corrigida P₂-TM₁.

Vamos para nossa planilha. A primeira ação é inserirmos os espaços para as coordenadas E e N dos vértices.

Agora iremos inserir as coordenadas E e N do vértice P₂ nas respectivas células, como elas já estão declaradas basta pressionar = e depois clicar na célula que se tem o respectivo valor.

Assim, podemos calcular as coordenadas do vértice TM₂. Como já explicado, no Excel vamos inserir a seguinte declaração:

Para preenchermos as demais células, basta clicar nesta célula que acabamos de declarar e arrastarmos para baixo:

Analogamente para as coordenadas N:

Com isso nós já finalizaríamos nossa planilha, pois chegamos ao nosso objetivo que eram as coordenadas dos vértices de interesse. Porém, para comprovar que os cálculos estão certos, vamos recalcular as coordenadas do vértice P₂, agora em função das coordenadas do vértice TM₄ que acabamos de determinar.

Para a coordenada E:

Para a coordenada N:

Como os resultados bateram, significa que nossos cálculos estão todos corretos.

Então pessoas, espero que vocês tenham entendido. A partir dessa pequena demonstração em 5 postagens, acredito que vocês estejam aptos a replicar essa metodologia e conseguir desenvolver as planilhas de vocês, muitos devem estar se perguntando: Mas, se forem mais de 5 vértices? A resposta é basta replicar só que adaptando de acordo com a quantidade de vértices levantados.

Com isso finalizamos nosso minicurso de Excel Aplicado a Topografia - Cálculo de uma Poligonal Fechada.

Até a próxima.

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Excel Aplicado a Topografia: Projeções, Erro Linear, Correção das Projeções e Projeções Corrigidas

E aí pessoas que acompanham as postagens de nosso Blog.

Dando sequência em nosso Minicurso de Excel Aplicado a Topografia, hoje, vamos passar a sequência de códigos (declarações) para a realização dos cálculos das Projeções, do Erro Linear, da Correção das Projeções e Projeções Corrigidas.

Pois vamos lá pessoas. No momento nossa planilha encontra-se assim:

Já desenvolvemos os cálculos referentes a Caderneta de Campo e em nossa Planilha de Cálculos já temos o Erro Angular, a Correção Angular, os Ângulos Horizontais Corrigidos e os Azimutes dos Alinhamentos.

Então vamos começar com o cálculo das Projeções.

Projeções (x_i, y_i)

Conhecido um sistema de eixos cartesianos (um sistema com dois eixos ortogonais (x e y) em nosso caso E e N), conseguimos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se as projeções do vetor nesses eixos.

Consideremos o um vetor nesse plano. A componente N do vetor (designada por y_i) é dada pela projeção do vetor no eixo N. Para definirmos a projeção do vetor ao longo de qualquer eixo, consideramos as extremidades do vetor e por elas traçamos linhas perpendiculares ao eixo até encontrá-lo. Tomamos então a distância entre as interseções como a projeção se a flecha estiver na mesma direção do eixo (isto é, se o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo for um ângulo agudo). Caso contrário, a projeção será essa distância, mas com sinal negativo.

Deste modo a projeção, tem que levar em conta a orientação do vetor em relação ao eixo. A projeção fica melhor definida, matematicamente, em termos do ângulo que para nosso caso é o azimute (entre o vetor e o eixo E). Podemos escrever:

x_i=d_i.sen(Az)
Em que, d_i (distância) é o lado de ordem “i" e Az é o Azimute do lado d_i.

Analogamente, a componente N é a projeção do vetor ao longo do eixo N. A expressão para y_i é, em termos do Azimute é:

y_i=d_i.cos(Az)
Depois dessa explicação, vamos jogar essas fórmulas em nosso "Excel". PORÉM!!!

A primeira ação é copiar as distâncias da Caderneta_de_Campo para a Planilha_de_Calculos.

Agora, vamos criar uma coluna para as projeções x e uma coluna para as projeções y.

Agora vamos inserir a fórmula da projeção em x.

Percebam que, ao inserir a função trigonométrica seno, tive que transformar o dado do azimute que estava em grau decimal para radianos. Para isso usamos a fórmula pré-definida do Excel denominada: RADIANOS.

Para preencher o restante da coluna, basta selecionar esta que já temos a fórmula declarada e arrastamos para as demais.

Agora para a componente y.

Arrastando a fórmula para as demais células da coluna:

De posse das projeções podemos calcular o Erro Linear.

Erro Linear

Sabemos que o Erro Linear é dado por:

El=(Δx² + Δy²)^0,5
Em que:
Δx = Erro na direção x = Σx_i;
Δy = Erro na direção y = Σy_i.

Deste modo, vamos jogar essas fórmulas em nossa planilha, para a realização dos somatórios, no caso do erro das direções, utilizaremos a Função SOMA:

Para o Erro Linear utilizaremos a Função RAIZ: Nota: no Excel, para se declarar potenciação deve-se inserir um acento circunflexo após a base, e após esse acento inserimos o expoente.

E como resultado:

Nota: Após o cálculo do Erro Linear é necessário verificar se o levantamento encontra-se dentro da Tolerância Linear a partir do Erro Relativo. A tolerância linear é dada em função da precisão linear do equipamento utilizado no levantamento e pelo perímetro levantado. Para essa série de postagens não iremos verificar a tolerância linear, pois não é objetivo. Mas, saibam que o levantamento utilizado como exemplo aqui está dentro de todas as tolerâncias. Para se informarem mais sobre Tolerância Linear recomendo a leitura da NBR 13133 da ABNT ou esta postagem aqui.

Após o cálculo do Erro Linear, temos os dados para a determinação das Correções das Projeções.

Correções das Projeções (Cx_i,Cy_i)

As correções das projeções são calculadas proporcionalmente aos lados (mas, também podem ser proporcional ao modulo da projeção devida.

Assim podemos enunciar que: O erro em um eixo está para o perímetro da poligonal assim como a correção relativa à projeção de um lado está para este lado.

Δ_x/P = Cx_i/d_i
Discriminando a fórmula: estou dizendo que a o erro em uma direção está para o perímetro, assim como, a correção está para o lado (distância).

Agora, fazendo Δ_x/P = K_x, temos:

K_x = Cx_i/d_i
Isolando Cx_i:

Cx_i = K_x*d_i
Porém, a correção das projeções, assim como a correção linear, deve ter o sinal contrário as projeções, de modo a termos a compensação do erro. Assim a fórmula das correções das projeções na direção x é:

Cx_i = -(K_x*d_i)
Analogamente para a direção y temos:

Cy_i = -(K_y*d_i)
Então vamos calcular em nossa planilha os valores de K_x e K_y.

Mas primeiro, o perímetro pois precisamos dele (K_x=Δ_x/P). Com a Função SOMA, iremos fazer o somatório dos lados de nossa poligonal (distância entre os vértices).

Agora K_x e K_y.

Deste modo, agora, vamos ao Excel inserir a fórmula para a correção da primeira projeção.

Primeiro vamos criar os espaços reservados para as correções:

Agora na primeira célula da coluna referente as correções na direção x, irei inserir a fórmula da respectiva correção.

Percebam que pelo fato do K_x ser o mesmo para todas as correções, fixei o mesmo na declaração inserindo o símbolo $ antes da letra (fixando a coluna) e $ antes do primeiro número (fixando a linha), fixando a célula.

Deste modo, para preenchermos as demais células dessa coluna, basta clicar na célula que acabamos de declarar a fórmula e arrastar para as demais abaixo.

Agora, analogamente para a direção y.

Primeiro, inserimos a equação na primeira célula:

Depois arrastamos a equação para as demais células da coluna:

Agora de posse desses valores, todas as correções das projeções, temos elementos para calcular as projeções corrigidas.

Projeções Corrigidas (xc_i,yc_i)

Para calcularmos as projeções corrigidas temos apenas que pegar as projeções soma-las as respectivas correções.

xc_i = x_i+Cx_i
yc_i = y_i+Cy_i
Assim, no Excel, reservamos um espaço para as projeções corrigidas:

Na primeira célula, vamos inserir a fórmula correspondente:

Para preencher as demais células desta coluna, basta clicar nesta que acabamos de declarar e arrastar para as demais abaixo:

Para as projeções corrigidas na direção y, repetimos o processo:

Com isso, calculamos todas as projeções corrigidas.

Agora para finalizar, vamos realizar a verificação se conseguimos realmente corrigir o Erro Linear, para isso basta fazer o somatório das Projeções Corrigidas em x e em y.

Percebam que, tanto Δ_x como o Δ_y ficaram zerados, isso significa que nossa poligonal não contem mais erros nas direções x e y, em consequência disto nossa poligonal está isenta de erro linear.

Essa postagem se encerra aqui, espero que todos que estejam acompanhando tenham conseguido chegar nesta etapa. Na próxima e última postagem dessa série, vamos calcular as Coordenadas de cada vértice que é o objetivo do levantamento topográfico.

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