E aí pessoas que acompanham as postagens de nosso Blog.
Dando sequência em nosso Minicurso de Excel Aplicado a Topografia, hoje, vamos passar a sequência de códigos (declarações) para a realização dos cálculos das Projeções, do Erro Linear, da Correção das Projeções e Projeções Corrigidas.
Pois vamos lá pessoas. No momento nossa planilha encontra-se assim:
Já desenvolvemos os cálculos referentes a Caderneta de Campo e em nossa Planilha de Cálculos já temos o Erro Angular, a Correção Angular, os Ângulos Horizontais Corrigidos e os Azimutes dos Alinhamentos.
Então vamos começar com o cálculo das Projeções.
Conhecido um sistema de eixos cartesianos (um sistema com dois eixos ortogonais (x e y) em nosso caso E e N), conseguimos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se as projeções do vetor nesses eixos.
Consideremos o um vetor nesse plano. A componente N do vetor (designada por yi) é dada pela projeção do vetor no eixo N. Para definirmos a projeção do vetor ao longo de qualquer eixo, consideramos as extremidades do vetor e por elas traçamos linhas perpendiculares ao eixo até encontrá-lo. Tomamos então a distância entre as interseções como a projeção se a flecha estiver na mesma direção do eixo (isto é, se o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo for um ângulo agudo). Caso contrário, a projeção será essa distância, mas com sinal negativo.
Deste modo a projeção, tem que levar em conta a orientação do vetor em relação ao eixo. A projeção fica melhor definida, matematicamente, em termos do ângulo que para nosso caso é o azimute (entre o vetor e o eixo E). Podemos escrever:
xi=di.sen(Az)
Em que, di (distância) é o lado de ordem “i" e Az é o Azimute do lado di.
Analogamente, a componente N é a projeção do vetor ao longo do eixo N. A expressão para yi é, em termos do Azimute é:
yi=di.cos(Az)
Depois dessa explicação, vamos jogar essas fórmulas em nosso "Excel". PORÉM!!!
A primeira ação é copiar as distâncias da Caderneta_de_Campo para a Planilha_de_Calculos.
Agora, vamos criar uma coluna para as projeções x e uma coluna para as projeções y.
Agora vamos inserir a fórmula da projeção em x.
Percebam que, ao inserir a função trigonométrica seno, tive que transformar o dado do azimute que estava em grau decimal para radianos. Para isso usamos a fórmula pré-definida do Excel denominada: RADIANOS.
Para preencher o restante da coluna, basta selecionar esta que já temos a fórmula declarada e arrastamos para as demais.
Agora para a componente y.
Arrastando a fórmula para as demais células da coluna:
De posse das projeções podemos calcular o Erro Linear.
Sabemos que o Erro Linear é dado por:
El=(Δx2 + Δy2)0,5
Em que:
Δx = Erro na direção x = Σxi;
Δy = Erro na direção y = Σyi.
Deste modo, vamos jogar essas fórmulas em nossa planilha, para a realização dos somatórios, no caso do erro das direções, utilizaremos a Função SOMA:
Para o Erro Linear utilizaremos a Função RAIZ: Nota: no Excel, para se declarar potenciação deve-se inserir um acento circunflexo após a base, e após esse acento inserimos o expoente.
E como resultado:
Após o cálculo do Erro Linear, temos os dados para a determinação das Correções das Projeções.
As correções das projeções são calculadas proporcionalmente aos lados (mas, também podem ser proporcional ao modulo da projeção devida.
Assim podemos enunciar que: O erro em um eixo está para o perímetro da poligonal assim como a correção relativa à projeção de um lado está para este lado.
Δx/P = Cxi/di
Discriminando a fórmula: estou dizendo que a o erro em uma direção está para o perímetro, assim como, a correção está para o lado (distância).
Agora, fazendo Δx/P = Kx, temos:
Kx = Cxi/di
Isolando Cxi:
Cxi = Kx*di
Porém, a correção das projeções, assim como a correção linear, deve ter o sinal contrário as projeções, de modo a termos a compensação do erro. Assim a fórmula das correções das projeções na direção x é:
Cxi = -(Kx*di)
Analogamente para a direção y temos:
Cyi = -(Ky*di)
Então vamos calcular em nossa planilha os valores de Kx e Ky.
Mas primeiro, o perímetro pois precisamos dele (Kx=Δx/P). Com a Função SOMA, iremos fazer o somatório dos lados de nossa poligonal (distância entre os vértices).
Agora Kx e Ky.
Deste modo, agora, vamos ao Excel inserir a fórmula para a correção da primeira projeção.
Primeiro vamos criar os espaços reservados para as correções:
Agora na primeira célula da coluna referente as correções na direção x, irei inserir a fórmula da respectiva correção.
Percebam que pelo fato do Kx ser o mesmo para todas as correções, fixei o mesmo na declaração inserindo o símbolo $ antes da letra (fixando a coluna) e $ antes do primeiro número (fixando a linha), fixando a célula.
Deste modo, para preenchermos as demais células dessa coluna, basta clicar na célula que acabamos de declarar a fórmula e arrastar para as demais abaixo.
Agora, analogamente para a direção y.
Primeiro, inserimos a equação na primeira célula:
Depois arrastamos a equação para as demais células da coluna:
Agora de posse desses valores, todas as correções das projeções, temos elementos para calcular as projeções corrigidas.
Para calcularmos as projeções corrigidas temos apenas que pegar as projeções soma-las as respectivas correções.
xci = xi+Cxi
yci = yi+Cyi
Assim, no Excel, reservamos um espaço para as projeções corrigidas:
Na primeira célula, vamos inserir a fórmula correspondente:
Para preencher as demais células desta coluna, basta clicar nesta que acabamos de declarar e arrastar para as demais abaixo:
Para as projeções corrigidas na direção y, repetimos o processo:
Com isso, calculamos todas as projeções corrigidas.
Agora para finalizar, vamos realizar a verificação se conseguimos realmente corrigir o Erro Linear, para isso basta fazer o somatório das Projeções Corrigidas em x e em y.
Percebam que, tanto Δx como o Δy ficaram zerados, isso significa que nossa poligonal não contem mais erros nas direções x e y, em consequência disto nossa poligonal está isenta de erro linear.
Essa postagem se encerra aqui, espero que todos que estejam acompanhando tenham conseguido chegar nesta etapa. Na próxima e última postagem dessa série, vamos calcular as Coordenadas de cada vértice que é o objetivo do levantamento topográfico.
Dando sequência em nosso Minicurso de Excel Aplicado a Topografia, hoje, vamos passar a sequência de códigos (declarações) para a realização dos cálculos das Projeções, do Erro Linear, da Correção das Projeções e Projeções Corrigidas.
Pois vamos lá pessoas. No momento nossa planilha encontra-se assim:
Já desenvolvemos os cálculos referentes a Caderneta de Campo e em nossa Planilha de Cálculos já temos o Erro Angular, a Correção Angular, os Ângulos Horizontais Corrigidos e os Azimutes dos Alinhamentos.
Então vamos começar com o cálculo das Projeções.
Projeções (xi, yi)
Conhecido um sistema de eixos cartesianos (um sistema com dois eixos ortogonais (x e y) em nosso caso E e N), conseguimos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se as projeções do vetor nesses eixos.
Consideremos o um vetor nesse plano. A componente N do vetor (designada por yi) é dada pela projeção do vetor no eixo N. Para definirmos a projeção do vetor ao longo de qualquer eixo, consideramos as extremidades do vetor e por elas traçamos linhas perpendiculares ao eixo até encontrá-lo. Tomamos então a distância entre as interseções como a projeção se a flecha estiver na mesma direção do eixo (isto é, se o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo for um ângulo agudo). Caso contrário, a projeção será essa distância, mas com sinal negativo.
Deste modo a projeção, tem que levar em conta a orientação do vetor em relação ao eixo. A projeção fica melhor definida, matematicamente, em termos do ângulo que para nosso caso é o azimute (entre o vetor e o eixo E). Podemos escrever:
Em que, di (distância) é o lado de ordem “i" e Az é o Azimute do lado di.
Analogamente, a componente N é a projeção do vetor ao longo do eixo N. A expressão para yi é, em termos do Azimute é:
Depois dessa explicação, vamos jogar essas fórmulas em nosso "Excel". PORÉM!!!
A primeira ação é copiar as distâncias da Caderneta_de_Campo para a Planilha_de_Calculos.
Agora, vamos criar uma coluna para as projeções x e uma coluna para as projeções y.
Agora vamos inserir a fórmula da projeção em x.
Percebam que, ao inserir a função trigonométrica seno, tive que transformar o dado do azimute que estava em grau decimal para radianos. Para isso usamos a fórmula pré-definida do Excel denominada: RADIANOS.
Para preencher o restante da coluna, basta selecionar esta que já temos a fórmula declarada e arrastamos para as demais.
Agora para a componente y.
Arrastando a fórmula para as demais células da coluna:
De posse das projeções podemos calcular o Erro Linear.
Erro Linear
Em que:
Δx = Erro na direção x = Σxi;
Δy = Erro na direção y = Σyi.
Deste modo, vamos jogar essas fórmulas em nossa planilha, para a realização dos somatórios, no caso do erro das direções, utilizaremos a Função SOMA:
Para o Erro Linear utilizaremos a Função RAIZ: Nota: no Excel, para se declarar potenciação deve-se inserir um acento circunflexo após a base, e após esse acento inserimos o expoente.
E como resultado:
Nota: Após o cálculo do Erro Linear é necessário verificar se o levantamento encontra-se dentro da Tolerância Linear a partir do Erro Relativo. A tolerância linear é dada em função da precisão linear do equipamento utilizado no levantamento e pelo perímetro levantado. Para essa série de postagens não iremos verificar a tolerância linear, pois não é objetivo. Mas, saibam que o levantamento utilizado como exemplo aqui está dentro de todas as tolerâncias. Para se informarem mais sobre Tolerância Linear recomendo a leitura da NBR 13133 da ABNT ou esta postagem aqui.
Após o cálculo do Erro Linear, temos os dados para a determinação das Correções das Projeções.
Correções das Projeções (Cxi,Cyi)
Assim podemos enunciar que: O erro em um eixo está para o perímetro da poligonal assim como a correção relativa à projeção de um lado está para este lado.
Discriminando a fórmula: estou dizendo que a o erro em uma direção está para o perímetro, assim como, a correção está para o lado (distância).
Agora, fazendo Δx/P = Kx, temos:
Isolando Cxi:
Porém, a correção das projeções, assim como a correção linear, deve ter o sinal contrário as projeções, de modo a termos a compensação do erro. Assim a fórmula das correções das projeções na direção x é:
Analogamente para a direção y temos:
Então vamos calcular em nossa planilha os valores de Kx e Ky.
Mas primeiro, o perímetro pois precisamos dele (Kx=Δx/P). Com a Função SOMA, iremos fazer o somatório dos lados de nossa poligonal (distância entre os vértices).
Agora Kx e Ky.
Deste modo, agora, vamos ao Excel inserir a fórmula para a correção da primeira projeção.
Primeiro vamos criar os espaços reservados para as correções:
Agora na primeira célula da coluna referente as correções na direção x, irei inserir a fórmula da respectiva correção.
Percebam que pelo fato do Kx ser o mesmo para todas as correções, fixei o mesmo na declaração inserindo o símbolo $ antes da letra (fixando a coluna) e $ antes do primeiro número (fixando a linha), fixando a célula.
Deste modo, para preenchermos as demais células dessa coluna, basta clicar na célula que acabamos de declarar a fórmula e arrastar para as demais abaixo.
Agora, analogamente para a direção y.
Primeiro, inserimos a equação na primeira célula:
Depois arrastamos a equação para as demais células da coluna:
Agora de posse desses valores, todas as correções das projeções, temos elementos para calcular as projeções corrigidas.
Projeções Corrigidas (xci,yci)
yci = yi+Cyi
Assim, no Excel, reservamos um espaço para as projeções corrigidas:
Na primeira célula, vamos inserir a fórmula correspondente:
Para preencher as demais células desta coluna, basta clicar nesta que acabamos de declarar e arrastar para as demais abaixo:
Para as projeções corrigidas na direção y, repetimos o processo:
Com isso, calculamos todas as projeções corrigidas.
Agora para finalizar, vamos realizar a verificação se conseguimos realmente corrigir o Erro Linear, para isso basta fazer o somatório das Projeções Corrigidas em x e em y.
Percebam que, tanto Δx como o Δy ficaram zerados, isso significa que nossa poligonal não contem mais erros nas direções x e y, em consequência disto nossa poligonal está isenta de erro linear.
Essa postagem se encerra aqui, espero que todos que estejam acompanhando tenham conseguido chegar nesta etapa. Na próxima e última postagem dessa série, vamos calcular as Coordenadas de cada vértice que é o objetivo do levantamento topográfico.
Professor, o senhor poderia disponibilizar a tabela do Excel?
ResponderExcluirEssas tabelas são muito interessantes.