CÁLCULO - POLIGONAL APOIADA

MEMORIAL DE CÁLCULO - POLIGONAL APOIADA.

DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

Dados:

Az_AB = 320°50’46”
X_A = 15578,475 m; Y_A = 2463,107 m

Az_IJ = 44°31’08”
X_I = 17476,084 m; Y_I = 1458,035 m
Dados de Campo:

ESTAÇÃO	PONTO VISADO		ÂNGULO HORIZONTAL	DISTÂNCIA (m)
	Ré	Vante
B	Norte	A
A	B	M1	173°58'32"	330,97
M1	A	M2	182°40'30"	104,43
M2	M1	M3	182°40'30"	189,78
M3	M2	M4	139°56'00"	313,52
M4	M3	M5	146°20'35"	166,66
M5	M4	M6	194°19'00"	755,47
M6	M5	M7	61°57'30"	293,23
M7	M6	M8	226°16'00"	470,28
M8	M7	M9	109°02'00"	290,86
M9	M8	M10	196°00'00"	213,99
M10	M9	I	217°41'26"	156,14
I	M10	J	110°57'00"

SOLUÇÃO
Cálculo do Erro Angular. (E_a)

E_a = Az_final - Az_IJ

Az_f = 140°50’46” + (173°58’32” + 182°40’30” + 139°56’00” + 146°20’35” + 194°19’00” + 304°19’00” + 61°57’30” + 226°16’00” + 109°02’00” + 196°00’00” + 217°41’26” + 110°57’00”) – (12 * 180°)
Az_f = 140°50’46” + 2063°39’33” – 2160°00’00”
Az_f = 44°30’19”
E_a = 44°30’19” – 44°31’08”
E_a = – 00°00’49”

Cálculo da Tolerância Angular. (T_a)

T_a = ± 2’ * n^0,5
T_a = ± 2’ * 12^0,5
T_a = ± 6,93’

Condição para a distribuição do erro angular : E_a ≤ T_a

00°00’49” ≤ 6,93’
Cálculo da Correção Angular por Vértice. (C_a)

C_a = -((E_a)/n) C_a = – ((– 00°00’49”)/12)
C_a = 00°00’4,08”

Cálculo dos Ângulos Corrigidos por Vértice. (A_n)

A_n = Â_a + C_a

A = 173°58’32” + 00°00’4,08” = 173°58’36,08”
M₁ = 182°40’30” + 00°00’4,08” = 182°40’34,08”
M₂ = 139°56’00” + 00°00’4,08” = 139°56’4,08”
M₃ = 146°20’35” + 00°00’4,08” = 146°20’39,08”
M₄ = 194°19’00” + 00°00’4,08” = 194°19’4,08”
M₅ = 304°19’00” + 00°00’4,08” = 304°31’4,08”
M₆ = 61°57’30” + 00°00’4,08” = 61°57’34,08”
M₇ = 226°16’00” + 00°00’4,08” = 226°16’4,08”
M₈ = 109°02’00” + 00°00’4,08” = 109°02’4,08”
M₉ = 196°00’00” + 00°00’4,08” = 196°00’4,08”
M₁₀ = 217°41’26” + 00°00’4,08” = 217°41’30,08”
M_I = 110°57’00” + 00°00’4,08” = 110°57’4,08”

Cálculo dos Azimutes. (Az)

Az_n = Az_n-1 + α_n ± 180°
Az_final = Az_inicial + ∑α_i – (n*180°)
Az_inicial = Az_BA = Az_AB – 180°

Az_BA = 320°50’46” – 180°
Az_BA = 140°50’46”

Az_BA = 140°50’46”
Az_AM1 = 140°50’46” + 173°58’36,08” ± 180° = 134°49’22,08”
Az_M1M2 = 134°49’22,08” + 182°40’3408” ± 180° = 137°29’56,17”
Az_M2M3 = 137°29’56,17” + 139°56’4,08” ± 180° = 97°26’0,25”
Az_M3M4 = 97°26’0,25” + 146°20’39,08” ± 180° = 63°46”39,33”
Az_M4M5 = 63°46”39,33” + 194°19’4,08” ± 180° = 78°05’43,42”
Az_M5M6 = 78°05’43,42” + 304°31’4,08” ± 180° = 202°36’47,50”
Az_M6M7 = 202°36’47,50” + 61°57’34,08” ± 180° = 84°34’21,58”
Az_M7M8 = 84°34’21,58” + 226°16’4,08” ± 180° = 130°50’25,67”
Az_M8M9 = 130°50’25,67” + 109°02’4,08” ± 180° = 59°52’29,75”
Az_M9M10 = 59°52’29,75” + 196°00’4,08” ± 180° = 75°52’33,83”
Az_M10I = 75°52’33,83” + 217°41’30,08” ± 180° = 113°34’3,92”
Az_IJ = 113°34’3,92” + 110°57’4,08” ± 180° = 44°31’08”

Cálculo das Projeções Relativas. (x_i, y_i)

x_i = d*senAz_i

x_AM1 = 330,97 * sen(134°49’22,08”) = 234,754 m
x_M1M2 = 104.43 * sen(137°29’56,17”) = 70,553 m
x_M2M3 = 189,78 * sen(97°26’0,25”) = 188,185 m
x_M3M4 = 313,52 * sen(63°46’39,33”) = 281,254 m
x_M4M5 = 166,66 * sen(78°05’43,42”) = 163,076 m
x_M5M6 = 755,47 * sen(202°36’47,50”) = -290,48 m
x_M6M7 = 293,23 * sen(84°34’21,58”) = 291,915 m
x_M7M8 = 470,28 * sen(130°50’25,67”) = 355,783 m
x_M8M9 = 290,86 * sen(59°52’29,75”) = 251,574 m
x_M9M10 = 213,99 * sen(75°52’33,83”) = 207,521 m
x_M10I = 156,14 * sen(113°34’3,92”) = 143,116 m

∑x = 1897,247 m
y_i = d*cosAz_i

y_AM1 = 330,97 * cos(134°49’22,08”) = -233,306 m
y_M1M2 = 104.43 * cos(137°29’56,17”) = -76,993 m
y_M2M3 = 189,78 * cos(97°26’0,25”) = -24,553 m
y_M3M4 = 313,52 * cos(63°46’39,33”) = 138,531 m
y_M4M5 = 166,66 * cos(78°05’43,42”) = 34,379 m
y_M5M6 = 755,47 * cos(202°36’47,50”) = -697,391 m
y_M6M7 = 293,23 * cos(84°34’21,58”) = 27,735 m
y_M7M8 = 470,28 * cos(130°50’25,67”) = -307,542 m
y_M8M9 = 290,86 * cos(59°52’29,75”) = 145,980 m
y_M9M10 = 213,99 * cos(75°52’33,83”) = 52,218 m
y_M10I = 156,14 * cos(113°34’3,92”) = -62,430 m

∑y = -1003,372 m
Cálculo do Erro Linear Total. (El)

El = ((ΔX)²+(ΔY)²)^0,5

ΔX = ∑x – (X_final – X_inicial)
ΔX = 1897,247 – (17476,084 – 15578,475) = - 0,362 m

ΔY = ∑y – (Y_final – Y_inicial)
ΔY = - 1003,372 – (1458,035 – 2463,107) = 1,700 m
El = ((-0,362)²+(1,700)²)^0,5 = 1,738 m

A precisão linear (Pl) obtida será: Pl = El / P ou Pl = 1/(P/El), onde P = perímetro.

P = 330,97 + 104.43 + 189,78 + 313,52 + 166,66 + 755,47 + 293,23 + 470,28 + 290,86 + 213,99 + 156,14
P = 3285,330 m

Pl = 1,738 / 3285,330 = 1/1890

Erro Relativo ≤ Tolerância Linear
Tolerância Linear = 0,01 * P^0,5 ⇒ Tl = 0,01*(3285,330)^0,5 ⇒ Tl = 0,573 m
1/1890 ≤ 0,573

Cálculo das Correções das Projeções Relativas. (Cx_i, Cy_i)

Cx_i = -(Kx*D_i)

Kx = ΔX/P = - 0,362/3285,330 = - 0,000110175
Cx_AM1 = - (- 0,000110175) * 330,97 = 0,036 m
Cx_M1M2 = - (- 0,000110175) * 104.43 = 0,012 m
Cx_M2M3 = - (- 0,000110175) * 189,78 = 0,021 m
Cx_M3M4 = - (- 0,000110175) * 313,52 = 0,035 m
Cx_M4M5 = - (- 0,000110175) * 166,66 = 0,018 m
Cx_M5M6 = - (- 0,000110175) * 755,47 = 0,083 m
Cx_M6M7 = - (- 0,000110175) * 293,23 = 0,032 m
Cx_M7M8 = - (- 0,000110175) * 470,28 = 0,052 m
Cx_M8M9 = - (- 0,000110175) * 290,86 = 0,032 m
Cx_M9M10 = - (- 0,000110175) * 213,99 = 0,024 m
Cx_M10I = - (- 0,000110175) * 156,14 = 0,017 m

Cy_i = Ky*D_i

Ky = ΔY/P = 1,700/3285,330 = 0,000517467
Cy_AM1 = - 0,000517467* 330,97 = - 0,171 m
Cy_M1M2 = - 0,000517467* 104.43 = - 0,054 m
Cy_M2M3 = - 0,000517467* 189,78 = - 0,098 m
Cy_M3M4 = - 0,000517467* 313,52 = - 0,162 m
Cy_M4M5 = - 0,000517467* 166,66 = - 0,086 m
Cy_M5M6 = - 0,000517467* 755,47 = - 0,391 m
Cy_M6M7 = - 0,000517467* 293,23 = - 0,152 m
Cy_M7M8 = - 0,000517467* 470,28 = - 0,243 m
Cy_M8M9 = - 0,000517467* 290,86 = - 0,151 m
Cy_M9M10 = - 0,000517467* 213,99 = -0,111 m
Cy_M10I = - 0,000517467* 156,14 = - 0,081 m

Cálculo das Projeções Corrigidas. (xc_i, yc_i)

xc_i = x + Cx

xc_AM1 = 234,754 + 0,036 = 234,790 m
xc_M1M2 = 70,553 + 0,012 = 70,565 m
xc_M2M3 = 188,185 + 0,021 = 188,206 m
xc_M3M4 = 281,254 + 0,035 = 281,280 m
xc_M4M5 = 163,076 + 0,018 = 163,094 m
xc_M5M6 = -290,48 + 0,083 = -290,401 m
xc_M6M7 = 291,915 + 0,032 = 291,948 m
xc_M7M8 = 355,783 + 0,052 = 355,834 m
xc_M8M9 = 251,574 + 0,032 = 251,606 m
xc_M9M10 = 207,521 + 0,24 = 207,545 m
xc_M10I = 143,116 + 0,017 = 143,133 m

yc_i = y + Cy

yc_AM1 = -233,306 + (-0,171) = -233,477 m
yc_M1M2 = -76,993 + (-0,054) = -77,047 m
yc_M2M3 = -24,553 + (-0,098) = -24,651 m
yc_M3M4 = 138,531 + (-0,162) = 138,369 m
yc_M4M5 = 34,379 + (-0,086) = 34,293 m
yc_M5M6 = -697,391 + (-0,391) = -697,782 m
yc_M6M7 = 27,735 + (-0,152) = 27,583 m
yc_M7M8 = -307,542 + (-0,243) = -307,785 m
yc_M8M9 = 145,980 + (-0,151) = 145,829 m
yc_M9M10 = 52,218 + (-0,111) = 52,107 m
yc_M10I = -62,430 + (-0,081) = -62,511 m

Cálculo das Coordenadas Totais. (X_i, Y_i)

X_i = X_i-1 + xc_i-1

X_A = 15578,475 m
X_M1 = 15578,475 + 234,790 = 15813,265 m
X_M2 = 15813,265 + 70,565 = 15883,830 m
X_M3 = 15883,830 + 188,206 = 16072,036 m
X_M4 = 16072,036 + 281,289 = 16353,325 m
X_M5 = 16353,325 + 163,094 = 16516,419 m
X_M6 = 16516,419 + (-290,401) = 16226,018 m
X_M7 = 16226,018 + 291,948 = 16517,966 m
X_M8 = 16517,966 + 355,834 = 16873,800 m
X_M9 = 16873,800 + 251,606 = 17125,406 m
X_M10 = 17125,406 + 207,545 = 17332,951 m
X_I = 17332,951 + 143,133 = 17476,084 m

Y_i = Y_i-1 + yc_i-1

Y_A = 2463,107 m
Y_M1 = 2463,107 + (-233,477) = 2229,630 m
Y_M2 = 2229,630 + (-77,047) = 2152,583 m
Y_M3 = 2152,583 + (-24,651) = 2127,932 m
Y_M4 = 2127,932 + 138,369 = 2266,301 m
Y_M5 = 2266,301 + 34,293 = 2300,594 m
Y_M6 = 2300,594 + (-697,782) = 1602,812 m
Y_M7 = 1602,812 + 27,583 = 1630,395 m
Y_M8 = 1630,395 + (-307,785) = 1322,610 m
Y_M9 = 1322,610 + 145,829 = 1468,439 m
Y_M10 = 1468,439 + 52,107 = 1520,546 m
Y_I = 1520,546 + (-62,511) = 1458,035 m

ESCALA DO DESENHO

Para encontrar a escala da planta, temos duas escalas prováveis, uma na direção X e outra na direção Y. Basta escolher aquela que melhor satisfaz a todas as coordenadas da planta, mas, antes de escolher a escala da planta alguns cálculos devem ser tomados.

Papel A3 (420x297) mm.

X_c = (X_max + X_min)/2 = (17476,084+15578,475)/2 = 16527,280 m;
Y_c = (Y_max + y_min)/2 = (2463,107 + 1322,610)/2 = 1892,858 m;
d_x = (420 – 25 – 7 – 100) mm = 288 mm = 28,800 cm = 0,288 m;
d_y = (297 – 14) mm = 283 mm = 28,300 cm = 0,283 m;.
D_x = (X_max - X_min) = 17476,084 – 15578,475 = 1897,609 m;
D_y = (Y_max - Y_min) = 2463,107 – 1322,610 = 1140,497 m.

Ex = 1/(D_x/d_x) = 1/(1897,609/0,288) = 1/6589 ⇒ Ex = 1/7500
Ey = 1/(D_y/d_y) = 1/(1140,497/0,283) = 1/4030 ⇒ Ey = 1/5000

A escala que será usada será: E = 1/7500

Valores iniciais do reticulado (X₀; Y₀)

ΔX = ΔY = (4 * 7500)/100 = 30000/100 = 300,000 m

X₀ = [int (X_c/ΔX)] * ΔX = [16527,280/300] * 300 = 55 * 300 = 16500,000 m
Y₀ = [int (Y_c/ΔY)] * ΔY = [1892,858/300] * 300 = 6 * 300 = 1800,000 m

Recuos

X_c – X₀ = 16527,280 – 16500,000 = 27,280 m o que nos dá um recuo de 0,40 cm para esquerda a partir do eixo central em X (X_c).
Y_c – Y₀ = 1892,858 – 1800,000 = 92,858 m, o que nos dá um recuo de 1,2 cm para baixo a partir do eixo central em Y (Y_c).

Cálculo dos Azimutes Corrigidos.

Os azimutes corrigidos são em função das projeções corrigidas ou das coordenadas totais. É importante observar os sinais das projeções, pois eles definirão o quadrante em que o alinhamento está contido.

QUADRANTE	SINAIS	AZIMUTES
I	ΔX + ΔY +	arctan(ΔX/ΔY)
II	ΔX + ΔY -	arctan(ΔX/ΔY) + 180°
III	ΔX - ΔY -	arctan(ΔX/ΔY) + 180°
IV	ΔX - ΔY +	arctan(ΔX/ΔY) + 360°

ΔX = X_i+1 – X_i = xc_i
ΔX = Y_i+1 – Y_i = yc_i
Az_BA = 140°50’46”
Az_AM1 = arctan(234,790/(-233,477)) + 180° = 134°50’21,74”
Az_M1M2 = arctan(70,565 / (-77,047)) + 180° = 137°30’51,50”
Az_M2M3 = arctan(188,206 / (-24,651)) + 180° = 97°27’43,13”
Az_M3M4 = arctan(281,289 / 138,369) = 63°48’25,14”
Az_M4M5 = arctan(163,094 / 34,293) = 78°07’32,54”
Az_M5M6 = arctan(-290,401/(-697,782)) + 180° = 202°35’45,51”
Az_M6M7 = arctan(291,948 / 27,583) = 84°36’9,98”
Az_M7M8 = arctan(355,834/(-307,785)) + 180° = 130°51’31,53”
Az_M8M9 = arctan(251,606 / 145,829) = 59°54’13,49”
Az_M9M10 = arctan(207,545 / 52,107) = 75°54’22,89”
Az_M10I = arctan(143,133/(-62,511)) + 180° = 113°35’32,64”

Cálculo dos Lados Corrigidos.

D = (ΔX²+ ΔY²)^0,5

ΔX = X_i+1 – X_i = xc_i
ΔX = Y_i+1 – Y_i = yc_i
D_AM1 = (234,790² + (-233,477)²)^0,5 = 311,117 m
D_M1M2 = (70,565² + (-77,047)²)^0,5 = 104,478 m
D_M2M3 = (188,206² + (-24,651)²)^0,5 = 189,813 m
D_M3M4 = (281,289² + (138,369)²)^0,5 = 313,479 m
D_M4M5 = (163,094² + (34,293)²)^0,5 = 166,660 m
D_M5M6 = (-290,401² + (-697,782)²)^0,5 = 755,799 m
D_M6M7 = (291,948² + (27,583)²)^0,5 = 293,248 m
D_M7M8 = (355,834² + (-307,785)²)^0,5 = 470,478 m
D_M8M9 = (251,606² + (145,829)²)^0,5 = 290,812 m
D_M9M10 = (207,545² + (52,107)²)^0,5 = 213,986 m
D_M10I = (143,133² + (-62,511)²)^0,5 = 156,188 m

MEMORIAL DESCRITIVO

Perímetro: 3286,059 m
Orientação: Norte de Quadricula.


Descrição da quadricula

            A poligonal começa no marco A, seguindo com azimute de 134°50’21,74” e distância de 331,117 m até encontrar o marco M1, seguindo de M1 com azimute de 137°30’51,50” e distância de 104,478 m , encontra-se o marco M2, de M2 com azimute de 97°27’43,13” e distância de 189,813 m, encontramos o marco M3, deste marco, parte com azimute 63°48’25,14” e distância 313,479 m até encontrar o marco M4, desse marco parte-se com azimute de 78°07’32,54” e distância 166,660 m, seguindo até encontrar o marco M5, de onde parte com azimute de 202°35’45,51” e distância de 755,799 m , segue e encontra o marco M6, de onde partindo com azimute de 84°36’9,98” e distância de 293,248 m, segue até encontrar o marco M7, de M7 com azimute de 130°51’31,53” e distância de 470,478 m chega-se no vértice M8, dessa marcação segue com azimute de 59°54’13,49” e distância horizontal de 290,812 m, direcionando-se até o marco M9, deste, com azimute de 75°54’22,89” e distância de 213,986 m, localiza-se o ponto M10, de onde parte-se com azimute de 113°35’32,64” e distância 156,188 m até encontrar o marco I, finalizando assim o nosso levantamento, cujo o perímetro mede 3286,059 m.

PLANTA TOPOGRÁFICA

Leia mais

TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMAS GEODÉSICOS

MEMORIAL DE CÁLCULO: TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMAS GEODÉSICOS

DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

Dados os elementos abaixo:

Elipsoide 1: a₁ = 6378163,000 m; α₁ = 1/298,24.
Elipsoide 2: a₂ = 6378160,000 m; α₂ = 1/298,25.

Coordenadas Geodésicas de um ponto “P” referidas ao Elipsoide 1:

Latitude Geodésica φ₁ = 05° 03’ 10” S
Longitude Geodésica λ₁ = 42° 28’ 42” W
Altitude Geométrica h₁ = 419,401 m

Parâmetros de Transformação de Elipsoide 1, para o Elipsoide 2:

ΔX = 138,70 m; ΔY = - 164,40 m; ΔZ = - 34,40 m.
Parâmetros de Rotação:

Rx = - 00° 00’ 01,09”; Ry = - 00° 00’ 00,85”; Rz = 00° 00’ 02,07”
Fator de Escala: k = 6,4 ppm = 6,4*10^-6 = 0,000006400.

Transformar segundo o arco em radianos ρ” = 206264,8062470963.

CALCULAR:
1 – As coordenadas cartesianas (X₁, Y₁, Z₁) do Elipsoide 1.
2 – Transformar as Coordenadas Cartesianas (X₁, Y₁, Z₁), do Elipsoide 1 para o Elipsoide 2 (X₂, Y₂, Z₂).
3 – As Coordenadas Geodésicas do Elipsoide 2: (φ₂, λ₂, h₂).
4 – Transformar as Coordenadas Cartesianas do ponto “P” no Elipsoide 1 (X₁, Y₁, Z₁) em Coordenadas Geodésicas (φ₁, λ₁, h₁).

SOLUÇÃO
1 – As coordenadas cartesianas (X₁, Y₁, Z₁) do Elipsoide 1.

X₁ = (N₁ + h₁) * cosφ₁ * cosλ₁

N₁ = a₁ / (1- e₁²*sen²φ₁)^0,5

e₁² = α₁ * (2 - α₁)
e₁² = 1/298,24 * (2 - 1/298,24)
e₁² = 1/298,24 * 1,996646996
e₁² = 0,006694766

N₁ = 6378163,000 / (1-0,006694766*sen(-05°03'10"))^0,5
N₁ = 6378163,000 / (0,999948069)^0,5
N₁ = 6378163,000 / 0,999974034
N₁ = 6378328,618 m
X₁ = (6378328,618 + 419,401) * cos (-05º 03’ 10”) * cos (-42° 28’42”)
X₁ = 6377909,217 * 0,996113992 * 0,737532762
X₁ = 4686253,7806 m

Y₁ = (N₁ + h₁) * cosφ₁ * senλ₁
Y₁ = (6378328,618 + 419,401) * cos (-05º 03’ 10”) * sen (-42° 28’42”)
Y₁ = 6377909,217 * 0,996113992 * (-0,675311354)
Y₁ = -4290901,4383 m

Z₁ = (N₁ * (1 – e₁²) + h₁) * senφ₁
Z₁ = (6378328,618 * (1 - 0,006694766) + 419,401) * sen (-05° 03’ ‘10”)
Z₁ = (6378328,618 * 0,993305234 + 419,401) * (-0,088073346)
Z₁ = 6336046,602 * (-0,088073346)
Z₁ = - 558036,8271 m

2 – Transformar as Coordenadas Cartesianas (X₁, Y₁, Z₁), do Elipsoide 1 para o Elipsoide 2 (X₂, Y₂, Z₂).

R_x/ρ = - 00° 00’ 01,09” / 206264,8062 = - 0,000005284
R_y/ρ = - 00° 00’ 00,85” / 206264,8062 = - 0,000004121
R_z/ρ = 00° 00’ 02,07” / 206264,8062 = 0,000010036
X₂ = ΔX + (1 + k) * (X₁ + R_zY₁ - R_yZ₁)
X₂ = 138,700 + (1+0,00000640) * (4686253,7806 + 0,000010036 * (-4290901,4383) - (-0,000004121 * (-558036,8271)))
X₂ = 138,700 + (1 + 0,00000640) * 4686208,419
X₂ = 138,700 + 4686238,411
X₂ = 4686377,1108 m

Y₂ = ΔY + (1 + k) * (-R_zX₁ + Y₁ + R_xZ₁)
Y₂ = -164,400 + (1+0,00000640) * (-0,000010036 * 4686253,7806 + (-4290901,4383) + (-0,000005284) * (-558036,8271))
Y₂ = -164,400 + (1+0,00000640) * (-4290945,519)
Y₂ = -164,400 + (-4290972,981)
Y₂ = -4291137,3810 m

Z₂ = ΔZ + (1 + k) * (R_yX₁ - R_xY₁ + Z₁)
Z₂ = -34,400 + (1+0,00000640) * ((-0,000004121) * 4686253,7806 - (-0,000005284) * (-4290901,4383) + (-558036,8271))
Z₂ = -34,400 + (1+0,00000640) * (-558078,8139)
Z₂ = -34,400 + (-558082,3856)
Z₂ = -558116,7856 m



3 – As Coordenadas Geodésicas do Elipsoide 2: (φ₂, λ₂, h₂).

φ₂ = arctan((Z₂+e'₂²*b₂*sen³u)/((X₂²+Y₂²)^0,5 - e₂²*a₂*cos³u))

e’₂² = (a₂² - b₂²) / b₂²
e’₂² = (6378160,000² - 6356774,719²) / 6356774,719²
e’₂² = 272340154999,437 / 40408584830600,600
e’₂² = 0,006739661

sen u = tan⁡ u /(1+ tan²u)^0,5

tan⁡ u = (Z₂/(X₂²+Y₂²)^0,5) * (a₂/b₂)
tan⁡ u = ((-558116,7856)/(4686377,1108²+(-4291137,3810)²)^0,5) * (6378160,000/6356774,719)
tan⁡ u = ((-558116,7856)/(40375990446751,400)^0,5) * 1,003364172
tan⁡ u = ((-558116,7856)/6354210,4503) * 1,003364172
tan⁡ u = -0,087834168 * 1,003364172
tan⁡ u = -0,088129657

sen u = (-0,088129657)/((1+0,007766836)^0,5)
sen u = (-0,088129657)/(1,007766836)^0,5)
sen u = -0,087789393

cos u = 1/((1+tan²u)^0,5)
cos u = 1/((1+0,007766836)^0,5)
cos u = 1/((1,007766836)^0,5)
cos u = 0,996139058
φ₂ = arctan ((-5588116,7856+0,006739661*6356774,719*(-0,087789393)³) / ((4686377,1108² + (-4291137,3810)²)^0,5 - 0,006694542*6378160,000*0,996139058³))
φ₂ = arctan((-558145,7725)/( 6312004,2577)) = arctan(-0,088426077)
φ₂ = -05°03’11,8709 ou 05°03’11,8709 S

λ₂ = arctan(Y₂/X₂) ⇒ para o quadrante em que se situa ao Brasil.
λ₂ = arctan((-4291137,3810)/4686377,1108)
λ₂ = -42°28’44,9452” ou 42°28’44,9452 W

h₂ = ((X₂²+Y₂²)^0,5)/(cosφ₂))-N₂

cosφ₂ = 0,996113193

N₂ = a₂ / (1-e₁²*sen²φ₂)^0,5

senφ₂ = -0,088082382

N₂ = 6378160,000 / (1-0,006694542*(-0,088082382)²)^0,5
N₂ = 6378160,000 / (0,99994806)^0,5
N₂ = 6378160,000 / 0,99997403
N₂ = 6378325,646 m
h₂ = ((4686377,1108²+(-4291137,3810)²)^0,5/0,996113193)-6378325,646)
h₂ = ((40375990446751,400)^0,5/0,996113193)-6378325,646)
h₂ = (6354210,450/0,996113193)-6378325,646
h₂ = 6379004,407 – 6378325,646
h₂ = 678,761 m

4 – Transformar as Coordenadas Cartesianas do ponto “P” no Elipsoide 1 (X₁, Y₁, Z₁) em Coordenadas Geodésicas (φ₁, λ₁, h₁).

φ₁ = arctan((Z₁+e'₁²*b₁*sen³u)/((X₁²+Y₁²)^0,5-e₁²*a₁*cos³u))

e’₁² = (a₁² - b₁²) / b₁²
e’₁² = (6378163,000² - 6356776,992²) / 6356776,992²
e’₁² = 272349527443,500 / 40408613727125,500
e’₁² = 0,006739888

sen u = tan⁡ u /(1+tan²u)^0,5

tan u = (Z₁/(X₁²+Y₁²)^0,5))*(a₁/b₁)
tan u = ((-558036,8271)/(4686253,7806²+(-4290901,4383)²)^0,5)* (6378163,000/6356776,992)
tan u = ((-558036,8271)/(40372809649373,4000)^0,5)* 1,003364285
tan u = ((-558036,8271)/6353960,1548)* 1,003364285
tan u = -0,087825044 * 1,003364285
tan u = -0,088120512

sen u = (-0,088120512)/((1+0,007765225)^0,5)
sen u = (-0,088129657)/(1,007765225)^0,5
sen u = -0,087780354

cos u = 1/(1+tan²u)^0,5
cos u = 1/(1+0,007765225)^0,5
cos u = 1/1,007765225^0,5
cos u = 0,996139854
φ₁ = arctan ((-5588036,8271 + 0,006739888*6356776,992*(-0,087780354)³) / ((4686253,7806² + (-4290901,4383)²)^0,5 - 0,006694766*6378163,000*0,996139854³))
φ₁ = arctan((-558065,8060)/( 6311752,428)) = arctan(-0,0884166935)
φ₁ = -05°03’10” ou 05°03’10” S

λ₁ = arctan(Y1/X1) ⇒ para o quadrante em que se situa ao Brasil.
λ₁ = arctan((-4290901,4383)/4686253,7806)
λ₁ = -42°28’42 ou 42°28’42” W

h₁ = ((X₁²+Y₁²)^0,5/cosφ₁)-N₁

cosφ₁ = 0,9961139972

N₁ = a₁ / (1-e₁²*sen²φ₁)^0,5

senφ₁ = -0,088073346

N₁ = 6378163,000 / (1-0,006694766*(-0,088073346)²)^0,5
N₁ = 6378163,000 / 0,999948069^0,5
N₁ = 6378163,000 / 0,999974034
N₁ = 6378328,618 m

h₁ = (4686253,7806²+(-4290901,4383)²)^0,5/0,334343444-6378328,618
h₁ = 40372809649373,4000^0,5/0,996113992-6378328,618
h₁ = 6354210,450/0,996113992 - 6378328,618
h₁ = 6378748,0188 – 6378328,618
h₁ = 419,401 m

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Uma nova jornada: Meu Mestrado.

E aí pessoinhas, tudo blz?
Então, essa postagem aqui é para falar da reviravolta que minha vida teve desde o dia 23 de fevereiro passado.

Estava eu like a boss em casa (dia 23/02/18) curtindo o meu split a 23° (vinte e três graus, aqui em Teresina-PI isso é frio viu.), conversando com minha girl (leia namorada) que mora em outra cidade cerca de 53 km de minha residência (sim eu namoro uma morena de José de Freitas-PI e eu sou de Teresina-PI, e sim, somos muitos felizes com quase 5 anos efetivos de namoro), via o app de troca de mensagens instantâneas mais famoso do mercado, quando de repente meu celular notifica-me o recebimento de um email.

Este email era nada mais nada menos que a convocação para a matricula no Programa de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas e Tecnologias da Geoinformação (Nível Mestrado) da Universidade Federal de Pernambuco, no caso perguntavam se eu me interessava em uma vaga remanescente.
Bem, eu tinha prestado o processo seletivo em novembro de 2017, e tinha me dado mal na defesa de pré projeto, porém minha nota no currículo foi muito boa, e a nota do projeto também foi boa, o que me deixou numa posição até que razoável/regular (27º de 18 vagas), perante o primeiro edital.
Porém galera, o destino as vezes brinca de te sacanear (dessa vez positivamente) e uns dois dias após o "resultado final" do processo seletivo houve uma retificação no edital, houve um novo resultado final, aumentaram o número de vagas fazendo eu ficar a duas posições do último colocado. Só que após o "primeiro resultado final", não acompanhei mais a página pois, estava triste né, e o que aconteceu, surgiram duas desistências e quem entrou, claro!!, o papai aqui...
Na mesma hora do email, mandei um print sem acreditar para minha namorada, na mesma hora ela falou: diz que quer a vaga. E assim eu fiz, na sequência fiz meu cadastro no SIG@ da UFPE, fiz minha matrícula e então começou a peleja para conseguir grana para vir para Recife-PE.

Eu tinha um corsa wind sedan ano 1999, que meu pai tentou vender, só que ninguém quis, terminou que ele vendeu uma bros laranja com prata que ele tinha (a galera não quis o corsinha, mas, quiseram a bros) e ficou com o carro, para num futuro tentar transformá-lo em uma moto (trocar). Do valor que ele vendeu a bros ele me pegou milzão para ele e me deu o restante. Deste eu paguei 2 meses de aluguel adiantados e o restante está em minha poupança para ir me fazendo até onde der aqui com ele.

Para quem estranhou eu namorar uma menina em José de Freitas, cerca de 53 km de minha cidade, imagina agora namorar uma menina de José de Freitas, cerca de 1195 km de onde eu tou... Vai continuar do mesmo jeito. Seria melhor se ela tivesse aqui comigo, eu quero até trazer ela. Já falei com a dona da kitnet se poderia trazer e ela prontamente disse que sim, que era uma boa, para que eu não ficasse sozinho em um lugar distante de todos, que dava para ela tentar  arrumar um trabalho por aqui enquanto tenta também entrar no mestrado.
Por falar distante de todos, coisa ruim é você sair de perto de seus familiares, não desejo isso a ninguém, eu até estava de boa com tudo, até um dia antes da viagem, quando percebi que iria deixar, pai, mãe, irmãs, sobrinhos (que quando juntos, os três fazem mais barulho que qualquer carreta furacão), amigos e um cachorro (mais esperto e sem vergonha que qualquer outro) para longe e que ia demorar um tempo até vê-los de novo, difícil sustentar o choro e na hora de pegar o bus,  o choro veio e veio com força, acho que, o que não saiu de lagrimas nos últimos cinco anos, saíram de Teresina-PI a Elesbão Veloso-PI (Tou exagerando, mas, chorei bastante) era um aperto no peito tão grande, terrível.
Agora estou em Recife-PE, forever alone, numa kitnet, pensando na vida. Pensar em voltar para casa? Sim, pensei demais durante toda a viagem, me imaginava falando para o motorista: moço pare aqui que eu vou descer. Também pensei isso aqui na Kitnet após chegar. No almoço agora pouco. Porém, não posso fazer isso, e as vezes certos tipos de sacrifícios tem que serem feitos para no fim você conseguir a sua vitória.

Quanto ao mestrado, muitas dúvidas, muitas mesmo, duvidas demais, como: ) que irei fazer?... Não quero mais o projeto que eu tinha enviado, posso mudar?... Será que eu vou conseguir?... Será que irei aprender?... Será que minhas notas serão boas?... Dentre muitas outras dúvidas que aparecem em minha mente...
No momento a única coisa que sei é, vou tentar resistir a saudade, engolir o choro e encarar esse desafio, pois, quanto mais forte eu ser nessa batalha, logo antes ela irá acabar, e este é meu desejo, para então voltar para o lugar de onde eu não devia ter saído.

Agora vamos para as ironias do destino:

Em 2010 eu prestei o último Programa Seriado de Ingresso a Universidade - PSIU, da Universidade Federal do Piauí, era o processo seletivo para entrar na graduação. Pois bem, eu, um cabra oriundo de escola pública, não podia concorrer a nenhum tipo de cota, pois, tinha feito nada mais nada menos que a alfabetização, a 1ª série, a metade da 2ª série e a 3ª serie do ensino fundamental em escola particular com isso fiz em ampla concorrência o vestibular para Engenharia de Agrimensura (logo em 2013 o curso mudou para Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, e eu fui migrado), e passei em último lugar. Dentro da universidade corri atrás do que não sabia e, sem querer me achar demais, me formei como um dos melhores discente, o melhor eu tenho certeza que não fui, mas, entre os melhores creio que tem uma vaga la no final para mim, isso eu tenho certeza, pois me esforcei demasiadamente...
Agora presto esse seletivo para o Mestrado, e novamente o último colocado... Seguindo a lógica...


Vou estudar demais...

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Geometria Descritiva - ÍNDICE

ÍNDICE DE POSTAGENS

ESTUDO DO PONTO

Aula 01 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO PONTO
Aula 02 - POSIÇÕES DO PONTO
Aula 03 - PLANOS BISSETORES
Aula 04 - SIMETRIA DE PONTOS
Aula 05 - ENTENDENDO A SIMETRIA DE PONTOS
Aula 06 - Exercícios Resolvidos sobre Estudo do Ponto
EXTRA: Exercícios sobre o Estudo do Ponto

ESTUDO DA RETA

Aula 01 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA RETA
Aula 02 - TRAÇOS DA RETA (1ª PARTE)
Aula 03 - TRAÇOS DA RETA (2ª PARTE)
Aula 04 - RETA HORIZONTAL
Aula 05 - RETA FRONTAL
Aula 06 - RETA FRONTO HORIZONTAL
Aula 07 - RETA VERTICAL
Aula 08 - RETA DE TOPO
Aula 09 - RETA DE PERFIL (1ªPARTE) (2ª PARTE) (3ª PARTE) (4ª PARTE)
Aula 10 - RETA PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 11 - RETA PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 12 - RETA QUALQUER
Aula 13 - RETA PARALELA AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 14 - RETA PARALELA AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 15 - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Aula 16 - CONCORRÊNCIA E PARALELISMO ENTRE RETAS DE PERFIL
Aula 17 - Exercícios Resolvidos sobre Estudo da Reta

ESTUDO DO PLANO

Aula 01 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO PLANO
Aula 02 - TRAÇOS DO PLANO
Aula 03 - PLANO VERTICAL
Aula 04 - PLANO DE TOPO
Aula 05 - PLANO DE PERFIL
Aula 06 - PLANO HORIZONTAL
Aula 07 - PLANO FRONTAL
Aula 08 - PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
Aula 09 - PLANO QUALQUER
Aula 10 - PLANO PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 11 - PLANO PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 12 - PLANO PARALELO AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 13 - PLANO PARALELO AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 14 - RETAS DO PLANO
Aula 15 - PERTINÊNCIA DE UMA RETA AO PLANO E PERTINÊNCIA DE UM PONTO AO PLANO
Aula 16 - PRINCIPAIS DO PLANO
Aula 17 - RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMO INCLINAÇÃO
Aula 18 - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS
Aula 19 - PLANOS SECANTES
Aula 20 - INTERSECÇÃO ENTRE RETAS E PLANOS
Aula 21 - Exercícios Resolvidos sobre Estudo do Plano


MÉTODOS DESCRITIVOS

MUDANÇA DE PLANOS

Aula 01 - INTRODUÇÃO A MUDANÇA DE PLANOS
Aula 02 - MUDANÇA DE PLANOS NO ESTUDO DO PONTO
Aula 03 - MUDANÇA DE PLANOS NO ESTUDO DA RETA
Aula 04 - MUDANÇA DE PLANOS NO ESTUDO DO PLANO
Aula 05 - Exercícios Resolvidos sobre Mudança de Planos

ROTAÇÃO

Aula 01 - INTRODUÇÃO A ROTAÇÃO
Aula 02 - ROTAÇÃO DO PONTO
Aula 03 - ROTAÇÃO DA RETA
Aula 04 - ROTAÇÃO DO PLANO
Aula 05 - Exercícios Resolvidos sobre Rotação

REBATIMENTO

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Aula 03 -
Aula 04 - Exercícios Resolvidos sobre Rebatimento

ESTUDO DOS POLIEDROS

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Exercício - Estudo do Plano

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ESTUDO DO PLANO

01 – Determinar os traços do plano (α) definido pela reta (A)(B) e pelo ponto (C). Sabendo-se que: (A){-2; -1; -4}, (B){-6; -2; -1} e (C){-4; 0; -4}.

02 – Dar os traços do plano (β), determinados pelas retas concorrentes (A)(B) e (C)(D). Dados: (A){0; -5; 2}, (B){-7; -3; -4}, (C){-5; -5; -1} e (D){-5; -1; -5}.

03 – Determinar os traços de um plano (φ) definidos pelas retas de perfil (A)(B) e (C)(D). Dados: (A){-6; -1; -2}, (B){?; ?; 0}, (C){10; -1; -4} e (D){?; -5; -1}.

04 – Representar por seus traços o plano (α) definido pela fronto-horizontal (r), que contém o ponto (M) do (βi) e pela fronto-horizontal (s) que contém o ponto (N) do (βp). Dados: (M){-4; 2; ?} e (N)(-8; ?; -1}.

05 – Determinar os traços de um plano (α) a que pertence a horizontal (M)(N) e a frontal (N)(P), utilizando o traço de apenas uma destas retas. Dados: (M){-1; -4; -2}, (N){-5; ?; ?} e (P){-2; 1; -6}.

06 – Construir os traços de um plano (γ) determinado pela reta de perfil (A)(B) e o ponto (M). Dados: (A){-8; 2; -6}, (B){?; -4; -4} e (M){-4; -2; -1}.

07 – Sejam as seguintes afirmativas:

a – Três pontos não alinhados determinam um plano;
b – O traço horizontal απ de um plano é o lugar dos pontos do plano que tem o afastamento nulo;
c – Toda reta concorrente com duas retas de um plano, em pontos distintos, pertence ao plano;
d – Se uma reta tiver seus traços situados nos traços de mesmo nome do plano, pertence ao plano;
e – Sempre que um ponto pertencer a uma reta do plano, ele pertencerá ao plano.

Considerando que, cada afirmativa falsa corresponde a 2 pontos, então os somatórios delas totalizam:

(X) 2 pontos          (   ) 4 pontos          (   ) 6 pontos          (   ) 8 pontos          (   ) 10 pontos
08 – Determinar os traços de um plano de topo (β), que contém o segmento de reta (A)(B). Tem-se: (A){0; -1; -1} e (B){-2; -3; -2}.

09 – Fazer passar pelo segmento de reta (C)(D), um plano (φ) paralelo à linha de terra. Sendo dados: (C){-1; 0; -1} e (D){-2; -3; -2}.

10 – Dado um plano (β) paralelo à linha de terra, construir as projeções da reta (M)(N) do plano. Sabendo-se que; (M){ -2; -4; ?}, (N){-7; -4; ?}, cota de βπ’ = -2 e afastamento de βπ = -3.

11 – Dado um plano (α) por seus traços, construir as projeções da reta (T)(U) do plano. Dados: (T){-2; 0; 0}, (U){-6; ?; -2}, απ = 120° e απ’ = -135°.

12 – Dado um plano (φ) definido pelas retas concorrentes (A)(B) e (B)(C), determinar a reta (M)(N) do plano. Dados: (A){0; -1; 0}, (B){-2; -5; -3}, (C){-5; -1; -2}, (M){2; -4; ?} e (N){-6; -2; ?}.

13 – Determinar os traços de um plano horizontal (α), que contém o ponto (O){2; 2; -3}.

14 – Determinar as projeções de um ponto (A), situado em um plano de topo (α), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, (A){-3; -3; ?} e απ’ = -120°.

15 – Determinar as projeções de um ponto (A), situado em um plano qualquer (γ), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, (A){-2; 3; ?}, γπ’ = -135° e γπ =-150°.

16 – Determinar as projeções de um ponto (A), situado em um plano que passa pelos pontos (B), (C) e (D). Dados: (A){0; -2; ?}, (B){0; -1; -1}, (C){2; -3; -4} e (D){-3; -5; -6}.

17 – Determinar um plano (δ) definido por duas retas paralelas (A)(B) e (C)(D), determinar o ponto (O) do plano. Sendo dados: (A){2; -3; -2,5}, (B){-1; 0; -3,5}, (C){0; -4; 0}, (D){-4; 0; 0} e (O){-3; -3; ?}.

18 – Determinar as projeções de um ponto (O), situado em um plano qualquer (α), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, (O){-1; ?; -2}, απ’ = -45° e απ = 60°.

19 – Determinar as projeções de um ponto (C){-3; -2; ?), situado em um plano qualquer (φ), que contém o ponto (T). Dados: (T){0; 0; 0}, φπ’ = -120° e φπ = 135°

20 – Verificar se o ponto (O) pertence ao plano do triângulo (A)(B)(C). Dados: (A){-2; -1; -2}, (B){-4; -4; -7}, (C){-6; 0; -4} e (O){-3; -2; -3}.

(O) ∉ Δ(A)(B)(C) pois (O) ∉ (f) ∈ Δ(A)(B)(C)
21 - Traçar uma reta de máximo declive de um plano, dado pelos pontos (A), (B) e (C), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){0; -3; -4}, (B){ -3; -1; 0} e (C){ -5; -4,5; -3}

Reta solução: (3)(B).
22 - Construir pelo ponto (A), as projeções de uma reta de máximo declive de um plano, dado pelas retas concorrentes (A)(B) e (A)(C), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){ 0; -4; -1}, (B){ -1; 0; -3} e (C){ -3; -1; -2}

Reta solução: (t).
23 - Traçar pelo ponto (B), uma reta de máxima inclinação de um plano, dados pelos pontos (A), (B) e (C), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){0; -2; -4}, (B){ -3; -5; 3} e (C){ -5; 2,5; -1}

Reta solução: (s).
24 - Construir as projeções de uma reta de máxima inclinação de um plano, definido por duas retas paralelas (A)(B) e (C)(D), sem determinar os traços do plano. Dados: (A){ 0; -4; -1}, (B){ -3; -2; -4}, (C){ -5; -3; -2} e (D){ -8; ?; ?}.

Reta solução: (m).

25 - Determinar os traços de um plano (α), definido por uma horizontal (A)(B) e pelo ponto (C). Dados: (A){ -4; -3; ?}, (B){ -9; -1; -2} e (C){ -7; 0; -6}.

26 - Determinar uma reta de máxima inclinação de um plano, definido pelas retas (A)(B) e (C)(D) paralelas, sem determinar os traços do plano, sabendo-se que: (A){ 3; 1; -3} (B){ -3; -1,5; 2}, (C){ 0; -1; -2} e (D){ -4,5; ?; ?}.

Reta solução: (r).
27 - Determinar os traços de um plano definido pela reta de máxima inclinação (A)(B), sem utilizar os traços desta reta. Sabe-se que: (A){ -2; -6; -2} e (B){ -6; -2; -4}.

28 - Determinar os traços do plano definido pela reta de máximo declive (A)(B), sem utilizar os traços desta reta. Dados: (A){ -5; -4; -1} e (B){ -8; -2; -4}.

29 - Construir pelo ponto (M) de um plano qualquer (α), uma reta de máxima inclinação, sabendo-se que o plano (α) contém o ponto (T). Dão-se: (T){ 0; 0; 0}, (M){ -2; ?; -2,5}, απ’ = -60º e απ = 30º.

Reta Solução: (H)(V)
30 - A reta de máxima inclinação de um plano de topo é uma reta:

a) Horizontal    b) Frontal    c) Vertical    d) De topo    e) Qualquer

R: d

31 - A reta de máximo declive de um plano horizontal é uma reta:

a) Qualquer    b) Vertical    c) De topo    d) Horizontal    e) Não existe

R: e

32 - Por um ponto (A), traçar uma reta (A)(B) paralela ao plano (α) que contém o ponto (T). Dados: (T){ 1; 0; 0}, (A){ -3; -1; -2}, (B){ -5,5; ?; ?}, απ’ = -120º e απ = 140º.

A reta (A)(B) é paralela ao plano (α), pois a reta (A)(B) é paralela a reta (H)(V) que pertence ao plano (α).

33 - Por um ponto (A), traçar uma reta (A)(B) paralela ao plano (α) de topo que contém o ponto (C) e (T). Dados: (T){ 0; 0; 0}, (A){ -1; -1; -3}, (B){ -8,5; ?; ?} e (C){ -6; -2; -4}.

34 - Por um ponto (A), traçar uma reta (A)(B) paralela ao plano definido pelo ponto (C) e a linha de terra. Dão-se: (A){ 0; 1,5; 2}, (B){ -3; ?; ?} e (C){ -1; -1; -1,5}.

35 - Por um ponto (A) traçar duas retas (A)(B) e (A)(C) paralelas, respectivamente, aos planos bissetores. Dão-se: (A){ -3; -1 ; -1,5}, (B){ -6; ?; ?} e (C){ -7; ?; ?}.

Reta (A)(B) // (β_i) e Reta (A)(C) // (β_p).
36 - Por um ponto (A) dado, traçar uma frontal (A)(B) paralela ao plano (φ) dado por outras restar concorrentes (C)(D) e (D)(E). Destacar o segmento no 3º diedro da reta solução. Dão-se: (A){ 1,5; -1; 2}, (B){ -4; ?; ?}, (C){ 0; 0; 3,5}, (D){ -2; 2; 1} e (E){ -3; 0; 2}.

Reta solução: (A)(B)
Intervalo no 3º diedro: segmento (B)(H)
37 - Por um ponto (A), fazer passar um plano (β) paralelo a uma reta (B)(C), sendo dados: (A){ -1; -1; -1,5}, (B){ 0,5; -3,5; 2} e (C){ -4; 1; 0,5}.

O plano (β) é paralelo a reta (B)(C), pois, o plano (β) contém a reta (H)(V) e esta é paralela a reta (B)(C).
38 - Por um ponto (A), traçar um plano (ω) paralelo a reta (B)(C), de perfil. Dados: (A){ -1; -2,5; -3}, (B){ -5; -2; -4} e (C){ ?; -3,5; -2}.

(ω)// (B)(C) pois (ω) ⊃ (p) e (p)//(B)(C)
39 - Dada uma reta de perfil (A)(B), traçar pelo ponto (C), um plano (β) paralelo à reta, sendo dados: (A){ -5; -4; 1}, (B){ ?; -2,5; -1} e (C){ -1; -2; -3}.

O plano (β) é paralelo a reta (A)(B), pois, o plano (β) contém a reta (H)(V) e esta é paralela à reta (A)(B).
40 - Por uma reta (M)(N) fronto-horizontal, traçar um plano (α) paralelo à reta, sendo dados: (A){ 0; 2,5; -2,5}, (B){ -3; 0; 1}, (M){ 3; -1,5; -2} e (N){ -1; ?; ?}.

41 - Traçar por um ponto (A), uma reta paralela à reta (B)(C), e determinar os traços do plano que contenham essas duas retas. Dados: (A){ -3; 2; 1,5}, (B){ -2; -2; -3} e (C){ -5; 0; -6,5}.


42 - Por um ponto (A) dado e um plano (α) definido por seus traços que contém o ponto (T), construir, pelo ponto, o plano (β), paralelo ao plano dado, sendo: (T){ -8; 0; 0}, (A){ -6; -3; -2}, απ’ = -120º e απ = 135º.

43 - Dado um ponto (O) e um plano (φ) de topo definido por seus traços que contém o ponto (T), determinar, pelo ponto, o plano (δ) paralelo (φ) dado, sendo: (T){ -4; 0; 0}, (O){ 8; 4; 3} e φπ’= -135º.


44 - Dado um ponto (P) e um plano (α), paralelo à linha de terra, que contém o ponto (P), traçar pelo ponto (Q), um plano (β) paralelo ao plano (α). Dados: (P){ -4; -2; -5} e (Q){ 0; -4; -1}.

45 - Traçar por um ponto (A), um plano (β) que o contenha e que seja também paralelo ao plano (α), que é paralelo a ππ’. Dados: (A){ 0; -1; -1}, απ’ = -3 e απ = -4.


46 - Achar a reta interseção do plano (α) com cada um dos seguintes planos:
a) Plano (γ), frontal, de afastamento igual a -3;

Reta solução: (f).
b) Plano (φ), horizontal, tal que φπ’ = -4;

Reta solução: (h).
c) Plano (β), de topo, contendo o ponto (U){-4; 0; 0} e tal que βπ’ = -135º;

Reta solução: (V)(1).
d) Plano (δ), vertical, que contém a reta (A)(B), sendo (A){-2; -5; -4} e (B){-6; 0; -6}. Dados: (T){-10; 0; 0}, απ’ = -30º e απ = 120º.

Reta solução: (V)(1).
47 - Obter a interseção dos planos (α) e (β), o 1º contendo (T) e o 2º, o ponto (U). Dados: (T){-4; 0; 0}, απ’ = -30º, απ = 60º, (U){-10; 0; 0}, βπ’ = -150º e βπ = 120º.


48 - Dar a reta comum aos planos (α) e (γ), que contém, respectivamente, (T) e (U). Dados: (T){-4; 0; 0}, απ’ = -30º, απ = 60º, (U){-10; 0; 0}, γπ’ = 120º e γπ = -150º.

Reta solução: (X)(Y).

49 - Obter a reta comum aos planos (α) e (φ). Dados:
Plano (α): (T){- 7; 0; 0}, απ = 120º e απ’ = -135º;
Plano (φ): (U){-7; 0; 0}, φπ = -135º e φπ’ = 120º.


50 - Determinar a interseção de dois planos quaisquer (α) e (β), cujos pontos de concurso dos traços são, respectivamente, (T) e (J). Dados: (T){0; 0; 0}, απ = 150°, απ’ = -120°, (J){-6; 0; 0}, βπ = 60°, βπ ‘ = -105°.

Reta solução: (i).
51 - Determinar a interseção de um plano (α) de cota igual a -2, e um plano (φ), paralelo ao (β_p), de cota igual a -3.


52 - Determinar a interseção de um plano (α), que contém o ponto (T), com outro dado pela sua reta de máximo declive (A)(B). Dão-se: (T){0; 0; 0}, απ = 120°, απ’ = -135°, (A){-4; 0; -2,5} e (B){-6; -1; -1,5}.

Reta solução: (s).
53 - Determinar a interseção de um plano (α), que contém o ponto (T), e o plano definido pelas retas concorrentes (A)(B) e (B)(C). Dados. (T){0; 0; 0}, απ = 135°, απ’ = -145°, (A){-6; -2; -2}, (B){ -8; 0; -1} e (C){-11; -3,5; -4,5}.


54 - Obter a interseção entre os planos (α) e (β), paralelos à linha de terra. Dados: απ = -2, απ’ = -5, βπ = -4 e βπ’ = -3.

Reta solução: (A)(B).
55 - A interseção entre um plano horizontal (α) e um plano de topo (β), é uma reta:

a) Vertical    b) De topo    c) Fronto-Horizontal    d) Horizontal    e) Frontal

R: b.
56 - Determinar o traço de uma reta (A)(B) sobre um plano (α), que contém o ponto (T). Dados: (T){2,5; 0; 0}, απ = 145°, απ' = -150°, (A){1,5; -3; -3} e (B){-2; -1; -0,5}.

Solução: Ponto (X).

57 – Determinar o traço da reta (A)(B) sobre o plano (α), paralelo a linha de terra. Dados: απ = -2, απ’ = -3; (A){0; -1; -1} e (B){-4; -3; -3,5}.


58 - Determinar o traço da reta (A)(B) no plano (α). Dados: (A) {-2; -1; -5}, (B){-6; -5; 1}, (T){0; 0; 0}, απ = 120° e απ’ = -120°.

Solução: Ponto (Y).
59 - Obter o ponto em que a reta (A)(B) atravessa o plano (γ), paralelo ao (β_p). Dados: (A){-1; -6; -6}, (B){-6; -1; -2} e γπ = -4.


60 - Determinar o traço da reta (A)(B) sobre o plano definido pelas retas concorrentes (C)(D) e (D)(E). Dados: (A){-0,5; -2,5; -1), (B){-2,5; -1,5; -3}, (C){-3,5; -2; -2}, (D){-4,5; -1; -2} e (E){-6; -2; -1,5}.

Solução: Ponto (Z).
61 - Determinar o traço da reta frontal (A)(B) sobre o plano (φ), que contém o ponto (T). Dão-se: (A){-2; -1,5; -3}, (B){ -4; ?; -1} (T) {0; 0; 0}, φπ’ = -145º e φπ = 135º.


62 - Determinar o traço da reta horizontal (A)(B) sobre o plano da topo (α), que contém o ponto (T). Sabe-se que: (A){-4; -2; -3}, (B){-6; 0; ?}, (T){-2; 0; 0} e απ’= -140º.

Solução: Ponto (I).
63 - Determinar o ponto em que a reta de perfil (A)(B) fura o plano (α), cujos traços coincidem na origem das coordenadas e é perpendicular ao (β_i). Dados: (A){-3; -3; -2}, (B){ ?; -1; 0} e απ₁’= -130º.


64 - De um ponto (A), traçar uma reta perpendicular ao plano (φ), paralelo à linha de terra. Dão-se: (A){ 0; -2; -3}, φπ’ = -4 e φπ = 3.

Solução: Reta (A)(B).

65 - Do ponto (O), construir a perpendicular ao plano (α). Dados: (O){-6; -2; -4}, απ’ = -2 e απ = -3.


66 - De um ponto (M), traçar uma perpendicular ao plano definido pelos pontos (A), (B) e (C), do qual não se pode determinar os traços. Dados: (A){3; -4; -3}, (B){-0,5; -2; -4}, (C){ -2,5; -3,5; -2} e (M){-1; -1; -1}.

Solução: Reta (r).
67 - Traçar por um ponto (A), uma reta (A)(B), perpendicular ao plano definido pelo ponto (M) e a linha de terra, devendo o ponto (B), possuir cota e afastamento na razão 2/3. Sabe-se que: (A){-0; -1; -3,5} e (M){-0; -1; -1}.


68 - Por um ponto (A), do (β_i), traçar um plano perpendicular a uma reta de perfil (M)(N). Dão-se: (A){-3; ?; -1}, (M){-0; -2,5; -3} e (N){ ?; -1; -1,5}.

Solução: Plano (α).
69 - Pelo ponto (T), construir o plano (η) perpendicular à reta (A)(B). Dados: (T){-8; 0; 0}, (A){-3; -1; -7} e (B){-3; -3; -2}.


70 - Dão-se o ponto (M) e a reta (A)(B). Pede-se construir, pelo ponto (M), a perpendicular à reta (A)(B). Dados: (M){-3; -1; -2}, (A){-8; -6; -3} e (B){-8; 3; 1}.

Solução: Reta (u).

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