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Serão três curso: Básico, Intermediário e Avançado.
CURSO BÁSICO DE GEOMETRIA DESCRITIVA
- Irá abordar a teoria e aplicações básicas da Geometria Descritiva como: Ponto, Reta e Plano.
CURSO INTERMEDIÁRIO DE GEOMETRIA DESCRITIVA
- Irá abordar a teoria e aplicações intermediária da Geometria Descritiva: Métodos Descritivos (Mudança de Plano, Rotação e Rebatimento).
CURSO AVANÇADO DE GEOMETRIA DESCRITIVA
- Este irá abordar teoria e práticas avançadas da Geometria Descritiva como o Estudo dos Poliedros dentre outras aplicações.
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01 - Por mudanças de planos de projeção, situar o ponto (A) no 1º diedro do novo sistema, Dado: (A){-1; -2; -3}.
02 – Submeter o ponto (A) a uma mudança que o situe no 1º diedro no novo sistema. Dado: (A){-5; -3; 5}.
03 – Efetuar uma mudança de plano de projeção, de modo que o ponto (A) venha possuir cota igual ao dobro da primitiva e de sinal contrário. Dado: (A){-2; -2; -1}.
04 – Dado o ponto (A), submete-lo a uma mudança de plano que o situe no (βi) do novo sistema. Dado: (A){-2; -2; -3}.
05 – Dado os pontos (A) e (B), efetuar uma mudança de plano, de modo que o ponto (A) se situe no (βi) e o ponto (B) no (βp) do novo sistema. Dados: (A){-1; -3; -1}, (B){-4; -1; 2}.
06 – Efetuando primeiro uma mudança de plano vertical e posteriormente uma mudança de plano horizontal, situar o ponto (A) na Linha de Terra no 3º sistema de planos. Dados: (A){0; -2; -3}.
07 – Dado o ponto (O), submete-lo à mudança de planos de projeção, tal que seu afastamento se duplique no novo sistema. Dado: (O){-5; -2; -3}.
08 – Submeter o ponto (K) à mudança de plano que torne a sua cota igual a z. Dados: (K){-5; 1; -4}, z = 3.
09 – Tornar fronto-horizontal a reta (M)(N). Dados: (M){-2; -6; -1}, (N){-6; -2; -5}.
10 – Fazer com que a reta (A)(B), após mudanças de planos, fique perpendicular ao plano horizontal, sendo dados: (A){-1; -2; -2}, (B){-4; -1; -1,5}.
11 - Fazer com que a reta (A)(B), após uma mudança de plano horizontal, fique situada no (βi) do novo sistema de planos. Dão-se: (A){-3; -2; -1}, (B){-5; -3; -2}.
12 – Por uma mudança de plano vertical, referir a reta (I)(P) ao sistema no qual se tenha (I)(P) = 5,5 situando (I) no (βi) e (P) no (βp). Dados: (I){-3; -1; -3}, (P){-8; ?; -3}.
13 – Fazer com que a reta qualquer (A)(B), após uma mudança de plano, coincida com a linha de terra no 3º sistema de planos. Dados: (A){-1; -2; -1}, (B){-4; -4; -2}.
14 – Redefinir o ponto (P) ao sistema ortogonal que tenha por linha de terra a reta (A)(B). Dados: (A){ -5; -2; -7}, (B){-5; -6; -2}, (P){ -2; -4; 5}.
15 – É conhecida a projeção ABC de um ângulo reto, bem como a projeção vertical A’B’ de um de seus lados. Determinar, por meio de uma mudança de plano, a projeção vertical B’C’ do outro lado do ângulo. Dão-se: (A){0; -2; -1}, (B){-2; -2,5; -3}, (C){-4; -0,5; ?}.
16 – Tornar de topo o plano (α) perpendicular ao (βi), e que contém a reta (T)(A). Dados: (T){-3; 0; 0}, (A){-5; -3; -1}.
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17 – Tornar vertical, por uma mudança de plano, o plano (φ) perpendicular ao (βp), e que contém os pontos (T){-3; 0; 0}, (A){-1; -2; 0}.
18 – Tornar vertical, por uma mudança de plano, o plano (φ) paralelo ao (βp), cujo o traço vertical possui cota igual a -2.
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19 – Tornar paralelo a linha de terra, por uma mudança de plano, o plano (φ) que contém o ponto (T), devendo a nova linha de terra deve passar pelo ponto de abcissa igual -3. Dados: (T){0; 0; 0}, φπ = -60° e φπ' = 45°.
20 – Tornar de topo, por uma mudança de plano, o plano (α) perpendicular ao (βp), e que contém a reta (A)(B). Dados: (A){0; 0; -1,5} e (B){-3; -2; 0}.
Basicamente, a mudança de plano quando a aplicada ao estudo do plano, temos por objetivo transformar um plano em outro.
Assim:
a) Se o plano for dado por duas retas.
Para submeter um plano a uma mudança de plano, seja ela vertical ou horizontal, submetem-se a essa mudança os elementos que compõe o plano, ou seja, uma reta do plano (frontal ou horizontal) e um ponto do plano que não pertença a esta reta.
I - MPV
II - MPH
b) Se o plano for dado por seus traços.
Neste caso, ao invés de usar uma reta do plano para auxiliar, usa-se, um ponto do plano.
I - MPV
Na MPV, faz-se a nova linha de terra passando pela projeção horizontal do ponto auxiliar, na sequência, transporta-se a cota deste ponto (lembrando-se que é perpendicular a nova linha de terra), lança-se o novo traço vertical passando pela nova projeção vertical do ponto auxiliar até a intersecção da nova linha de terra com o traço horizontal do plano dado.
II - MPH
Analogamente a MPV, na MPH faz-se a nova linha de terra passando, agora, pela projeção horizontal do ponto auxiliar, transporta-se então o afastamento do ponto para a nova linha de terra (perpendicular a esta) então faz-se o novo traço horizontal do plano passando pela nova projeção horizontal do ponto até a intersecção da nova linha de terra com o traço vertical do plano dado.
Principais aplicações
TORNAR UM PLANO NÃO PROJETANTE EM UM PLANO DE TOPO
Primeiramente, temos que ter em mente a propriedade característica do plano de topo, sabendo disso, realiza-se então uma MPV, de modo que a nova linha de terra seja perpendicular ao traço horizontal do plano dado.
TORNAR UM PLANO NÃO PROJETANTE EM UM PLANO VERTICAL
Novamente, temos que inicialmente lembrar-nos das propriedades características do plano vertical, munido desse conhecimento, realiza-se então uma MPH, fazendo a nova linha de terra perpendicular ao traço vertical do plano dado e passando pela projeção vertical do ponto auxiliar.
TORNAR UM PLANO NÃO PROJETANTE EM UM PLANO HORIZONTAL
Neste caso, não conseguimos a solução realizando apenas uma mudança de plano. Assim, faz-se necessário aplicarmos duas mudanças de planos: A primeira uma MPV de modo a tornar o plano dado em um plano de topo e a segunda uma MPH, para então transformar o plano de topo em um plano horizontal.
Observe que, na MPH a nova linha de terra é paralela ao novo traço vertical do plano.
TORNAR UM PLANO NÃO PROJETANTE EM UM PLANO FRONTAL
Neste caso, novamente aplicaremos uma dupla mudança de planos, primeiramente uma MPH de modo a tornar o plano dado em um plano vertical, e na sequência uma MPV tornando assim o plano vertical em um plano frontal.
Veja que, na MPV a nova linha de terra é paralela ao novo traço horizontal do plano.
Para se realizar uma mudança de plano, seja MPV ou MPH, em uma reta, submetemos a esta, simultaneamente a mesma mudança de plano em dois pontos quaisquer da mesma.
Aplicações da Mudança de Planos no Estudo da Reta
A principal aplicação da mudança de planos no estudo da reta, é a determinação da verdadeira grandeza da mesma, e como se faz isso? Transformando a reta dada em uma reta que seja projetante a um dos planos de projeção, ou seja, que tenha a sua verdadeira grandeza em uma de suas projeções ou até mesmo nas duas. Além disto, podemos aplicar a mudança de planos para transformar uma reta dada, perpendicular aos planos de projeções.
TORNAR UMA RETA QUALQUER EM UMA RETA FRONTAL
Para iniciar a transformação de uma reta qualquer em uma reta frontal, a primeira coisa a se lembrar é: Qual a propriedade característica de uma reta frontal em épura? Sabendo isso, que uma reta frontal possui a projeção horizontal paralela a linha de terra (ππ’) e a projeção vertical obliqua a linha de terra (ππ’), basta então pegar dois pontos quaisquer desta reta e então realizar uma MPV, pois, a nova linha de terra (π’1π) tem que ser paralela a projeção horizontal da reta dada.
Resumindo:
- Para tornar-se uma reta qualquer em uma reta frontal, realiza-se uma MPV;
- A nova linha de terra, será paralela a projeção horizontal da reta dada.
TORNAR UMA RETA QUALQUER EM UMA RETA HORIZONTAL
Analogamente a transformação de uma reta qualquer em uma frontal, neste caso também é necessário conhecer previamente a propriedade característica de uma reta horizontal em épura, que é: Possuir a projeção vertical paralela a linha de terra (ππ’) e projeção horizontal obliqua a linha de terra (ππ’). Com isso, basta pegar dois pontos da reta dada e realizar uma MPH, sendo a nova linha de terra (π1π’) paralela a projeção vertical da reta dada.
Resumindo:
- Para tornar-se uma reta qualquer em uma reta horizontal, realiza-se uma MPH;
- A nova linha de terra, será paralela a projeção vertical da reta dada.
TORNAR UMA RETA QUALQUER EM UMA RETA VERTICAL
Como nas transformações anteriores, inicialmente é preciso conhecer a propriedade característica de uma reta vertical em épura, que é, projeção vertical perpendicular a linha de terra (ππ’) e a projeção horizontal reduzida a um ponto. Vale ressaltar que, com apenas uma mudança de plano não é possível tornar uma reta qualquer em uma reta vertical, para isso, é necessário a realização de uma dupla mudança de planos, assim, escolhe-se dois pontos da reta e faz-se inicialmente uma MPV para tornar a reta qualquer em uma reta frontal, ou seja, a nova linha de terra paralela a projeção horizontal da reta dada:
Na sequência, basta fazer uma MPH, lembrando-se sempre da propriedade característica da reta vertical, a qual pretende-se determinar, assim, a nova linha de terra, terá que ser perpendicular a nova projeção vertical da reta dada.
Resumindo:
- Para tornar-se uma reta qualquer em uma reta vertical, realiza-se inicialmente uma MPV de modo a torna-la uma reta frontal, ou seja, a nova linha de terra, será paralela a projeção horizontal da reta dada;
- Na sequência faz-se uma MPH, de modo a tornar então a reta frontal encontrada em vertical;
- Salienta-se que a linha de terra do terceiro sistema, será perpendicular a projeção vertical da reta frontal encontrada.
TORNAR UMA RETA QUALQUER EM UMA RETA DE TOPO
Partindo do conhecimento da propriedade característica de uma reta de topo, que é, a projeção horizontal perpendicular a linha de terra e a projeção vertical reduzida a um ponto. Basicamente faremos o inverso do que fizemos no item anterior, ou seja, iniciaremos com uma MPH, para tornar a reta qualquer dada em uma reta horizontal, e na sequência faremos uma MPV a fim de tornar a reta horizontal encontrada em uma reta de topo. Lembrando sempre que, na MPH a nova linha de terra será paralela a projeção vertical da reta qualquer dada, e na MPV a nova linha de terra será perpendicular a projeção horizontal da reta horizontal encontrada.
Resumindo:
- Para tornar-se uma reta qualquer em uma reta de topo, realiza-se inicialmente uma MPH de modo a torna-la uma reta horizontal, ou seja, a nova linha de terra, será paralela a projeção vertical da reta dada;
- Na sequência faz-se uma MPV, de modo a tornar então a reta horizontal encontrada em de topo;
- Lembrando-se que a linha de terra do terceiro sistema, será perpendicular a projeção horizontal da reta horizontal encontrada no segundo sistema.
SITUAR UMA RETA DADA NO PLANO BISSETOR
Para levar uma reta dada, aos planos bissetores, realizando uma mudança de planos, é necessário o conhecimento das propriedades características de um ponto quando este pertence ao plano bissetor par (βp) ou ao plano bissetor ímpar (βi). Pois a partindo deste conhecimento, basta aplicar esse conhecimento adquirido no decorrer desta postagem para realizar essa mudança de plano. Vejamos:
Supondo que temos uma reta qualquer e queremos que a mesma situe-se no plano bissetor ímpar, basta fazer o mesmo que foi realizado na questão 06 do exercício proposto sobre mudanças de plano no estudo do ponto, nesta postagem, só que agora aplicado ao estudo da reta.
Então, será feita uma MPV. Para isso, inicialmente pega-se dois pontos da projeção horizontal da reta, e utilizando os mesmo como centro de um círculo, é feito em cada uma destas projeções, um círculo de raio igual a cota do ponto, por exemplo, na reta (r) dada com a projeção horizontal do ponto (A) sendo o centro, será feito um círculo de raio igual a cota do ponto (A) e analogamente faz-se o mesmo com o ponto (B).
Então a nova linha de terra terá que ser tangente aos dois círculos, fazendo-se assim, então é realizada a MPV, que irá situar a reta dada no plano bissetor ímpar.
A lógica por trás de tudo é: ao se fazer os círculos de raio igual a cota a partir das projeções horizontais de dois pontos da reta dada, e fazendo a nova linha de terra tangente a esses círculos, fazemos com que a distância dessa nova linha de terra a qualquer ponto da projeção horizontal da reta dada ser igual a cota do ponto analisado, ao se fazer uma MPV, a cota permanece a mesma, tanto em módulo como em sentido (sinal), no novo sistema. Com isso, todo e qualquer ponto da reta encontrada terão cota e afastamento iguais e isso é a característica de um ponto situado no bissetor ímpar, a consequência disto é que nova reta encontrada terá suas projeções simétricas em relação a nova linha de terra.
Para realizar uma MPV, em épura, traça-se da projeção horizontal do ponto uma linha de chamada perpendicular à nova linha de terra (π’1π) e marca-se a partir desta o valor da cota do ponto, de mesmo módulo e mesmo sinal.
Perceba que:
- A projeção horizontal do ponto permanece a mesma.
- A cota do ponto não se altera permanecendo a mesma do sistema inicial, em grandeza e sentido.
Mudança do Plano Horizontal (MPH)
Para realizar uma MPH, em épura, traça-se da projeção vertical do ponto uma linha de chamada perpendicular à nova linha de terra (π1π') e marca-se a partir desta o valor do afastamento do ponto, de mesmo módulo e mesmo sinal.
Perceba que:
- A projeção vertical do ponto permanece a mesma.
- A afastamento do ponto não se altera permanecendo o mesmo do sistema inicial, em grandeza e sentido.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01 - Dado o ponto (A){1; -2; -3}, situá-lo no 4º diedro no novo sistema.
02 - Dado o ponto (B){0; 3; 1}, situá-lo no semiplano vertical superior (π's) no novo sistema.
03 - Dado o ponto (A){-1; 2; 3}, situá-lo no 4º diedro no novo sistema.
04 - Dado o ponto (B){0; -2; 3}, situá-lo no semiplano horizontal posterior (πp) no novo sistema.
05 - Dado o ponto (C){2; 2; 4}, situá-lo no 3º diedro no novo sistema.
06 - Através de uma mudança de plano, situar o ponto (A){0; 2; 3} no plano bissetor ímpar (βi).
Consistem na modificação do sistema de representação, mantendo fixa a posição da figura no espaço.
Mudança do Plano Vertical de Projeção (MPV)
Neste caso, substituímos o plano vertical de projeção (π’) por um plano qualquer (π’1) de modo a se ter um outro sistema mongeano, logicamente, havendo uma mudança de plano teremos uma nova linha de terra, que neste caso passará de (ππ’) para (π’1π).
Assim, em épura temos:
Mudança do Plano Horizontal de Projeção (MPH)
Neste caso, substituímos o plano horizontal de projeção (π) por um plano qualquer (π1) de modo a se ter um outro sistema mongeano, assim como na MPV, na MPH teremos uma nova linha de terra, que neste caso passará de (ππ’) para (π1π’).
Em épura:
Agora aplicaremos a mudança de planos no Estudo do Ponto, da Reta e do Plano (clique nos links abaixo).
