No ajustamento de observações, é necessário estabelecer uma relação matemática entre as observações realizadas e as incógnitas que se deseja determinar. Essa relação é chamada de modelo funcional e representa a base do Método dos Mínimos Quadrados. Um modelo funcional bem definido permite descrever corretamente o comportamento do sistema e garantir a consistência do ajustamento.
Modelo Funcional no Método dos Mínimos Quadrados
Objetivos
- Compreender o conceito de modelo funcional.
- Relacionar observações e incógnitas por meio de equações matemáticas.
- Entender a forma matricial do modelo.
- Introduzir a necessidade de linearização.
- Preparar a base para a formulação paramétrica do MMQ.
1. Conceito de modelo funcional
O modelo funcional descreve a relação entre:
- observações ( L )
- incógnitas ( x )
Na forma geral:
Entretanto, como as observações contêm erros:
Em que:
- v = vetor de resíduos (correções às observações)
2. Forma matricial do modelo
Considerando ( n ) observações e ( u ) incógnitas:
O objetivo do ajustamento é determinar os valores de x que minimizam os resíduos.
3. Modelo linear
Se a função f(x) for linear:
então o modelo torna-se:
Em que:
- A = matriz de coeficientes (ou matriz de projeto)
- dimensão: n × u
Essa é a forma básica do modelo paramétrico linear.
4. Modelo não linear
Em muitos problemas geodésicos:
- distâncias
- direções
- coordenadas GNSS
A relação entre observações e incógnitas é não linear.
Nesse caso:
É linearizado em torno de um valor aproximado ( x_0 ):
Em que:
- Δx = correção das incógnitas
- A = matriz das derivadas parciais
Esse processo será estudado em detalhes nas próximas aulas.
5. Interpretação geométrica
O modelo funcional define:
- como cada observação depende das incógnitas
- a sensibilidade das observações às variações dos parâmetros
- a estrutura da matriz normal
Um modelo mal definido leva a:
- instabilidade
- matriz singular
- impossibilidade de ajustamento
6. Exemplo Resolvido
Deseja-se determinar o valor de uma distância ( x ) a partir de três observações: 100,012; 100,018; 100,010.
Modelo funcional:
Forma matricial:
Este é um modelo linear simples com:
O valor ajustado será a média das observações.
Resultado:
7. Exercício Proposto
Uma altura ( H ) foi determinada por quatro observações: 50,006; 50,010; 50,004; 50,008.
7.1 Resposta final esperada
8. Conclusão
O modelo funcional estabelece a relação matemática entre observações e incógnitas e constitui a base de todo o ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados. Sua correta definição é essencial para garantir a estabilidade e a consistência do processo.
⇾ Próxima Aula ⇽
