Ajustamento de Observações Geodésicas: Equações Normais e Solução pelo Método Clássico.

Após a formulação do critério dos mínimos quadrados, o próximo passo é determinar, de forma prática, os valores das incógnitas. Isso é feito por meio das equações normais, obtidas a partir da condição de minimização da soma ponderada dos quadrados dos resíduos. O método clássico consiste na formação e resolução direta dessas equações, sendo a base computacional do ajustamento paramétrico.

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Aula 021 – Equações Normais e Solução pelo Método Clássico

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Objetivos

1. Compreender o conceito de equações normais.
2. Formar a matriz normal.
3. Montar o sistema normal do ajustamento.
4. Resolver o sistema pelo método clássico.
5. Interpretar o significado físico da solução.

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1. Modelo linear do ajustamento

Partindo do modelo paramétrico:

ou:

O critério dos mínimos quadrados é:

2. Equações normais

A condição de mínimo conduz a:

Define-se:

Em que:

• N= matriz normal (u × u)

O sistema torna-se:

Esse é o sistema das equações normais.

3. Propriedades da matriz normal

A matriz (N) é:

• Simétrica.
• Positiva definida.
• Invertível (se houver redundância suficiente).

Isso garante solução única e estável.

4. Solução pelo método clássico

A solução é obtida por:

Etapas do método clássico:

• 1. Montar a matriz (A)
• 2. Definir a matriz de pesos (P)
• 3. Calcular (N = A^T P A)
• 4. Calcular o vetor (u = A^T P L)
• 5. Resolver o sistema:(N x = u )

5. Interpretação física

O método clássico:

• Combina todas as observações simultaneamente.
• Distribui os erros de forma ótima.
• Fornece o valor mais provável das incógnitas.

Observações com maior peso têm maior influência na solução.

6. Exemplo Resolvido

Determinar o valor ajustado de uma distância observada três vezes: 100,012; 100,018; 100,010.

Nota → Pesos iguais: P = I.

6.1 Passo 1 – Modelo

6.2 Passo 2 – Matriz normal

6.3 Passo 3 – Segundo membro

6.4 Passo 4 – Solução

6.5Passo 5 – Resíduos

7. Exercício Proposto

Uma altura foi observada quatro vezes: 50,006; 50,010; 50,004; 50,008. (Pesos iguais).

Determine o valor ajustado pelo método das equações normais.

7.1 Resposta final esperada

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8. Conclusão

As equações normais constituem a forma operacional do Método dos Mínimos Quadrados. O método clássico permite obter diretamente a solução do ajustamento, combinando todas as observações e fornecendo o valor mais provável das incógnitas.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Modelo Funcional no Método dos Mínimos Quadrados.

No ajustamento de observações, é necessário estabelecer uma relação matemática entre as observações realizadas e as incógnitas que se deseja determinar. Essa relação é chamada de modelo funcional e representa a base do Método dos Mínimos Quadrados. Um modelo funcional bem definido permite descrever corretamente o comportamento do sistema e garantir a consistência do ajustamento.

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Modelo Funcional no Método dos Mínimos Quadrados

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Objetivos

1. Compreender o conceito de modelo funcional.
2. Relacionar observações e incógnitas por meio de equações matemáticas.
3. Entender a forma matricial do modelo.
4. Introduzir a necessidade de linearização.
5. Preparar a base para a formulação paramétrica do MMQ.

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1. Conceito de modelo funcional

O modelo funcional descreve a relação entre:

• observações ( L )
• incógnitas ( x )

Na forma geral:

Entretanto, como as observações contêm erros:

Em que:

• v = vetor de resíduos (correções às observações)

2. Forma matricial do modelo

Considerando ( n ) observações e ( u ) incógnitas:

O objetivo do ajustamento é determinar os valores de x que minimizam os resíduos.

3. Modelo linear

Se a função f(x) for linear:

então o modelo torna-se:

Em que:

• A = matriz de coeficientes (ou matriz de projeto)
• dimensão: n × u

Essa é a forma básica do modelo paramétrico linear.

4. Modelo não linear

Em muitos problemas geodésicos:

• distâncias
• direções
• coordenadas GNSS

A relação entre observações e incógnitas é não linear.

Nesse caso:

É linearizado em torno de um valor aproximado ( x_0 ):

Em que:

• Δ_x = correção das incógnitas
• A = matriz das derivadas parciais

Esse processo será estudado em detalhes nas próximas aulas.

5. Interpretação geométrica

O modelo funcional define:

• como cada observação depende das incógnitas
• a sensibilidade das observações às variações dos parâmetros
• a estrutura da matriz normal

Um modelo mal definido leva a:

• instabilidade
• matriz singular
• impossibilidade de ajustamento

6. Exemplo Resolvido

Deseja-se determinar o valor de uma distância ( x ) a partir de três observações: 100,012; 100,018; 100,010.

Modelo funcional:

Forma matricial:

Este é um modelo linear simples com:

O valor ajustado será a média das observações.

Resultado:

7. Exercício Proposto

Uma altura ( H ) foi determinada por quatro observações: 50,006; 50,010; 50,004; 50,008.

a) Escreva o modelo funcional

b) Identifique ( A ), ( L ), ( n ) e ( u )

7.1 Resposta final esperada

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8. Conclusão

O modelo funcional estabelece a relação matemática entre observações e incógnitas e constitui a base de todo o ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados. Sua correta definição é essencial para garantir a estabilidade e a consistência do processo.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Derivação Matemática do Critério de Mínimos Quadrados.

No Método dos Mínimos Quadrados, a solução do problema de ajustamento é obtida a partir de um princípio de otimização. Esse princípio estabelece que os parâmetros devem ser determinados de forma a minimizar a soma ponderada dos quadrados dos resíduos. Nesta aula, é apresentada a derivação matemática desse critério, que conduz diretamente às equações normais do ajustamento paramétrico.

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Aula 020 – Derivação Matemática do Critério de Mínimos Quadrados

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Objetivos

1. Formular matematicamente o problema de mínimos quadrados.
2. Expressar os resíduos em função das incógnitas.
3. Construir a função objetivo do ajustamento.
4. Derivar a condição de mínimo.
5. Obter a equação fundamental do MMQ.

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1. Modelo linear de observações

Considere o modelo paramétrico linear:

Em que:

• L = vetor de observações (n × 1)
• v = vetor de resíduos
• A = matriz dos coeficientes (n × u)
• x = vetor de incógnitas (u × 1)

Isolando os resíduos:

2. Função objetivo

O critério dos mínimos quadrados estabelece que deve ser minimizada a soma ponderada dos quadrados dos resíduos:

Em que:

• P = matriz de pesos (simétrica e positiva definida)

Substituindo ( v ):

Essa função depende apenas das incógnitas x.

3. Expansão da função

Expandindo:

O último termo não depende de x e não influencia o mínimo.

4. Condição de mínimo

Para que a função seja mínima:

Derivando em relação a (x):

Dividindo por 2:

5. Equações normais

Definindo:

Obtém-se o sistema:

Se (N) for invertível:

Essa é a solução do Método dos Mínimos Quadrados.

6. Interpretação matemática

A derivação mostra que o MMQ é um problema de otimização quadrática.

Como:

• P é positiva definida.
• N = A^T P A também é positiva definida

A função Φ possui:

• Um único mínimo global.
• Solução única e estável.

7. Exemplo Resolvido

Três observações de uma distância (pesos iguais):

Modelo:

Como P = I:

• Passo 1 – Matriz normal

• Passo 2 – Segundo membro

• Passo 3 – Solução

8. Exercício Proposto

Quatro observações (pesos iguais): 50,006; 50,010; 50,004; 50,008. Determine o valor ajustado utilizando o critério dos mínimos quadrados.

8.1 Resposta Final Esperada

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9. Conclusão

A derivação do critério de mínimos quadrados mostra que a solução do ajustamento é obtida pela minimização da soma ponderada dos quadrados dos resíduos. Esse princípio conduz às equações normais, que constituem a base matemática de todo o ajustamento geodésico.

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Adjustment of Observations in Geodesy: Redundancy and Degrees of Freedom.

In geodetic adjustment, the reliability of results depends not only on measurement precision but also on the amount of available information. When the number of observations exceeds the number of unknowns, redundancy is introduced into the system. This redundancy allows error detection, quality control, and the application of the Least Squares Method.

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Lesson 05 – Redundancy and Degrees of Freedom

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Objectives

1. Understand the concept of redundancy in geodetic observations.
2. Define degrees of freedom.
3. Interpret the relationship between observations and unknowns.
4. Recognize the importance of redundancy for adjustment and quality control.
5. Apply the concept in simple practical situations.

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1. Observations and Unknowns

In a geodetic problem:

• n = number of observations
• u = number of unknown parameters

Three situations may occur:

Case	Condition	Interpretation
Underdetermined	n < u	Not enough information
Determined	n = u	Unique solution, no redundancy
Redundant	n > u	Extra information available

In practice, geodetic networks are designed so that:

2. Concept of Redundancy

Redundancy represents the excess of observations relative to the number of unknowns:

Where:

• r = redundancy (degrees of freedom)

This extra information allows:

• detection of gross errors
• reliability assessment
• statistical testing
• improved precision through adjustment

3. Degrees of Freedom

Degrees of freedom indicate how many independent residuals remain after adjustment.

Interpretation:

• Higher r → better reliability and control
• r = 0 → no redundancy, no statistical control

In Least Squares Adjustment, degrees of freedom are essential for:

• variance estimation
• quality tests
• reliability analysis

4. Example of Redundancy

A distance is measured four times to determine one unknown value.

The system has three degrees of freedom, allowing statistical evaluation of the measurements.

5. Importance in Geodesy

Redundancy is fundamental in:

• geodetic networks
• leveling lines
• traverse adjustment
• GNSS processing

Without redundancy:

• gross errors cannot be detected
• precision cannot be evaluated
• Least Squares cannot estimate variance

For this reason, redundancy is intentionally introduced during network design.

6. Solved Example

A leveling section includes:

• 6 height difference observations
• 2 unknown elevations

6.1 Interpretation:

• The system is redundant
• Four degrees of freedom are available for statistical analysis.

7. Proposed Exercise

A geodetic problem contains:

• 8 observations
• 3 unknown parameters

Determine:

a) Whether the system is redundant

b) The degrees of freedom

7.1 Answer

The system is redundant with five degrees of freedom.

8. Conclusion

Redundancy and degrees of freedom quantify the amount of extra information available in a geodetic adjustment. Systems with ( n > u ) allow error detection, precision evaluation, and reliable application of the Least Squares Method.

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