Ajustamento de Observações Geodésicas: Introdução à Matriz Variância–Covariância.

A partir desta aula iniciamos o bloco mais importante para a formulação matricial do Ajustamento de Observações. A matriz variância–covariância é a base para: construção da matriz de pesos (P), propagação de incertezas, precisão das coordenadas ajustadas, elipses de erro, análise de confiabilidade.

Aula 015 – Introdução à Matriz Variância–Covariância

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Objetivos da Aula

1. Compreender o conceito de variância em forma matricial.
2. Entender o que é covariância entre observações.
3. Construir a matriz variância–covariância das observações.
4. Interpretar o significado físico dos elementos da matriz.
5. Preparar o caminho para a matriz de pesos (P).

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1. Variância em forma escalar

Até agora trabalhamos com uma observação:

Para várias observações independentes:

Cada uma possui sua variância:

Para organizar isso de forma sistemática, usamos uma matriz.

2. Covariância entre observações

A covariância mede o grau de dependência entre duas observações:

Interpretação:

Covariância	Significado
σij = 0	Observações independentes
σij > 0	Tendem a variar no mesmo sentido
σij < 0	Tendem a variar em sentidos opostos

Na maioria dos levantamentos de campo, assume-se inicialmente:

3. Definição da Matriz Variância–Covariância

A matriz é definida como:

Em que:

• Diagonal → variâncias
• Fora da diagonal → covariâncias

4. Caso mais comum em Geodésia

Se as observações são independentes: Matriz diagonal.

Exemplo típico:

• Distâncias medidas independentemente.
• Ângulos medidos separadamente.
• Observações GNSS de sessões independentes.

5. Interpretação física

A matriz variância–covariância representa:

• A qualidade das observações.
• A confiança estatística em cada medida.
• A estrutura de dependência entre elas.

Ela é o equivalente matricial do conceito de precisão.

6. Relação com a matriz de pesos

A matriz de pesos é:

Ou seja:

• Variância grande → peso pequeno
• Variância pequena → peso grande

Se a matriz é diagonal:

7. Exemplo Resolvido

Um levantamento possui três observações independentes:

• Distância 1: σ₁ = 0,005 m
• Distância 2: σ₂ = 0,010 m
• Distância 3: σ₃ = 0,020 m

7.1 Passo 1 – Variâncias

7.2 Passo 2 – Matriz variância–covariância

7.3 Passo 3 – Matriz de pesos

7.4 Interpretação

A primeira observação é a mais precisa → maior peso.

8. Exemplo Proposto

Quatro observações independentes apresentam:

• σ₁ = 0,004 m
• σ₂ = 0,006 m
• σ₃ = 0,010 m
• σ₄ = 0,020 m

8.1 Determine:

a) A matriz variância–covariância Σ_L

b) A matriz de pesos P

8.2 Resposta Final Esperada

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9. Conclusão da Aula

• A matriz variância–covariância descreve completamente a precisão das observações.
• Os termos diagonais são variâncias; os demais são covariâncias.
• Para observações independentes, a matriz é diagonal.
• A matriz de pesos é o inverso da matriz variância–covariância.
• Este conceito é fundamental para o Método dos Mínimos Quadrados.

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Adjustment of Observations in Geodesy: Concept of Observation, Error and Uncertainty

Lesson 01 – Concept of Observation, Error and Uncertainty

This lesson introduces the fundamental concepts required to understand the adjustment of observations in Geodesy. Every measurement performed in the field contains errors and uncertainties. Understanding their nature is essential before applying the Least Squares Method.

1. What is an Observation?

In Geodesy, an observation is the numerical result of a physical measurement obtained using an instrument such as a GNSS receiver, total station, or level. Observations may represent distances, angles, height differences, or coordinates.

Mathematically, an observation can be expressed as:

L = L_true + e

where L is the observed value, L_true is the true value (unknown), and e is the observation error.

2. Types of Errors

2.1 Systematic Errors

Systematic errors follow a predictable pattern and usually have identifiable causes. Examples include instrument calibration errors, atmospheric effects, or incorrect scale factors. These errors affect accuracy and must be modeled or corrected.

2.2 Random Errors

Random errors are unpredictable variations caused by environmental conditions, instrument noise, or observational limitations. They follow a normal distribution and have zero mean. The Least Squares Method is designed to minimize their effect.

2.3 Gross Errors

Gross errors are large mistakes caused by human or operational failures, such as incorrect readings, data entry errors, or loss of signal. These errors must be detected and removed before adjustment.

3. Precision, Accuracy and Uncertainty

Precision describes the repeatability of measurements and is related to the dispersion of the observed values. Accuracy refers to the closeness of the observations to the true value. Uncertainty quantifies the level of confidence associated with a measurement result.

It is possible to have high precision and low accuracy when systematic errors are present.

4. Importance in Geodetic Adjustment

Because the true value is unknown, the goal of adjustment is to determine the most probable value of the measured quantity. This is achieved by combining redundant observations and minimizing the effect of random errors.

5. Solved Example

A distance between two geodetic points was measured four times, producing the following values in meters:

158,327    158,321    158,332    158,326

Step 1 – Mean value:

L = 158,3265 m

Step 2 – Standard deviation:

σ ≈ 0,0043 m

Step 3 – Standard error of the mean:

m = σ / √n = 0,0021 m

Final result:

L = 158,3265 ± 0,0021 m

6. Proposed Exercise

The following distance measurements in meters were obtained:

158,406    158,403    158,410    158,405    158,402

Calculate:

a) The mean value
b) The standard deviation
c) The standard error of the mean

Expected final result:

L = 158,4052 ± 0,0030 m

7. Conclusion

All geodetic observations contain errors. Understanding the nature of systematic, random, and gross errors is essential for reliable data processing. Redundant measurements allow the estimation of the most probable value and its associated uncertainty, forming the foundation of the Least Squares Adjustment.

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Course: Adjustment of Observations in Geodesy.

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Adjustment of Observations in Geodesy

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Module 1 – Fundamentals of Observation Adjustment

1. Concept of observation, error, and uncertainty
2. Types of errors: systematic, random, and gross errors
3. Statistical principles applied to observations
4. Accuracy, precision, and trueness concepts
5. Observation redundancy and degrees of freedom
6. Mean errors, standard deviation, and variance
7. Error propagation (Gauss’ Law)
8. Introduction to adjustment of observations
9. General structure of an adjustment problem

Module 2 – Statistics Applied to Geodesy

10. Normal distribution and the Gaussian curve
11. Hypothesis testing applied to observations
12. Chi-square (χ²) test for variance
13. Student’s t-test for individual residuals
14. Difference tests and quality control
15. Introduction to the variance–covariance matrix
16. Properties of variance–covariance matrices
17. Covariance and correlation between observations
18. Construction of the weight matrix (P)

Module 3 – Introduction to the Least Squares Method

19. Concept and fundamentals of Least Squares
20. Mathematical derivation of the Least Squares criterion
21. Normal equations and classical solution
22. Matrix formulation of Least Squares
23. Observability conditions and redundancy
24. Geometric interpretation of adjustment
25. Introduction to the Parametric Method
26. Application to geometric leveling
27. Complete leveling adjustment example

Module 4 – Parametric Method in Geodesy

28. Functional model of the parametric approach
29. Coordinate determination from linear observations
30. Traverse adjustment
31. Adjustment of simple planar networks
32. Adjustment of vertical networks
33. GNSS network adjustment (3D coordinates)
34. Adjustment with constraints
35. Residual analysis and quality control
36. Complete adjustment of a geodetic network

Module 5 – Conditional (Correlate) Method

37. Concept and formulation of the conditional method
38. Functional model for condition equations
39. Observation conditions and constraint equations
40. Construction of the coefficient matrix
41. Adjustment of geodetic triangles
42. Adjustment of direction sets
43. Application to height networks with fixed benchmarks
44. Comparison between parametric and conditional methods
45. Complete example using the conditional method

Module 6 – Combined Method

46. Concept and advantages of the combined method
47. General functional model formulation
48. Geometric interpretation of the combined method
49. Solution of combined normal equations
50. Application to constrained GNSS networks
51. Adjustment of integrated networks (horizontal + vertical)
52. Residual analysis in the combined method
53. Example of a 2D+1D network adjustment
54. GNSS leveling combined adjustment exercise

Module 7 – Advanced Applications

55. Adjustment of GPS pseudorange observations
56. Adjustment of carrier phase observations
57. Differential GNSS adjustment (base–rover)
58. Multi-sensor adjustment (GNSS + Total Station)
59. Adjustment of large geodetic networks
60. Adjustment of geocentric reference networks (e.g., SIRGAS)
61. Gross error detection through residual analysis
62. Global test for model consistency
63. Practical example with simulated GNSS network

Module 8 – Computational Implementation

64. Structuring adjustment problems in spreadsheets
65. Use of scientific software (MATLAB, Python, Scilab)
66. Matrix programming for Least Squares
67. Automatic assembly of normal equations
68. Solution using Cholesky decomposition
69. Solution using QR decomposition
70. Numerical stability analysis
71. Interpretation of results (variance, residuals, weights)
72. Complete computational example

Module 9 – Quality Assessment of Geodetic Networks

73. Quality control of geodetic networks
74. Internal and external reliability
75. Local and global redundancy
76. Deformation analysis between epochs
77. Displacement detection in monitoring networks
78. Time series adjustment
79. Accuracy assessment of 3D networks
80. Observation planning for geodetic surveys
81. Monitoring network adjustment example

Module 10 – Synthesis and Advanced Projects

82. Review of parametric, conditional, and combined methods
83. Comparison of adjustment methods
84. Selection of the appropriate functional model
85. Adjustment of integrated GNSS and leveling networks
86. Integration of local networks into global reference systems
87. Adjustment with heterogeneous weights
88. Uncertainty propagation to mapping products
89. Final project: complete network adjustment
90. Final project analysis and statistical evaluation

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Controle de Qualidade Preliminar das Observações.

Controle de Qualidade Preliminar das Observações

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Objetivos da Aula

1. Entender a importância da verificação das observações antes do ajustamento.
2. Identificar inconsistências grosseiras por métodos simples.
3. Aplicar critérios práticos de controle em dados geodésicos.
4. Preparar os dados para um ajustamento estatisticamente confiável.

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1. Por que fazer controle preliminar?

Antes de aplicar o Método dos Mínimos Quadrados, é necessário verificar se os dados:

• Não contêm erros grosseiros evidentes.
• Estão coerentes com a precisão esperada.
• Não apresentam inconsistências sistemáticas.
• Possuem redundância adequada.

Sem essa etapa:

• o ajustamento pode “absorver” erros grosseiros.
• os testes estatísticos posteriores podem ser comprometidos.
• o resultado final pode ser enviesado.

2. Tipos de verificações preliminares

2.1 Inspeção numérica direta

Consiste em analisar:

• Valores muito diferentes dos demais.
• Sinais incoerentes.
• Ordens de grandeza incompatíveis.

Exemplo: Distâncias observadas.

• 152,334 m; 152,329 m; 152,331 m; 162,327 m

O último valor é claramente suspeito.

2.2 Verificação de limites instrumentais

Cada instrumento possui uma precisão teórica.

Se:

→ observação suspeita.

Esse critério é baseado na distribuição normal:

• 99,73% dos valores devem estar dentro de ±3σ.

2.3 Fechamentos geométricos

Muito usado em:

• Nivelamento.
• Poligonais.
• Redes fechadas.

2.3.1 Exemplo – Poligonal

Erro angular:

Se o erro exceder o limite:

→ observações devem ser revisadas.

2.4 Diferença ida–volta (nivelamento)

Se:

→ possível erro grosseiro.

3. Critério estatístico preliminar (teste de dispersão)

Se houver observações repetidas:

1. Calcular média:

2. Calcular desvio padrão:

3. Verificar:

Valores fora desse intervalo são candidatos a erro grosseiro.

4. Importância para o MMQ

O controle preliminar garante que:

• Os resíduos representem apenas erros aleatórios.
• O teste χ² seja válido.
• O teste t identifique corretamente erros remanescentes.
• A variância a posteriori não seja inflada.

Em termos práticos: O MMQ não substitui a verificação de campo.

5. Exemplo Resolvido

Foram observadas cinco distâncias (m):

• 152,334; 152,329; 152,331; 152,335; 152,348.

Passo 1 – Média

Passo 2 – Desvio padrão

Passo 3 – Limite 3σ

Intervalo aceitável:

Passo 4 – Verificação

O valor 152,348 está dentro do intervalo.

Nenhum valor é considerado erro grosseiro.

6. Exemplo Proposto

Observações de um desnível (m):

• 1,324; 1,326; 1,323; 1,325; 1,352.

Determine:

• 1. A média.
• 2. O desvio padrão.
• 3. Verifique pelo critério 3σ se existe erro grosseiro.

6.1 Resposta Final Esperada

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7. Conclusão da Aula

• O controle preliminar evita que erros grosseiros contaminem o ajustamento.
• Métodos simples (média, 3σ, fechamentos) são extremamente eficazes.
• O MMQ deve ser aplicado apenas a dados previamente verificados.
• Esta etapa é prática obrigatória em campanhas geodésicas.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Teste de Diferenças e Avaliação de Consistência entre Observações.

Vamos prosseguir para a Aula 014, uma aula fundamental para entender consistência local entre observações, importante especialmente em nivelamentos, poligonais e redes com redundância.

Aula 014 – Teste de Diferenças e Avaliação de Consistência entre Observações

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Objetivos da Aula

1. Entender como comparar observações entre si para verificar consistência.
2. Aprender a usar diferenças como ferramenta estatística.
3. Relacionar diferenças a redundância local e detecção preliminar de erros.
4. Aplicar testes simples antes do ajustamento e após o ajustamento.

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1. Por que trabalhar com diferenças?

Antes mesmo de aplicar testes formais como χ² e t, analisar diferenças entre observações redundantes permite identificar:

• Inconsistências óbvias.
• Erros grosseiros.
• Falhas instrumentais.
• Observações destoantes.
• Erros de anotação.

O método é rápido, simples e extremamente útil em campo.

2. Diferença entre observações repetidas

Se medimos uma mesma grandeza duas vezes:

A diferença é:

Se as observações forem consistentes, espera-se que:

3. Incerteza da diferença

Se cada observação possui desvio padrão σ, assumindo independência:

Com isso, podemos testar:

Em que, (k) é normalmente 2 (aprox. 95% de confiança).

4. Teste formal da diferença

Hipóteses:

Estatística:

Comparar com:

Se violar → diferença inconsistente.

5. Diferenças múltiplas

Se há três observações da mesma grandeza:

Avaliam-se todas as diferenças:

A consistência triangular é uma poderosa ferramenta de pré-ajustamento.

6. Diferenças em poligonais e nivelamentos

6.1 Exemplos reais:

• Poligonais

Diferença entre ângulos medidos por dois métodos.

• Nivelamento

Diferença entre desníveis ida/volta:

Quanto menor essa diferença → maior a confiabilidade.

7. Exemplo Resolvido

Duas medições de desnível entre A e B foram realizadas:

• L₁ = 1,324 m

• L₂ = 1,318 m

Precisão teórica do nível:

• Passo 1 — Diferença

• Passo 2 — Incerteza da diferença

• Passo 3 — Estatística t

Comparando com t_crítico = 2,0: 2,12 > 2,0

→ A diferença é suspeita, indicando possível erro grosseiro em uma das observações.

8. Exemplo Proposto

Duas observações de uma mesma distância:

• L₁ = 152,327 m

• L₂ = 152,331 m

Precisão teórica do distanciômetro:

Pergunta: As observações são consistentes ao nível de 95%?

8.1 Resposta Final Esperada

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9. Conclusão da Aula

• Diferenças são uma ferramenta simples, rápida e eficaz para detectar inconsistências.
• O teste avaliando Δ_L / σ_ΔL utiliza o mesmo princípio do teste t.
• A análise de diferenças é crucial antes do ajustamento e em campo.
• Diferenças também são parte da confiabilidade local no MMQ.

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