As redes altimétricas são constituídas por pontos cujas altitudes são determinadas a partir de observações de desníveis obtidas, principalmente, por nivelamento geométrico. Em uma rede real, um mesmo ponto pode ser determinado por diferentes percursos, produzindo observações redundantes. Como consequência, pequenas discrepâncias surgem devido aos erros aleatórios inerentes às medições. O Método dos Mínimos Quadrados permite distribuir esses erros de forma estatisticamente consistente, produzindo altitudes ajustadas para todos os pontos da rede.
Nesta aula será desenvolvido um exemplo completo de ajustamento de uma rede altimétrica simples utilizando o método paramétrico.
Aula 032 – Ajustamento de Redes Altimétricas
Objetivos
- Compreender a estrutura de uma rede altimétrica.
- Formular o modelo funcional paramétrico.
- Construir corretamente a matriz (A).
- Determinar o número de graus de liberdade da rede.
- Aplicar as equações normais para o ajustamento.
1. Conceito de rede altimétrica
Uma rede altimétrica é formada por um conjunto de pontos ligados por observações de diferenças de nível. Exemplo:
Em que:
- A possui altitude conhecida.
- B e C possuem altitudes desconhecidas.
As observações são:
- A → B
- A → C
- B → C
Como existem três observações para apenas duas incógnitas, a rede possui redundância.
2. Dados do problema
Altitude conhecida: HA = 100,000 m.
Observações:
3. Coordenadas altimétricas preliminares
A partir das observações de A:
- Ponto B
- Ponto C
4. Verificação da redundância
Pela observação entre B e C:
Utilizando as altitudes preliminares:
Entretanto, foi observado:
Logo existe uma discrepância de:
Essa incompatibilidade decorre dos erros aleatórios das observações.
5. Modelo funcional
As equações observacionais são:
- A → B
Como (HA) é conhecido:
- A → C
- B → C
6. Vetor das incógnitas
As incógnitas são:
7. Construção da matriz (A)
A ordem das incógnitas será:
- Observação A → B
Linha:
- Observação A → C
Linha:
- Observação B → C
Linha:
7.3 Matriz completa
8. Vetor (l)
Escrevendo o modelo na forma:
Obtém-se:
9. Número de observações e redundância
Número de observações: n = 3
Número de incógnitas: u = 2
Graus de liberdade: r = n - u = 3 - 2 = 1
Como: n > u. A rede pode ser ajustada pelo Método dos Mínimos Quadrados.
10. Formação das equações normais
Considerando pesos iguais:
As equações normais são:
10.1 Matriz transposta
10.2 Cálculo de (AT A)
10.3 Cálculo de (AT l)
Assim, o sistema normal torna-se:
11. Resolução do sistema
O sistema é:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Substituindo esse valor na primeira equação:
12. Altitudes ajustadas
13. Verificação dos resíduos
- Observação A → B
Desnível ajustado:
Resíduo:
- Observação A → C
Desnível ajustado:
Resíduo:
- Observação B → C
Desnível ajustado:
Resíduo:
Os resíduos são pequenos e equilibrados, indicando que o ajustamento distribuiu adequadamente as discrepâncias entre as observações.
14. Exercício Proposto
Considere: HA = 250,000 m.
Observações:
Determine:
a) as altitudes preliminares de (B) e (C).
b) a matriz (A).
c) o número de graus de liberdade da rede.
14.1 Resposta final esperada
15. Conclusão
O ajustamento de redes altimétricas utiliza o método paramétrico para estimar as altitudes mais prováveis dos pontos a partir de observações redundantes de desníveis. A formulação do modelo funcional, a construção da matriz (A) e a resolução das equações normais permitem distribuir os erros de observação de forma estatisticamente consistente, garantindo maior confiabilidade às altitudes ajustadas.
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