Adjustment of Observations in Geodesy: Mean Errors, Standard Deviation, and Variance.

In geodetic measurements, repeated observations are used to reduce the influence of random errors and to estimate the precision of the results. Statistical indicators such as mean error, variance, and standard deviation allow surveyors and geodesists to evaluate the quality of observations and quantify their uncertainty. These measures form the statistical basis for the Least Squares Adjustment.

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Lesson 06 – Mean Errors, Standard Deviation, and Variance

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Objectives

1. Understand the concept of mean error in observations.
2. Compute variance and standard deviation.
3. Interpret the dispersion of measurements.
4. Relate statistical indicators to measurement precision.
5. Apply these concepts to repeated geodetic observations.

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1. Mean Error of Observations

In repeated measurements, each observation differs slightly from the true value due to random errors.

The mean error represents the expected magnitude of these random deviations.

For a set of residuals v_i, the mean square error is related to the variance of the observations.

2. Variance

Variance measures the dispersion of the observations around the mean.

Where

• s² = variance
• v_i = residuals
• n = number of observations

A smaller variance indicates higher precision.

3. Standard Deviation

The standard deviation is the square root of the variance:

Interpretation:

• small standard deviation → high precision
• large standard deviation → low precision

In geodetic practice, standard deviation is the most commonly used indicator of measurement precision.

4. Relationship Between Residuals and Precision

Residuals represent the differences between observations and the estimated value.

These residuals are used to compute variance and standard deviation.

The smaller the residuals, the better the consistency of the observations.

5. Importance in Geodesy

Variance and standard deviation are essential for:

• evaluating measurement precision
• defining observation weights
• assessing the reliability of geodetic networks
• performing statistical tests in adjustment

These indicators are used extensively in leveling, GNSS processing, and network adjustment.

6. Solved Example

Repeated distance measurements (meters): 125.334; 125.338; 125.331; 125.336; 125.335.

• Step 1 – Mean value

• Step 2 – Residuals

Observation	Residual
125.334	-0.0008
125.338	0.0032
125.331	-0.0038
125.336	0.0012
125.335	0.0002

• Step 3 – Variance

• Step 4 – Standard deviation

7. Proposed Exercise

Repeated angle observations (seconds): 32.418; 32.421; 32.416; 32.420.

Determine:

a) Mean value

b) Variance

c) Standard deviation

7.1 Answer

• Mean ≈ 32.4188
• Variance ≈ 0.0000048
• Standard deviation ≈ 0.0022

8. Conclusion

Mean error, variance, and standard deviation are fundamental statistical indicators for evaluating the precision of geodetic observations. These measures quantify the dispersion of measurements and provide the statistical basis for the Least Squares Adjustment.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Condições de Observabilidade e Redundância.

Em um ajustamento geodésico, nem sempre é possível determinar todas as incógnitas a partir das observações disponíveis. Para que o Método dos Mínimos Quadrados produza uma solução única e confiável, é necessário que o sistema satisfaça condições matemáticas específicas. Essas condições estão relacionadas à observabilidade dos parâmetros e ao nível de redundância do sistema.

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Aula 023 – Condições de Observabilidade e Redundância

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Objetivos

1. Compreender o conceito de observabilidade.
2. Identificar quando um parâmetro é ou não determinável.
3. Relacionar observabilidade ao posto da matriz A.
4. Entender a relação entre observabilidade e redundância.
5. Analisar a estabilidade do ajustamento.

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1. Conceito de observabilidade

Um parâmetro é observável quando pode ser determinado de forma única a partir das observações. Matematicamente, isso significa que as observações fornecem informação independente suficiente sobre esse parâmetro.

Se um parâmetro não for observável:

• Não pode ser estimado.
• O sistema terá infinitas soluções.
• A matriz normal será singular.

2. Condição matricial de observabilidade

No modelo linear:

A condição fundamental é:

Em que:

• u = número de incógnitas.

Se o posto for menor:

Então:

• Há dependência linear entre as colunas de A.
• Alguns parâmetros não são observáveis.

3. Relação com a matriz normal

A matriz normal é:

Se os parâmetros forem observáveis:

• N é inversível.

Caso contrário:

• |N| = 0
• O sistema é singular.
• O ajustamento não pode ser resolvido sem restrições adicionais.

4. Redundância do sistema

A redundância é dada por:

Em que:

• n = número de observações
• u = número de incógnitas

Condições:

• r > 0: sistema redundante (desejável)
• r = 0: sistema determinado (sem controle)
• r < 0: sistema indeterminado

Observabilidade e redundância são conceitos diferentes:

• observabilidade → independência das colunas de A
• redundância → excesso de observações

Um sistema pode ter r > 0 e ainda assim ser não observável se houver dependência linear.

5. Interpretação geodésica

Problemas típicos de não observabilidade:

• Rede livre sem datum.
• Ausência de ponto fixo em coordenadas.
• Medições insuficientes para separar parâmetros.
• Observações que fornecem a mesma informação repetida.

Exemplo clássico: Uma rede planimétrica sem fixação permite translação e rotação livres.

6. Exemplo Resolvido

Deseja-se determinar duas incógnitas x e y.

Observações:

Forma matricial:

• Passo 1 – Redundância

O sistema é redundante.

• Passo 2 – Verificação do posto

As linhas são múltiplas entre si. Logo:

Conclusão:

• Apenas a soma x + y é observável.
• Os valores individuais de x e y não podem ser determinados.
• O sistema é não observável.
• A matriz normal é singular.

7. Exercício Proposto

Considere:

Determine:

a) n, u e r.

b) Se o sistema é observável.

7.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão

A observabilidade garante que todos os parâmetros possam ser determinados de forma única, enquanto a redundância fornece controle estatístico e confiabilidade ao ajustamento. Para um ajustamento geodésico estável, é necessário que a matriz (A) tenha posto completo e que o sistema possua redundância positiva.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Interpretação Geométrica do Método dos Mínimos Quadrados.

O Método dos Mínimos Quadrados não é apenas um procedimento algébrico, mas também possui uma interpretação geométrica clara. Essa interpretação ajuda a compreender por que o método produz a melhor solução possível para sistemas redundantes. Nesta aula, o ajustamento é analisado como um problema de projeção em espaços vetoriais, fornecendo uma visão mais profunda do comportamento dos resíduos e das equações normais.

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Interpretação Geométrica do Método dos Mínimos Quadrados

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Objetivos

1. Compreender a interpretação geométrica do MMQ.
2. Entender o conceito de espaço das observações.
3. Interpretar a solução como uma projeção.
4. Compreender a ortogonalidade dos resíduos.
5. Relacionar a interpretação geométrica às equações normais.

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1. Espaço das observações

Considere o modelo matricial:

Ou:

O vetor L pertence ao espaço ℝⁿ, chamado de espaço das observações.

As colunas da matriz A formam um subespaço desse espaço, chamado de:

Ou espaço coluna de A.

Esse subespaço contém todos os vetores que podem ser representados como:

2. O problema geométrico

Devido aos erros de observação, em geral:

Ou seja, não existe um vetor x que satisfaça exatamente:

O objetivo do MMQ é encontrar o vetor:

Que esteja no subespaço S(A) e seja o mais próximo possível de L.

3. Projeção ortogonal

A solução do MMQ corresponde à projeção ortogonal do vetor L sobre o subespaço coluna de A.

Geometricamente:

• L = vetor observado
• Ax̂ = vetor ajustado
• v = Ax̂ - L = vetor de resíduos

O vetor de resíduos é perpendicular ao subespaço:

No caso de pesos unitários:

Essa é exatamente a condição das equações normais.

4. Interpretação da minimização

Minimizar:

Significa minimizar o comprimento (ponderado) do vetor de resíduos.

Assim, o MMQ encontra o ponto do subespaço que está à menor distância de L.

5. Caso simples (pesos unitários)

Se P = I, a projeção é euclidiana:

A matriz:

é chamada de matriz de projeção.

Ela transforma o vetor observado no vetor ajustado.

6. Exemplo Resolvido

Observações:

Modelo:

O subespaço gerado por A é a reta onde todos os valores são iguais.

A projeção de L nesse subespaço é:

Resíduos:

Observa-se que:

ou seja, os resíduos são ortogonais ao vetor coluna de A.

7. Exercício Proposto

Observações:

Sabendo que o modelo é:

Determine:

a) o vetor ajustado (\hat{L})

b) o vetor de resíduos

7.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão

A interpretação geométrica do MMQ mostra que o ajustamento corresponde à projeção ortogonal das observações sobre o espaço gerado pelo modelo. Essa visão explica a minimização dos resíduos e a condição de ortogonalidade expressa pelas equações normais.

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Fala galera do Blogger, beleza?. Então, dando continuidade ao nosso conteúdo sobre Topografia, hoje vamos abordar o roteiro para o cálculo de uma poligonal enquadrada, pelo método analítico. Mas, antes, vamos aquela velha revisão.

Pois bem, na postagem "Topografia - Levantamento Planimétrico: Poligonação", vimos que as poligonais topográficas podem ser de três tipos:

1. Fechadas - Que permitem o cálculo, verificação e correção de erros angulares e lineares.
2. Enquadradas - Que permitem o cálculo, verificação e correção de erros angulares e lineares.
3. Abertas - Que não permitem o cálculo, verificação e correção de erros angulares e lineares.

Assim, na postagem anterior, realizamos todo o processo de cálculo, verificação correções de erros para uma poligonal fechada. Hoje, vamos abordar a matemática envolvida para o cálculo de erros e ajustes de uma poligonal enquadrada.

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Topografia - Roteiro para o cálculo de uma poligonal enquadrada

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De forma resumida, o roteiro para o cálculo de uma poligonal topográfica enquadrada consiste em:

1. Cálculo do erro angular, verificação da tolerância e correção do erro angular.
2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.
3. Cálculo das projeções relativas.
4. Cálculo do erro linear e verificação da tolerância.
5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.
6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse.
7. Cálculo dos azimutes corrigidos e cálculo dos lados corrigidos.

Então, a melhor forma de se aprender Topografia é realizando cálculos na prática, dito isso vamos ao exemplo de hoje:

Exemplo: (VERAS, 1997). Foi realizado um levantamento topográfico a partir do método poligonação (poligonal enquadrada, com medição de ângulos horizontais horários) conforme croqui apresentado. Os resultados das medições em campo encontram-se no caderneta de campo apresentada.

OBS: Para o presente exemplo, iremos desconsiderar os cálculos das tolerâncias, tanto angular como linear. Detalhes sobre esses cálculos podem ser vistos AQUI!!

Então, vamos lá.

1. Cálculo do erro angular, verificação da tolerância e correção do erro angular.

O erro angular em uma poligonal enquadrada é determinado por:

Em que:

• Az_{final_𝐶𝑎𝑙} = Azimute final cálculado pelos ângulos medidos.

• Az_final = Azimute final conhecido.

Desta forma, a primeira ação a ser realizada é o cálculo do azimute final pelas duas formas.

a) Cálculo do Azimute Final

Observem que, o caminhamento desta poligonal se inicia de B para A, na sequência para M₁, M₂, ..., M₁₀, I e J. No entanto o azimute dado na questão é de A para B. Destar forma precisamos calcular o azimute inicial do caminhamento. Mas, vejam que, como não temos as coordenadas do ponto B, não é possível aplicar a formulação do Rumo para determinar este azimute, no entanto, aqui, basta aplicarmos o conceito de contra-azimute. Que basicamente indica a direção oposta de um azimute conhecido.

Assim, facilmente calculamos o Azimute de B para A.

Az_inicial = Az_AB + 180° = 320°50'46" + 180° = 500°50′46" − 360° = 140° 50'46"

Agora iremos calcular os somátório dos ângulos medidos em campo:

Σ_α = 173°58’32” + 182°40’30” + 139°56’00” + … + 109°02’00” + 196°00’00” + 217°41’26” + 110°57’00”
Σ_α = 2063°39'33"
De posse dessas informações, agora podemos calcular o azimute final:

Az_{final_𝐶𝑎𝑙} = 140°50'46" + 2063°39'33" - 12 x 180° = 44°30'19"
Alguns mais curiosos devem estar se perguntando: "Como assim Deniezio, pq só 12 o número de vertices?" A resposta é simples, tanto o ponto B como o ponto J, serviram apenas de apoio, no caso o instrumento (estação total/teodolito) não foi estacionado sobre eles.

b) Cálculo do erro angular.

O erro angular em uma poligonal enquadrada é dado por:

Assim:

E_a = 44°30'19"− 44°31'08" = -00°00'49"
c) Correção angular.

De posse do erro angular, a próxima etapa é a determinação da correção angular, ou seja, é determinar o quanto será compensado, igualmente, em cada ângulo, afim de eliminar o erro angular.

C_a = - (-49" / 12) = 4,08"
d) Ângulos horizontais corrigidos.

Para determinar os ângulos corrigidos, basta somar a cada ângulo medido em campo o valor da correção (4,08").

Desta forma temos:

2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.

Já é de nosso conhecimento que, em trabalhos com poligonais topográficas, o azimute de um alinhamento é determinado pelo azimute do alinhamento anterior e o ângulo horizontal medido conforme a equação:

Assim:</>

3. Cálculo das projeções relativas

O cálculo das projeções relativas estabelece a relação entre os azimutes dos alinhamentos e as distâncias obtidas em campo. Admitindo que o levantamento esteja orientado em relação ao norte magnético ou ao norte verdadeiro, essa direção é adotada como coincidente com o eixo das ordenadas (Y). Consequentemente, o eixo das abscissas (X) é definido perpendicular a esse, formando um sistema de eixos cartesianos ortogonais.

Substituindo para os valores que temos:

4. Cálculo do erro linear (E_L) e verificação da Tolerância Linear

4.1 Erro linear

Assim:

∆_x = 1.897,247 – (17.476,084 – 15.578,475)= −0,362 m ∆_y = −1.003,372 – (1.458,035 – 2.463,107) = 1,700 m

5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas

5.1 Correções das projeções

Desta forma:

5.2 Projeções corrigidas

Substituindo

6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse

6.1 Coordenadas dos vértices

7. Cálculo dos azimutes corrigidos e distâncias corrigidas

Fica como dever de casa...

Referências

ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
SILVA, Irineu da; SEGANTINE, Paulo Cesar Lima. C. L. Topografia para engenharia: Teoria e prática de geomática. São Paulo: Ed. Elsevier, 2015.
TULER, M.; SARAIVA, S. Fundamentos de Topografia. Porto Alegre: Bookman, 2014.
VEIGA, L. A. K; Zanetti, M. A. Z; FAGGION, P. L. Fundamentos de Topografia. Universidade Federal do Paraná, 2007.
VERAS, R. C. Topografia roteiro para cálculo de Poligonal. 54 pag. – 1ª ed. 1997 – EDUFPI – Teresina.

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