CÁLCULO - POLIGONAL APOIADA

MEMORIAL DE CÁLCULO - POLIGONAL APOIADA.

DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

Dados:

Az_AB = 320°50’46”
X_A = 15578,475 m; Y_A = 2463,107 m

Az_IJ = 44°31’08”
X_I = 17476,084 m; Y_I = 1458,035 m
Dados de Campo:

ESTAÇÃO	PONTO VISADO		ÂNGULO HORIZONTAL	DISTÂNCIA (m)
	Ré	Vante
B	Norte	A
A	B	M1	173°58'32"	330,97
M1	A	M2	182°40'30"	104,43
M2	M1	M3	182°40'30"	189,78
M3	M2	M4	139°56'00"	313,52
M4	M3	M5	146°20'35"	166,66
M5	M4	M6	194°19'00"	755,47
M6	M5	M7	61°57'30"	293,23
M7	M6	M8	226°16'00"	470,28
M8	M7	M9	109°02'00"	290,86
M9	M8	M10	196°00'00"	213,99
M10	M9	I	217°41'26"	156,14
I	M10	J	110°57'00"

SOLUÇÃO
Cálculo do Erro Angular. (E_a)

E_a = Az_final - Az_IJ

Az_f = 140°50’46” + (173°58’32” + 182°40’30” + 139°56’00” + 146°20’35” + 194°19’00” + 304°19’00” + 61°57’30” + 226°16’00” + 109°02’00” + 196°00’00” + 217°41’26” + 110°57’00”) – (12 * 180°)
Az_f = 140°50’46” + 2063°39’33” – 2160°00’00”
Az_f = 44°30’19”
E_a = 44°30’19” – 44°31’08”
E_a = – 00°00’49”

Cálculo da Tolerância Angular. (T_a)

T_a = ± 2’ * n^0,5
T_a = ± 2’ * 12^0,5
T_a = ± 6,93’

Condição para a distribuição do erro angular : E_a ≤ T_a

00°00’49” ≤ 6,93’
Cálculo da Correção Angular por Vértice. (C_a)

C_a = -((E_a)/n) C_a = – ((– 00°00’49”)/12)
C_a = 00°00’4,08”

Cálculo dos Ângulos Corrigidos por Vértice. (A_n)

A_n = Â_a + C_a

A = 173°58’32” + 00°00’4,08” = 173°58’36,08”
M₁ = 182°40’30” + 00°00’4,08” = 182°40’34,08”
M₂ = 139°56’00” + 00°00’4,08” = 139°56’4,08”
M₃ = 146°20’35” + 00°00’4,08” = 146°20’39,08”
M₄ = 194°19’00” + 00°00’4,08” = 194°19’4,08”
M₅ = 304°19’00” + 00°00’4,08” = 304°31’4,08”
M₆ = 61°57’30” + 00°00’4,08” = 61°57’34,08”
M₇ = 226°16’00” + 00°00’4,08” = 226°16’4,08”
M₈ = 109°02’00” + 00°00’4,08” = 109°02’4,08”
M₉ = 196°00’00” + 00°00’4,08” = 196°00’4,08”
M₁₀ = 217°41’26” + 00°00’4,08” = 217°41’30,08”
M_I = 110°57’00” + 00°00’4,08” = 110°57’4,08”

Cálculo dos Azimutes. (Az)

Az_n = Az_n-1 + α_n ± 180°
Az_final = Az_inicial + ∑α_i – (n*180°)
Az_inicial = Az_BA = Az_AB – 180°

Az_BA = 320°50’46” – 180°
Az_BA = 140°50’46”

Az_BA = 140°50’46”
Az_AM1 = 140°50’46” + 173°58’36,08” ± 180° = 134°49’22,08”
Az_M1M2 = 134°49’22,08” + 182°40’3408” ± 180° = 137°29’56,17”
Az_M2M3 = 137°29’56,17” + 139°56’4,08” ± 180° = 97°26’0,25”
Az_M3M4 = 97°26’0,25” + 146°20’39,08” ± 180° = 63°46”39,33”
Az_M4M5 = 63°46”39,33” + 194°19’4,08” ± 180° = 78°05’43,42”
Az_M5M6 = 78°05’43,42” + 304°31’4,08” ± 180° = 202°36’47,50”
Az_M6M7 = 202°36’47,50” + 61°57’34,08” ± 180° = 84°34’21,58”
Az_M7M8 = 84°34’21,58” + 226°16’4,08” ± 180° = 130°50’25,67”
Az_M8M9 = 130°50’25,67” + 109°02’4,08” ± 180° = 59°52’29,75”
Az_M9M10 = 59°52’29,75” + 196°00’4,08” ± 180° = 75°52’33,83”
Az_M10I = 75°52’33,83” + 217°41’30,08” ± 180° = 113°34’3,92”
Az_IJ = 113°34’3,92” + 110°57’4,08” ± 180° = 44°31’08”

Cálculo das Projeções Relativas. (x_i, y_i)

x_i = d*senAz_i

x_AM1 = 330,97 * sen(134°49’22,08”) = 234,754 m
x_M1M2 = 104.43 * sen(137°29’56,17”) = 70,553 m
x_M2M3 = 189,78 * sen(97°26’0,25”) = 188,185 m
x_M3M4 = 313,52 * sen(63°46’39,33”) = 281,254 m
x_M4M5 = 166,66 * sen(78°05’43,42”) = 163,076 m
x_M5M6 = 755,47 * sen(202°36’47,50”) = -290,48 m
x_M6M7 = 293,23 * sen(84°34’21,58”) = 291,915 m
x_M7M8 = 470,28 * sen(130°50’25,67”) = 355,783 m
x_M8M9 = 290,86 * sen(59°52’29,75”) = 251,574 m
x_M9M10 = 213,99 * sen(75°52’33,83”) = 207,521 m
x_M10I = 156,14 * sen(113°34’3,92”) = 143,116 m

∑x = 1897,247 m
y_i = d*cosAz_i

y_AM1 = 330,97 * cos(134°49’22,08”) = -233,306 m
y_M1M2 = 104.43 * cos(137°29’56,17”) = -76,993 m
y_M2M3 = 189,78 * cos(97°26’0,25”) = -24,553 m
y_M3M4 = 313,52 * cos(63°46’39,33”) = 138,531 m
y_M4M5 = 166,66 * cos(78°05’43,42”) = 34,379 m
y_M5M6 = 755,47 * cos(202°36’47,50”) = -697,391 m
y_M6M7 = 293,23 * cos(84°34’21,58”) = 27,735 m
y_M7M8 = 470,28 * cos(130°50’25,67”) = -307,542 m
y_M8M9 = 290,86 * cos(59°52’29,75”) = 145,980 m
y_M9M10 = 213,99 * cos(75°52’33,83”) = 52,218 m
y_M10I = 156,14 * cos(113°34’3,92”) = -62,430 m

∑y = -1003,372 m
Cálculo do Erro Linear Total. (El)

El = ((ΔX)²+(ΔY)²)^0,5

ΔX = ∑x – (X_final – X_inicial)
ΔX = 1897,247 – (17476,084 – 15578,475) = - 0,362 m

ΔY = ∑y – (Y_final – Y_inicial)
ΔY = - 1003,372 – (1458,035 – 2463,107) = 1,700 m
El = ((-0,362)²+(1,700)²)^0,5 = 1,738 m

A precisão linear (Pl) obtida será: Pl = El / P ou Pl = 1/(P/El), onde P = perímetro.

P = 330,97 + 104.43 + 189,78 + 313,52 + 166,66 + 755,47 + 293,23 + 470,28 + 290,86 + 213,99 + 156,14
P = 3285,330 m

Pl = 1,738 / 3285,330 = 1/1890

Erro Relativo ≤ Tolerância Linear
Tolerância Linear = 0,01 * P^0,5 ⇒ Tl = 0,01*(3285,330)^0,5 ⇒ Tl = 0,573 m
1/1890 ≤ 0,573

Cálculo das Correções das Projeções Relativas. (Cx_i, Cy_i)

Cx_i = -(Kx*D_i)

Kx = ΔX/P = - 0,362/3285,330 = - 0,000110175
Cx_AM1 = - (- 0,000110175) * 330,97 = 0,036 m
Cx_M1M2 = - (- 0,000110175) * 104.43 = 0,012 m
Cx_M2M3 = - (- 0,000110175) * 189,78 = 0,021 m
Cx_M3M4 = - (- 0,000110175) * 313,52 = 0,035 m
Cx_M4M5 = - (- 0,000110175) * 166,66 = 0,018 m
Cx_M5M6 = - (- 0,000110175) * 755,47 = 0,083 m
Cx_M6M7 = - (- 0,000110175) * 293,23 = 0,032 m
Cx_M7M8 = - (- 0,000110175) * 470,28 = 0,052 m
Cx_M8M9 = - (- 0,000110175) * 290,86 = 0,032 m
Cx_M9M10 = - (- 0,000110175) * 213,99 = 0,024 m
Cx_M10I = - (- 0,000110175) * 156,14 = 0,017 m

Cy_i = Ky*D_i

Ky = ΔY/P = 1,700/3285,330 = 0,000517467
Cy_AM1 = - 0,000517467* 330,97 = - 0,171 m
Cy_M1M2 = - 0,000517467* 104.43 = - 0,054 m
Cy_M2M3 = - 0,000517467* 189,78 = - 0,098 m
Cy_M3M4 = - 0,000517467* 313,52 = - 0,162 m
Cy_M4M5 = - 0,000517467* 166,66 = - 0,086 m
Cy_M5M6 = - 0,000517467* 755,47 = - 0,391 m
Cy_M6M7 = - 0,000517467* 293,23 = - 0,152 m
Cy_M7M8 = - 0,000517467* 470,28 = - 0,243 m
Cy_M8M9 = - 0,000517467* 290,86 = - 0,151 m
Cy_M9M10 = - 0,000517467* 213,99 = -0,111 m
Cy_M10I = - 0,000517467* 156,14 = - 0,081 m

Cálculo das Projeções Corrigidas. (xc_i, yc_i)

xc_i = x + Cx

xc_AM1 = 234,754 + 0,036 = 234,790 m
xc_M1M2 = 70,553 + 0,012 = 70,565 m
xc_M2M3 = 188,185 + 0,021 = 188,206 m
xc_M3M4 = 281,254 + 0,035 = 281,280 m
xc_M4M5 = 163,076 + 0,018 = 163,094 m
xc_M5M6 = -290,48 + 0,083 = -290,401 m
xc_M6M7 = 291,915 + 0,032 = 291,948 m
xc_M7M8 = 355,783 + 0,052 = 355,834 m
xc_M8M9 = 251,574 + 0,032 = 251,606 m
xc_M9M10 = 207,521 + 0,24 = 207,545 m
xc_M10I = 143,116 + 0,017 = 143,133 m

yc_i = y + Cy

yc_AM1 = -233,306 + (-0,171) = -233,477 m
yc_M1M2 = -76,993 + (-0,054) = -77,047 m
yc_M2M3 = -24,553 + (-0,098) = -24,651 m
yc_M3M4 = 138,531 + (-0,162) = 138,369 m
yc_M4M5 = 34,379 + (-0,086) = 34,293 m
yc_M5M6 = -697,391 + (-0,391) = -697,782 m
yc_M6M7 = 27,735 + (-0,152) = 27,583 m
yc_M7M8 = -307,542 + (-0,243) = -307,785 m
yc_M8M9 = 145,980 + (-0,151) = 145,829 m
yc_M9M10 = 52,218 + (-0,111) = 52,107 m
yc_M10I = -62,430 + (-0,081) = -62,511 m

Cálculo das Coordenadas Totais. (X_i, Y_i)

X_i = X_i-1 + xc_i-1

X_A = 15578,475 m
X_M1 = 15578,475 + 234,790 = 15813,265 m
X_M2 = 15813,265 + 70,565 = 15883,830 m
X_M3 = 15883,830 + 188,206 = 16072,036 m
X_M4 = 16072,036 + 281,289 = 16353,325 m
X_M5 = 16353,325 + 163,094 = 16516,419 m
X_M6 = 16516,419 + (-290,401) = 16226,018 m
X_M7 = 16226,018 + 291,948 = 16517,966 m
X_M8 = 16517,966 + 355,834 = 16873,800 m
X_M9 = 16873,800 + 251,606 = 17125,406 m
X_M10 = 17125,406 + 207,545 = 17332,951 m
X_I = 17332,951 + 143,133 = 17476,084 m

Y_i = Y_i-1 + yc_i-1

Y_A = 2463,107 m
Y_M1 = 2463,107 + (-233,477) = 2229,630 m
Y_M2 = 2229,630 + (-77,047) = 2152,583 m
Y_M3 = 2152,583 + (-24,651) = 2127,932 m
Y_M4 = 2127,932 + 138,369 = 2266,301 m
Y_M5 = 2266,301 + 34,293 = 2300,594 m
Y_M6 = 2300,594 + (-697,782) = 1602,812 m
Y_M7 = 1602,812 + 27,583 = 1630,395 m
Y_M8 = 1630,395 + (-307,785) = 1322,610 m
Y_M9 = 1322,610 + 145,829 = 1468,439 m
Y_M10 = 1468,439 + 52,107 = 1520,546 m
Y_I = 1520,546 + (-62,511) = 1458,035 m

ESCALA DO DESENHO

Para encontrar a escala da planta, temos duas escalas prováveis, uma na direção X e outra na direção Y. Basta escolher aquela que melhor satisfaz a todas as coordenadas da planta, mas, antes de escolher a escala da planta alguns cálculos devem ser tomados.

Papel A3 (420x297) mm.

X_c = (X_max + X_min)/2 = (17476,084+15578,475)/2 = 16527,280 m;
Y_c = (Y_max + y_min)/2 = (2463,107 + 1322,610)/2 = 1892,858 m;
d_x = (420 – 25 – 7 – 100) mm = 288 mm = 28,800 cm = 0,288 m;
d_y = (297 – 14) mm = 283 mm = 28,300 cm = 0,283 m;.
D_x = (X_max - X_min) = 17476,084 – 15578,475 = 1897,609 m;
D_y = (Y_max - Y_min) = 2463,107 – 1322,610 = 1140,497 m.

Ex = 1/(D_x/d_x) = 1/(1897,609/0,288) = 1/6589 ⇒ Ex = 1/7500
Ey = 1/(D_y/d_y) = 1/(1140,497/0,283) = 1/4030 ⇒ Ey = 1/5000

A escala que será usada será: E = 1/7500

Valores iniciais do reticulado (X₀; Y₀)

ΔX = ΔY = (4 * 7500)/100 = 30000/100 = 300,000 m

X₀ = [int (X_c/ΔX)] * ΔX = [16527,280/300] * 300 = 55 * 300 = 16500,000 m
Y₀ = [int (Y_c/ΔY)] * ΔY = [1892,858/300] * 300 = 6 * 300 = 1800,000 m

Recuos

X_c – X₀ = 16527,280 – 16500,000 = 27,280 m o que nos dá um recuo de 0,40 cm para esquerda a partir do eixo central em X (X_c).
Y_c – Y₀ = 1892,858 – 1800,000 = 92,858 m, o que nos dá um recuo de 1,2 cm para baixo a partir do eixo central em Y (Y_c).

Cálculo dos Azimutes Corrigidos.

Os azimutes corrigidos são em função das projeções corrigidas ou das coordenadas totais. É importante observar os sinais das projeções, pois eles definirão o quadrante em que o alinhamento está contido.

QUADRANTE	SINAIS	AZIMUTES
I	ΔX + ΔY +	arctan(ΔX/ΔY)
II	ΔX + ΔY -	arctan(ΔX/ΔY) + 180°
III	ΔX - ΔY -	arctan(ΔX/ΔY) + 180°
IV	ΔX - ΔY +	arctan(ΔX/ΔY) + 360°

ΔX = X_i+1 – X_i = xc_i
ΔX = Y_i+1 – Y_i = yc_i
Az_BA = 140°50’46”
Az_AM1 = arctan(234,790/(-233,477)) + 180° = 134°50’21,74”
Az_M1M2 = arctan(70,565 / (-77,047)) + 180° = 137°30’51,50”
Az_M2M3 = arctan(188,206 / (-24,651)) + 180° = 97°27’43,13”
Az_M3M4 = arctan(281,289 / 138,369) = 63°48’25,14”
Az_M4M5 = arctan(163,094 / 34,293) = 78°07’32,54”
Az_M5M6 = arctan(-290,401/(-697,782)) + 180° = 202°35’45,51”
Az_M6M7 = arctan(291,948 / 27,583) = 84°36’9,98”
Az_M7M8 = arctan(355,834/(-307,785)) + 180° = 130°51’31,53”
Az_M8M9 = arctan(251,606 / 145,829) = 59°54’13,49”
Az_M9M10 = arctan(207,545 / 52,107) = 75°54’22,89”
Az_M10I = arctan(143,133/(-62,511)) + 180° = 113°35’32,64”

Cálculo dos Lados Corrigidos.

D = (ΔX²+ ΔY²)^0,5

ΔX = X_i+1 – X_i = xc_i
ΔX = Y_i+1 – Y_i = yc_i
D_AM1 = (234,790² + (-233,477)²)^0,5 = 311,117 m
D_M1M2 = (70,565² + (-77,047)²)^0,5 = 104,478 m
D_M2M3 = (188,206² + (-24,651)²)^0,5 = 189,813 m
D_M3M4 = (281,289² + (138,369)²)^0,5 = 313,479 m
D_M4M5 = (163,094² + (34,293)²)^0,5 = 166,660 m
D_M5M6 = (-290,401² + (-697,782)²)^0,5 = 755,799 m
D_M6M7 = (291,948² + (27,583)²)^0,5 = 293,248 m
D_M7M8 = (355,834² + (-307,785)²)^0,5 = 470,478 m
D_M8M9 = (251,606² + (145,829)²)^0,5 = 290,812 m
D_M9M10 = (207,545² + (52,107)²)^0,5 = 213,986 m
D_M10I = (143,133² + (-62,511)²)^0,5 = 156,188 m

MEMORIAL DESCRITIVO

Perímetro: 3286,059 m
Orientação: Norte de Quadricula.


Descrição da quadricula

            A poligonal começa no marco A, seguindo com azimute de 134°50’21,74” e distância de 331,117 m até encontrar o marco M1, seguindo de M1 com azimute de 137°30’51,50” e distância de 104,478 m , encontra-se o marco M2, de M2 com azimute de 97°27’43,13” e distância de 189,813 m, encontramos o marco M3, deste marco, parte com azimute 63°48’25,14” e distância 313,479 m até encontrar o marco M4, desse marco parte-se com azimute de 78°07’32,54” e distância 166,660 m, seguindo até encontrar o marco M5, de onde parte com azimute de 202°35’45,51” e distância de 755,799 m , segue e encontra o marco M6, de onde partindo com azimute de 84°36’9,98” e distância de 293,248 m, segue até encontrar o marco M7, de M7 com azimute de 130°51’31,53” e distância de 470,478 m chega-se no vértice M8, dessa marcação segue com azimute de 59°54’13,49” e distância horizontal de 290,812 m, direcionando-se até o marco M9, deste, com azimute de 75°54’22,89” e distância de 213,986 m, localiza-se o ponto M10, de onde parte-se com azimute de 113°35’32,64” e distância 156,188 m até encontrar o marco I, finalizando assim o nosso levantamento, cujo o perímetro mede 3286,059 m.

PLANTA TOPOGRÁFICA