TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMAS GEODÉSICOS

MEMORIAL DE CÁLCULO: TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMAS GEODÉSICOS

DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

Dados os elementos abaixo:

Elipsoide 1: a₁ = 6378163,000 m; α₁ = 1/298,24.
Elipsoide 2: a₂ = 6378160,000 m; α₂ = 1/298,25.

Coordenadas Geodésicas de um ponto “P” referidas ao Elipsoide 1:

Latitude Geodésica φ₁ = 05° 03’ 10” S
Longitude Geodésica λ₁ = 42° 28’ 42” W
Altitude Geométrica h₁ = 419,401 m

Parâmetros de Transformação de Elipsoide 1, para o Elipsoide 2:

ΔX = 138,70 m; ΔY = - 164,40 m; ΔZ = - 34,40 m.
Parâmetros de Rotação:

Rx = - 00° 00’ 01,09”; Ry = - 00° 00’ 00,85”; Rz = 00° 00’ 02,07”
Fator de Escala: k = 6,4 ppm = 6,4*10^-6 = 0,000006400.

Transformar segundo o arco em radianos ρ” = 206264,8062470963.

CALCULAR:
1 – As coordenadas cartesianas (X₁, Y₁, Z₁) do Elipsoide 1.
2 – Transformar as Coordenadas Cartesianas (X₁, Y₁, Z₁), do Elipsoide 1 para o Elipsoide 2 (X₂, Y₂, Z₂).
3 – As Coordenadas Geodésicas do Elipsoide 2: (φ₂, λ₂, h₂).
4 – Transformar as Coordenadas Cartesianas do ponto “P” no Elipsoide 1 (X₁, Y₁, Z₁) em Coordenadas Geodésicas (φ₁, λ₁, h₁).

SOLUÇÃO
1 – As coordenadas cartesianas (X₁, Y₁, Z₁) do Elipsoide 1.

X₁ = (N₁ + h₁) * cosφ₁ * cosλ₁

N₁ = a₁ / (1- e₁²*sen²φ₁)^0,5

e₁² = α₁ * (2 - α₁)
e₁² = 1/298,24 * (2 - 1/298,24)
e₁² = 1/298,24 * 1,996646996
e₁² = 0,006694766

N₁ = 6378163,000 / (1-0,006694766*sen(-05°03'10"))^0,5
N₁ = 6378163,000 / (0,999948069)^0,5
N₁ = 6378163,000 / 0,999974034
N₁ = 6378328,618 m
X₁ = (6378328,618 + 419,401) * cos (-05º 03’ 10”) * cos (-42° 28’42”)
X₁ = 6377909,217 * 0,996113992 * 0,737532762
X₁ = 4686253,7806 m

Y₁ = (N₁ + h₁) * cosφ₁ * senλ₁
Y₁ = (6378328,618 + 419,401) * cos (-05º 03’ 10”) * sen (-42° 28’42”)
Y₁ = 6377909,217 * 0,996113992 * (-0,675311354)
Y₁ = -4290901,4383 m

Z₁ = (N₁ * (1 – e₁²) + h₁) * senφ₁
Z₁ = (6378328,618 * (1 - 0,006694766) + 419,401) * sen (-05° 03’ ‘10”)
Z₁ = (6378328,618 * 0,993305234 + 419,401) * (-0,088073346)
Z₁ = 6336046,602 * (-0,088073346)
Z₁ = - 558036,8271 m

2 – Transformar as Coordenadas Cartesianas (X₁, Y₁, Z₁), do Elipsoide 1 para o Elipsoide 2 (X₂, Y₂, Z₂).

R_x/ρ = - 00° 00’ 01,09” / 206264,8062 = - 0,000005284
R_y/ρ = - 00° 00’ 00,85” / 206264,8062 = - 0,000004121
R_z/ρ = 00° 00’ 02,07” / 206264,8062 = 0,000010036
X₂ = ΔX + (1 + k) * (X₁ + R_zY₁ - R_yZ₁)
X₂ = 138,700 + (1+0,00000640) * (4686253,7806 + 0,000010036 * (-4290901,4383) - (-0,000004121 * (-558036,8271)))
X₂ = 138,700 + (1 + 0,00000640) * 4686208,419
X₂ = 138,700 + 4686238,411
X₂ = 4686377,1108 m

Y₂ = ΔY + (1 + k) * (-R_zX₁ + Y₁ + R_xZ₁)
Y₂ = -164,400 + (1+0,00000640) * (-0,000010036 * 4686253,7806 + (-4290901,4383) + (-0,000005284) * (-558036,8271))
Y₂ = -164,400 + (1+0,00000640) * (-4290945,519)
Y₂ = -164,400 + (-4290972,981)
Y₂ = -4291137,3810 m

Z₂ = ΔZ + (1 + k) * (R_yX₁ - R_xY₁ + Z₁)
Z₂ = -34,400 + (1+0,00000640) * ((-0,000004121) * 4686253,7806 - (-0,000005284) * (-4290901,4383) + (-558036,8271))
Z₂ = -34,400 + (1+0,00000640) * (-558078,8139)
Z₂ = -34,400 + (-558082,3856)
Z₂ = -558116,7856 m



3 – As Coordenadas Geodésicas do Elipsoide 2: (φ₂, λ₂, h₂).

φ₂ = arctan((Z₂+e'₂²*b₂*sen³u)/((X₂²+Y₂²)^0,5 - e₂²*a₂*cos³u))

e’₂² = (a₂² - b₂²) / b₂²
e’₂² = (6378160,000² - 6356774,719²) / 6356774,719²
e’₂² = 272340154999,437 / 40408584830600,600
e’₂² = 0,006739661

sen u = tan⁡ u /(1+ tan²u)^0,5

tan⁡ u = (Z₂/(X₂²+Y₂²)^0,5) * (a₂/b₂)
tan⁡ u = ((-558116,7856)/(4686377,1108²+(-4291137,3810)²)^0,5) * (6378160,000/6356774,719)
tan⁡ u = ((-558116,7856)/(40375990446751,400)^0,5) * 1,003364172
tan⁡ u = ((-558116,7856)/6354210,4503) * 1,003364172
tan⁡ u = -0,087834168 * 1,003364172
tan⁡ u = -0,088129657

sen u = (-0,088129657)/((1+0,007766836)^0,5)
sen u = (-0,088129657)/(1,007766836)^0,5)
sen u = -0,087789393

cos u = 1/((1+tan²u)^0,5)
cos u = 1/((1+0,007766836)^0,5)
cos u = 1/((1,007766836)^0,5)
cos u = 0,996139058
φ₂ = arctan ((-5588116,7856+0,006739661*6356774,719*(-0,087789393)³) / ((4686377,1108² + (-4291137,3810)²)^0,5 - 0,006694542*6378160,000*0,996139058³))
φ₂ = arctan((-558145,7725)/( 6312004,2577)) = arctan(-0,088426077)
φ₂ = -05°03’11,8709 ou 05°03’11,8709 S

λ₂ = arctan(Y₂/X₂) ⇒ para o quadrante em que se situa ao Brasil.
λ₂ = arctan((-4291137,3810)/4686377,1108)
λ₂ = -42°28’44,9452” ou 42°28’44,9452 W

h₂ = ((X₂²+Y₂²)^0,5)/(cosφ₂))-N₂

cosφ₂ = 0,996113193

N₂ = a₂ / (1-e₁²*sen²φ₂)^0,5

senφ₂ = -0,088082382

N₂ = 6378160,000 / (1-0,006694542*(-0,088082382)²)^0,5
N₂ = 6378160,000 / (0,99994806)^0,5
N₂ = 6378160,000 / 0,99997403
N₂ = 6378325,646 m
h₂ = ((4686377,1108²+(-4291137,3810)²)^0,5/0,996113193)-6378325,646)
h₂ = ((40375990446751,400)^0,5/0,996113193)-6378325,646)
h₂ = (6354210,450/0,996113193)-6378325,646
h₂ = 6379004,407 – 6378325,646
h₂ = 678,761 m

4 – Transformar as Coordenadas Cartesianas do ponto “P” no Elipsoide 1 (X₁, Y₁, Z₁) em Coordenadas Geodésicas (φ₁, λ₁, h₁).

φ₁ = arctan((Z₁+e'₁²*b₁*sen³u)/((X₁²+Y₁²)^0,5-e₁²*a₁*cos³u))

e’₁² = (a₁² - b₁²) / b₁²
e’₁² = (6378163,000² - 6356776,992²) / 6356776,992²
e’₁² = 272349527443,500 / 40408613727125,500
e’₁² = 0,006739888

sen u = tan⁡ u /(1+tan²u)^0,5

tan u = (Z₁/(X₁²+Y₁²)^0,5))*(a₁/b₁)
tan u = ((-558036,8271)/(4686253,7806²+(-4290901,4383)²)^0,5)* (6378163,000/6356776,992)
tan u = ((-558036,8271)/(40372809649373,4000)^0,5)* 1,003364285
tan u = ((-558036,8271)/6353960,1548)* 1,003364285
tan u = -0,087825044 * 1,003364285
tan u = -0,088120512

sen u = (-0,088120512)/((1+0,007765225)^0,5)
sen u = (-0,088129657)/(1,007765225)^0,5
sen u = -0,087780354

cos u = 1/(1+tan²u)^0,5
cos u = 1/(1+0,007765225)^0,5
cos u = 1/1,007765225^0,5
cos u = 0,996139854
φ₁ = arctan ((-5588036,8271 + 0,006739888*6356776,992*(-0,087780354)³) / ((4686253,7806² + (-4290901,4383)²)^0,5 - 0,006694766*6378163,000*0,996139854³))
φ₁ = arctan((-558065,8060)/( 6311752,428)) = arctan(-0,0884166935)
φ₁ = -05°03’10” ou 05°03’10” S

λ₁ = arctan(Y1/X1) ⇒ para o quadrante em que se situa ao Brasil.
λ₁ = arctan((-4290901,4383)/4686253,7806)
λ₁ = -42°28’42 ou 42°28’42” W

h₁ = ((X₁²+Y₁²)^0,5/cosφ₁)-N₁

cosφ₁ = 0,9961139972

N₁ = a₁ / (1-e₁²*sen²φ₁)^0,5

senφ₁ = -0,088073346

N₁ = 6378163,000 / (1-0,006694766*(-0,088073346)²)^0,5
N₁ = 6378163,000 / 0,999948069^0,5
N₁ = 6378163,000 / 0,999974034
N₁ = 6378328,618 m

h₁ = (4686253,7806²+(-4290901,4383)²)^0,5/0,334343444-6378328,618
h₁ = 40372809649373,4000^0,5/0,996113992-6378328,618
h₁ = 6354210,450/0,996113992 - 6378328,618
h₁ = 6378748,0188 – 6378328,618
h₁ = 419,401 m