Geometria Descritiva - Exercícios sobre o Estudo do Ponto

001 - Construir a épura dos pontos (A) e (B) situados no 4° diedro, de tal modo, que:

a) O ponto (A) está mais próximo do plano horizontal de projeção do que do plano vertical de projeção;
b) O ponto (B) está mais próximo do plano vertical de projeção do que do plano horizontal de projeção.

002 - Construir a épura e determinar as posições de cada um dos pontos a seguir: (A){0; -3; -2,5}, (B){-1; -1; -1}, (C){-2; 1; -1}, (D){1; -1; 0} e (E){2; -2,5; -1}

003 - Construir a épura e determinar as posições dos pontos: (A){0; -3; -2}, (B){-1; 0,5; -3}, (C){0,5; 0; 0,5} e (D){-2; -3; 0,5}.

004 - Construir a épura dos pontos (A), (B), (C), (D) e (E) situados, respectivamente:

a) Na linha de terra;
b) No terceiro diedro mais próximo do plano horizontal de projeção do que do plano vertical de projeção;
c) No semiplano horizontal posterior;
d) No semiplano vertical superior;
e) No semiplano horizontal anterior.

005 - Determinar as projeções dos pontos: (A){1; 2; 0}, (B){3; -3; 4}, (C){5; -5; -3,5}, (D){7; 2; -2}, (W){9; 3; ?} situado no plano horizontal de projeção, (X){11; ?; 2,5} situado no plano vertical de projeção, (Y){ 13, ; -4; ?} situado no plano horizontal de projeção e (Z){15; ?; -6} situado no plano vertical de projeção.

006 - Construir a épura do ponto (A), sabendo que este encontra-se situado no 4º diedro e sua cota é igual a 2/3 do seu afastamento.

007 - Construir a épura do ponto (B), sabendo que este encontra-se situado no 1º diedro e seu afastamento é igual a 1/3 da sua cota.

008 - Construir a épura dos (K), (L), (M) e (N), considerando que:

a) O ponto (K) encontra-se situado no semiplano vertical inferior a 1cm do plano horizontal de projeção.
b) O ponto (L) encontra-se situado no semiplano horizontal anterior a 0,5cm do plano vertical de projeção.
c) O ponto (M) encontra-se situado no 2º diedro mais próximo do plano horizontal de projeção do que do plano vertical de projeção.
d) O ponto (N) encontra-se situado no na linha de terra.

009 - Construir a épura dos pontos (A) e (B) situados, respectivamente, no bissetor ímpar e bissetor par, considerando que: (A){-3; 0,5; ?} e (B){3; ?; 1}.

010 - Determinar as projeções dos pontos (X){-2; -2; ?} situado no plano bissetor ímpar e (Y){2; ?; -3} situado no plano bissetor par.

011 - Construir a épura dos pontos (M){3; ?; 3} e (N){4; ?, 4}, sabendo que (M) encontra-se situado no plano bissetor ímpar e (N) encontra-se no plano bissetor par.

012 - Dado o ponto (Z){-2; -3; 5}, determine as projeções de um ponto (A) simétrico de (Z) em relação ao plano horizontal de projeção.

013 - Dado o ponto (X){-1; -2; 4}, determine as projeções de um ponto (D) simétrico de (X) em relação ao plano vertical de projeção.

014 - Construir a épura dos pontos (A) e (B), sabendo que (B) é simétrico do ponto (A){0; -1; 3} em relação ao plano horizontal de projeção.

015 - Construir a épura dos pontos (C) e (D), sabendo que (D) é simétrico de (C){-2; -4; -1} em relação ao plano vertical de projeção.

016 - Sabendo que o ponto (M){-2; -3; 2} é simétrico do ponto (N) em relação a linha de terra, pede-se a épura dos dois pontos.

017 - Determinar as coordenadas e as projeções do ponto (X), simétrico do ponto (Y){-1; 2; 3} em relação a linha de terra.

018 - Construir a épura dos pontos (M), (N) e (O), sabendo que:

- O ponto (M) é simétrico de (X){3; 1; 3} em relação ao plano horizontal de projeção.
- O ponto (N) é simétrico de (Y){7; -4; 1} em relação ao plano vertical de projeção.
- O ponto (O) é simétrico de (Z){11; 4; -4} em relação a linha de terra.

019 - Dados os pontos (K){1; 3; 2} e (L){2; -3; 1}, determinar as projeções dos pontos (A) e (B), considerando que:

- (A) é simétrico de (K) em relação ao plano bissetor ímpar.
- (B) é simétrico de (L) em relação ao plano bissetor par.

020 - Construir a épura dos pontos (A) e (B), considerando que:

- O ponto (A) é simétrico a (X){3; 3; 1} em relação ao plano bissetor ímpar.
- O ponto (B) é simétrico a (Y){7; -5; -7} em relação ao plano bissetor par.

021 - O ponto (Z){ 3; 1; -6} é simétrico de (Y) em relação ao plano horizontal de projeção, já o ponto (Y) é simétrico ao ponto (X) em relação ao plano bissetor ímpar. Determine as projeções do ponto (X).

022 - O ponto (M) é simétrico do ponto (N) em relação ao plano bissetor ímpar. (N) é simétrico de (O) em relação ao plano vertical de projeção e (O) é simétrico de (Z){-1; 2; 4} em relação ao plano horizontal de projeção. Construir a épura dos pontos (M), (N), (O) e (Z).

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Curso de Geometria Descritiva com Certificado

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- Irá abordar a teoria e aplicações básicas da Geometria Descritiva como: Ponto, Reta e Plano.

CURSO INTERMEDIÁRIO DE GEOMETRIA DESCRITIVA

- Irá abordar a teoria e aplicações intermediária da Geometria Descritiva: Métodos Descritivos (Mudança de Plano, Rotação e Rebatimento).

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- Este irá abordar teoria e práticas avançadas da Geometria Descritiva como o Estudo dos Poliedros dentre outras aplicações.

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Geometria Descritiva - Entendendo a Simetria de Pontos

ENTENDENDO A SIMETRIA DE PONTOS EM GEOMETRIA DESCRITIVA

Alguns alunos estão com muitas dúvidas em relação a Simetria de Pontos, mais precisamente a uma questão específica que fala sobre a Simetria em relação ao Plano Bissetor Ímpar. Por isso, resolvi dar essa explicação detalhada.

Iremos iniciar com a definição de simetria. No dicionário encontramos:

Simetria: Substantivo feminino

1. conformidade, em medida, forma e posição relativa, entre as partes dispostas em cada lado de uma linha divisória, um plano médio, um centro ou um eixo.
2. POR EXTENSÃO: semelhança entre duas ou mais situações ou fenômenos; correspondência.

Uma outra definição diz que a simetria é “aquilo que pode ser dividido em partes, sendo que ambas as partes devem coincidir perfeitamente quando sobrepostas” (SIGNIFICADOS, s.d).

Sabendo desses informes acima, vamos então para a questão do vídeo sobre simetria de pontos, no trecho que fala da simetria em relação ao Plano Bissetor Ímpar.

Nota: Não se tem a necessidade desse desenvolvimento para solucionar esta questão, pois, a simetria entre dois pontos é definida pela perpendicular ao eixo, que passe pelos dois pontos estudados, e sobre essa perpendicular mensuramos a distância do primeiro ponto ao eixo e do segundo ponto ao eixo, se as distâncias forem iguais, os pontos são simétricos em relação ao eixo.

A questão: Seja (A) e (B) dois pontos simétricos ao plano BISSETOR ÍMPAR (βi), e as coordenadas de (A) sejam A{1; 3; -2}, quais as coordenadas do ponto (B)?

Sabemos que, quando dois pontos são simétricos em relação ao BISSETOR ÍMPAR temos que:

- A ABSCISSA do primeiro ponto é igual a ABSCISSA do segundo ponto;
- O AFASTAMENTO do primeiro ponto é igual a COTA do segundo ponto; e
- A COTA do primeiro ponto é igual ao AFASTAMENTO do segundo ponto.

Fazendo agora o ponto (A) como primeiro ponto e (B) sendo o segundo ponto, temos:

ABSC(A) = ABSC(B);
AFAST(A) = COTA(B); e
COTA(A) = AFAST(B).

Substituindo os valores que temos:

ABSC(A) = 1 = ABSC(B);
AFAST(A) = 3 = COTA(B); e
COTA(A) = -2 = AFAST(B).

Assim:

(A){1; 3; -2}
(B){1; -2; 3}

Ok?...

A dúvida que vocês estão tendo é: Deniezio, mas, o ponto (A) está no 4º diedro e o ponto (B) está no 2º diedro, como podem ser simétricos em relação ao (βi)? ... Não tem nada a ver se um ponto está no primeiro, segundo, terceiro ou quarto diedro, pois a simetria é em relação ao Plano Bissetor ímpar (βi) e o que importa é a posição desses pontos em relação ao eixo de simetria que no caso é o Plano Bissetor Ímpar (βi).

Agora vamos enxergar isso no espaço euclidiano.

Vejam nessa figura que: fizemos um corte lateral da vista espacial dos planos de projeções e do plano bissetor ímpar.

Blz?...

Na imagem acima, vocês já percebem a simetria, em relação ao PLANO BISSETOR ÍMPAR (βi)?...

Sim ou não, vamos melhorar a visualização.

Iremos inserir dois pontos auxiliares sobre o PLANO BISSETOR ÍMPAR que estejam a mesma distância do ponto de concurso deste plano com a LINHA DE TERRA (Ou seja, contidos no PLANO BISSETOR ÍMPAR e SIMÉTRICOS em relação a LINHA DE TERRA). OBS: Esses pontos auxiliares poderiam ser colocados em qualquer posição, desde que pertencentes ao plano bissetor ímpar que é o eixo de simetria da questão.

Pronto.

Agora iremos ligar os pontos auxiliares (P₁) e (P₂) aos pontos (A) e (B):

Percebam, a simetria agora está mais que visível, lembrando que a simetria pedida na questão é em relação ao BISSETOR ÍMPAR, não é mesmo...

Vejam que o triângulo formado por (P₁), (A) e (P₂) é o perfeitamente "espelhado" do outro lado do BISSETOR ÍMPAR, com o triângulo formado por (P₁), (B) e (P₂)...

Mas, mesmo assim, vamos melhorar essa visualização:

Agora a visualização da simetria está no seu ápice, percebam que os triângulos (verde e amarelo) são iguais, só estão "espelhados" em relação ao eixo que é o PLANO BISSETOR ÍMPAR (βi).

Para encerrar, vamos pegar a definição de simetria que diz: A simetria é definida como tudo “AQUILO QUE PODE SER DIVIDIDO EM PARTES, SENDO QUE AMBAS AS PARTES DEVEM COINCIDIR PERFEITAMENTE QUANDO SOBREPOSTAS”:

Pronto, espero que vocês tenham entendido agora o conceito de simetria e tenham entendido a solução da questão... Até a próxima...

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Geometria Descritiva - ÍNDICE

ÍNDICE DE POSTAGENS

ESTUDO DO PONTO

Aula 01 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO PONTO
Aula 02 - POSIÇÕES DO PONTO
Aula 03 - PLANOS BISSETORES
Aula 04 - SIMETRIA DE PONTOS
Aula 05 - ENTENDENDO A SIMETRIA DE PONTOS
Aula 06 - Exercícios Resolvidos sobre Estudo do Ponto
EXTRA: Exercícios sobre o Estudo do Ponto

ESTUDO DA RETA

Aula 01 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA RETA
Aula 02 - TRAÇOS DA RETA (1ª PARTE)
Aula 03 - TRAÇOS DA RETA (2ª PARTE)
Aula 04 - RETA HORIZONTAL
Aula 05 - RETA FRONTAL
Aula 06 - RETA FRONTO HORIZONTAL
Aula 07 - RETA VERTICAL
Aula 08 - RETA DE TOPO
Aula 09 - RETA DE PERFIL (1ªPARTE) (2ª PARTE) (3ª PARTE) (4ª PARTE)
Aula 10 - RETA PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 11 - RETA PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 12 - RETA QUALQUER
Aula 13 - RETA PARALELA AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 14 - RETA PARALELA AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 15 - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Aula 16 - CONCORRÊNCIA E PARALELISMO ENTRE RETAS DE PERFIL
Aula 17 - Exercícios Resolvidos sobre Estudo da Reta

ESTUDO DO PLANO

Aula 01 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO PLANO
Aula 02 - TRAÇOS DO PLANO
Aula 03 - PLANO VERTICAL
Aula 04 - PLANO DE TOPO
Aula 05 - PLANO DE PERFIL
Aula 06 - PLANO HORIZONTAL
Aula 07 - PLANO FRONTAL
Aula 08 - PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
Aula 09 - PLANO QUALQUER
Aula 10 - PLANO PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 11 - PLANO PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 12 - PLANO PARALELO AO PLANO BISSETOR ÍMPAR
Aula 13 - PLANO PARALELO AO PLANO BISSETOR PAR
Aula 14 - RETAS DO PLANO
Aula 15 - PERTINÊNCIA DE UMA RETA AO PLANO E PERTINÊNCIA DE UM PONTO AO PLANO
Aula 16 - PRINCIPAIS DO PLANO
Aula 17 - RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMO INCLINAÇÃO
Aula 18 - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS
Aula 19 - PLANOS SECANTES
Aula 20 - INTERSECÇÃO ENTRE RETAS E PLANOS
Aula 21 - Exercícios Resolvidos sobre Estudo do Plano


MÉTODOS DESCRITIVOS

MUDANÇA DE PLANOS

Aula 01 - INTRODUÇÃO A MUDANÇA DE PLANOS
Aula 02 - MUDANÇA DE PLANOS NO ESTUDO DO PONTO
Aula 03 - MUDANÇA DE PLANOS NO ESTUDO DA RETA
Aula 04 - MUDANÇA DE PLANOS NO ESTUDO DO PLANO
Aula 05 - Exercícios Resolvidos sobre Mudança de Planos

ROTAÇÃO

Aula 01 - INTRODUÇÃO A ROTAÇÃO
Aula 02 - ROTAÇÃO DO PONTO
Aula 03 - ROTAÇÃO DA RETA
Aula 04 - ROTAÇÃO DO PLANO
Aula 05 - Exercícios Resolvidos sobre Rotação

REBATIMENTO

Aula 01 -
Aula 02 -
Aula 03 -
Aula 04 - Exercícios Resolvidos sobre Rebatimento

ESTUDO DOS POLIEDROS

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Exercício - Estudo do Ponto

EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DESCRITIVA - ESTUDO DO PONTO

01 – Dar a épura dos pontos (A) e (B) situados no 2º diedro que seja:

a) O ponto (A) mais perto do plano (π) que do plano (π’);

b) O ponto (B) mais perto do plano (π’) que do plano (π).

02 – Construir a épura e dar as posições de cada um dos seguintes pontos: (A){1; -2; -1,5}, (B){0; 0; 0}, (C){-1; 2; 0}, (D){2; 0; 1},(E){4; -1,5; 0}.

03 – Fazer a épura e dar as posições dos seguintes pontos:(A){-1; 2; 1}, (B){0; -1,5; 2}, (C){-1,5; -1; -1,5}, (D){ 1; 2; -1,5}.

04 – Construir a épura dos pontos (A), (B), (C), (D) e (E) situados, respectivamente:

a) No semiplano horizontal anterior;

b) No semiplano vertical superior;

c) No semiplano horizontal posterior;

d) No 3º diedro e mais próximo de (π) do que de (π’;

e) Na Linha de Terra.

05 – Representar por suas projeções os seguintes pontos: (A){-2; -3; -1}, (B){-4; -2; -5}, (C){-6; 4; 2,5} (D){-8; -3; 1}, (M){-10; -4; ?} situado em (π), (N){-12; ?; -3,5} situado em (π’); (R){-14; 3; ?} situado em (π), (S){-16; ?, 5} situado em (π’).

06 – Dar a épura de um ponto (A) situado no 4º diedro com cota igual 1/3 do afastamento.

07 – Fazer a épura de um ponto (B) situado no 1º diedro cujo afastamento é igual a 2/3 da cota.

08 – Fazer a épura dos pontos (A), (B), (C) e (D), sabendo-se que:

a) O ponto (A) está situado no (π’_s) distando 1,5 cm do plano (π);
b) O ponto (B) está situado no (π_a) distando 3 cm do plano (π’);
c) O ponto (C) está situado no 2º diedro e mais próximo de plano (π) do que do plano (π’);
d) O pondo (D) está situado na linha de terra.

09 – Traçar a épura dos ponto (A) e (B) situados, respectivamente, no 1º e 2º bissetores, sabendo-se que (A){2; -1,5; ?} e (B){-1; ?; -2}.

10 – Construir as projeções dos pontos (C) e (D), sabendo-se que: (C){0; 1; ?} situado no (β_i) e (D){-1; ?; 2} situado no (β_p).

11 – De acordo com a épura abaixo, marque V para verdadeiro ou F para falso.

(F) – O ponto (A) está situado no 2º bissetor, em particular no 2º diedro;
(V) – O ponto (B) está situado no 2º bissetor, em particular no 4º diedro;
(V) – O ponto (A) está situado no 1º diedro, em particular no (β_i);
(F) – O ponto (B) está situado no 3º diedro, em particular no (β_p).

12 – Dado o ponto (A){1; 2; -4}, determine as projeções de um ponto (B), simétrico de (A) em relação ao plano (π').

13 – Dado o ponto (C){0; 1; -3}, pede-se determinar as projeções de um ponto (D), simétrico de (C) em relação ao plano (π).

14 – Determine as coordenadas de um ponto (B) simétrico de um ponto (A){2; 0; 1} em relação ao plano (π).

15 – Determine as coordenadas de um ponto (D) simétrico de um ponto (C){0; -3; -1}, em relação ao plano (π’).

16 – Dado um ponto (M){1; 2; -3}, determine as projeções de um ponto (N) simétrico de (M) em relação a Linha de terra.

17 – Determinar as coordenadas de um ponto (G), simétrico de um ponto (J){-1; -3; 1} em relação a linha de terra.

18 – Construir a épura dos pontos (A), (B), e (C), sabendo-se que:

a) O ponto (A) é simétrico de (M){-4; -2; -4} em relação ao plano (π');
b) O ponto (B) é simétrico de (N){-8; 3; -2} em relação ao plano (π);
c) O ponto (C) é simétrico de (X){-12; -5; -3} em relação a linha de terra.

19 – São dados os pontos (A){-2; 1; -3} e (B){-3; 4; -2}, determine as projeções de um ponto:

a) (M) simétrico de (A) em relação ao (β_p);

b) (N) simétrico de (B) em relação ao (β_i).

20 – Dar a épura dos pontos (N) e (M), sendo:

a) O Ponto (N) simétrico de um ponto (A){ -4; -4; -2} em relação ao 2º bissetor;
b) O ponto (M) simétrico de um ponto (B){-8; 4; 6} em relação ao 1º bissetor.

21 – O ponto (C){ -3; -2; 5} é simétrico de (B) em relação ao plano (π’), e este é simétrico ao ponto (A) em relação ao (β_i). Determine as projeções do ponto (A).

22 – O ponto (A) é simétrico de (B) em relação ao (β_p), (B) é simétrico de (C) em relação a (π) e (C) é simétrico de (D){0; -3; -1} em relação ao plano (π’). Determine as projeções do ponto (A).

23 – De acordo com a épura abaixo:

Marque a alternativa correta.
a) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (π);
b) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (π’);✔
c) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (β_i);
d) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (β_p);
e) (A) é simétrico de (B) em relação a linha de terra;

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