Ajustamento de Observações Geodésicas: Formulação do Modelo Funcional Paramétrico.

A formulação do modelo funcional é uma etapa fundamental no ajustamento de observações. É nesse momento que se estabelece a relação matemática entre as observações realizadas em campo e os parâmetros desconhecidos do problema. No método paramétrico, as observações são expressas como funções dos parâmetros que se deseja determinar. A correta definição desse modelo é essencial para que o Método dos Mínimos Quadrados produza resultados confiáveis e fisicamente consistentes.

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Aula 028 – Formulação do Modelo Funcional Paramétrico

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Objetivos

1. Compreender o conceito de modelo funcional.
2. Identificar a relação entre observações e parâmetros.
3. Formular equações observacionais no método paramétrico.
4. Escrever o modelo funcional em forma matricial.
5. Preparar a base para a linearização do modelo.

1. Conceito de modelo funcional

O modelo funcional descreve a relação matemática entre:

• as observações realizadas
• os parâmetros desconhecidos

De forma geral:

Em que:

• L = vetor das observações
• x = vetor dos parâmetros
• f(x) = função matemática que relaciona observações e parâmetros

2. Inclusão dos erros de observação

Como toda observação contém erro, introduz-se o vetor de resíduos (v):

Em que:

• v = vetor de resíduos

O objetivo do ajustamento é determinar (x) de forma que os resíduos sejam mínimos segundo o critério dos mínimos quadrados.

3. Modelo funcional no método paramétrico

No método paramétrico, as incógnitas são os próprios parâmetros do problema. Assim, o modelo funcional assume a forma:

Ou, reorganizando:

Esse modelo pode ser:

• linear
• não linear

4. Modelo funcional linear

Se a relação entre observações e parâmetros for linear, o modelo torna-se:

Em que:

• A = matriz de coeficientes (matriz de projeto)

Nesse caso, o ajustamento pode ser resolvido diretamente.

5. Modelo funcional não linear

Em muitos problemas geodésicos, a relação entre observações e parâmetros não é linear.

Exemplo clássico: determinação de coordenadas a partir de distâncias.

Nesse caso, o modelo funcional é:

E será necessário realizar linearização para aplicar o MMQ.

6. Elementos do modelo funcional

O modelo funcional contém quatro componentes principais:

6.1 Observações

6.2 Parâmetros desconhecidos

6.3 Funções matemáticas

6.4 Resíduos

7. Exemplo Resolvido

Deseja-se ajustar a relação entre três observações e dois parâmetros.

Observações:

Modelo funcional:

Valores de (x_i):

x	L
1	5,000
2	7,000
3	9,000

Equações observacionais

Forma matricial

Modelo:

Interpretação

A matriz (A) mostra como cada observação depende dos parâmetros (a) e (b). Cada linha representa uma equação observacional.

8. Exercício Proposto

Considere o modelo:

Dados observados:

x	L
1	4,000
2	6,000
3	8,000

Determine:

a) as equações observacionais

b) o vetor (L)

c) a matriz (A)

8.1 Resposta final esperada

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9. Conclusão

A formulação do modelo funcional paramétrico estabelece a relação matemática entre as observações e os parâmetros desconhecidos. Essa etapa é essencial para qualquer problema de ajustamento, pois define a estrutura do sistema de equações que será resolvido pelo Método dos Mínimos Quadrados.

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