Topografia - Roteiro para o cálculo de uma poligonal fechada (Método Analítico)

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1 INTRODUÇÃO

A poligonação, também conhecida como caminhamento, consiste em uma sequência de distâncias e ângulos medidos entre pontos adjacentes, formando linhas poligonais ou polígonos. Inicia-se com uma linha formada por dois pontos conhecidos, determinam-se novos pontos ao longo do percurso até atingir uma linha composta por pontos também conhecidos.

Por meio da poligonal, é possível estabelecer uma série de pontos de apoio para levantamentos topográficos, a partir dos quais coordenadas de outros pontos podem ser determinadas, utilizando métodos como a irradiação. Conforme a NBR 13133 (1994, ABNT), as poligonais são classificadas em:

• Principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem;
• Secundária: poligonal que, apoiada nos vértices da poligonal principal, determina os pontos de apoio topográfico de segunda ordem;
• Auxiliar: poligonal usada para coletar pontos de detalhes considerados importantes.

Em campo, as poligonais topográficas podem ser classificadas como FECHADA (o levantamento inicia e termina no mesmo ponto cujas coordenadas são conhecidas), ENQUADRADA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e chega a outro ponto de coordenadas também conhecidas) e ABERTA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e termina em um ponto cujas coordenadas são desconhecidas).

Após a conclusão do levantamento topográfico em campo, durante o qual são medidos ângulos e distâncias, passamos para a fase de escritório. Nesta etapa, são realizados cálculos para determinar as coordenadas dos vértices da poligonal levantada. Essas coordenadas são referenciadas a um sistema cartesiano plano ortogonal, com os eixos coincidindo nas direções leste-oeste e norte-sul, respectivamente.

Embora o método de Bowditch (Compensação) seja amplamente utilizado globalmente, ele não é um procedimento de ajustamento muito rigoroso, pois presume regularidade na precisão dos ângulos e distâncias dos lados, o que nem sempre é alcançado em levantamentos. No método de Bowditch, o erro angular é distribuído igualmente entre os vértices da poligonal, e a compensação linear é realizada distribuindo o erro de forma proporcional aos comprimentos dos lados da poligonal.

A seguir, serão apresentadas as etapas para o cálculo de uma poligonal topográfica pelo Método Analítico (Bowditch), conforme demonstrado por Oliveira e Saraiva (1998).

2 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE UMA POLIGONAL FECHADA

De forma resumida, o roteiro para o cálculo de uma poligonal topográfica fechada consiste:

1. Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular.
2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.
3. Cálculo das projeções relativas.
4. Cálculo do erro linear e verificação da tolerância.
5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.
6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse.
7. Cálculo da área, cálculo dos azimutes corrigidos e cálculo dos lados corrigidos.

Para melhor visualisarmos a sequência de cálculos, utilizaremos de um exemplo prático:

Exemplo: Foi realizado um levantamento topográfico a partir do método poligonação (poligonal fechada, com caminhamento no sentido horário e medição de ângulos horizontais horários externos a poligonal) conforme croqui apresentado. Os resultados das medições em campo encontram-se no caderneta de campo apresentada.

2.1 Cálculo da média dos ângulos PD e PI

As medições de ângulos horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. Essa abordagem é conhecida como leitura de pares conjugados, em que a média é calculada pela seguinte fórmula:

$\alpha$_i = $\frac{\mathrm{PD}+\mathrm{PI}}{2}\pm \mathrm{90°}$
A condição de somar-se ou subtrair-se 90° (noventa graus) depende:

• Se a leitura em PD for maior que a leitura em PI → Soma-se 90°.
• Se leitura em PD for menor que a leitura em PI → Subtrai-se 90°.

Assim, para o ângulo lido com a estação no vértice VT02, temos:

• Para a leitura a ré:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}\pm \mathrm{90°}$
Observa-se que a leitura em PD é menor que a leitura em PI assim:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}-\mathrm{90°}$
$\alpha$_ré = 00°00'0,5"

• Para a leitura a vante:

$\alpha$_vante = $\frac{\mathrm{169°52\text{'}28"}+\mathrm{349°52\text{'}28"}}{2}-\mathrm{90°}$
Tivemos novamente PD menor que PI. Dessa forma:

$\alpha$_vante = 169°52'28"
De posse dos ângulos de ré e de vante, faz-se então o cálculo do ângulo poligonal, que no caso, trata-se do ângulo que realmente será utilizado no cálculo:

$\alpha$_(n) = α_vante - α_ré

• Para o VT02.

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" - 00°00'0,5" = 169°52'28"
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

α_P01 = 331°37’53”
α_P02 = 197°05’43”
α_P03 = 301°58’11”
α_P04 = 259°25’44”

2.2 Cálculo das médias das distâncias em PD e PI

As medições das distâncias horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. O cálculo da média é determinado pela seguinte fórmula:

$dh$_ij = $\frac{\mathrm{dh_PD}+\mathrm{dh_PI}}{2}$
Assim, para as distâncias lidas com a estação no vértice VT02 com vante em P₀₁, temos:

$\mathrm{dh_{VT<mn>₀₂</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$ \frac{\mathrm{50,830}+\mathrm{50,830}}{2}$$
$\mathrm{dh_{VT_<mn>02</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$50,830 m
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

dh_P01-P02 = 53,527 m
dh_P02-P03 = 74,274 m
dh_P03-P04 = 52,378 m
dh_P04-VT02 = 51,411 m

2.3 Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular

Em uma poligonal geometricamente fechada E_a = 0, a soma dos ângulos, expressa no sistema sexagesimal, segue uma das seguintes fórmulas:

$\sum \alpha$_internos = (n - 2) . 180°
$\sum \alpha$_externos = (n + 2) . 180°
Em que n = número de vértices.

Claramente, o valor resultante da soma dos ângulos medidos em campo divergirá do resultado obtido pela aplicação de uma das fórmulas mencionadas anteriormente. Essa divergência é conhecida como Erro Angular.

$E_a=\sum \alpha$_campo - ∑α_p.g.f
Em que:
- ∑α_campo = somatório dos ângulos medidos em campo.
- ∑α_p.g.f = somatório angular em uma poligonal geometricamente fechada com o mesmo número de vértices.

Para os ângulos do exemplo, temos que os ângulos são externos, assim:

$\sum \alpha$_p.g.f = (5 + 2) . 180° = 1260°00'00"
O somatório dos ângulos medidos em campo é igual a:

$\sum \alpha$_campo = 169°52'28" + 331°37'53" + 197°05'43" + 301°58'11" + 259°25'44" = 1259°59'59"
Assim, o erro angular para a presente poligonal é:

$E$_a = 1259°59'58" - 1260°00'00" = -00°00'01"
2.3.1 Tolerância para o erro angular

Para que a compensação do erro de fechamento seja possível, é essencial que este seja inferior ao valor de tolerância previamente estabelecido.

$T$_a = ±k$\sqrt{n}$
Em que: k = coeficiente variável de 1”, 2” ou 3”, função da maior ou menor precisão desejada e n = número de vértices da poligonal.

A condição para distribuir o erro angular é:

$|E$_a| ≤ |T_a|
Para o levantamento do exemplo, a tolerância foi dada por:

$\mathrm{T_a}=\pm 3$ \sqrt{5}$=$±6,71"
Como $\mathrm{<mo>-</mo>6,71"}\le \mathrm{<mo>-</mo>1,0"}\le \mathrm{<mo>+</mo>6,71"}$, pode-se distribuir o erro angular.

2.3.2 Correção angular

O erro angular é distribuído de maneira uniforme entre todos os vértices. A correção angular por vértice é calculada pela seguinte fórmula:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{\mathrm{E_a}}{n})$$
Em que E_a = erro angular e n = número de vértices.

Para o levantamento do exemplo:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{-\mathrm{1,0"}}{5})$=$0,2"
2.3.3 Ângulos corrigidos

Os ângulos corrigidos são determinados pela seguinte equação:

$\alpha$_C= α_i + C_a
Para o ângulo medido em VT₀₂:

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" + 0,2" = 169°52'28,2"
Repetindo o cálculo para os demais ângulos temos:

α_P01 = 331°37'53" + 0,2" = 331°37'53,2"
α_P02 = 197°05'43" + 0,2" = 197°05'43,2"
α_P03 = 301°58'11" + 0,2" = 301°58'11,2"
α_P04 = 259°25'44" + 0,2" = 259°25'44,2"

Para verificar que a poligonal levantada foi corrigida, basta realizar o somatório dos ângulos corrigidos:

$\sum \alpha$_C = 169°52'28,2" + 331°37'53,2" + 197°05'43,2" + 301°58'11,2" + 259°25'44,2" = 1260°00'00"
2.4 Cálculo dos azimutes dos alinhamentos

O azimute é o ângulo horário medido a partir do norte até o alinhamento, abrangendo uma variação de 0° a 360°.

Em projetos envolvendo poligonais topográficas, o azimute de um alinhamento é calculado a partir do azimute do alinhamento anterior e do ângulo horizontal medido, conforme expresso na seguinte equação:

• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido horário.
• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}-\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido anti-horário.

Em que: Az_n é o azimute a se determinar; Az_(n-1) é o azimute do alinhamento anterior; α_i é o ângulo horizontal medido.

2.4.1 Azimute de um alinhamento em função das coordenadas

Em relação a determinação pelas coordenadas, como vimos na postagem sobre orientação, o rumo e o azimute relacionam-se conforme o quadro abaixo:

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$ → As coordenadas dos pontos conhecidos estão em UTM.

• Azimute do alinhamento VT₀₁-VT₀₂.

$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{743.942,882}-\mathrm{743.931,134}}{\mathrm{9.440.805,186\; <mo>-</mo>\; 9.440.803,370}}$)+C$
$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{11,748}}{\mathrm{1,816}}$)+\mathrm{0°}=$81°12'46"
2.4.2 Azimutes dos alinhamentos da poligonal

Utilizando-se da equação exibida no tópico 2.3, calculam-se os azimutes dos alinhamentos da poligonal. O azimute do alinhamento VT02-P01 é calculado inicialmente em função do azimute VT₀₁-VT₀₂ e o ângulo de orientação que foi medido em campo. Assim:

$\mathrm{Az_{VT_<mn>02</mn>P_<mn>01</mn>}}=\mathrm{81°12\text{'}46"\; <mo>+</mo>\; 280°27\text{'}15"}\pm \mathrm{180°}$
$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=\mathrm{361°40\text{'}01"}-\mathrm{180°}=$181°40'01"
Para os demais alinhamentos:

$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=181°40\text{'}01"+331°37\text{'}53,2"-180°=$333°17'54,2"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=333°17\text{'}54,2"+197°05\text{'}43,2"-180°=$350°23'37,4"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=350°23\text{'}37,4"+301°58\text{'}11,2"-180°=$472°21'48,6" - 360° = 112°21'48,6"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=112°21\text{'}48,6"+259°25\text{'}44,2"-180°=$191°47'32,8"

Conferência:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=191°47\text{'}32,8"+169°52\text{'}28,2"-180°=$181°40'01"

2.5 Cálculo das projeções relativas

O cálculo das projeções relativas conecta os azimutes e as distâncias medidas em campo. Quando o levantamento topográfico está alinhado com o norte magnético ou verdadeiro, é necessário que essa direção coincida com o eixo das ordenadas Y. O eixo da abscissa X, por sua vez, forma um ângulo de 90° com o eixo das ordenadas, constituindo assim o par de eixos cartesianos (Veras, 2011).

$\mathrm{x_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{sen(Az_ij)}$
$\mathrm{y_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{cos(Az_ij)}$

• Para a direção X (E).

$\mathrm{x_{VT₀₂-P₀₁}}=\mathrm{50,830}\times sen(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-1,479 m
$\mathrm{x_{P₀₁-P₀₂}}=\mathrm{53,527}\times sen(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$-24,052 m
$\mathrm{x_{P₀₂-P₀₃}}=\mathrm{74,274}\times sen(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$-12,395 m
$\mathrm{x_{P₀₃-P₀₄}}=\mathrm{52,378}\times sen(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$48,439 m
$\mathrm{x_{P₀₄-VT₀₂}}=\mathrm{51,411}\times sen(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-10,507 m

Erro na direção X → $\sum$_xij = Δ_x = 0,007 m

• Para a direção Y (N).

$\mathrm{y_{VT₀₂-P₀₁}}=50,830\times cos(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-50,808 m
$\mathrm{y_{P₀₁-P₀₂}}=53,527\times cos(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$47,819 m
$\mathrm{y_{P₀₂-P₀₃}}=74,274\times cos(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$73,233 m
$\mathrm{y_{P₀₃-P₀₄}}=52,378\times cos(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$-19,929 m
$\mathrm{y_{P₀₄-VT₀₂}}=51,411\times cos(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-50,326 m

Erro na direção Y → $\sum$_yij = Δ_y = -0,012 m

2.5.1 Erro linear

Fonte: Adaptado de Veras, 2011.
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(<mo>\Delta </mo>_x)²\; +\; (<mo>\Delta </mo>_y)²</mn></msqrt></math>}$
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(0,007)²\; <mo>+</mo>\; (<mo>-</mo>0,012)²</mn></msqrt></math>\; <mo>=</mo>\; <b><mn>0,014</mn>\; m</b>}$
2.5.2 Tolerância para o erro linear

$\mathrm{T_L}=\pm d$ \sqrt{L}$$_km
Em que: d é um coeficiente em função da classe da poligonal (Ver NBR 13133); L é o perímetro da poligonal em km.

Para a poligonal do exemplo temos:

d = 0,42 (Coeficiente para uma poligonal classe IIIP (NBR 13133).
L = 50,830 + 53,527 + 74,274 + 52,378 + 51,411 = 282,420 m = 0,28242 km

$\mathrm{T_L}=\pm \mathrm{0,42}$ \sqrt{\mathrm{0,282}}$=$0,223 m
2.6 Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.

As correções das projeções podem ser determinadas proporcionalmente aos lados ou ao módulo da projeção correspondente. O erro em um eixo guarda relação com o perímetro da mesma forma que a correção relativa à projeção de um lado se relaciona com esse lado.

2.6.1 Correção das projeções

• Para a direção X (E).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{x_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=\mathrm{K_x}$

Temos: $\mathrm{C_{x_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_x}$ → Fórmula da Correção na Direção X

Aplicando a fórmula para a direção X, temos:

$\mathrm{K_x}=$ \frac{\mathrm{0,007}}{\mathrm{282,420}}$=\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{x_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0013 m
$\mathrm{C_{x_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0017 m
$\mathrm{C_{x_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\sum$_Cxij = -0,007 m

• Para a direção Y (N).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{y_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Em que: C_xij; C_xij = correção das projeções; P = Perímetro e d_ij = comprimento do alinhamento.

Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=\mathrm{K_y}$

Temos: $\mathrm{C_{y_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_y}$ → Fórmula da Correção na Direção Y

Aplicando a fórmula para a direção Y, temos:

$\mathrm{K_y}=$ \frac{-\mathrm{0,012}}{\mathrm{282,420}}$=-\mathrm{4,231673716}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{y_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0023 m
$\mathrm{C_{y_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0031 m
$\mathrm{C_{y_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\sum$_Cyij = 0,012 m

2.6.2 Projeções corrigidas

Com as correções aplicadas aos alinhamentos, procede-se ao cálculo das projeções ajustadas:

• Para a direção X.

$\mathrm{x_{c_ij}}=\mathrm{x_ij}+\mathrm{C_{x_ij}}$
$\mathrm{x_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>1,479}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-1,480 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>24,052}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0013})=$-24,053 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{<mo>-</mo>12,395}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0017})=$-12,396 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₃P₀₄}}}=\mathrm{48,439}+(-\mathrm{0,0012})=$48,437 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>10,507}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-10,508 m
$\sum$_xcij = 0,000 m

• Para a direção Y.

$\mathrm{y_{c_ij}}=\mathrm{y_ij}+\mathrm{C_{y_ij}}$
$\mathrm{y_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>50,808}+\mathrm{0,0022}=$-50,806 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{47,819}+\mathrm{0,0023}=$47,821 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{73,233}+\mathrm{0,0031}=$73,236 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₃P₀₄}}}=-\mathrm{79,929}+\mathrm{0,0022}=$-19,927 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>-50,326}+\mathrm{0,0022}=$-50,324 m
$\sum$_ycij = 0,000 m

2.7 Cálculo das coordenadas planas dos pontos da poligonal.

As coordenadas do vértice desejado são obtidas somando as coordenadas do vértice anterior à projeção corrigida do alinhamento formado entre esses dois pontos. Matemáticamente a explicação anterior, que para o caso da poligonal do exemplo está em UTM, fica:

$\mathrm{E_n}=\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
$\mathrm{N_n}=\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
Em que:

$\mathrm{E_n}=$ Coordenada Este do ponto de interesse.
$\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Este do vértice anterior.
$\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida x_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.
$\mathrm{N_n}=$ Coordenada Norte do ponto de interesse.
$\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Norte do vértice anterior.
$\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida y_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.

Assim:

• Para as coordenadas E.

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=$743942,882 m
$E$_P01 = 743942,882 + (-1,480) = 743941,402 m
$E$_P02 = 743941,402 + (-24,053) = 743917,349 m
$E$_P03 = 743917,349 + (-12,396) = 743904,953 m
$E$_P04 = 743904,953 + 48,437 = 743953,390 m

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{743953,390}+(-\mathrm{10,508})=$743942,882 m ← conferência.

• Para as coordenadas N.

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=$9440805,186 m
$N$_P01 = 9440805,186 + (-50,806) = 9440754,380 m
$N$_P02 = 9440754,380 + 47,821 = 9440802,201 m
$N$_P03 = 9440802,201 + 73,236 = 9440875,436 m
$N$_P04 = 9440875,436 + (-19,927) = 9440855,510 m

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{9440855,510}+(-\mathrm{50,324})=$9440805,186 m ← conferência.

2.8 Cálculo da área da poligonal

Para o cálculo da área da poligonal, usaremos a Fórmula de Gauss. Gauss desenvolveu uma fórmula notável para calcular a área de qualquer polígono. Essa fórmula utiliza as coordenadas cartesianas dos vértices do polígono.
Vamos considerar um polígono irregular com n lados, e suponha que conhecemos as coordenadas de seus vértices $(E$_n, N_n), n = 1, 2, ... n - 1, sendo o primeiro vértice coincidente com o último.

$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) + (N₀₁×E₀₂ - ... - N_(n-1)×E_n - N_n×E₀₁)
$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) - (N₀₁×E₀₂ + ... + N_(n-1)×E_n + N_n×E₀₁)
$2S=$ |\sum E\times N$$_(n+1) - $\sum N\times E$_(n+1)|
OBS: O cálculo em módulo é para não termos um valor final de área negativo.

• Para a poligonal do exemplo.

$\sum$_E×N(n+1) = 743942,882×9440754,380 + 743941,402×9440802,201 + 743917,349×9440875,436 + 743904,953×9440855,510 + 743953,390×9440805,186 = 3,5116634866×10¹³ m²
$\sum$_N×E(n+1) = 9440805,186×743941,402 + 9440754,380×743917,349 + 9440802,201×743904,953 + 9440875,436×743953,390 + 9440855,510×743942,882 = 3,5116634872×10¹³ m²

Assim:

$2S=$ |\sum \mathrm{3,5116634866\times 10¹³}-\mathrm{3,5116634872\times 10¹³}|$=$5846,703 m²

$S=$ \frac{\mathrm{5846,703}}{2}$=$2923,352 m² ∴ 0,292 ha

2.9 Cálculo dos azimutes corrigidos

Os azimutes corrigidos são determinados em relação às projeções corrigidas ou às coordenadas totais. A atenção aos sinais das projeções é crucial, pois eles indicarão o quadrante no qual o alinhamento está situado.

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$
$\Delta E=$ E$$_(n+1) - $\mathrm{E_n}=\mathrm{x_{C_ij}}$
$\Delta N=$ N$$_(n+1) - $\mathrm{N_n}=\mathrm{y_{C_ij}}$
Desta forma, para os alinhamentos da poligonal do exemplo:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=atan($ \frac{\mathrm{-1,480}}{\mathrm{-50,806}}$)+\mathrm{180°}=$181°40'06"
$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-24,053}}{\mathrm{47,821}}$)+\mathrm{360°}=$333°17'54"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=atan($ \frac{\mathrm{-12,396}}{\mathrm{73,236}}$)+\mathrm{360°}=$350°23'34"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=atan($ \frac{\mathrm{48,437}}{\mathrm{-19,927}}$)+\mathrm{180°}=$112°21'42"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-10,508}}{\mathrm{-50,324}}$)+\mathrm{180°}=$191°47'39"

2.10 Cálculo dos lados corrigidos

Os lados corrigidos são determinados em relação às coordenadas totais ou às projeções corrigidas.

$\mathrm{d_ij}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>E)}}^2$+$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>N)}}^2$}$$

$\mathrm{d_{VT₀₂P₀₁}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-1,480)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,806)}}^2$}$=$50,828 m
$\mathrm{d_{P₀₁P₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-24,053)}}^2$+$ {\mathrm{47,821}}^2$}$=$53,530 m
$\mathrm{d_{P₀₂P₀₃}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-12,396)}}^2$+$ {\mathrm{73,236}}^2$}$=$74,277 m
$\mathrm{d_{P₀₃P₀₄}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{48,437}}^2$+$ {\mathrm{(-19,927)}}^2$}$=$53,376 m
$\mathrm{d_{P₀₄VT₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-10,508)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,324)}}^2$}$=$51,409 m

3 CONCLUSÃO

Dessa forma, a poligonal foi corrigida integralmente, abrangendo tanto os aspectos angulares quanto lineares. No próximo post, procederemos com os cálculos e a elaboração da planta topográfica desse exemplo.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
OLIVEIRA, M. T.; SARAIVA, S. Fundamentos da Topografia. 1998.
VERAS, R. C. Topografia roteiro para cálculo de Poligonal. 54 pag. – 1ª ed. 1997 – EDUFPI – Teresina.

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EXTRA: Ajustamento de uma poligonal fechada pelo Método dos Mínimos Quadrados.