Exercício - Mudança de Planos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE MUDANÇA DE PLANOS

01 - Por mudanças de planos de projeção, situar o ponto (A) no 1º diedro do novo sistema, Dado: (A){-1; -2; -3}.

02 – Submeter o ponto (A) a uma mudança que o situe no 1º diedro no novo sistema. Dado: (A){-5; -3; 5}.

03 – Efetuar uma mudança de plano de projeção, de modo que o ponto (A) venha possuir cota igual ao dobro da primitiva e de sinal contrário. Dado: (A){-2; -2; -1}.

04 – Dado o ponto (A), submete-lo a uma mudança de plano que o situe no (βi) do novo sistema. Dado: (A){-2; -2; -3}.

05 – Dado os pontos (A) e (B), efetuar uma mudança de plano, de modo que o ponto (A) se situe no (βi) e o ponto (B) no (βp) do novo sistema. Dados: (A){-1; -3; -1}, (B){-4; -1; 2}.

06 – Efetuando primeiro uma mudança de plano vertical e posteriormente uma mudança de plano horizontal, situar o ponto (A) na Linha de Terra no 3º sistema de planos. Dados: (A){0; -2; -3}.

07 – Dado o ponto (O), submete-lo à mudança de planos de projeção, tal que seu afastamento se duplique no novo sistema. Dado: (O){-5; -2; -3}.

08 – Submeter o ponto (K) à mudança de plano que torne a sua cota igual a z. Dados: (K){-5; 1; -4}, z = 3.

09 – Tornar fronto-horizontal a reta (M)(N). Dados: (M){-2; -6; -1}, (N){-6; -2; -5}.

10 – Fazer com que a reta (A)(B), após mudanças de planos, fique perpendicular ao plano horizontal, sendo dados: (A){-1; -2; -2}, (B){-4; -1; -1,5}.

11 - Fazer com que a reta (A)(B), após uma mudança de plano horizontal, fique situada no (βi) do novo sistema de planos. Dão-se: (A){-3; -2; -1}, (B){-5; -3; -2}.

12 – Por uma mudança de plano vertical, referir a reta (I)(P) ao sistema no qual se tenha (I)(P) = 5,5 situando (I) no (βi) e (P) no (βp). Dados: (I){-3; -1; -3}, (P){-8; ?; -3}.

13 – Fazer com que a reta qualquer (A)(B), após uma mudança de plano, coincida com a linha de terra no 3º sistema de planos. Dados: (A){-1; -2; -1}, (B){-4; -4; -2}.

14 – Redefinir o ponto (P) ao sistema ortogonal que tenha por linha de terra a reta (A)(B). Dados: (A){ -5; -2; -7}, (B){-5; -6; -2}, (P){ -2; -4; 5}.

15 – É conhecida a projeção ABC de um ângulo reto, bem como a projeção vertical A’B’ de um de seus lados. Determinar, por meio de uma mudança de plano, a projeção vertical B’C’ do outro lado do ângulo. Dão-se: (A){0; -2; -1}, (B){-2; -2,5; -3}, (C){-4; -0,5; ?}.

16 – Tornar de topo o plano (α) perpendicular ao (βi), e que contém a reta (T)(A). Dados: (T){-3; 0; 0}, (A){-5; -3; -1}.

.

17 – Tornar vertical, por uma mudança de plano, o plano (φ) perpendicular ao (βp), e que contém os pontos (T){-3; 0; 0}, (A){-1; -2; 0}.

18 – Tornar vertical, por uma mudança de plano, o plano (φ) paralelo ao (βp), cujo o traço vertical possui cota igual a -2.

.

19 – Tornar paralelo a linha de terra, por uma mudança de plano, o plano (φ) que contém o ponto (T), devendo a nova linha de terra deve passar pelo ponto de abcissa igual -3. Dados: (T){0; 0; 0}, φπ = -60° e φπ' = 45°.

20 – Tornar de topo, por uma mudança de plano, o plano (α) perpendicular ao (βp), e que contém a reta (A)(B). Dados: (A){0; 0; -1,5} e (B){-3; -2; 0}.

.

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TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM COORDENADAS GEODÉSICAS

MEMORIAL DE CÁLCULO: TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM COORDENADAS GEODÉSICAS

DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

DADOS:

N = 7646340,188 m
E = 514513,253 m
Fuso = 19
MC = 69° W

SISTEMA GEODÉSICO DE REFERÊNCIA

SAD-69

a = 6378160,000 m
b = 6356774,719 m
α = 1/298,25

e² = 0,006694542
e’² = 0,006739661


MEMÓRIA DE CÁLCULO

- Referência Inicial.

N₀ = 10000000,000 m
Cte = 500000,00 m

- Coeficientes para o SAD-69.

α = 111133,3486
β = 16038,95511
γ = 16,83348972
δ = 0,021986053
ε = 3,114475*10^-5
ζ = 4,153111*10^-8

- Determinação de q, q², q³, q⁴, q⁵, q⁶.

q = 0,000001*E’
E’ = |Cte – E|
E’ = |500000,00 - 514513,253|
E’ = 14513,253 m q = 0,000001*14513,253
q = 0,014513253
q² = 0,000210635
q³ = 0,000003057
q⁴ = 0,000000044
q⁵ = 0,000000001
q⁶ = 9,345200*10^-12

- Cálculo da Latitude

φ = φ’ – VIII*q² + VIII*q⁴ – D’₆*q⁶

- Determinação de φ’

N’ = 10000000 – N
N’ = 10000000 – 7646340,188
N’ = 2353659,812 m

- 1ª Aproximação:

φ’₁ = (N’/0,9996)*(1/α)
φ’₁ = (2353659,812/0,9996)*(1/111133,3486)
φ’₁ = 21,18717449°

- 2ª Aproximação:

φ’₂ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₁ - γsen4φ’₁ +δsen6φ’₁ - εsen8φ’₁ + ζsen10φ’₁)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₁ = +10809,80212
- γsen4φ’₁ = -16,76283701
+δsen6φ’₁ = +0,017530387
- εsen8φ’₁ = -5,677073*10^-6
+ ζsen10φ’₁ = + (-2,192924*10^-8)
∑ = 2365394,709
φ’₂ = (1/111133,3486)* 2365394,709
φ’₂ = 21,28429257°

- 3ª Aproximação:

φ’₃ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₂ - γsen4φ’₂ + δsen6φ’₂ - εsen8φ’₂ + ζsen10φ’₂)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₂ = +10849,90839
- γsen4φ’₂ = -16,77289758
+δsen6φ’₂ = +0,017394532
- εsen8φ’₂ = -5,261309*10^-6
+ ζsen10φ’₂ = + (-2,252389*10^-8)
∑ = 2365434,806
φ’₃ = (1/111133,3486)* 2365434,806
φ’₃ = 21,28465336°

- 4ª Aproximação:

φ’₄ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₃ - γsen4φ’₃ + δsen6φ’₃ - εsen8φ’₃ + ζsen10φ’₃)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₃ = +10850,05715
- γsen4φ’₃ = -16,77293352
+δsen6φ’₃ = +0,017394024
- εsen8φ’₃ = -5,269763*10^-6
+ ζsen10φ’₃ = + (-2,252609*10^-8)
∑ = 2365434,954
φ’₄ = (1/111133,3486)* 2365434,954
φ’₄ = 21,28465470°

- 5ª Aproximação:

φ’₅ = (1/α)*(B’+βsen2φ’₄ - γsen4φ’₄ + δsen6φ’₄ - εsen8φ’₄ + ζsen10φ’₄)

B’ = N’/K₀
B’ = 2353659,812/0,9996
B’ = 2354601,653

+βsen2φ’₄ = +10850,05770
- γsen4φ’₄ = -16,77293365
+δsen6φ’₄ = +0,017394022
- εsen8φ’₄ = -5,259757*10^-6
+ ζsen10φ’₄ = + (-2,252609*10^-8)
∑ = 2365434,955
φ’₅ = (1/111133,3486)* 2365434,955
φ’₅ = 21,28465470°

Como φ’₅ = φ’₄ então:

φ’ = 21,28465470°
φ’ = 21°17’4,757” S

- Cálculo dos Coeficientes:

VII*q²

VII = (tgφ’/(2N²sen1”))*(1+e’²cos²φ’)*(1/K₀²)*10¹²

tgφ’ = 0,389575202

N = 6378160,000/(1-0,006694542*0,3630016862)^1/2
N = 6380975,082 m

sen1” = 0,000004848
cosφ’ = 0,931788482

VII = (0,389575202/(2*6380975,0822*0,000004848)*(1/0,99962)*10¹²
VII = 993,3304526
VII*q² = 993,3304526*0,000210635
VII*q² = 0,209229676”

VIII*q⁴

VIII = A * (5 + B + C – D – E – F)*(1/K₀⁴)*10²⁴

A = tgφ’/(24*N⁴*sen1”) = 2,019561*10^-24
+B = + 3tg²φ’ = +0,045306514
+C = + 6e’²cos²φ’ = +0,035109445
-D = - 6e’²sen²φ’ = -0,005328520
-E = - 3e’⁴cos⁴φ’ = -0,000102723
-F = - 9e’⁴cos²φ’sen²φ’ = - 0,000046770
∑ = 5,484937947

1/K₀⁴ = 1,001601601
VIII = 2,019561*10^-24*5,484937947*1,001601601*10²⁴
VIII = 11,094908635
VIII*q⁴ = 0,000000492”

D’₆*q⁶

D’₆ = A * (61 + B + C + D – E – F) * (1/K₀⁶) * 10³⁶

A = tgφ’/(720*N⁶*sen1”) = 1,653338*10^-39
+B = + 90tg²φ’ = +13,659195429
+C = + 45tg⁴φ’ = +1,036520110
+D = - 107e’²cos²φ’ = +0,626118443
-E = - 16e’²sen²φ’ = -0,143870033
-F = - 45e’²tg²φ’sen²φ’ = - 0,006065274
∑ = 76,171898675

1/K₀⁶ = 1,002403364

D’₆ = 1,653338*10^-39*76,171898675*1,002403364*10³⁶
D’₆ = 0,126240570
D’₆*q⁶ = 0,000000000”

φ = φ’ – VIII*q² + VIII*q⁴ – D’₆*q⁶
φ = 21°17’4,757” – 0,209229676 + 0,000000492 – 0,000000000
φ = 21°17’4,548” S

- Cálculo da Longitude

Δλ = IX*q – X*q³ + E’₅*q⁵

- Determinação dos Coeficientes:

IX*q

IX = (secφ’/(Nsen1”)*(1/K₀)*10¹⁶

secφ’/(Nsen1”) = 0,034691314

1/K₀ = 1,000400160

IX = 0,034691314*1,000400160*10¹⁶
IX = 34705,19582
IX*q = 34705,19582*0,014513253
IX*q = 503,6853”

X*q³

X = A*(1+B+C)*(1/K₀³)*10¹⁸

A = (secφ’/(6N³sen1”) = 1420023*10^-16
+B = + 2tg²φ’ = + 0,303537676
+C = e’²cos²φ’ = + 0,005851574
∑ = 1,309389250

(1/K₀³) = 1,001200961

X = 1420023*10^-16*1,309389250*1,001200961*10¹⁸
X = 186,159596
X*q³ = 186,159596*0,000003057
X*q³ = 0,00056909”

E’₅*q⁵

E₅ = A*(5+B+C+D+E)*(1/K₀⁵)*10³⁰

A = (secφ’/(120N⁵sen1”) = 1,743778*10^-31
+B = + 28tg²φ’ = 4,249527467
+C = + 24tg⁴φ’ = 0,552810725
+D = + 6e’²cos²φ’ = 0,035109445
+E = + 8e’²sen²φ’ = 0,007104693
∑ = 9,844552331

(1/K₀⁵) = 1,002002402
E’₅ = 1,743778*10^-31*9,844552331*1,002002402*10³⁰
E’₅ = 1,720109287

E’₅*q⁵ = 1,720109287*0,000000001
E’₅*q⁵ = 0,000000001”

Δλ = IX*q – X*q³ + E’₅*q⁵
Δλ = 503,6853 – 0,00056909 + 0,000000001
Δλ = 00°08’23,685”

Como o ponto está a leste do MC temos:

λ = MC - Δλ
λ = 69° - 00°08’23,685”
λ = 68°51’36,315” W

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Minha experiência em Porto de Galinhas.

               Estava eu like a boss, cheio de trabalhos do mestrado para fazer em meu humilde quartinho alugado na cidade de Recife - PE, quando me toquei que estava a quase dois meses em uma cidade litorânea e ainda não tinha andando em praia alguma.

               Então convoquei minha bride para irmos, nessa época ela estava aqui toda morena me fazendo companhia. Após analisar, decidimos ir para Porto de Galinhas, já que em Boa Viagem e cia correríamos o risco de pegar uma mordida de tubarão, e tipo, eu sou um cabra muito macho e parrudo, apesar de estar bem magricelo, provavelmente iria trocar dentadas com um tubarão, alguém ia filmar e eu ia virar inimigo da sociedade protetora dos animais, por esse motivo, para eu não ter um vídeo viral rolando nas redes sociais, mordendo um tubarão decidimos então irmos para Porto de Galinhas.

               Após a decisão para onde iríamos, fomos procurar o meio de ir, a primeira opção foi olhar naquele aplicativo de motorista particulares que deu o que falar nos últimos anos mas, que agora, pelo menos aqui em Recife, está de boa. Porém, dava mais de R$ 100,00 e pessoas ainda não estou me prostituindo para dar esse valor em uma "viagem" de aproximadamente 50km, partindo disto, olhei em um app que tem me salvado muito nesta cidade nova, para ver qual bus pegaríamos, e deu foi certo, o app mostrou que busão, qual o horário para pegar e a previsão, então num sábado (05/05/18) pela manhã: let's go a praia!!!...

               Depois de pegar o bus e passar mais ou menos duas horas nele (detalhe que paguei apenas meia R$ 5,35), chegamos por volta das 9:00 h da manhã (sim saímos cedo pacaralho de casa) na entrada da praia de Porto de Galinhas. Bem como não andamos pela cidade, só posso dizer que no percurso que fizemos, todos os arredores eram bem bonitos e limpos. Ponto positivo!!...
               Só que, ao chegar mais ou menos 300 m da praia, aquele ambiente limpo e bonito, se torna chato pacaralho, para quem é de Teresina - PI, é o mesmo que está andando no Shopping da Cidade, e aquele monte de ambulante: Diga meu bem o que você quer. Lá são um monte de "guias", com panfletos, recomendação "dos melhores lugares", dos passeios de barco, dos mergulhos. Ponto negativo!!...
               Após desviar de muitos guias, tipo muitos mesmo, conseguimos chegar no letreiro da praia, esse da thumb e do início da postagem. E finalmente vimos o mar, que como esperado, muito bonito, uma água verdinha, transparente, perfeita.

               Só que a felicidade de ver uma praia bonita se estraga ao saber dos valores dos aluguéis de barraca e cadeiras. Provavelmente os caras manjam de quem é de fora, quem tá vindo a primeira vez e tals, e como bons brasileiros querem logo meter a faca na jugular, pois bem, um kit com duas cadeiras e uma barraca saía no valor de R$ 45,00 ou você pode simplesmente pode pegar este mesmo kit não pagar por eles, mas, é obrigado a consumir: aí pensei, já que nem eu e nem minha morena somos de beber, compramos um almoço e páh tá resolvido. (péssima escolha!!). Pois, o "almoço" saiu quase o preço do Uber (foi o jeito citar), fora os 10% do garçom, o que eu fico puto é que foi um tira gosto propriamente dito, bem longe de um almoço, era apenas "carne de sol" (suspeito eu, que não era) com batata e macaxeira: Dava para duas pessoas? Dava. Encheu? Encheu. Mas, esse valor absurdo afasta os visitantes, eu mesmo não pretendo ir por lá tão cedo, ainda não me recuperei do baque.

               Se você está procurando paz e sossego, um lugar para relaxar a mente, a Praia de Porto de Galinhas é o lugar onde você não deve ir. Pois bem, você não passa 5 min sem ter um ambulante em sua barraca oferecendo, bebida, arte feita de palha de coco, arte feita de coco, arte feita ao vivo com spray em azulejo, bonecas, pulseira dos primos do manassés, tapetes e até abajur, sim tinha um cara vendendo abajur, fora outras coisas que eu não entendo como uma pessoa acha que vai vender aquilo em uma praia. Praticamente você tem que evitar contato visual com os caras, pois o simples fato de olhar, já é motivo para estacionarem em sua barraca, e você precisa de pelo menos uns 5 nãos, para os caras entenderem que você não quer o produto deles. Um ambiente extremamente bonito visualmente, acaba por se estragar, por essa mania de brasileiro de tentar um oportunismo em qualquer lugar.

               Após o almoço, minha morena e eu fomos banhar e tirar umas fotos, fiz um investimento de R$ 12,00 em uma bolsinha para colocar o celular, morrendo de medo de entrar água, que valeu pena, pois foram muitas fotchênhas dentro d'água, coisa que um pobreta sem condições de com comprar uma GoPro nunca conseguiria fazer. Destaco que este foi o melhor momento de estar na praia, foi o único momento realmente de sossego que tivemos, já que fora d'água no meio das barracas é quase impossível.

Conhecendo a Praia de Porto de Galinhas com a Morena... . . #pauseinstudy #seagreen #portodegalinhasbeach #mar #sol #frio #simfrio #beach #praia #recife #ambulante #muitoambulante #ambulantevendendoabajur

Uma publicação compartilhada por Deniezio Gomes (@deniezio) em 5 de Mai, 2018 às 1:22 PDT

Chamando os tubarões pro X1... #greensea #sea #beach #nofilter #shark #sun #praia #recife #portodegalinhas #mergulho  #peace #paz

Uma publicação compartilhada por Deniezio Gomes (@deniezio) em 5 de Mai, 2018 às 11:09 PDT

               Após isso, fomos embora, e no caminho muitos restaurantes com os pf de R$ 13,00, me fizeram ver o quão trouxa eu fui em cair na lábia do "guia" ao qual fiz a compra casada da barraca e das cadeiras. Mas, é assim, nem todo dia se ganha.

               Dias depois ao conversar com meu amigo que é daqui de Recife, ele me passou os paranauê da coisa, que, os nativos daqui levam sua própria barraca e armam longe da multidão, também levam seu próprio cooler e na hora do almoço desmontam a barraca e vão nos pfs de 13 conto depois voltam. Assim farei em minhas próximas aventuras no decorrer desses dois anos que ficarei em Recife.

               Para finalizar, em um contexto geral, o passeio foi bom, se não tivesse esses problemas que eu falei, teria sido ótimo, minha morena e eu, somos apaixonados por praia, pretendo quando ela voltar aqui para ficar comigo, visitar outras praias, aproveitar que estamos perto de várias, diferentemente de quando estamos em Teresina. Recomendo a quem vai conhecer a primeira vez e quiser gastar pouco, que leve pelo menos uma barraca, é bem barato nesses supermercados atacado, e façam como me recomendaram, montem longe, curtam a vista, se bater a fome vão nos pf dos restaurantes, só não caiam no mesmo vacilo que eu. Então... Flw...

Este texto foi escrito com base em minha experiência galera, a única que tive, nada impede de na próxima eu mudar completamente minha visão deste belo local...

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CÁLCULO DA CONVERGÊNCIA MERIDIANA EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS RETANGULARES

MEMORIAL DE CÁLCULO: CONVERGÊNCIA MERIDIANA EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS RETANGULARES

DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

DADOS:

N = 6645300,918 m
E = 405898,067 m

SISTEMA GEODÉSICO DE REFERÊNCIA

SAD-69

a = 6378160,000 m
b = 6356774,719 m
α = 1/298,25

e² = 0,006694542
e’² = 0,006739661

MEMÓRIA DE CÁLCULO
Referência Inicial.

N₀ = 10000000,000 m
E₀ = 500000,00 m

Coeficientes para o SAD-69.

α = 111133,3486
β = 16038,95511
γ = 16,83348972
δ = 0,021986053
ε = 3,114475.10^-5
ξ = 4,153111.10^-8

Determinação φ₁

N’ = N₀ – N
N’ = 10000000,000 – 6645300,918
N’ = 3354699,082 m

- 1ª Aproximação:

φ₁ = (1/α)*B’₀ ⇒ φ₁ = (1/α)*(N’/K₀)
                K₀ = 0,9996
φ₁ = (1/111133,3486)*(3354699,082/0,9996)
φ₁ = 30,19832967°

- 2ª Aproximação:

φ₂ = (1/α)*(B’₀+βsen²φ₁-γsen⁴φ₁+δsen⁶φ₁-εsen⁸φ₁+ξsen¹⁰φ₁)
                 B’₀ = 3356041,499
                +βsen²φ₁ = +13945,32821
                -γsen⁴φ₁ = -14,460298
                +δsen⁶φ₁ = +(-4,565963*10-4)
                -εsen⁸φ₁ = -2,739298*10-5
                +ξsen¹⁰φ₁ = +(-3,5226790*10-8)
                               ∑ = 3369972,366
φ₂ = 3369972,366/111133,3486
φ₂ =30,32368239°

- 3ª Aproximação:

φ₃ = (1/α)*(B’₀+βsen²φ₂-γsen⁴φ₂+δsen⁶φ₂-εsen⁸φ₂+ξsen¹⁰φ₂)
                 B’₀ = 3356041,499
                +βsen²φ₂ = +13979,8633
                -γsen⁴φ₂ = -14,384328
                +δsen⁶φ₂ = +(-7,450953*10-4)
                -εsen⁸φ₂ = -2,764815*10-5
                +ξsen¹⁰φ₂ = +(-3,473712*10-8)
                               ∑ = 3370006,977
φ₃ = 3370006,977/111133,3486
φ₃ =30,32399383°

- 4ª Aproximação:

φ₄ = (1/α)*(B’₀+βsen²φ₃-γsen⁴φ₃+δsen⁶φ₃-εsen⁸φ₃+ξsen¹⁰φ₃)
                 B’₀ = 3356041,499
                +βsen²φ₃ = +13979,94877
                -γsen⁴φ₃ = -14,384138
                +δsen⁶φ₃ = +(-7,458119*10-4)
                -εsen⁸φ₃ = -2,764877*10-5
                +ξsen¹⁰φ₃ = +(-3,473589*10-8)
                               ∑ = 3370007,063
φ₄ = 3370007,063/111133,3486
φ₄ =30,3239946°

- 5ª Aproximação:

φ₅ = (1/α)*(B’₀+βsen²φ₄-γsen⁴φ₄+δsen⁶φ₄-εsen⁸φ₄+ξsen¹⁰φ₄)
                 B’₀ = 3356041,499
                +βsen²φ₄ = +13979,94898
                -γsen⁴φ₄ = -14,384138
                +δsen⁶φ₄ = +(-7,45813*10-4)
                -εsen⁸φ₄ = -2,764878*10-5
                +ξsen¹⁰φ₄ = +(-3,473588*10-8)
                               ∑ = 3370007,063
φ₅ = 3370007,063/111133,3486
φ₅ =30,3239946°

Como φ₅ = φ₄ devemos parar a interação e fazemos φ₅ = φ₁ = 30°19’26,381” S (porque estamos no hemisfério sul).

Determinação de q:

q = 10^-6*E’
                E’ = E – E₀
                E’ = 405898,067 – 500000,000
                E’ = -94101,933 m
q = 10^-6*(-94101,933)
q = -0,094101933 m

Determinação dos coeficientes (latitude sul – negativa):

XV = (tgφ₁/(N₁sen1”))*(1/K₀)*10⁶
                tgφ₁ = -0,584914743
                N₁ = 6383609,244 (Raio de Curvatura)
                sen1” = 0,000004848
XV = (-0,584914743/(6383609,244*0,000004848))*(1/0,9996)*10⁶
XV = -18907,1104

XVI = (tgφ₁/(3N₁³sen1”))*(1+tg²φ₁-e’²cos²φ₁-2e’⁴cos⁴φ₁)*(1/K₀³)*10¹⁸
                cosφ₁ = 0,863184186
XVI = (-0,584914743 / (3 * 6383609,244³ * 0,000004848)) * (1+(-0,584914743² - 0,006739661 * 0,863184186² - 2 * 0,006739661² * 0,863184186⁴) * (1 / 0,9996³) * 10¹⁸
XVI = -206,9509897

F’₅ = (tgφ₁/(15N₁³sen1”))*(2+5tg²φ₁+3tg⁴φ₁)*(1/K₀⁵)*10³⁰
F’₅ = (-0,584914743 / (15 * 6383609,244₅ * 0,000004848)) * (2 + 5 * (-0,584914743)² + 3 * (-0,584914743)⁴) * (1/0,99965)*10³⁰
F’₅ = -3,088016677

CÁLCULO DA CONVERGÊNCIA MERIDIANA:

γ = XV.q – XVI.q³ + F’₅.q⁵
                q³ = -0,000833289
                q⁵ = -0,000007379
γ = (-18907,1104*(-0,094101933)) – (-206,9509897*(-0,000833289)) + (-3,088016677*(-0,000007379))
γ = 1779,023209”
γ = 00°29’39,02”

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DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

DADOS:

φ = 9°54’20,56” S
λ = 40°50’55,30” W

SISTEMA GEODÉSICO REFERÊNCIA

SAD-69

a = 6378160,000 m
b = 6356774,719 m
α = 1/298,25

e² = 0,006694542
e'² = 0,006739661

MEMÓRIA DE CÁLCULO
Cálculo dos termos:

p = 10^-4*Δλ”
               Δλ” = -6655,3”
p = 10^-4*(-6655,3”)
p = -0,665530000”

XII = senφ*10⁴
               senφ = -0,172027293
XII = -0,172027293*10⁴
XII = -1720,272928

XIII = ((sen²1”*senφ*cos²φ)/3) * (1+3e’²*cos²φ+2e⁴*cos⁴φ)*10¹²
               sen1” = 0,000004848>
               cosφ = 0,985092184
               e = 0,081820180
XIII = ((0,000004848² * (-0,172027293) * 0,985092184²) / 3) * (1 + 3 * 0,006739661 * 0,985092184² * 2 * 0,081820180⁴ * 0,985092184⁴) * 10¹²
XIII = -1,333687703

C’₅ = ((sen⁴1”*senφ*cos⁴φ)/15)*(2-tg²φ)*10²⁰
               tgφ = -0,174630655
C’₅ = ((0,000004848⁴ * (-0,172027293) * 0,985092184⁴) / 15 * (2 * (-0,174630655)² * 10²⁰
C’₅ = -1,175086813 * 10^-3


Cálculo da Convergência Meridiana.

MC = 6*(λ/6)+3

λ/6 → parte inteira dessa divisão.

MC = 6*(40°50’55,3”/6)+3
MC = 6*6°+3
MC = 39° W

γ = (XII)*p+(XIII)*p³+(C’₅)*p⁵
               p³ = -0,294783323”
               p₅ = -0,130568431”
γ = -1720,272928 * (-0,665530000”) + (-1,333687703) * ( -0,294783323”) + ( -1,175086813 * 10^-3) * ( -0,130568431)
γ = 00°19’5,29”

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DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

DADOS:

Coordenadas do ponto A:

φ_A = 7°38’22,83” S
λ_A = 43°09’26,62” W

Coordenadas do ponto B:

φ_B = 7°30’35,17” S
λ_B = 43°05’17,13” W
ELIPSOIDE DE REFERÊNCIA

SAD-69

a = 6378160,000 m
α = 1/298,25
e² = 0,006694542


MEMÓRIA DE CÁLCULO
Cálculo do lado elipsóidico (geodésico).

S senα = X = (Δλ”cosφ_B)/A_B

Δλ” = 249,5”
cosφ_B = 0,991422591

A_B = 1 / N_B*sen1”

sen1” = 0,000004848

N_B = a / (1-e²*sen²φ_B)^1/2

senφ_B = -0,13695241

N_B = 6378160,000 / (1-0,006694542 . (-0,13695241)²)^1/2
N_B = 6378524,706 m

A_B = 1 / (6378524,706*0,000004848)
A_B = 0,03233738454
S senα = X = (249,5” . 0,991422591) / 0,03233738454
S senα = X = 7649,04230

S cosα = Y = 1/B . [ Δφ" - D(δφ")² + Dφ" EX² - CX²]

Δφ" = δφ" = -467,660”

B = 1 / (M_A.sen1”)

M_A = a(1-e²) / (1-e².sen²φ_A)^3/2
M_A = (6378160,00*(1-0,006694542)) / (1-0,006694542.(-0,132942735)²)^3/2
M_A = 6336585,704 m

B = 1 / (6336585,704.0,000004848)
B = 0,032551411

C = tgφ_A / (2M_AN_A.sen1”)

tgφ_A = -0,134133340

N_A = a / (1-e².sen²φ_A)^1/2

senφ_A = -0,132942735

N_A = 6378160,000 / (1-0,006694542.(-0,132942735)²)^1/2
N_A = 6378537,358 m

C = (-0,134133340)/(2.6336585,704.6378537,358.0,000004848)
C = -3,42259*10^-10

D = (3e².senφ_A.cosφ_A.sen1”) / (2.(1-e². sen²φ_A)^3/2)

cosφ_A = 0,991123720

D = (3.0,006694542.(-0,13294275).0,000004848) / (2.((1-0,006694542.(-0,132942735)²)^3/2
D = -6,41588.10^-9

E = (1+3.tg²φ_A )/ (6N_A²)
E = (1+3.(-0,134133340)²) / (6.6378537,358²)
E = 4,31755.10^-15
S cosα = Y = -14366,15723 m

Cálculo do azimute geodésico (α_AB).

tgα = X / Y
tgα = 7649,04230 / (-14366,15723)
tgα = -0,532434817
α = arctan (-0,532434817)
α = 151°58’3,39”

Cálculo do contra-azimute geodésico (α_BA).

α_BA = α_AB - Δλ.senφ_m.sec(Δφ/2)-FΔλ³±180°

Δλ = 00°04’9,49”

senφ_m = 0,131819072

sec(Δφ/2) =1,002302993

α_BA = 151°58’3,39”– 00°04’9,49” . 1,002302993±180°
α_BA = 331°57’30,43”

O termo FΔλ³ foi desprezado porque o Δλ < 17′.

Cálculo da distância geodésica (S).

S senα = X
S = X / senα

senα = 0,469970651

S = 7649,04230 / 0,469970651
S = 16275,57439 m

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LISMARIANE CARDOSO
Graduada em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2017.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.


DADOS:

- Um vértice geodésico A tem coordenadas:

φ_A = 07°20’15,699” S
λ_A = 41°31’58,818” W

- A geodésica que liga a um outro vértice B tem comprimento:

S = 56420,42 m

- E azimute geodésico:

α_AB = 181°55’42,13” (Contado do Sul)

PEDE-SE:

Transportar as coordenadas elipsóidicas do vértice A para o B, calculando o contra-azimute geodésico.

ELIPSOIDE DE REFERÊNCIA

SAD-69

a = 6378160,000 m
α = 1/298,25

SOLUÇÃO
Cálculo da latitude do vértice B. (φ_B)

φ_B = φ_A - Δφ (Para azimutes contados do Sul.)

Δφ = δφ” + D * (δφ”)²

δφ” = B . S . cosα + C . S² . sen²α - h . E . S² . sen²α

B = 1/(M_Asen 1")

M_A = (a(1-e²)) / (1-e² sen²φ_A)^3/2
M_A = 6336499,022 m

B = 0,032551856

C = (tgφ_A)/(2M_AN_Asen 1")

N_A = a / (1-e² sen²φ_A)^1/2
N_A = 6378508,273 m

C = -3,28584*10^-10

D = (3e²senφ_Acosφ_Asen1")/(2(1-e² sen²φ_A)^3/2
D = 0,000000006

E = (1+3tg²φ_A)/(6N_A²)
E = 4,30026201*10^-15

h = B.Scosα
h = -1,83554931.10^3”

δφ” = -1835,550462688”

Δφ” = -1,83557125*10^3”
Δφ = -00°30’35,57”
φ_B = -07°20’15,699” – (-00°30’35,57”)
φ_B = -06°49’40,13” ou 06°49’40,13” S


Cálculo da longitude do vértice B. (λ_B)

λ_B = λ_A - Δλ

Δλ” = (Ssenα/cosφ_B) . A
A = 1 / (N_B . sen1”)

N_B = a / (1-e² sen²φ_B)^1/2
N_B = 6378461,772 m

A = 1 / (6378461,772 . 0,000004848)
A = 0,032337704

Δλ” = ((56420,42 . (-0,033650042)) / 0,992907914) . 0,032337704
Δλ” = -61,83325844”
Δλ = -00°01’1,83”
λ_B = -41°31’58,818” – (-00°01’1,83”)
λ_B = -41°33’0,65” ou 41°33’0,65” W

Cálculo do Contra-azimute. (α_BA)

α_BA = α_AB - Δλ . φ_m . sec(Δφ/2) - FΔλ³ ± 180°

Para o Elipsoide SAD-69, quando Δλ<17' despreza-se o termo FΔλ³, assim:

α_BA = α_AB - Δλ . φ_m . sec(Δφ/2) ± 180°

φ_m = (φ_A + φ_B)/2
φ_m = (-07°20’15,699” + (-06°49’40,13”))/2
φ_m = -07°04’57,91”

senφ_m = -0,12330277

Δφ = φ_A - φ_B
Δφ = 07°20’15,699” - 06°49’40,13”
Δφ = 00°30’35,57”

sec(Δφ/2) = 1,000009899
α_BA = 181°55’42,13” – (-00°01’1,83”) * 1,000009899 ± 180°
α_BA = 01°55’34,51”

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LISMARIANE CARDOSO
Graduada em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2017.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

DADOS I:

As coordenadas geográficas de um vértice A.

φ_A = 06°50’6,89” S
λ_A = 42°36’52,74” W

S = 31624,930 m (Distância esférica entre os dois pontos.)

Az_AB = 16°56’36,53” (Contado do Sul.)

Considere o raio médio da Terra igual a: 6367,50 km

CALCULAR:

1 – As coordenadas geográficas do ponto B.
2 – O Contra-azimute da direção AB.

SOLUÇÃO

1 – As coordenadas geográficas do ponto B.

M = 180° - α_AB
M = 180° - 16°56’36,53”
M = 163°03’23,47”

S’ = S / R
S’ = 31624,930 / 6367500,000 = 0,00496616 rad
S’ = 00°17’4,44”

Cálculo da Latitude de B. (φ_B)

senφ_B = senφ_A . cos S’ + cosφ_A . sen S’ . cosM
senφ_B = sen(-6°50’6,89”) . cos 0°17’4,44” + cos(-6°50’6,89”) . sen 0°17’4,44” . cos 163°03’23,47”
senφ_B = -0,123730572
φ_B = -07°06’26,83” ou 07°06’26,83” S

Cálculo da Longitude de B. (λ_B)

senΔλ = (senM . sen S’) / cosφ_B
senΔλ = (sen163°03’23,47” _. sen 0°17’4,44”) / cos(-07°06’26,83”)
senΔλ = 0,001458614
senΔλ = 00°05’0,86”

λ_B = λ_A - senΔλ
λ_B = -42°36’52,74” – 00°05’0,86”
λ_B = -42°41’53,60” ou 42°41’53,60” W

2 – O Contra-azimute da direção AB. (Ca_AB)

cosM’ = (senφ_A – senφ_B . cos S’) / (cosφ_B . sen S)
cosM’ = 0,956541092
M’ = 16°57’13,05”

Ca_AB = M’ + 180°
Ca_AB = 16°57’13,05” + 180° = 196°57’13,05”


DADOS II:

φ_A = 07°38’22,83”
λ_A = 43°09’26,62”

φ_B = 07°30’35,17”
λ_B = 43°05’17,13”

1 – Calcular a distância esférica entre os dois pontos A e B.
2 – O azimute e o contra-azimute do alinhamento AB.


SOLUÇÃO
1 - Calcular do lado esférico.

S . senα = X = (Δλ”*cosφ_B) / A_B
A_B = 1 / N_B * sen1”
N_B = R_TERRA = 6367500,000 m
A_B = 1/6367500,000 * sen1” = 0,03239337358
Δλ” = (43°09’26,62” – 43°05’17,13”) * 3600 = 249,490”

X = (249,490” * 0,991422591) / 0,03239337358 = 7635,82162 m
2 - O azimute e o contra-azimute do alinhamento AB.

S * cosα = Y = 1 / (B . [(Δφ” – D . (δφ”)² + Δφ” . EX² - CX²])

N_A = R_TERRA = 6367500,000 m
M_A = R_TERRA = 6367500,000 m

B = 1 / (6367500,000*sen1”) = 0,032393374
C =tan(-07°38’22,83”/ (2*6367500,00*6367500,00*sen1”)) = -3,41188*10^-10
D = 0,00
E = 4,33253*10^-10
Δφ” = δφ” = -467,660”

Y = - 14436,29277 m
Azimute.

tanα = X/Y
tanα = -0,528932305
α_AB = arctan(-0,528932305) + 180° = 152°07’27,09”

Contra-azimute.

α_BA = α_AB - Δλ . senφ_m . sec (Δφ/2) ± 180°

α_BA = 332°06’54,20”

Distância entre A e B.

S . senα = X
S = X / senα
S = 7635,82162 / 0,469355595
S = 16331,32943 m

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DENIEZIO GOMES
Graduado em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, UFPI, 2016.

Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da Universidade Federal do Piauí como requisito avaliativo da disciplina de Geodésia II, sob orientação do Msc. José Lincoln de Sousa Meneses.

Dados:

Az_AB = 320°50’46”
X_A = 15578,475 m; Y_A = 2463,107 m

Az_IJ = 44°31’08”
X_I = 17476,084 m; Y_I = 1458,035 m
Dados de Campo:

ESTAÇÃO	PONTO VISADO		ÂNGULO HORIZONTAL	DISTÂNCIA (m)
	Ré	Vante
B	Norte	A
A	B	M1	173°58'32"	330,97
M1	A	M2	182°40'30"	104,43
M2	M1	M3	182°40'30"	189,78
M3	M2	M4	139°56'00"	313,52
M4	M3	M5	146°20'35"	166,66
M5	M4	M6	194°19'00"	755,47
M6	M5	M7	61°57'30"	293,23
M7	M6	M8	226°16'00"	470,28
M8	M7	M9	109°02'00"	290,86
M9	M8	M10	196°00'00"	213,99
M10	M9	I	217°41'26"	156,14
I	M10	J	110°57'00"

SOLUÇÃO
Cálculo do Erro Angular. (E_a)

E_a = Az_final - Az_IJ

Az_f = 140°50’46” + (173°58’32” + 182°40’30” + 139°56’00” + 146°20’35” + 194°19’00” + 304°19’00” + 61°57’30” + 226°16’00” + 109°02’00” + 196°00’00” + 217°41’26” + 110°57’00”) – (12 * 180°)
Az_f = 140°50’46” + 2063°39’33” – 2160°00’00”
Az_f = 44°30’19”
E_a = 44°30’19” – 44°31’08”
E_a = – 00°00’49”

Cálculo da Tolerância Angular. (T_a)

T_a = ± 2’ * n^0,5
T_a = ± 2’ * 12^0,5
T_a = ± 6,93’

Condição para a distribuição do erro angular : E_a ≤ T_a

00°00’49” ≤ 6,93’
Cálculo da Correção Angular por Vértice. (C_a)

C_a = -((E_a)/n) C_a = – ((– 00°00’49”)/12)
C_a = 00°00’4,08”

Cálculo dos Ângulos Corrigidos por Vértice. (A_n)

A_n = Â_a + C_a

A = 173°58’32” + 00°00’4,08” = 173°58’36,08”
M₁ = 182°40’30” + 00°00’4,08” = 182°40’34,08”
M₂ = 139°56’00” + 00°00’4,08” = 139°56’4,08”
M₃ = 146°20’35” + 00°00’4,08” = 146°20’39,08”
M₄ = 194°19’00” + 00°00’4,08” = 194°19’4,08”
M₅ = 304°19’00” + 00°00’4,08” = 304°31’4,08”
M₆ = 61°57’30” + 00°00’4,08” = 61°57’34,08”
M₇ = 226°16’00” + 00°00’4,08” = 226°16’4,08”
M₈ = 109°02’00” + 00°00’4,08” = 109°02’4,08”
M₉ = 196°00’00” + 00°00’4,08” = 196°00’4,08”
M₁₀ = 217°41’26” + 00°00’4,08” = 217°41’30,08”
M_I = 110°57’00” + 00°00’4,08” = 110°57’4,08”

Cálculo dos Azimutes. (Az)

Az_n = Az_n-1 + α_n ± 180°
Az_final = Az_inicial + ∑α_i – (n*180°)
Az_inicial = Az_BA = Az_AB – 180°

Az_BA = 320°50’46” – 180°
Az_BA = 140°50’46”

Az_BA = 140°50’46”
Az_AM1 = 140°50’46” + 173°58’36,08” ± 180° = 134°49’22,08”
Az_M1M2 = 134°49’22,08” + 182°40’3408” ± 180° = 137°29’56,17”
Az_M2M3 = 137°29’56,17” + 139°56’4,08” ± 180° = 97°26’0,25”
Az_M3M4 = 97°26’0,25” + 146°20’39,08” ± 180° = 63°46”39,33”
Az_M4M5 = 63°46”39,33” + 194°19’4,08” ± 180° = 78°05’43,42”
Az_M5M6 = 78°05’43,42” + 304°31’4,08” ± 180° = 202°36’47,50”
Az_M6M7 = 202°36’47,50” + 61°57’34,08” ± 180° = 84°34’21,58”
Az_M7M8 = 84°34’21,58” + 226°16’4,08” ± 180° = 130°50’25,67”
Az_M8M9 = 130°50’25,67” + 109°02’4,08” ± 180° = 59°52’29,75”
Az_M9M10 = 59°52’29,75” + 196°00’4,08” ± 180° = 75°52’33,83”
Az_M10I = 75°52’33,83” + 217°41’30,08” ± 180° = 113°34’3,92”
Az_IJ = 113°34’3,92” + 110°57’4,08” ± 180° = 44°31’08”

Cálculo das Projeções Relativas. (x_i, y_i)

x_i = d*senAz_i

x_AM1 = 330,97 * sen(134°49’22,08”) = 234,754 m
x_M1M2 = 104.43 * sen(137°29’56,17”) = 70,553 m
x_M2M3 = 189,78 * sen(97°26’0,25”) = 188,185 m
x_M3M4 = 313,52 * sen(63°46’39,33”) = 281,254 m
x_M4M5 = 166,66 * sen(78°05’43,42”) = 163,076 m
x_M5M6 = 755,47 * sen(202°36’47,50”) = -290,48 m
x_M6M7 = 293,23 * sen(84°34’21,58”) = 291,915 m
x_M7M8 = 470,28 * sen(130°50’25,67”) = 355,783 m
x_M8M9 = 290,86 * sen(59°52’29,75”) = 251,574 m
x_M9M10 = 213,99 * sen(75°52’33,83”) = 207,521 m
x_M10I = 156,14 * sen(113°34’3,92”) = 143,116 m

∑x = 1897,247 m
y_i = d*cosAz_i

y_AM1 = 330,97 * cos(134°49’22,08”) = -233,306 m
y_M1M2 = 104.43 * cos(137°29’56,17”) = -76,993 m
y_M2M3 = 189,78 * cos(97°26’0,25”) = -24,553 m
y_M3M4 = 313,52 * cos(63°46’39,33”) = 138,531 m
y_M4M5 = 166,66 * cos(78°05’43,42”) = 34,379 m
y_M5M6 = 755,47 * cos(202°36’47,50”) = -697,391 m
y_M6M7 = 293,23 * cos(84°34’21,58”) = 27,735 m
y_M7M8 = 470,28 * cos(130°50’25,67”) = -307,542 m
y_M8M9 = 290,86 * cos(59°52’29,75”) = 145,980 m
y_M9M10 = 213,99 * cos(75°52’33,83”) = 52,218 m
y_M10I = 156,14 * cos(113°34’3,92”) = -62,430 m

∑y = -1003,372 m
Cálculo do Erro Linear Total. (El)

El = ((ΔX)²+(ΔY)²)^0,5

ΔX = ∑x – (X_final – X_inicial)
ΔX = 1897,247 – (17476,084 – 15578,475) = - 0,362 m

ΔY = ∑y – (Y_final – Y_inicial)
ΔY = - 1003,372 – (1458,035 – 2463,107) = 1,700 m
El = ((-0,362)²+(1,700)²)^0,5 = 1,738 m

A precisão linear (Pl) obtida será: Pl = El / P ou Pl = 1/(P/El), onde P = perímetro.

P = 330,97 + 104.43 + 189,78 + 313,52 + 166,66 + 755,47 + 293,23 + 470,28 + 290,86 + 213,99 + 156,14
P = 3285,330 m

Pl = 1,738 / 3285,330 = 1/1890

Erro Relativo ≤ Tolerância Linear
Tolerância Linear = 0,01 * P^0,5 ⇒ Tl = 0,01*(3285,330)^0,5 ⇒ Tl = 0,573 m
1/1890 ≤ 0,573

Cálculo das Correções das Projeções Relativas. (Cx_i, Cy_i)

Cx_i = -(Kx*D_i)

Kx = ΔX/P = - 0,362/3285,330 = - 0,000110175
Cx_AM1 = - (- 0,000110175) * 330,97 = 0,036 m
Cx_M1M2 = - (- 0,000110175) * 104.43 = 0,012 m
Cx_M2M3 = - (- 0,000110175) * 189,78 = 0,021 m
Cx_M3M4 = - (- 0,000110175) * 313,52 = 0,035 m
Cx_M4M5 = - (- 0,000110175) * 166,66 = 0,018 m
Cx_M5M6 = - (- 0,000110175) * 755,47 = 0,083 m
Cx_M6M7 = - (- 0,000110175) * 293,23 = 0,032 m
Cx_M7M8 = - (- 0,000110175) * 470,28 = 0,052 m
Cx_M8M9 = - (- 0,000110175) * 290,86 = 0,032 m
Cx_M9M10 = - (- 0,000110175) * 213,99 = 0,024 m
Cx_M10I = - (- 0,000110175) * 156,14 = 0,017 m

Cy_i = Ky*D_i

Ky = ΔY/P = 1,700/3285,330 = 0,000517467
Cy_AM1 = - 0,000517467* 330,97 = - 0,171 m
Cy_M1M2 = - 0,000517467* 104.43 = - 0,054 m
Cy_M2M3 = - 0,000517467* 189,78 = - 0,098 m
Cy_M3M4 = - 0,000517467* 313,52 = - 0,162 m
Cy_M4M5 = - 0,000517467* 166,66 = - 0,086 m
Cy_M5M6 = - 0,000517467* 755,47 = - 0,391 m
Cy_M6M7 = - 0,000517467* 293,23 = - 0,152 m
Cy_M7M8 = - 0,000517467* 470,28 = - 0,243 m
Cy_M8M9 = - 0,000517467* 290,86 = - 0,151 m
Cy_M9M10 = - 0,000517467* 213,99 = -0,111 m
Cy_M10I = - 0,000517467* 156,14 = - 0,081 m

Cálculo das Projeções Corrigidas. (xc_i, yc_i)

xc_i = x + Cx

xc_AM1 = 234,754 + 0,036 = 234,790 m
xc_M1M2 = 70,553 + 0,012 = 70,565 m
xc_M2M3 = 188,185 + 0,021 = 188,206 m
xc_M3M4 = 281,254 + 0,035 = 281,280 m
xc_M4M5 = 163,076 + 0,018 = 163,094 m
xc_M5M6 = -290,48 + 0,083 = -290,401 m
xc_M6M7 = 291,915 + 0,032 = 291,948 m
xc_M7M8 = 355,783 + 0,052 = 355,834 m
xc_M8M9 = 251,574 + 0,032 = 251,606 m
xc_M9M10 = 207,521 + 0,24 = 207,545 m
xc_M10I = 143,116 + 0,017 = 143,133 m

yc_i = y + Cy

yc_AM1 = -233,306 + (-0,171) = -233,477 m
yc_M1M2 = -76,993 + (-0,054) = -77,047 m
yc_M2M3 = -24,553 + (-0,098) = -24,651 m
yc_M3M4 = 138,531 + (-0,162) = 138,369 m
yc_M4M5 = 34,379 + (-0,086) = 34,293 m
yc_M5M6 = -697,391 + (-0,391) = -697,782 m
yc_M6M7 = 27,735 + (-0,152) = 27,583 m
yc_M7M8 = -307,542 + (-0,243) = -307,785 m
yc_M8M9 = 145,980 + (-0,151) = 145,829 m
yc_M9M10 = 52,218 + (-0,111) = 52,107 m
yc_M10I = -62,430 + (-0,081) = -62,511 m

Cálculo das Coordenadas Totais. (X_i, Y_i)

X_i = X_i-1 + xc_i-1

X_A = 15578,475 m
X_M1 = 15578,475 + 234,790 = 15813,265 m
X_M2 = 15813,265 + 70,565 = 15883,830 m
X_M3 = 15883,830 + 188,206 = 16072,036 m
X_M4 = 16072,036 + 281,289 = 16353,325 m
X_M5 = 16353,325 + 163,094 = 16516,419 m
X_M6 = 16516,419 + (-290,401) = 16226,018 m
X_M7 = 16226,018 + 291,948 = 16517,966 m
X_M8 = 16517,966 + 355,834 = 16873,800 m
X_M9 = 16873,800 + 251,606 = 17125,406 m
X_M10 = 17125,406 + 207,545 = 17332,951 m
X_I = 17332,951 + 143,133 = 17476,084 m

Y_i = Y_i-1 + yc_i-1

Y_A = 2463,107 m
Y_M1 = 2463,107 + (-233,477) = 2229,630 m
Y_M2 = 2229,630 + (-77,047) = 2152,583 m
Y_M3 = 2152,583 + (-24,651) = 2127,932 m
Y_M4 = 2127,932 + 138,369 = 2266,301 m
Y_M5 = 2266,301 + 34,293 = 2300,594 m
Y_M6 = 2300,594 + (-697,782) = 1602,812 m
Y_M7 = 1602,812 + 27,583 = 1630,395 m
Y_M8 = 1630,395 + (-307,785) = 1322,610 m
Y_M9 = 1322,610 + 145,829 = 1468,439 m
Y_M10 = 1468,439 + 52,107 = 1520,546 m
Y_I = 1520,546 + (-62,511) = 1458,035 m

ESCALA DO DESENHO

Para encontrar a escala da planta, temos duas escalas prováveis, uma na direção X e outra na direção Y. Basta escolher aquela que melhor satisfaz a todas as coordenadas da planta, mas, antes de escolher a escala da planta alguns cálculos devem ser tomados.

Papel A3 (420x297) mm.

X_c = (X_max + X_min)/2 = (17476,084+15578,475)/2 = 16527,280 m;
Y_c = (Y_max + y_min)/2 = (2463,107 + 1322,610)/2 = 1892,858 m;
d_x = (420 – 25 – 7 – 100) mm = 288 mm = 28,800 cm = 0,288 m;
d_y = (297 – 14) mm = 283 mm = 28,300 cm = 0,283 m;.
D_x = (X_max - X_min) = 17476,084 – 15578,475 = 1897,609 m;
D_y = (Y_max - Y_min) = 2463,107 – 1322,610 = 1140,497 m.

Ex = 1/(D_x/d_x) = 1/(1897,609/0,288) = 1/6589 ⇒ Ex = 1/7500
Ey = 1/(D_y/d_y) = 1/(1140,497/0,283) = 1/4030 ⇒ Ey = 1/5000

A escala que será usada será: E = 1/7500

Valores iniciais do reticulado (X₀; Y₀)

ΔX = ΔY = (4 * 7500)/100 = 30000/100 = 300,000 m

X₀ = [int (X_c/ΔX)] * ΔX = [16527,280/300] * 300 = 55 * 300 = 16500,000 m
Y₀ = [int (Y_c/ΔY)] * ΔY = [1892,858/300] * 300 = 6 * 300 = 1800,000 m

Recuos

X_c – X₀ = 16527,280 – 16500,000 = 27,280 m o que nos dá um recuo de 0,40 cm para esquerda a partir do eixo central em X (X_c).
Y_c – Y₀ = 1892,858 – 1800,000 = 92,858 m, o que nos dá um recuo de 1,2 cm para baixo a partir do eixo central em Y (Y_c).

Cálculo dos Azimutes Corrigidos.

Os azimutes corrigidos são em função das projeções corrigidas ou das coordenadas totais. É importante observar os sinais das projeções, pois eles definirão o quadrante em que o alinhamento está contido.

QUADRANTE	SINAIS	AZIMUTES
I	ΔX + ΔY +	arctan(ΔX/ΔY)
II	ΔX + ΔY -	arctan(ΔX/ΔY) + 180°
III	ΔX - ΔY -	arctan(ΔX/ΔY) + 180°
IV	ΔX - ΔY +	arctan(ΔX/ΔY) + 360°

ΔX = X_i+1 – X_i = xc_i
ΔX = Y_i+1 – Y_i = yc_i
Az_BA = 140°50’46”
Az_AM1 = arctan(234,790/(-233,477)) + 180° = 134°50’21,74”
Az_M1M2 = arctan(70,565 / (-77,047)) + 180° = 137°30’51,50”
Az_M2M3 = arctan(188,206 / (-24,651)) + 180° = 97°27’43,13”
Az_M3M4 = arctan(281,289 / 138,369) = 63°48’25,14”
Az_M4M5 = arctan(163,094 / 34,293) = 78°07’32,54”
Az_M5M6 = arctan(-290,401/(-697,782)) + 180° = 202°35’45,51”
Az_M6M7 = arctan(291,948 / 27,583) = 84°36’9,98”
Az_M7M8 = arctan(355,834/(-307,785)) + 180° = 130°51’31,53”
Az_M8M9 = arctan(251,606 / 145,829) = 59°54’13,49”
Az_M9M10 = arctan(207,545 / 52,107) = 75°54’22,89”
Az_M10I = arctan(143,133/(-62,511)) + 180° = 113°35’32,64”

Cálculo dos Lados Corrigidos.

D = (ΔX²+ ΔY²)^0,5

ΔX = X_i+1 – X_i = xc_i
ΔX = Y_i+1 – Y_i = yc_i
D_AM1 = (234,790² + (-233,477)²)^0,5 = 311,117 m
D_M1M2 = (70,565² + (-77,047)²)^0,5 = 104,478 m
D_M2M3 = (188,206² + (-24,651)²)^0,5 = 189,813 m
D_M3M4 = (281,289² + (138,369)²)^0,5 = 313,479 m
D_M4M5 = (163,094² + (34,293)²)^0,5 = 166,660 m
D_M5M6 = (-290,401² + (-697,782)²)^0,5 = 755,799 m
D_M6M7 = (291,948² + (27,583)²)^0,5 = 293,248 m
D_M7M8 = (355,834² + (-307,785)²)^0,5 = 470,478 m
D_M8M9 = (251,606² + (145,829)²)^0,5 = 290,812 m
D_M9M10 = (207,545² + (52,107)²)^0,5 = 213,986 m
D_M10I = (143,133² + (-62,511)²)^0,5 = 156,188 m

MEMORIAL DESCRITIVO

Perímetro: 3286,059 m
Orientação: Norte de Quadricula.


Descrição da quadricula

            A poligonal começa no marco A, seguindo com azimute de 134°50’21,74” e distância de 331,117 m até encontrar o marco M1, seguindo de M1 com azimute de 137°30’51,50” e distância de 104,478 m , encontra-se o marco M2, de M2 com azimute de 97°27’43,13” e distância de 189,813 m, encontramos o marco M3, deste marco, parte com azimute 63°48’25,14” e distância 313,479 m até encontrar o marco M4, desse marco parte-se com azimute de 78°07’32,54” e distância 166,660 m, seguindo até encontrar o marco M5, de onde parte com azimute de 202°35’45,51” e distância de 755,799 m , segue e encontra o marco M6, de onde partindo com azimute de 84°36’9,98” e distância de 293,248 m, segue até encontrar o marco M7, de M7 com azimute de 130°51’31,53” e distância de 470,478 m chega-se no vértice M8, dessa marcação segue com azimute de 59°54’13,49” e distância horizontal de 290,812 m, direcionando-se até o marco M9, deste, com azimute de 75°54’22,89” e distância de 213,986 m, localiza-se o ponto M10, de onde parte-se com azimute de 113°35’32,64” e distância 156,188 m até encontrar o marco I, finalizando assim o nosso levantamento, cujo o perímetro mede 3286,059 m.

PLANTA TOPOGRÁFICA

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