Em levantamentos geodésicos, é comum que diferentes observações relacionadas a uma mesma grandeza apresentem pequenas inconsistências devido à presença de erros. Quando existe redundância, torna-se necessário um critério matemático que permita obter uma solução única e estatisticamente ótima. O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) fornece esse critério, sendo a base de todo o ajustamento moderno em Geodésia.
Aula 019 – Conceito e Fundamentação do Método dos Mínimos Quadrados
Objetivos
- Compreender o problema das observações redundantes.
- Entender o conceito do Método dos Mínimos Quadrados.
- Interpretar o significado físico e estatístico do MMQ.
- Conhecer o princípio de minimização da soma dos quadrados dos resíduos.
- Preparar a base conceitual para a formulação matemática do método.
1. O problema das observações redundantes
Considere uma grandeza observada várias vezes: 100,012; 100,018; 100,010.
Devido aos erros aleatórios, os valores não são iguais. Surge então a pergunta: Qual é o melhor valor a ser adotado?
Se o número de observações é maior que o número de incógnitas:
O sistema é redundante e, em geral, incompatível.
2. Conceito de resíduo
No ajustamento, define-se:
ou seja:
Os resíduos representam os erros remanescentes após o ajustamento.
3. Princípio do Método dos Mínimos Quadrados
O MMQ estabelece que: A melhor solução é aquela que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.
Matematicamente:
Se as observações possuem pesos diferentes:
Em que:
- (P) é a matriz de pesos.
4. Por que minimizar os quadrados?
- a) Evita compensações.
Se fosse minimizada a soma simples:
Resíduos positivos e negativos poderiam se anular.
- b) Penaliza erros grandes
O quadrado aumenta a influência de resíduos grandes.
- c) Fundamentação estatística
Se os erros são:
- Aleatórios.
- Independentes.
- Normalmente distribuídos.
Então o MMQ fornece o estimador de máxima verossimilhança.
5. Interpretação física
O MMQ busca:
- A melhor concordância global entre observações e modelo.
- A solução mais provável.
- A distribuição mais equilibrada dos erros.
Observações com maior peso influenciam mais o resultado.
6. Exemplo Conceitual
Três observações de uma distância (m): 100,012; 100,018; 100,010.
O valor médio é:
Esse valor é aquele que minimiza:
Ou seja, a média aritmética é um caso particular do MMQ para pesos iguais.
7. Exercício Proposto
Quatro observações (m): 50,006; 50,010; 50,004; 50,008.
Determine o valor que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.
7.1 Resposta Final Esperada
8. Importância em Geodésia
O Método dos Mínimos Quadrados é utilizado em:
- Redes geodésicas planimétricas e altimétricas
- Ajustamento de poligonais
- Nivelamento de alta precisão
- Processamento de dados GNSS
- Integração de diferentes tipos de observações
Todo o ajustamento moderno em Geodésia é baseado nesse princípio.
9. Conclusão
O Método dos Mínimos Quadrados fornece um critério rigoroso para resolver sistemas redundantes e inconsistentes. Ao minimizar a soma ponderada dos quadrados dos resíduos, o método produz a solução mais provável e estabelece a base teórica para o ajustamento geodésico.
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