Ajustamento de Observações Geodésicas: Propriedades das Matrizes Simétricas e Positivas Definidas.

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Aula 016 – Propriedades das Matrizes Simétricas e Positivas Definidas

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Objetivos da Aula

1. Entender o conceito de matriz simétrica.
2. Compreender o que é uma matriz positiva definida.
3. Reconhecer a importância dessas propriedades no Método dos Mínimos Quadrados.
4. Relacionar essas características à estabilidade do ajustamento geodésico.

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1. Matrizes no Ajustamento de Observações

No Método dos Mínimos Quadrados aparecem matrizes fundamentais:

• Matriz variância–covariância: ∑
• Matriz de pesos: P
• Matriz normal: N = A^TPA

Todas elas possuem duas propriedades essenciais:

• Simetria.
• Positividade definida.

Essas propriedades garantem que o problema tenha solução única e estável.

2. Matriz Simétrica

Uma matriz é simétrica quando:

Ou seja:

Exemplo

2.1 Importância em Geodésia

São simétricas:

• Matrizes de covariância.
• Matrizes de pesos.
• Matrizes normais.

Isso reduz o esforço computacional e garante propriedades matemáticas importantes.

3. Forma Quadrática

Considere um vetor não nulo (x). A expressão:

É chamada de forma quadrática. O sinal dessa expressão define o tipo da matriz.

4. Matriz Positiva Definida

Uma matriz simétrica é positiva definida se:

Para todo vetor x ≠ 0.

4.1 Interpretação física

No contexto do ajustamento:

• Representa energia ou variância positiva.
• Garante que não existem soluções ambíguas.
• Assegura mínimo único na função dos mínimos quadrados.

5. Relação com o Método dos Mínimos Quadrados

A função minimizada é:

Se (P) é positiva definida:

• Φ > 0
• O mínimo é único

Além disso:

Também é simétrica e positiva definida, garantindo: N^-1.

Sem isso, o ajustamento não pode ser resolvido.

6. Condições para Positividade Definida

Uma matriz é positiva definida quando:

1. É simétrica.
2. Todos os seus autovalores são positivos.
3. Seus menores principais são positivos.

Na prática geodésica, isso ocorre quando:

• Há redundância suficiente.
• Não existe dependência linear entre observações.

7. Exemplo Resolvido

Considere:

• Passo 1 – Verificar simetria.

Simétrica ✔️.

• Passo 2 – Verificar menores principais.

Positiva definida ✔️.

7.1 Interpretação

Uma matriz normal com essa estrutura garante solução única no ajustamento.

8. Exemplo Proposto

Verifique se a matriz é positiva definida:

8.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

9. Conclusão

Matrizes simétricas e positivas definidas são fundamentais no Método dos Mínimos Quadrados. Elas garantem estabilidade numérica, existência da inversa da matriz normal e unicidade da solução no ajustamento geodésico.

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