Ajustamento de Observações Geodésicas: Construção da Matriz de Pesos.

A qualidade das observações em um ajustamento geodésico não é, em geral, uniforme, pois diferentes instrumentos, métodos e condições de medição produzem níveis distintos de precisão. Para levar essas diferenças em consideração, utiliza-se a matriz de pesos, que permite atribuir maior influência às observações mais precisas e menor influência às menos confiáveis. A correta construção dessa matriz é essencial para obter resultados estatisticamente consistentes no Método dos Mínimos Quadrados.

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Aula 018 – Construção da Matriz de Pesos

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Objetivos

1. Compreender o conceito de peso de uma observação.
2. Relacionar pesos com variância e precisão.
3. Construir a matriz de pesos a partir das variâncias.
4. Entender a relação entre matriz de pesos e matriz variância–covariância.
5. Aplicar o conceito em exemplos práticos de Geodésia.

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1. Conceito de peso

No Método dos Mínimos Quadrados, cada observação recebe um peso proporcional à sua confiabilidade. Quanto maior a precisão da observação, maior deve ser seu peso.

O peso p_i é definido por:

Em que:

• σ_i² é a variância da observação.

2. Interpretação física

• Observação com pequeno desvio padrão → alta precisão → grande peso
• Observação com grande desvio padrão → baixa precisão → pequeno peso

Isso garante que observações mais confiáveis tenham maior influência no resultado do ajustamento.

3. Matriz de pesos

Para um conjunto de observações:

A matriz de pesos é:

Se as observações forem independentes, a matriz é diagonal.

4. Relação com a matriz variância–covariância

A matriz de pesos é a inversa da matriz variância–covariância:

Se existir correlação entre observações, (P) deixa de ser diagonal.

5. Pesos relativos

Em muitos casos, as variâncias absolutas não são conhecidas. Utilizam-se então pesos relativos.

Exemplo: Se três observações têm precisões proporcionais a:

Então os pesos podem ser:

Os pesos são definidos em escala relativa, o que é suficiente para o ajustamento.

6. Aplicações em Geodésia

Exemplos típicos:

• Distâncias medidas com estação total e GNSS.
• Ângulos com diferentes números de repetições.
• Nivelamento com trechos de diferentes extensões.
• Integração de observações de diferentes instrumentos.

7. Exemplo Resolvido

Considere três observações com desvios padrão: σ₁ = 0,004 m; σ₂ = 0,006 m; σ₃ = 0,010 m.

Passo 1 – Variâncias

σ₁² = 0,000016

σ₂² = 0,000036

σ₃² = 0,000100

Passo 2 – Pesos

p₁ = 62.500

p₂ = 27.778

p₃ = 10.000

Passo 3 – Matriz de pesos

8. Exercício Proposto

Duas observações possuem: σ₁ = 0,005 m; σ₂ = 0,008 m.

8.1 Determine:

a) Os pesos individuais

b) A matriz de pesos

8.2 Resposta final espeerada

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9. Conclusão

A matriz de pesos permite considerar as diferentes precisões das observações no ajustamento. Sua construção adequada garante que observações mais confiáveis tenham maior influência, contribuindo para resultados mais precisos e estatisticamente consistentes.

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