Ajustamento de Observações Geodésicas: Derivação Matemática do Critério de Mínimos Quadrados.

No Método dos Mínimos Quadrados, a solução do problema de ajustamento é obtida a partir de um princípio de otimização. Esse princípio estabelece que os parâmetros devem ser determinados de forma a minimizar a soma ponderada dos quadrados dos resíduos. Nesta aula, é apresentada a derivação matemática desse critério, que conduz diretamente às equações normais do ajustamento paramétrico.

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Aula 020 – Derivação Matemática do Critério de Mínimos Quadrados

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Objetivos

1. Formular matematicamente o problema de mínimos quadrados.
2. Expressar os resíduos em função das incógnitas.
3. Construir a função objetivo do ajustamento.
4. Derivar a condição de mínimo.
5. Obter a equação fundamental do MMQ.

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1. Modelo linear de observações

Considere o modelo paramétrico linear:

Em que:

• L = vetor de observações (n × 1)
• v = vetor de resíduos
• A = matriz dos coeficientes (n × u)
• x = vetor de incógnitas (u × 1)

Isolando os resíduos:

2. Função objetivo

O critério dos mínimos quadrados estabelece que deve ser minimizada a soma ponderada dos quadrados dos resíduos:

Em que:

• P = matriz de pesos (simétrica e positiva definida)

Substituindo ( v ):

Essa função depende apenas das incógnitas x.

3. Expansão da função

Expandindo:

O último termo não depende de x e não influencia o mínimo.

4. Condição de mínimo

Para que a função seja mínima:

Derivando em relação a (x):

Dividindo por 2:

5. Equações normais

Definindo:

Obtém-se o sistema:

Se (N) for invertível:

Essa é a solução do Método dos Mínimos Quadrados.

6. Interpretação matemática

A derivação mostra que o MMQ é um problema de otimização quadrática.

Como:

• P é positiva definida.
• N = A^T P A também é positiva definida

A função Φ possui:

• Um único mínimo global.
• Solução única e estável.

7. Exemplo Resolvido

Três observações de uma distância (pesos iguais):

Modelo:

Como P = I:

• Passo 1 – Matriz normal

• Passo 2 – Segundo membro

• Passo 3 – Solução

8. Exercício Proposto

Quatro observações (pesos iguais): 50,006; 50,010; 50,004; 50,008. Determine o valor ajustado utilizando o critério dos mínimos quadrados.

8.1 Resposta Final Esperada

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9. Conclusão

A derivação do critério de mínimos quadrados mostra que a solução do ajustamento é obtida pela minimização da soma ponderada dos quadrados dos resíduos. Esse princípio conduz às equações normais, que constituem a base matemática de todo o ajustamento geodésico.

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