Ajustamento de Observações Geodésicas: Covariância e Correlação entre Observações.

Em muitos levantamentos geodésicos, as observações não são completamente independentes, pois podem compartilhar fontes comuns de erro. Nessas situações, torna-se necessário analisar a covariância e a correlação entre medições. Compreender essas relações é fundamental para representar corretamente a matriz variância–covariância e garantir resultados confiáveis no ajustamento.

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Aula 017 – Covariância e Correlação entre Observações

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Objetivos da Aula

1. Compreender o conceito de covariância entre observações.
2. Entender o significado físico da correlação.
3. Interpretar a dependência estatística entre medições.
4. Relacionar covariância e correlação à matriz variância–covariância.
5. Avaliar o impacto da correlação no ajustamento geodésico.

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1. Observações independentes e dependentes

Nas aulas anteriores consideramos, na maioria dos casos:

Isso significa que as observações são independentes.

Porém, em muitos levantamentos reais, as observações podem ser correlacionadas, ou seja, o erro de uma influencia o erro da outra.

2. Definição de Covariância

A covariância entre duas observações L_i e L_j é:

Interpretação:

• σ_ij > 0 → erros tendem a variar no mesmo sentido
• σ_ij < 0 → erros tendem a variar em sentidos opostos
• σ_ij = 0 → observações independentes

Na matriz variância–covariância:

Os termos fora da diagonal representam as covariâncias.

3. Coeficiente de Correlação

Para facilitar a interpretação, utiliza-se o coeficiente de correlação:

Em que:

Interpretação:

Valor de ρ	Significado
0	Sem correlação
Próximo de 1	Forte correlação positiva
Próximo de -1	Forte correlação negativa

4. Origem da correlação em Geodésia

A correlação surge quando observações compartilham fontes de erro.

Exemplos

• Observações feitas na mesma estação
• Séries GNSS processadas conjuntamente
• Nivelamento com o mesmo erro instrumental acumulado
• Direções medidas a partir de um mesmo círculo horizontal

Nestes casos, assumir independência pode levar a resultados incorretos.

5. Representação na matriz variância–covariância

Se duas observações possuem correlação:

Exemplo:

Essa matriz é:

• simétrica
• positiva definida (se fisicamente consistente)

6. Consequências no Ajustamento

Se houver correlação:

• A matriz de pesos não é diagonal
• Deve-se usar:

Ignorar correlações pode causar:

• subestimação ou superestimação das precisões
• distorção nas variâncias das incógnitas
• interpretação incorreta da qualidade da rede

7. Exemplo Resolvido

Duas observações possuem: σ₁ = 0,005 m; σ₂ = 0,004 m; σ₁₂ = 0,000010. Calcular o coeficiente de correlação.

• Passo 1

• Passo 2

7.1 Interpretação

Existe correlação positiva moderada entre as observações.

8. Exemplo Proposto

Dados: σ₁ = 0,006 m; σ₂ = 0,005 m; σ₁₂ = -0,000015. Calcule o coeficiente de correlação.

8.1 Resposta esperada

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9. Conclusão

A covariância e o coeficiente de correlação descrevem a dependência entre observações. Considerar corretamente essas relações é essencial para modelar a matriz variância–covariância e obter resultados confiáveis no ajustamento geodésico.

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