Em um ajustamento geodésico, nem sempre é possível determinar todas as incógnitas a partir das observações disponíveis. Para que o Método dos Mínimos Quadrados produza uma solução única e confiável, é necessário que o sistema satisfaça condições matemáticas específicas. Essas condições estão relacionadas à observabilidade dos parâmetros e ao nível de redundância do sistema.
Aula 023 – Condições de Observabilidade e Redundância
Objetivos
- Compreender o conceito de observabilidade.
- Identificar quando um parâmetro é ou não determinável.
- Relacionar observabilidade ao posto da matriz A.
- Entender a relação entre observabilidade e redundância.
- Analisar a estabilidade do ajustamento.
1. Conceito de observabilidade
Um parâmetro é observável quando pode ser determinado de forma única a partir das observações. Matematicamente, isso significa que as observações fornecem informação independente suficiente sobre esse parâmetro.
Se um parâmetro não for observável:
- Não pode ser estimado.
- O sistema terá infinitas soluções.
- A matriz normal será singular.
2. Condição matricial de observabilidade
No modelo linear:
A condição fundamental é:
Em que:
- u = número de incógnitas.
Se o posto for menor:
Então:
- Há dependência linear entre as colunas de A.
- Alguns parâmetros não são observáveis.
3. Relação com a matriz normal
A matriz normal é:
Se os parâmetros forem observáveis:
- N é inversível.
Caso contrário:
- |N| = 0
- O sistema é singular.
- O ajustamento não pode ser resolvido sem restrições adicionais.
4. Redundância do sistema
A redundância é dada por:
Em que:
- n = número de observações
- u = número de incógnitas
Condições:
- r > 0: sistema redundante (desejável)
- r = 0: sistema determinado (sem controle)
- r < 0: sistema indeterminado
Observabilidade e redundância são conceitos diferentes:
- observabilidade → independência das colunas de A
- redundância → excesso de observações
Um sistema pode ter r > 0 e ainda assim ser não observável se houver dependência linear.
5. Interpretação geodésica
Problemas típicos de não observabilidade:
- Rede livre sem datum.
- Ausência de ponto fixo em coordenadas.
- Medições insuficientes para separar parâmetros.
- Observações que fornecem a mesma informação repetida.
Exemplo clássico: Uma rede planimétrica sem fixação permite translação e rotação livres.
6. Exemplo Resolvido
Deseja-se determinar duas incógnitas x e y.
Observações:
Forma matricial:
- Passo 1 – Redundância
O sistema é redundante.
- Passo 2 – Verificação do posto
As linhas são múltiplas entre si. Logo:
Conclusão:
- Apenas a soma x + y é observável.
- Os valores individuais de x e y não podem ser determinados.
- O sistema é não observável.
- A matriz normal é singular.
7. Exercício Proposto
Considere:
Determine:
7.1 Resposta final esperada
8. Conclusão
A observabilidade garante que todos os parâmetros possam ser determinados de forma única, enquanto a redundância fornece controle estatístico e confiabilidade ao ajustamento. Para um ajustamento geodésico estável, é necessário que a matriz (A) tenha posto completo e que o sistema possua redundância positiva.
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