Ajustamento de Observações Geodésicas: Erros Médios, Desvio Padrão e Variância em Observações Geodésicas

Vamos dar continuidade ao curso com "Aula 006 – Erros Médios, Desvio Padrão e Variância", aprofundando a base estatística necessária para o Método dos Mínimos Quadrados.

Aula 6 – Erros Médios, Desvio Padrão e Variância em Observações Geodésicas
Objetivos da Aula

1. Compreender e calcular variância, desvio padrão e erro médio.
2. Relacionar esses conceitos com a precisão das medições geodésicas.
3. Aplicar os cálculos a observações repetidas de campo.
4. Preparar o terreno para a construção da matriz de pesos (P) utilizada no MMQ.

1. A Importância da Estatística na Geodésia

Cada observação geodésica contém erros aleatórios inevitáveis. Esses erros provocam dispersão nos valores medidos. Para avaliar essa dispersão e, portanto, a qualidade da medição, usamos:

• Variância
• Desvio padrão
• Erro médio (erro padrão)

Eles permitem saber quão confiáveis são as observações e qual peso cada uma deve ter no ajustamento.

2. Variância (σ²)

A variância mede a dispersão quadrática das observações em relação à média.

Fórmula (amostral):

Em que:

• x_i → observações
• x̄ → média
• n → número de observações

Quanto maior a variância, maior a dispersão → menor precisão.

3. Desvio Padrão (σ)

É a raiz quadrada da variância.

Representa o erro médio quadrático das observações.

3.1 Interpretação:

• Pequeno σ → alta precisão
• Grande σ → baixa precisão

4. Erro Médio da Média (mₘ)

Quando combinamos várias observações, obtemos um valor médio mais preciso.

Seu erro é:

Ou seja:

• Quanto maior o número de observações, menor o erro da média.
• É essencial para avaliar a precisão de valores ajustados.

5. Relação com o Método dos Mínimos Quadrados

O desvio padrão é fundamental porque define o peso (P) de cada observação:

• Observações mais precisas → maior peso
• Observações menos precisas → menor peso

Isso garante que o MMQ distribua os erros da forma mais lógica e estatisticamente ótima.

6. Exemplo Resolvido

6.1 Problema:

Foram realizadas 5 observações de um desnível altimétrico (em metros): 2,114; 2,116; 2,111; 2,115; 2,113.

Calcular:

• Média
• Variância
• Desvio padrão
• Erro médio da média

I. Média:

II. Desvios (v_i):

Obs
1	+0,0002
2	+0,0022
3	-0,0028
4	+0,0012
5	-0,0008

III. Variância:

IV. Desvio padrão:

V. Erro médio da média:

Resultado Final:

L = 2,114 ± 0,001 m
Alta precisão para nivelamento de curto alcance.

7. Exemplo Proposto

Foram observados cinco valores de distância (em metros): 5,332; 5,329; 5,331; 5,335; 5,330.

7.1 Calcule:

a) A média
b) A variância
c) O desvio padrão
d) O erro médio da média

7.2 Resposta Final Esperada:

⇒Clique aqui⇐
8. Conclusão da Aula

• A variância mede a dispersão.
• O desvio padrão expressa a precisão.
• O erro médio da média mede a confiabilidade do valor médio.
• Esses parâmetros serão usados diretamente na construção da matriz de pesos, fundamental no MMQ.

→ Índice de Aulas ←