Ajustamento de Observações Geodésicas: Exemplo Prático Completo com Nivelamento.

Após a introdução do método paramétrico e sua aplicação básica ao nivelamento geométrico, é importante consolidar o conteúdo com um exemplo completo, desde a formulação das equações observacionais até a obtenção das altitudes ajustadas. Nesta aula, será resolvido passo a passo um pequeno problema de rede altimétrica com redundância, permitindo visualizar com clareza a construção da matriz (A), das equações normais, dos resíduos e da solução final.

---

Aula 027 – Exemplo Prático Completo com Nivelamento

---

Objetivos

1. Montar completamente o modelo paramétrico de uma rede de nivelamento.
2. Construir a matriz (A) de forma correta.
3. Formar e resolver as equações normais.
4. Determinar as altitudes ajustadas dos pontos.
5. Calcular os resíduos e verificar a coerência do ajustamento.

---

1. Dados do problema

Considere a seguinte rede de nivelamento:

• Ponto (A): altitude conhecida
• Pontos (B), (C) e (D): altitudes desconhecidas

Altitude conhecida: H_A = 100,000 m

Observações de diferenças de nível:

Observação	Desnível observado
A → B	1,235 m
B → C	0,842 m
C → D	0,917 m
A → D	2,990 m

As incógnitas são:

2. Equações observacionais

• Observação 1: A → B

1,235 + v₁ = H_B - H_A

Como H_A = 100,000 m, então:

1,235 + v₁ = H_B - 100,000

Logo:

v₁ = H_B - 101,235

• Observação 2: B → C

0,842 + v₂ = H_C - H_B

Logo:

v₂ = -H_B + H_C - 0,842

• Observação 3: C → D

0,917 + v₃ = H_D - H_C

Logo:

v₃ = -H_C + H_D - 0,917

• Observação 4: A → D

2,990 + v₄ = H_D - H_A

Como H_A = 100,000 m, então:

2,990 + v₄ = H_D - 100,000

Logo:

v₄ = H_D - 102,990

3. Forma matricial do modelo

Na forma matricial:

com

e

Assumindo pesos iguais:

4. Formação das equações normais

As equações normais são:

4.1 Matriz transposta

4.2 Cálculo de (A^T A)

4.3 Cálculo de (A^T l)

Portanto, o sistema normal é:

5. Resolução do sistema

O sistema equivale a:

2H_B - H_C = 100,393
-H_B + 2H_C - H_D = -0,075
-H_C + 2H_D = 103,907

5.1 Isolando (H_C) na primeira equação

H_C = 2H_B - 100,393

5.2 Substituindo na terceira equação

-(2H_B - 100,393) + 2H_D = 103,907
-2H_B + 100,393 + 2H_D = 103,907
-2H_B + 2H_D = 3,514

Dividindo por 2:

-H_B + H_D = 1,757

Logo:

H_D = H_B + 1,757

5.3 Substituindo na segunda equação

-H_B + 2H_C - H_D = -0,075

Substituindo (H_C = 2H_B - 100,393) e (H_D = H_B + 1,757):

-H_B + 2(2H_B - 100,393) - (H_B + 1,757) = -0,075
-H_B + 4H_B - 200,786 - H_B - 1,757 = -0,075
2H_B - 202,543 = -0,075
2H_B = 202,468
H_B = 101,234

5.4 Determinando (H_C)

H_C = 2(101,234) - 100,393
H_C = 202,468 - 100,393 = 102,075

5.5 Determinando (H_D)

H_D = 101,234 + 1,757 = 102,991

6. Altitudes ajustadas

7. Verificação das diferenças ajustadas

• A → B

• B → C

• C → D

• A → D

8. Cálculo dos resíduos

Os resíduos são:

Logo:

v₁ = 1,234 - 1,235 = -0,001
v₂ = 0,841 - 0,842 = -0,001
v₃ = 0,916 - 0,917 = -0,001
v₄ = 2,991 - 2,990 = 0,001

Portanto:

9. Verificação global dos resíduos

A soma dos quadrados dos resíduos é:

Como o número de graus de liberdade é:

a variância a posteriori é:

Logo:

10. Interpretação dos resultados

O ajustamento distribuiu os erros observacionais de forma equilibrada, produzindo:

• Altitudes ajustadas consistentes.
• Resíduos pequenos e simétricos.
• Coerência entre as diferenças de nível da rede.

Esse tipo de resultado é exatamente o esperado do Método dos Mínimos Quadrados aplicado ao nivelamento geométrico.

11. Exercício Proposto

Considere: H_A = 50,000 m

Observações:

Observação	Desnível observado
A → B	0,950 m
B → C	1,120 m
A → C	2,080 m

Determine:

a) a matriz (A).

b) o vetor das incógnitas.

c) as altitudes ajustadas (H_B) e (H_C).

11.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

12. Conclusão

O nivelamento geométrico fornece um excelente exemplo de aplicação do método paramétrico. A partir das diferenças de nível observadas, é possível montar o modelo matricial, formar as equações normais, determinar altitudes ajustadas e avaliar os resíduos, obtendo uma solução altimétrica consistente e estatisticamente fundamentada.

⇾ Próxima Aula ⇽ → Todas as Aulas ←