AULA 15 - FATORAÇÃO
Introdução
Na aula anterior estudamos os produtos notáveis e aprendemos a desenvolver expressões como:
Obtendo:
Nesta aula realizaremos o caminho inverso. Em vez de desenvolver uma multiplicação, aprenderemos a reconhecer quando uma soma ou diferença pode ser escrita na forma de um produto.
Esse processo recebe o nome de fatoração.
Considere a expressão: 6x + 12
Os dois termos possuem o número 6 como fator comum. Assim, podemos escrever: 6x + 12 = 6(x + 2)
As duas expressões possuem exatamente o mesmo valor. Entretanto, a segunda forma revela a estrutura multiplicativa que estava oculta na primeira.
A fatoração é uma ferramenta importante para simplificar expressões, resolver equações, reduzir frações algébricas e compreender melhor a estrutura de diversos modelos matemáticos. Embora nem sempre apareça explicitamente nos cálculos topográficos elementares, ela será útil na Geometria, na Trigonometria, na Geometria Analítica e em conteúdos matemáticos mais avançados.
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- Compreender o conceito de fatoração.
- Reconhecer fatores comuns em expressões algébricas.
- Aplicar os principais casos de fatoração.
- Relacionar fatoração e produtos notáveis.
- Verificar se uma expressão foi corretamente fatorada.
- Utilizar a fatoração na simplificação de expressões e equações.
1. Intuição
Considere a expressão:
Os dois termos possuem o número 3 como fator. Podemos escrever:
E:
Portanto:
A expressão foi transformada de uma soma em um produto. Esse é o princípio fundamental da fatoração.
2. Definição
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de dois ou mais fatores. Por exemplo:
No lado esquerdo temos uma soma. No lado direito temos um produto.
As duas formas são equivalentes.
A fatoração pode ser entendida como a operação inversa da propriedade distributiva.
Se:
Então:
3. Por que fatorar?
A fatoração pode ser utilizada para:
- Simplificar expressões.
- Resolver equações.
- Reduzir frações algébricas.
- Identificar raízes de polinômios.
- Reconhecer produtos notáveis.
- Reorganizar fórmulas.
- Facilitar interpretações matemáticas.
Ela também permite revelar relações que não são imediatamente percebidas na forma desenvolvida de uma expressão.
3.1 Método do Engenheiro
Como fatorar uma expressão?
- Observe todos os termos da expressão.
- Verifique se existe algum fator comum.
- Identifique a estrutura algébrica apresentada.
- Escolha o caso de fatoração adequado.
- Escreva a expressão na forma de produto.
- Aplique a propriedade distributiva para conferir o resultado.
- Verifique se ainda é possível fatorar novamente.
4. Fator comum em evidência
Esse é o caso mais simples de fatoração.
Consiste em identificar um fator presente em todos os termos e colocá-lo em evidência.
Considere:
Os dois termos são divisíveis por 4.
Assim:
4.1 Verificação
Aplicando a propriedade distributiva:
Portanto, a fatoração está correta.
4.2 Exemplo resolvido
Fatore:
O maior fator comum é 6. Logo:
4.3 Exemplo com variável comum
Considere:
Os dois termos possuem os fatores 5 e (x). Assim:
5. Como determinar o fator comum
Para encontrar o fator comum, devemos analisar separadamente:
- Os coeficientes numéricos.
- As variáveis.
- As expoentes.
Considere:
O maior divisor comum entre 12 e 18 é 6.
A menor potência comum de (x) é (x2).
Portanto:
5.1 Aplicação em Topografia
Suponha que uma expressão utilizada em um cálculo topográfico seja:
Como (d) aparece em ambos os termos, podemos colocá-lo em evidência:
A forma fatorada evidencia que a mesma grandeza (d) multiplica a soma das dimensões (L) e (W).
Esse tipo de reorganização pode facilitar a interpretação física de uma fórmula.
6. Fatoração por agrupamento
Quando não existe um fator comum a todos os termos, pode ser possível agrupá-los em partes menores.
Considere:
Agrupando:
Colocando os fatores comuns em evidência:
Agora, (x + y) é fator comum:
Portanto:
6.1 Exemplo resolvido
Fatore:
Agrupando:
Colocando os fatores comuns em evidência:
Logo:
7. Diferença de quadrados
Na aula anterior estudamos:
Na fatoração, utilizamos essa identidade no sentido inverso:
7.1 Exemplo resolvido
Fatore:
Como:
Temos:
Logo:
7.1.1 Outro exemplo
Podemos escrever:
Portanto:
8. Trinômio quadrado perfeito
Na Aula 14 vimos:
Assim, quando encontramos um trinômio com essa estrutura, podemos fatorá-lo como:
Também temos:
8.1 Como reconhecer um trinômio quadrado perfeito
Devemos verificar se:
- O primeiro termo é um quadrado perfeito.
- O terceiro termo é um quadrado perfeito.
- O termo central corresponde a duas vezes o produto das raízes dos termos extremos.
8.2 Exemplo resolvido
Fatore:
Temos:
O termo central é:
Portanto:
8.3 Exemplo com diferença
Como:
E:
Temos:
9. Trinômio do segundo grau
Considere uma expressão da forma:
Em determinados casos, podemos fatorá-la como:
Para isso, precisamos encontrar dois números (m) e (n) tais que:
E:
9.1 Exemplo resolvido
Fatore:
Precisamos encontrar dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6.
Esses números são 2 e 3.
Logo:
9.1.1 Verificação
10. Soma e diferença de cubos
Também podemos fatorar expressões que envolvem cubos.
10.1 Soma de cubos
10.2 Diferença de cubos
10.3 Exemplo resolvido
Fatore:
Como:
Temos:
Aplicando a diferença de cubos:
10.3.1 Outro exemplo
Como:
Temos:
11. Relação entre produtos notáveis e fatoração
Produtos notáveis e fatoração representam operações inversas.
Por exemplo:
⇒ Desenvolvimento:
⇒ Fatoração:
Da mesma forma:
⇒ Desenvolvimento:
⇒ Fatoração:
Compreender essa relação evita a memorização isolada das regras.
12. Por que isso funciona?
Toda fatoração pode ser verificada pela propriedade distributiva.
Considere:
Distribuindo o fator 6:
Se o desenvolvimento da forma fatorada reproduzir a expressão original, a fatoração está correta.
Essa verificação deve ser utilizada sempre que houver dúvida.
12.1 Engenharia em Campo
Em modelos matemáticos utilizados na Engenharia, muitas fórmulas podem ser reorganizadas para evidenciar uma determinada grandeza.
Considere:
Colocando (b) em evidência:
A nova forma mostra claramente que a grandeza (b) multiplica a soma das dimensões (h) e (d).
Essa reorganização pode facilitar tanto os cálculos quanto a interpretação da equação.
13. Simplificação de frações algébricas
A fatoração também permite simplificar frações.
Considere:
Fatorando o numerador:
Assim:
Para x ≠ 3, podemos simplificar:
Sem a fatoração, essa simplificação seria difícil de perceber.
14. Cuidados com a simplificação
Não podemos eliminar termos que estão sendo somados ou subtraídos. Por exemplo:
Não é possível cancelar os termos (x), pois eles não aparecem como fatores comuns de todo o numerador e de todo o denominador.
O cancelamento só é permitido entre fatores.
15. Erros comuns dos estudantes
Entre os erros mais frequentes destacam-se:
- Retirar um fator que não é comum a todos os termos.
- Esquecer de dividir todos os termos pelo fator colocado em evidência.
- Confundir diferença de quadrados com quadrado da diferença.
- Considerar qualquer trinômio como quadrado perfeito.
- Cancelar parcelas em vez de fatores.
- Interromper a fatoração antes de atingir a forma mais simples.
- Não verificar o resultado pela propriedade distributiva.
16. Exercício resolvido 1
Fatore: 15x + 20
O maior fator comum é 5.
Logo: 15x + 20 = 5(3x + 4)
17. Exercício resolvido 2
Fatore: x2 - 36
Como: 36 = 62
Temos: x2 - 36 = (x + 6)(x - 6)
18. Exercício resolvido 3
Fatore: x2 + 8x + 16
O primeiro termo é: x2
O último termo é: 42
O termo central é: 2 × x × 4 = 8x
Portanto: x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
19. Exercício resolvido 4
Fatore: x2 + 7x + 12
Precisamos de dois números cuja soma seja 7 e cujo produto seja 12.
Esses números são 3 e 4.
Logo: x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
20. Exercícios propostos
Questão 1 → Coloque o fator comum em evidência:
a) 8x + 24
b) 12a2 + 18a
c) 15xy - 20x
Questão 2 → Fatore as diferenças de quadrados:
a) x2 - 49
b) 25a2 - 9
c) 4x2 - 81y2
Questão 3 → Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2 + 10x + 25
b) a2 - 12a + 36
c) 4x2 + 12x + 9
Questão 4 → Fatore:
a) x2 + 9x + 20
b) x2 - 3x - 10
c) x2 + 2x - 15
Questão 5 → Fatore:
a) x3 - 27
b) x3 + 64
21. Desafio
Considere a expressão:
1. Verifique se ela representa um trinômio quadrado perfeito.
2. Fatore a expressão.
3. Calcule seu valor para (L = 20).
4. Interprete geometricamente a forma fatorada.
21.1 Orientação
Observe se:
22. Reflexão
Fatorar não significa apenas tornar uma expressão menor.
Muitas vezes, a forma fatorada revela informações que não são evidentes na forma desenvolvida, como fatores comuns, valores que anulam uma expressão e relações geométricas ocultas.
Na Engenharia, diferentes formas de uma mesma equação podem favorecer diferentes interpretações. Por isso, desenvolver e fatorar expressões são habilidades complementares.
23. Resumo da aula
Nesta aula aprendemos que fatorar significa transformar uma soma ou diferença em um produto de fatores. Estudamos os principais casos de fatoração: fator comum em evidência, agrupamento, diferença de quadrados, trinômio quadrado perfeito, trinômio do segundo grau e soma ou diferença de cubos. Também compreendemos a relação inversa entre fatoração e produtos notáveis e verificamos como esse procedimento pode simplificar expressões, frações algébricas e modelos matemáticos.
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