Ajustamento de Observações Geodésicas - Ajustamento com Restrições (Condições Adicionais).

Até aqui, o método paramétrico foi empregado para determinar parâmetros a partir de observações redundantes, permitindo que o Método dos Mínimos Quadrados distribuísse os resíduos de acordo com o modelo funcional e estocástico adotado. Entretanto, existem situações em que os parâmetros não são completamente livres: eles devem obedecer a determinadas relações geométricas, físicas ou matemáticas previamente conhecidas.

Essas relações são denominadas restrições, condições adicionais ou injunções aos parâmetros. As injunções possuem importância particular quando o sistema apresenta deficiência de posto e classifica-as em absolutas, relativas e funcionais.

Nesta aula estudaremos como incorporar uma restrição ao ajustamento paramétrico, mantendo simultaneamente o princípio fundamental do MMQ e a condição adicional imposta aos parâmetros.

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Aula 034 – Ajustamento com Restrições (Condições Adicionais)

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Objetivos

1. Compreender o conceito de restrição em um ajustamento.
2. Diferenciar parâmetros livres de parâmetros sujeitos a condições adicionais.
3. Reconhecer restrições absolutas, relativas e funcionais.
4. Formular matematicamente um ajustamento sujeito a restrições.
5. Compreender a utilização dos multiplicadores de Lagrange.
6. Construir e resolver o sistema aumentado do ajustamento.
7. Analisar o efeito das restrições sobre os graus de liberdade.

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1. O que é uma restrição?

No ajustamento convencional, procuramos determinar o vetor de parâmetros: X

De modo que seja minimizada a forma quadrática: V^T P V

Entretanto, podemos conhecer previamente alguma relação que os parâmetros ajustados obrigatoriamente devem satisfazer.

Essa condição pode ser escrita genericamente como: G(X_a) = 0

Assim, o problema deixa de ser apenas: V^T P V = min

E passa a ser: V^T P V = min

Sujeito a: G(X_a) = 0

Essa é precisamente a estrutura de um problema de minimização com restrições.

No modelo paramétrico com injunções, procura-se, portanto, minimizar a forma quadrática dos resíduos enquanto os parâmetros permanecem sujeitos às condições adicionais impostas.

2. Por que utilizar restrições?

As restrições podem surgir de conhecimentos adicionais sobre o problema.

Por exemplo, podemos conhecer:

• A coordenada exata de determinado ponto.
• A altitude de um marco;.
• A distância entre dois pontos.
• A diferença de altitude entre dois pontos.
• A direção de uma linha.
• Uma relação geométrica entre parâmetros.
• Uma condição física que obrigatoriamente deve ser satisfeita.

Além disso, as restrições possuem papel fundamental em determinadas redes que apresentam deficiência de posto, situação em que a matriz das equações normais pode ser singular. Dalmolin destaca especificamente a importância das injunções para a solução desses sistemas.

3. Tipos de restrições

Podemos destacar três tipos importantes de restrições.

3.1 Restrição absoluta

Uma restrição absoluta fixa diretamente determinado parâmetro.

Por exemplo: X_A = 1.000,000 m

Ou: H_A = 100,000 m

Nesse caso, o parâmetro possui um valor previamente estabelecido.

3.2 Restrição relativa

Uma restrição relativa estabelece uma relação entre dois ou mais parâmetros.

Por exemplo: H_C − H_B = 5,000 m

Ou: X_C − X_B = 100,000 m

Individualmente, os parâmetros podem variar durante o ajustamento, mas a relação estabelecida entre eles deve ser respeitada.

3.3 Restrição funcional

Uma restrição funcional estabelece uma relação matemática entre os parâmetros.

Por exemplo, se dois pontos devem permanecer separados por uma distância conhecida (d): (X_B − X_A)² + (Y_B − Y_A)² − d² = 0

Observe que essa condição é não linear.

Nesse caso, a restrição precisa ser linearizada antes de ser incorporada ao sistema de ajustamento.

Injunções não lineares podem exigir procedimento iterativo após a linearização.

4. Modelo paramétrico sem restrições

Recordemos o modelo paramétrico linear:

Como:

Temos:

Portanto:

O princípio do MMQ estabelece:

Da minimização resultam as equações normais:

Em que:

E:

Assim:

Quando (N) é não singular.

5. Inclusão de uma restrição

Considere agora uma condição linear sobre os parâmetros:

Em que:

• C é a matriz dos coeficientes das restrições;
• X é o vetor dos parâmetros;
• W é o vetor dos valores impostos pelas restrições.

Se houver apenas uma restrição e dois parâmetros, por exemplo:

Podemos escrever:

Logo:

E:

6. Multiplicadores de Lagrange

Para minimizar:

Sujeito a:

Podemos introduzir um vetor de multiplicadores de Lagrange: K

E formar uma função auxiliar.

Adotando uma convenção conveniente:

A condição de mínimo exige que as derivadas em relação aos parâmetros e aos multiplicadores sejam nulas.

O resultado é um sistema aumentado que permite determinar simultaneamente:

• os parâmetros ajustados;
• os multiplicadores associados às restrições.

7. Sistema aumentado

Partindo das equações normais:

E incorporando as restrições:

Obtemos:

Em que:

Esse sistema deve satisfazer simultaneamente o critério dos mínimos quadrados e as condições impostas.

8. Interpretação da matriz aumentada

Observe a estrutura:

O bloco: N ⇒ Contém as informações provenientes das observações.

O bloco: C ⇒ Contém as condições adicionais impostas aos parâmetros.

O bloco: C^T ⇒ Introduz essas condições nas equações normais.

O bloco: 0 ⇒ Aparece porque os multiplicadores de Lagrange não são parâmetros observacionais do modelo original.

Assim, o sistema reúne em uma única estrutura matricial: observações + restrições

9. Exemplo resolvido

Considere uma pequena rede altimétrica na qual a altitude de \(A\) é conhecida:

Desejamos determinar: H_B e H_C

Foram observados:

Adicionalmente, sabe-se que a diferença de altitude entre B e C deve ser exatamente:

Essa última informação será tratada como uma restrição exata.

10. Equações de observação

Para A → B:

Portanto:

Para A → C:

Portanto:

O vetor dos parâmetros é:

11. Matriz (A)

As equações são independentes:

O vetor das observações reorganizadas é:

Admitindo pesos iguais:

12. Equações normais sem a restrição

Temos:

Como:

E:

Resulta:

Também:

Logo:

Sem a restrição, obteríamos simplesmente:

Entretanto:

Esse resultado não satisfaz a condição conhecida:

13. Construção da restrição

A condição é:

Ou:

Assim:

E:

14. Sistema aumentado

Temos:

Substituindo:

Isso corresponde ao sistema:

15. Resolução

Da primeira equação:

Da segunda:

Substituindo na restrição:

Portanto:

E:

16. Verificação da restrição

Agora:

Portanto, a condição foi satisfeita exatamente.

17. Determinação dos resíduos

Utilizamos:

Assim:

Logo:

Portanto:

Observe o significado do ajustamento: para satisfazer a condição adicional, uma observação recebeu correção de +5 mm e a outra de -5 mm.

18. Verificação do critério dos mínimos quadrados

Como:

Temos:

Portanto:

Entre todas as combinações de H_B e H_C que satisfazem:

O MMQ escolhe aquela que produz o menor valor possível para:

19. Efeito da restrição sobre a redundância

Uma restrição matematicamente independente reduz o número de parâmetros efetivamente livres do sistema.

Para um ajustamento com:

• n: número de observações;
• u: número de parâmetros;
• c: número de restrições independentes;

Podemos escrever:

No nosso exemplo:

Portanto:

Sem a restrição:

Cada restrição matematicamente independente reduz em uma unidade o número de parâmetros livres e, consequentemente, aumenta em uma unidade a redundância do ajustamento.

20. Cuidado com restrições dependentes

Não basta simplesmente acrescentar várias condições ao sistema. As restrições precisam ser matematicamente independentes.

Por exemplo, considere:

E:

A segunda equação é simplesmente duas vezes a primeira.

Portanto, não existem duas restrições independentes.

Existe apenas:

Restrições matematicamente dependentes não aumentam efetivamente o número de condições independentes do sistema.

21. Restrição exata × observação de alta precisão

É importante distinguir dois conceitos.

Uma restrição exata deve ser satisfeita obrigatoriamente:

Não existe liberdade para que o ajustamento produza outro resultado.

Uma informação conhecida com elevada precisão, mas ainda sujeita a incerteza, pode ser incorporada como uma observação com peso elevado.

A ponderação elevada é uma alternativa prática para impor determinadas condições em alguns ajustamentos.

Conceitualmente, entretanto, peso muito elevado não significa necessariamente, restrição matematicamente exata.

Essa distinção será importante quando trabalharmos com injunções e redes geodésicas.

22. Aplicações em Geodésia e Topografia

Restrições aparecem frequentemente em problemas como:

22.1 Redes planimétricas

Fixação das coordenadas de um ponto:

22.2 Redes altimétricas

Fixação da altitude de uma referência:

22.3 Redes GNSS

Fixação de coordenadas de estações pertencentes ao referencial adotado.

Em redes GNSS, é comum realizar inicialmente um ajustamento minimamente restringido, mantendo apenas o controle necessário para definir o datum e permitindo que os demais pontos se ajustem à geometria e às linhas de base observadas. Esse procedimento é descrito na bibliografia como minimally constrained adjustment.

22.3.1 Transformações de coordenadas

Imposição de relações entre parâmetros de transformação.

23. Exercício Proposto

Considere:

Foram observados:

Sabe-se ainda que:

Considerando pesos iguais, determine:

a) o vetor (L_b);
b) a matriz (A);
c) a matriz da restrição (C);
d) o vetor (W);
e) o sistema aumentado;
f) as altitudes ajustadas (H_B) e (H_C);
g) os resíduos;
h) o número de graus de liberdade.

23.1 Resposta final esperada

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24. Conclusão

O ajustamento com restrições permite incorporar ao Método dos Mínimos Quadrados informações adicionais que devem ser satisfeitas pelos parâmetros. Essas condições podem fixar parâmetros, estabelecer relações entre eles ou impor relações funcionais mais complexas. Por meio dos multiplicadores de Lagrange, o problema é organizado em um sistema aumentado que combina as equações normais com as equações de restrição. Em redes geodésicas, esse recurso possui importância especial na definição do datum, na eliminação de deficiências de posto e na imposição de condições geométricas ou físicas conhecidas. Deve-se, entretanto, garantir que as restrições sejam consistentes e matematicamente independentes.

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AULA 033

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