Ajustamento de Observações Geodésicas: Ajustamento de Poligonal Topográfica.

A poligonal topográfica é uma estrutura fundamental em levantamentos planimétricos, sendo formada por uma sequência de alinhamentos entre pontos consecutivos. Em campo, normalmente são observadas distâncias e direções, sendo o azimute uma das formas mais utilizadas para representar a orientação dos alinhamentos. Como toda medição está sujeita a erros, o ajustamento permite organizar matematicamente essas observações, verificar a coerência geométrica da poligonal e obter coordenadas compatíveis com o modelo adotado.

Nesta aula, será apresentada a formulação correta de uma poligonal topográfica considerando a convenção usual da Topografia, na qual o azimute é medido a partir do Norte, no sentido horário.

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Aula 030 – Ajustamento de Poligonal Topográfica

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Objetivos

1. Compreender a convenção topográfica de orientação por azimute.
2. Calcular corretamente as projeções planimétricas de uma poligonal.
3. Formular o modelo funcional para observações de coordenadas.
4. Relacionar distâncias, azimutes e incrementos de coordenadas.
5. Entender quando uma poligonal pode ou não ser ajustada por MMQ.

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1. Convenção angular em Topografia

Na Matemática, o ângulo trigonométrico geralmente é medido a partir do eixo das abscissas, no sentido anti-horário. Na Topografia, entretanto, a orientação mais comum é o azimute.

O azimute possui as seguintes características:

• É medido a partir do Norte.
• Cresce no sentido horário.
• Varia de 0° a 360∘.
• Indica a direção de um alinhamento no plano topográfico.

Por isso, quando se usa azimute, as projeções são:

Em que:

• ΔX = projeção no eixo das abscissas.
• ΔY = projeção no eixo das ordenadas.
• d = distância horizontal.
• Az = azimute do alinhamento.

2. Diferença entre convenção matemática e topográfica

Na convenção matemática:

Na convenção topográfica:

Essa diferença ocorre porque, na Topografia, o ângulo é contado a partir do eixo Norte, e não a partir do eixo X.

3. Dados do problema

Considere a seguinte poligonal aberta:

Ponto conhecido: A(1.000,000; 1.000,000)m

Observações:

Segmento	Distância Horizontal	Azimute
A → B	100,000 m	0°
B → C	100,020 m	90°
C → D	100,010 m	180°

Pretende-se determinar as coordenadas dos pontos: B, C e D.

4. Cálculo das projeções planimétricas

4.1 Segmento A → B

Dados:

Projeção em X:

Projeção em Y:

4.2 Segmento B → C

Dados:

Projeção em X:

Projeção em Y:

4.3 Segmento C → D

Projeção em X:

Projeção em Y:

5. Cálculo das coordenadas preliminares

As coordenadas de um ponto final são obtidas por:

5.1 Coordenadas do ponto B

Logo:

5.2 Coordenadas do ponto C

Logo:

5.3 Coordenadas do ponto D

Logo:

6. Modelo funcional da poligonal

Cada projeção observada pode ser expressa como diferença de coordenadas.

Para a componente X:

Para a componente Y:

Essas equações constituem o modelo funcional da poligonal.

7. Vetor das incógnitas

Como o ponto A é conhecido, as incógnitas são as coordenadas dos pontos B, C e D:

8. Equações observacionais

8.1 Segmento A → B

8.2 Segmento B → C

8.3 Segmento C → D

9. Estrutura da matriz A

Na forma matricial:

Ou, reorganizando os termos conhecidos:

A matriz A é formada pelos coeficientes das incógnitas.

Com o vetor:

Temos:

10. Vetor l

Reorganizando as equações para a forma:

Obtemos:

Esse vetor reúne os termos que resultam das observações e das coordenadas conhecidas.

11. Natureza do sistema

Neste exemplo:

• Número de observações: n=6.
• Número de incógnitas: u=6.

Logo: n=u.

Portanto, o sistema é determinado. Isso significa que, neste caso, não há redundância suficiente para distribuir erros pelo Método dos Mínimos Quadrados.

Assim, as coordenadas calculadas diretamente pelas projeções coincidem com a solução do sistema.

12. Quando ocorre ajustamento por MMQ em poligonais?

O ajustamento por MMQ torna-se necessário quando há redundância, isto é: n>u.

Isso pode ocorrer em situações como:

• Poligonal fechada.
• Poligonal apoiada em dois pontos conhecidos.
• Observações adicionais de distâncias.
• Observações adicionais de azimutes.
• Controle externo por coordenadas conhecidas.
• Medições repetidas.

Nesses casos, o sistema geralmente se torna incompatível devido aos erros observacionais, e o MMQ distribui os resíduos de forma estatisticamente adequada.

13. Exemplo Resolvido

Com base nos dados apresentados, as coordenadas finais são:

14. Exercício Proposto

Considere: A(500,000;500,000)m.

Observações:

Segmento	Distância Horizontal	Azimute
A → B	80,000 m	0°
B → C	80,010 m	90°
C → D	80,005 m	180°

Determine as coordenadas dos pontos B, C e D.

14.1 Resposta final esperada

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15. Conclusão

O ajustamento de uma poligonal topográfica deve respeitar a convenção angular própria da Topografia. Quando se utiliza azimute, o cálculo das projeções deve ser feito por ΔX=d⋅sen(Az) e ΔY=d⋅cos(Az). Essa distinção é essencial para evitar erros conceituais na determinação das coordenadas. No exemplo apresentado, a poligonal é aberta e não possui redundância, portanto o sistema é determinado. Em poligonais fechadas ou apoiadas, o excesso de observações permite aplicar efetivamente o Método dos Mínimos Quadrados para distribuir os erros e obter coordenadas ajustadas.

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