1. INTRODUÇÃO
A trigonometria teve sua origem na Grécia devido à investigação das relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo, possivelmente com a finalidade de solucionar questões relacionadas à navegação, agrimensura e astronomia.
Hoje iremos realizar uma breve revisão sobre:
2. TRIÂNGULO RETÂNGULO
É uma figura geométrica constituída por três lados, apresentando um ângulo reto com medida de 90°, juntamente com dois ângulos agudos cuja medida é inferior a 90°.
O triângulo ABC é retângulo em A (ângulo de 90°).
a: É denominada hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
b e c: São chamados de catetos (os lados que formam o ângulo reto). b é o cateto oposto ao ângulo 𝛃 ou cateto adjacente ao ângulo 𝛄, enquanto c é o cateto oposto ao ângulo 𝛄 ou cateto adjacente ao ângulo 𝛃.
𝛃 e 𝛄 são ângulos complementares, ou seja, a soma de 𝛃 e 𝛄 é igual a 90°.
2.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
No contexto do triângulo ABC, é possível estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:
a = hipotenusa; b e c = catetos; h = altura relativa à hipotenusa; m e n = projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
a) O quadrado de um cateto é igual ao resultado da multiplicação entre a hipotenusa e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
b2= a * n
c2 = a * m
b) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h2= m * n
c) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
b * c = a * h
2.2 Teorema de Pitágoras
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: b2 + c2 = a2
A partir da primeira relação métrica, é possível deduzir o Teorema de Pitágoras:
b2= a * n
c2 = a * m
b2 + c2 = a * n + a * m
b2 + c2 = a * (m + n)
Como (m + n) = a:
b2 + c2 = a * (a)
b2 + c2 = a2
2.3 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Sobre o lado AB do ângulo agudo α, marquemos arbitrariamente os pontos B, B1, B2, ... e tracemos por esses pontos perpendiculares ao lado AB que encontram o lado AC nos pontos C, C1, C2, ...
Tem-se, assim, os triângulos ABC, AB1C1, AB2C2, ... semelhantes entre si.
BC/AC = (B1C1)/(AC1) =(B2C2)/(AC2 )= ⋯ = k1 ⇒ senα
AB/AC = (AB1)/(AC1)=(AB2)/(AC2) = ⋯ = k2 ⇒ cosα
BC/AB = (B1C1)/(AB1) = (B2C2)/(AB2) = ⋯ = k3 ⇒ tgα
Assim considerando o triângulo retângulo ABC:
AC/BC = b/a = (cateto oposto a β)/hipotenusa = senβ
AB/BC = c/a = (cateto adjacente a β)/hipotenusa = cosβ
AC/AB = b/c = (cateto oposto a β)/(cateto adjacente a β) = tgβ
AB/BC = c/a = (cateto oposto a γ)/hipotenusa = senγ
AC/BC = b/a = (cateto adjacente a γ)/hipotenusa = cosγ
AB/AC = c/b = (cateto oposto a γ)/(cateto adjacente a γ) = tgγ
Analisando as 6 equações anteriores temos que: senβ=cosγ e cosβ=senγ
Isto equivale a dizer que o seno de b é igual ao cosseno do seu complementar, e o cosseno de b é igual ao seno do seu complementar, isto é: senβ=cos(90°−β) e cosβ=sen(90°−β)
Uma outra relação trigonométrica diz: tgβ = senβ/cosβ ⇒ tgβ = (b/a) / (c/a) = b/a × a/c = 𝐛/𝐜
3. TRIÂNGULO QUALQUER
Um triângulo qualquer (não retângulo) é um tipo de triângulo que não possui ângulo reto (90 graus). Todos os seus ângulos internos são agudos (menores que 90 graus). Este tipo de triângulo pode ter lados de comprimentos diferentes e é classificado com base nos comprimentos dos lados e nas medidas dos ângulos internos, incluindo triângulos escalenos (todos os lados diferentes) e triângulos isósceles (dois lados iguais). Triângulos não retângulos são comuns em geometria e trigonometria, onde suas propriedades são estudadas e aplicadas em diversas situações.
3.1 Lei dos senos
Num triângulo qualquer, a relação entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
O triângulo BCD é um triângulo retângulo em C, inscrito em uma semicircunferência. Além disso, os ângulos A e D são congruentes, o que significa que são ângulos inscritos que determinam o mesmo arco BC na circunferência.
Dessa forma, tem-se:
senD = a/2R
Como: D ≅ A, tem-se: senA = a/2R ⇒ a/senA = 2R
De forma análoga: b/senB = 2R e c/senC = 2R
Igualando as expressões temos a expressão geral da Lei dos Senos:
a/senA = b/senB = c/senC = 2R
3.2 Lei dos cossenos
Num triângulo qualquer, o quadrado do comprimento de um lado é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados, diminuída do produto duplo desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
No triângulo CHB:
a2 = b2 + (c−m)2
a2 = h2 + c2 − 2cm + m2
a2 = h2 + m2 + c2 − 2cm
No triângulo CHA:
b2 = h2 + m2
Substituindo a segunda igualdade na primeira, vem:
a2 = b2 + c2 − 2cm (1)
No triângulo CHA:
cosA = m/b
m = b * cosA (2)
Substituindo (2) em (1):
a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
Analogamente:
b2 = a2 + c2 − 2ac cosB
c2 = a2 + b2 − 2ab cosC
4 EXERCÍCIOS
001: Um observador realiza a medição angular com teodolito a partir do ponto P para as extremidades de uma ponte e de uma arvore de mesmo alinhamento com a ponte de distância 30m, conforme a figura. Determine o comprimento da ponte.
R.: Ponte = 7,981 m.
002: Para determinar o lado de uma estrada, mediu-se a partir de seu comprimento conhecido igual a 30 metros os ângulos A e B. Determinar a largura de x.
R.: x = 54,172 m.
003. (VÉRAS, 2012). Para determinar a largura de um rio, um profissional mediu, a partir de uma base (AB) de 30,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule o valor de h.
R.: h = 36,04 m.
REFERÊNCIAS
DOLCE, O. e POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. Volume 9. 9ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2013.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D. & PERIGO, R. Matemática. Volume Único. São Paulo: Editora Atual, 2002. 660p.
VERAS, R. C. Notas de Aula. Teresina: UFPI, 2012.
ZAGO, G. J.; SCIANI, W. A. Trigonometria. 2 ed. São Paulo: Érica, 1997.
A trigonometria teve sua origem na Grécia devido à investigação das relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo, possivelmente com a finalidade de solucionar questões relacionadas à navegação, agrimensura e astronomia.
Hoje iremos realizar uma breve revisão sobre:
- Triângulo Retângulo ⇒ Relações Métricas, Teorema de Pitágoras e Relações Trigonométricas.
- Triângulo qualquer ⇒ Lei dos cossenos e Lei dos senos.
2. TRIÂNGULO RETÂNGULO
É uma figura geométrica constituída por três lados, apresentando um ângulo reto com medida de 90°, juntamente com dois ângulos agudos cuja medida é inferior a 90°.
O triângulo ABC é retângulo em A (ângulo de 90°).
 |
| Triângulo Retângulo. |
a: É denominada hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
b e c: São chamados de catetos (os lados que formam o ângulo reto). b é o cateto oposto ao ângulo 𝛃 ou cateto adjacente ao ângulo 𝛄, enquanto c é o cateto oposto ao ângulo 𝛄 ou cateto adjacente ao ângulo 𝛃.
𝛃 e 𝛄 são ângulos complementares, ou seja, a soma de 𝛃 e 𝛄 é igual a 90°.
2.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
No contexto do triângulo ABC, é possível estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:
 |
| Relações Métricas no Triângulo Retângulo. |
a) O quadrado de um cateto é igual ao resultado da multiplicação entre a hipotenusa e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
c2 = a * m
b) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
c) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
2.2 Teorema de Pitágoras
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: b2 + c2 = a2
A partir da primeira relação métrica, é possível deduzir o Teorema de Pitágoras:
c2 = a * m
b2 + c2 = a * n + a * m
b2 + c2 = a * (m + n)
b2 + c2 = a2
2.3 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Sobre o lado AB do ângulo agudo α, marquemos arbitrariamente os pontos B, B1, B2, ... e tracemos por esses pontos perpendiculares ao lado AB que encontram o lado AC nos pontos C, C1, C2, ...
Tem-se, assim, os triângulos ABC, AB1C1, AB2C2, ... semelhantes entre si.
AB/AC = (AB1)/(AC1)=(AB2)/(AC2) = ⋯ = k2 ⇒ cosα
BC/AB = (B1C1)/(AB1) = (B2C2)/(AB2) = ⋯ = k3 ⇒ tgα
Assim considerando o triângulo retângulo ABC:
 |
| OBS: β+γ ⇒ Complementares |
- Para o ângulo β
AB/BC = c/a = (cateto adjacente a β)/hipotenusa = cosβ
AC/AB = b/c = (cateto oposto a β)/(cateto adjacente a β) = tgβ
- Para o ângulo γ
AC/BC = b/a = (cateto adjacente a γ)/hipotenusa = cosγ
AB/AC = c/b = (cateto oposto a γ)/(cateto adjacente a γ) = tgγ
Analisando as 6 equações anteriores temos que: senβ=cosγ e cosβ=senγ
Isto equivale a dizer que o seno de b é igual ao cosseno do seu complementar, e o cosseno de b é igual ao seno do seu complementar, isto é: senβ=cos(90°−β) e cosβ=sen(90°−β)
Uma outra relação trigonométrica diz: tgβ = senβ/cosβ ⇒ tgβ = (b/a) / (c/a) = b/a × a/c = 𝐛/𝐜
3. TRIÂNGULO QUALQUER
Um triângulo qualquer (não retângulo) é um tipo de triângulo que não possui ângulo reto (90 graus). Todos os seus ângulos internos são agudos (menores que 90 graus). Este tipo de triângulo pode ter lados de comprimentos diferentes e é classificado com base nos comprimentos dos lados e nas medidas dos ângulos internos, incluindo triângulos escalenos (todos os lados diferentes) e triângulos isósceles (dois lados iguais). Triângulos não retângulos são comuns em geometria e trigonometria, onde suas propriedades são estudadas e aplicadas em diversas situações.
3.1 Lei dos senos
Num triângulo qualquer, a relação entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
O triângulo BCD é um triângulo retângulo em C, inscrito em uma semicircunferência. Além disso, os ângulos A e D são congruentes, o que significa que são ângulos inscritos que determinam o mesmo arco BC na circunferência.
Dessa forma, tem-se:
Como: D ≅ A, tem-se: senA = a/2R ⇒ a/senA = 2R
De forma análoga: b/senB = 2R e c/senC = 2R
Igualando as expressões temos a expressão geral da Lei dos Senos:
3.2 Lei dos cossenos
Num triângulo qualquer, o quadrado do comprimento de um lado é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados, diminuída do produto duplo desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
No triângulo CHB:
a2 = h2 + c2 − 2cm + m2
a2 = h2 + m2 + c2 − 2cm
No triângulo CHA:
Substituindo a segunda igualdade na primeira, vem:
No triângulo CHA:
m = b * cosA (2)
Substituindo (2) em (1):
Analogamente:
c2 = a2 + b2 − 2ab cosC
4 EXERCÍCIOS
001: Um observador realiza a medição angular com teodolito a partir do ponto P para as extremidades de uma ponte e de uma arvore de mesmo alinhamento com a ponte de distância 30m, conforme a figura. Determine o comprimento da ponte.
002: Para determinar o lado de uma estrada, mediu-se a partir de seu comprimento conhecido igual a 30 metros os ângulos A e B. Determinar a largura de x.
003. (VÉRAS, 2012). Para determinar a largura de um rio, um profissional mediu, a partir de uma base (AB) de 30,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule o valor de h.
REFERÊNCIAS
DOLCE, O. e POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. Volume 9. 9ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2013.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D. & PERIGO, R. Matemática. Volume Único. São Paulo: Editora Atual, 2002. 660p.
VERAS, R. C. Notas de Aula. Teresina: UFPI, 2012.
ZAGO, G. J.; SCIANI, W. A. Trigonometria. 2 ed. São Paulo: Érica, 1997.
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