Ajustamento de Observações Geodésicas: Teste do Qui-Quadrado (χ²) aplicado à Geodésia.

Entramos agora em um dos testes mais importantes do controle de qualidade em Geodésia: o Teste do Qui-Quadrado (χ²), que é a base para validar a precisão das observações e verificar se o ajustamento está estatisticamente consistente.

Aula 012 – Teste do Qui-Quadrado (χ²) aplicado à Geodésia

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Objetivos da Aula

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1. Entender a origem e a função do teste χ².
2. Avaliar se a variância observada é compatível com a variância teórica do instrumento.
3. Aplicar o teste em observações repetidas e em ajustamentos completos.
4. Interpretar valores críticos e regiões de rejeição.

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1. Por que usar o Teste χ² na Geodésia?

Quando um instrumento declara precisão, por exemplo:

• Receptor GNSS: ±5 mm
• Estação Total: ±1"
• Nível: ±0.4 mm/km

Espera-se que as observações sigam essa variância.

O teste χ² responde à pergunta:

→ A variância observada é compatível com a precisão declarada do instrumento?

Isso é essencial para:

• Validar campanhas GNSS
• Verificar séries repetidas
• Conferir nivelamentos
• Testar redes antes do ajustamento final.

2. Hipóteses do Teste χ²

2.1 Hipótese nula (H₀):

(a variância observada é igual à teórica)

2.2 Hipótese alternativa (H₁):

3. Fórmula do Teste χ²

Para observações repetidas:

Em que:

• n = número de observações
• σ = desvio padrão observado
• σ₀ = desvio padrão teórico

4. Decisão Estatística

Para um nível de significância α (normalmente 5%), existem dois valores críticos:

4.1 Regra:

• Se

→ Não rejeita H₀ (variância consistente)

• Caso contrário

→ Rejeita H₀ (variância inconsistente)

5. Tabela χ² (nível 5%)

Para g.l. = 4 (n=5 observações):

Valor	χ² crítico
χ² inferior	0,484
χ² superior	11,143

(Valores clássicos de tabelas estatísticas)

6. Exemplo Resolvido

6.1 Problema:

Um distanciômetro declara precisão:

Foram obtidas 5 observações, resultando em:

Pergunta: As observações estão coerentes com o padrão do instrumento?

Use α = 5%.

6.2 Solução (Passo a passo)

6.2.2 Passo 1 – Cálculo do χ²:

6.2.3 Passo 2 – Valores críticos para g.l. = 4:

χ²_inf = 0,484

χ²_sup = 11,143

6.2.4 Passo 3 – Decisão:

Como: 25 > 11,143

→ H₀ é rejeitada.

6.2.5 Conclusão:

As observações "não" estão coerentes com a precisão declarada do instrumento. Há forte indicação de inconsistência ou problema operacional.

7. Exemplo Proposto

Um nível óptico declara precisão teórica:

Após 6 observações repetidas, encontrou-se:

Para α = 5%, e g.l. = 5, use:

χ²_inf = 1,145

χ²_sup = 12,833

7.1 Pergunta:

O conjunto de observações é consistente?

7.2 Resposta Final Esperada:

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8. Conclusão da Aula

• O teste χ² verifica se a variância observada está dentro do esperado.
• É fundamental no controle de qualidade.
• É aplicado antes e depois do ajustamento.
• Caso o teste falhe, há indicativo de:
1. Erro grosseiro não detectado.
2. Problema instrumental.
3. Operação inadequada.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Erros Médios, Desvio Padrão e Variância em Observações Geodésicas

Vamos dar continuidade ao curso com "Aula 006 – Erros Médios, Desvio Padrão e Variância", aprofundando a base estatística necessária para o Método dos Mínimos Quadrados.

Aula 006 – Erros Médios, Desvio Padrão e Variância em Observações Geodésicas

Objetivos da Aula

1. Compreender e calcular variância, desvio padrão e erro médio.
2. Relacionar esses conceitos com a precisão das medições geodésicas.
3. Aplicar os cálculos a observações repetidas de campo.
4. Preparar o terreno para a construção da matriz de pesos (P) utilizada no MMQ.

1. A Importância da Estatística na Geodésia

Cada observação geodésica contém erros aleatórios inevitáveis. Esses erros provocam dispersão nos valores medidos. Para avaliar essa dispersão e, portanto, a qualidade da medição, usamos:

• Variância
• Desvio padrão
• Erro médio (erro padrão)

Eles permitem saber quão confiáveis são as observações e qual peso cada uma deve ter no ajustamento.

2. Variância (σ²)

A variância mede a dispersão quadrática das observações em relação à média.

Fórmula (amostral):

Em que:

• x_i → observações
• x̄ → média
• n → número de observações

Quanto maior a variância, maior a dispersão → menor precisão.

3. Desvio Padrão (σ)

É a raiz quadrada da variância.

Representa o erro médio quadrático das observações.

3.1 Interpretação:

• Pequeno σ → alta precisão
• Grande σ → baixa precisão

4. Erro Médio da Média (mₘ)

Quando combinamos várias observações, obtemos um valor médio mais preciso.

Seu erro é:

Ou seja:

• Quanto maior o número de observações, menor o erro da média.
• É essencial para avaliar a precisão de valores ajustados.

5. Relação com o Método dos Mínimos Quadrados

O desvio padrão é fundamental porque define o peso (P) de cada observação:

• Observações mais precisas → maior peso
• Observações menos precisas → menor peso

Isso garante que o MMQ distribua os erros da forma mais lógica e estatisticamente ótima.

6. Exemplo Resolvido

6.1 Problema:

Foram realizadas 5 observações de um desnível altimétrico (em metros): 2,114; 2,116; 2,111; 2,115; 2,113.

Calcular:

• Média
• Variância
• Desvio padrão
• Erro médio da média

I. Média:

II. Desvios (v_i):

Obs
1	+0,0002
2	+0,0022
3	-0,0028
4	+0,0012
5	-0,0008

III. Variância:

IV. Desvio padrão:

V. Erro médio da média:

Resultado Final:

L = 2,114 ± 0,001 m
Alta precisão para nivelamento de curto alcance.

7. Exemplo Proposto

Foram observados cinco valores de distância (em metros): 5,332; 5,329; 5,331; 5,335; 5,330.

7.1 Calcule:

a) A média
b) A variância
c) O desvio padrão
d) O erro médio da média

7.2 Resposta Final Esperada:

⇒Clique aqui⇐
8. Conclusão da Aula

• A variância mede a dispersão.
• O desvio padrão expressa a precisão.
• O erro médio da média mede a confiabilidade do valor médio.
• Esses parâmetros serão usados diretamente na construção da matriz de pesos, fundamental no MMQ.

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