Ajustamento de Observações Geodésicas: Teste do Qui-Quadrado (χ²) aplicado à Geodésia.

Entramos agora em um dos testes mais importantes do controle de qualidade em Geodésia: o Teste do Qui-Quadrado (χ²), que é a base para validar a precisão das observações e verificar se o ajustamento está estatisticamente consistente.

Aula 012 – Teste do Qui-Quadrado (χ²) aplicado à Geodésia

---

Objetivos da Aula

---

1. Entender a origem e a função do teste χ².
2. Avaliar se a variância observada é compatível com a variância teórica do instrumento.
3. Aplicar o teste em observações repetidas e em ajustamentos completos.
4. Interpretar valores críticos e regiões de rejeição.

---

1. Por que usar o Teste χ² na Geodésia?

Quando um instrumento declara precisão, por exemplo:

• Receptor GNSS: ±5 mm
• Estação Total: ±1"
• Nível: ±0.4 mm/km

Espera-se que as observações sigam essa variância.

O teste χ² responde à pergunta:

→ A variância observada é compatível com a precisão declarada do instrumento?

Isso é essencial para:

• Validar campanhas GNSS
• Verificar séries repetidas
• Conferir nivelamentos
• Testar redes antes do ajustamento final.

2. Hipóteses do Teste χ²

2.1 Hipótese nula (H₀):

(a variância observada é igual à teórica)

2.2 Hipótese alternativa (H₁):

3. Fórmula do Teste χ²

Para observações repetidas:

Em que:

• n = número de observações
• σ = desvio padrão observado
• σ₀ = desvio padrão teórico

4. Decisão Estatística

Para um nível de significância α (normalmente 5%), existem dois valores críticos:

4.1 Regra:

• Se

→ Não rejeita H₀ (variância consistente)

• Caso contrário

→ Rejeita H₀ (variância inconsistente)

5. Tabela χ² (nível 5%)

Para g.l. = 4 (n=5 observações):

Valor	χ² crítico
χ² inferior	0,484
χ² superior	11,143

(Valores clássicos de tabelas estatísticas)

6. Exemplo Resolvido

6.1 Problema:

Um distanciômetro declara precisão:

Foram obtidas 5 observações, resultando em:

Pergunta: As observações estão coerentes com o padrão do instrumento?

Use α = 5%.

6.2 Solução (Passo a passo)

6.2.2 Passo 1 – Cálculo do χ²:

6.2.3 Passo 2 – Valores críticos para g.l. = 4:

χ²_inf = 0,484

χ²_sup = 11,143

6.2.4 Passo 3 – Decisão:

Como: 25 > 11,143

→ H₀ é rejeitada.

6.2.5 Conclusão:

As observações "não" estão coerentes com a precisão declarada do instrumento. Há forte indicação de inconsistência ou problema operacional.

7. Exemplo Proposto

Um nível óptico declara precisão teórica:

Após 6 observações repetidas, encontrou-se:

Para α = 5%, e g.l. = 5, use:

χ²_inf = 1,145

χ²_sup = 12,833

7.1 Pergunta:

O conjunto de observações é consistente?

7.2 Resposta Final Esperada:

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão da Aula

• O teste χ² verifica se a variância observada está dentro do esperado.
• É fundamental no controle de qualidade.
• É aplicado antes e depois do ajustamento.
• Caso o teste falhe, há indicativo de:
1. Erro grosseiro não detectado.
2. Problema instrumental.
3. Operação inadequada.

→ Índice de Aulas ←