Ajustamento de Observações Geodésicas: Propagação de Erros - A Lei de Gaus.

Vamos avançar para uma das aulas mais importantes para quem trabalha com ajustamento geodésico, propagação de incertezas e modelagem matemática de observações:

Aula 007 – Propagação de Erros: A Lei de Gauss

Objetivos da Aula

1. Entender a Lei de Propagação de Erros de Gauss.
2. Saber como calcular a incerteza de grandezas derivadas de medições.
3. Aplicar a propagação de erros a distâncias, ângulos, coordenadas e funções geodésicas.
4. Preparar o terreno para a matriz variância–covariância.

1. O que é Propagação de Erros?

Na Geodésia, quase nunca medimos diretamente o que queremos. Exemplos:

• Medimos distâncias e ângulos → queremos coordenadas.
• Medimos pseudodistâncias GNSS → queremos posição 3D.
• Medimos desníveis → queremos altitudes ou cotas.

Como cada entrada tem uma incerteza, essas incertezas se propagam para o resultado final. A ferramenta matemática para isso é a Lei de Gauss.

2. Lei Geral de Propagação de Erros

Para uma função qualquer:

A variância de f é:

Se houver covariâncias entre as variáveis (que veremos futuramente):

Em que:

• J = jacobiano (matriz de derivadas parciais)
• ∑ = matriz variância–covariância

Nesta aula ficaremos no caso sem covariância (erro independente).

3. Interpretação Intuitiva

A incerteza final depende de:

1. Quanto a função é sensível à variável


• (derivada parcial alta → efeito grande no resultado).


2. Quão incerta é a variável


• (σ alta → piora o resultado).

Portanto:

Erros de entrada multiplicados pelas derivadas → erro de saída.

4. Exemplo fundamental: Distância entre dois pontos

Se conhecemos (x₁, y₁) e (x₂, y₂), a distância é:

A variância da distância é:

As derivadas são:

Esse método será usado diversas vezes no curso.

Para mais detalhes sobre as derivações: ⇒Clique Aqui!!⇐

5. Exemplo Resolvido

5.1 Problema:

Os pontos A e B possuem coordenadas:

A = (100,000 ± 0,005; 200,000 ± 0,005)m
B = (110,000 ± 0,005; 212,000 ± 0,005)m

Calcular:

1. A distância AB
2. O erro (desvio padrão) da distância

5.1 Distância:

5.2 Cálculo da propagação

5.2.1 Derivadas:

5.2.2 Fórmula:

5.2.3 Resultado Final:

d = 15,620 ± 0,007 m

A incerteza final é 7 mm, relativamente baixa para coordenadas com 5 mm de erro.

6. Exemplo Proposto

Os pontos A e B são: A = (305,220 ± 0,004; 121,552 ± 0,004) m, B = (298,910 ±0.004; 140,873 ± 0.004)m.

Calcule:

a) A distância AB.

b) A incerteza da distância.

6.1 Resposta Final Esperada:

⇒Clique aqui⇐
7. Conclusão da Aula

• A Lei de Gauss é fundamental para estimar a incerteza de resultados derivados.
• A propagação depende das derivadas parciais, que medem a sensibilidade da função.
• É aplicada a distâncias, ângulos, coordenadas, GNSS, nivelamento e todos os modelos geodésicos.
• Prepara o caminho para a Matriz Variância–Covariância, essencial no MMQ.

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