Topografia - Roteiro para o cálculo de uma poligonal fechada (Método Analítico)

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1 INTRODUÇÃO

A poligonação, também conhecida como caminhamento, consiste em uma sequência de distâncias e ângulos medidos entre pontos adjacentes, formando linhas poligonais ou polígonos. Inicia-se com uma linha formada por dois pontos conhecidos, determinam-se novos pontos ao longo do percurso até atingir uma linha composta por pontos também conhecidos.

Por meio da poligonal, é possível estabelecer uma série de pontos de apoio para levantamentos topográficos, a partir dos quais coordenadas de outros pontos podem ser determinadas, utilizando métodos como a irradiação. Conforme a NBR 13133 (1994, ABNT), as poligonais são classificadas em:

• Principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem;
• Secundária: poligonal que, apoiada nos vértices da poligonal principal, determina os pontos de apoio topográfico de segunda ordem;
• Auxiliar: poligonal usada para coletar pontos de detalhes considerados importantes.

Em campo, as poligonais topográficas podem ser classificadas como FECHADA (o levantamento inicia e termina no mesmo ponto cujas coordenadas são conhecidas), ENQUADRADA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e chega a outro ponto de coordenadas também conhecidas) e ABERTA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e termina em um ponto cujas coordenadas são desconhecidas).

Após a conclusão do levantamento topográfico em campo, durante o qual são medidos ângulos e distâncias, passamos para a fase de escritório. Nesta etapa, são realizados cálculos para determinar as coordenadas dos vértices da poligonal levantada. Essas coordenadas são referenciadas a um sistema cartesiano plano ortogonal, com os eixos coincidindo nas direções leste-oeste e norte-sul, respectivamente.

Embora o método de Bowditch (Compensação) seja amplamente utilizado globalmente, ele não é um procedimento de ajustamento muito rigoroso, pois presume regularidade na precisão dos ângulos e distâncias dos lados, o que nem sempre é alcançado em levantamentos. No método de Bowditch, o erro angular é distribuído igualmente entre os vértices da poligonal, e a compensação linear é realizada distribuindo o erro de forma proporcional aos comprimentos dos lados da poligonal.

A seguir, serão apresentadas as etapas para o cálculo de uma poligonal topográfica pelo Método Analítico (Bowditch), conforme demonstrado por Oliveira e Saraiva (1998).

2 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE UMA POLIGONAL FECHADA

De forma resumida, o roteiro para o cálculo de uma poligonal topográfica fechada consiste:

1. Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular.
2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.
3. Cálculo das projeções relativas.
4. Cálculo do erro linear e verificação da tolerância.
5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.
6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse.
7. Cálculo da área, cálculo dos azimutes corrigidos e cálculo dos lados corrigidos.

Para melhor visualisarmos a sequência de cálculos, utilizaremos de um exemplo prático:

Exemplo: Foi realizado um levantamento topográfico a partir do método poligonação (poligonal fechada, com caminhamento no sentido horário e medição de ângulos horizontais horários externos a poligonal) conforme croqui apresentado. Os resultados das medições em campo encontram-se no caderneta de campo apresentada.

2.1 Cálculo da média dos ângulos PD e PI

As medições de ângulos horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. Essa abordagem é conhecida como leitura de pares conjugados, em que a média é calculada pela seguinte fórmula:

$\alpha$_i = $\frac{\mathrm{PD}+\mathrm{PI}}{2}\pm \mathrm{90°}$
A condição de somar-se ou subtrair-se 90° (noventa graus) depende:

• Se a leitura em PD for maior que a leitura em PI → Soma-se 90°.
• Se leitura em PD for menor que a leitura em PI → Subtrai-se 90°.

Assim, para o ângulo lido com a estação no vértice VT02, temos:

• Para a leitura a ré:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}\pm \mathrm{90°}$
Observa-se que a leitura em PD é menor que a leitura em PI assim:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}-\mathrm{90°}$
$\alpha$_ré = 00°00'0,5"

• Para a leitura a vante:

$\alpha$_vante = $\frac{\mathrm{169°52\text{'}28"}+\mathrm{349°52\text{'}28"}}{2}-\mathrm{90°}$
Tivemos novamente PD menor que PI. Dessa forma:

$\alpha$_vante = 169°52'28"
De posse dos ângulos de ré e de vante, faz-se então o cálculo do ângulo poligonal, que no caso, trata-se do ângulo que realmente será utilizado no cálculo:

$\alpha$_(n) = α_vante - α_ré

• Para o VT02.

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" - 00°00'0,5" = 169°52'28"
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

α_P01 = 331°37’53”
α_P02 = 197°05’43”
α_P03 = 301°58’11”
α_P04 = 259°25’44”

2.2 Cálculo das médias das distâncias em PD e PI

As medições das distâncias horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. O cálculo da média é determinado pela seguinte fórmula:

$dh$_ij = $\frac{\mathrm{dh_PD}+\mathrm{dh_PI}}{2}$
Assim, para as distâncias lidas com a estação no vértice VT02 com vante em P₀₁, temos:

$\mathrm{dh_{VT<mn>₀₂</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$ \frac{\mathrm{50,830}+\mathrm{50,830}}{2}$$
$\mathrm{dh_{VT_<mn>02</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$50,830 m
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

dh_P01-P02 = 53,527 m
dh_P02-P03 = 74,274 m
dh_P03-P04 = 52,378 m
dh_P04-VT02 = 51,411 m

2.3 Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular

Em uma poligonal geometricamente fechada E_a = 0, a soma dos ângulos, expressa no sistema sexagesimal, segue uma das seguintes fórmulas:

$\sum \alpha$_internos = (n - 2) . 180°
$\sum \alpha$_externos = (n + 2) . 180°
Em que n = número de vértices.

Claramente, o valor resultante da soma dos ângulos medidos em campo divergirá do resultado obtido pela aplicação de uma das fórmulas mencionadas anteriormente. Essa divergência é conhecida como Erro Angular.

$E_a=\sum \alpha$_campo - ∑α_p.g.f
Em que:
- ∑α_campo = somatório dos ângulos medidos em campo.
- ∑α_p.g.f = somatório angular em uma poligonal geometricamente fechada com o mesmo número de vértices.

Para os ângulos do exemplo, temos que os ângulos são externos, assim:

$\sum \alpha$_p.g.f = (5 + 2) . 180° = 1260°00'00"
O somatório dos ângulos medidos em campo é igual a:

$\sum \alpha$_campo = 169°52'28" + 331°37'53" + 197°05'43" + 301°58'11" + 259°25'44" = 1259°59'59"
Assim, o erro angular para a presente poligonal é:

$E$_a = 1259°59'58" - 1260°00'00" = -00°00'01"
2.3.1 Tolerância para o erro angular

Para que a compensação do erro de fechamento seja possível, é essencial que este seja inferior ao valor de tolerância previamente estabelecido.

$T$_a = ±k$\sqrt{n}$
Em que: k = coeficiente variável de 1”, 2” ou 3”, função da maior ou menor precisão desejada e n = número de vértices da poligonal.

A condição para distribuir o erro angular é:

$|E$_a| ≤ |T_a|
Para o levantamento do exemplo, a tolerância foi dada por:

$\mathrm{T_a}=\pm 3$ \sqrt{5}$=$±6,71"
Como $\mathrm{<mo>-</mo>6,71"}\le \mathrm{<mo>-</mo>1,0"}\le \mathrm{<mo>+</mo>6,71"}$, pode-se distribuir o erro angular.

2.3.2 Correção angular

O erro angular é distribuído de maneira uniforme entre todos os vértices. A correção angular por vértice é calculada pela seguinte fórmula:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{\mathrm{E_a}}{n})$$
Em que E_a = erro angular e n = número de vértices.

Para o levantamento do exemplo:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{-\mathrm{1,0"}}{5})$=$0,2"
2.3.3 Ângulos corrigidos

Os ângulos corrigidos são determinados pela seguinte equação:

$\alpha$_C= α_i + C_a
Para o ângulo medido em VT₀₂:

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" + 0,2" = 169°52'28,2"
Repetindo o cálculo para os demais ângulos temos:

α_P01 = 331°37'53" + 0,2" = 331°37'53,2"
α_P02 = 197°05'43" + 0,2" = 197°05'43,2"
α_P03 = 301°58'11" + 0,2" = 301°58'11,2"
α_P04 = 259°25'44" + 0,2" = 259°25'44,2"

Para verificar que a poligonal levantada foi corrigida, basta realizar o somatório dos ângulos corrigidos:

$\sum \alpha$_C = 169°52'28,2" + 331°37'53,2" + 197°05'43,2" + 301°58'11,2" + 259°25'44,2" = 1260°00'00"
2.4 Cálculo dos azimutes dos alinhamentos

O azimute é o ângulo horário medido a partir do norte até o alinhamento, abrangendo uma variação de 0° a 360°.

Em projetos envolvendo poligonais topográficas, o azimute de um alinhamento é calculado a partir do azimute do alinhamento anterior e do ângulo horizontal medido, conforme expresso na seguinte equação:

• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido horário.
• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}-\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido anti-horário.

Em que: Az_n é o azimute a se determinar; Az_(n-1) é o azimute do alinhamento anterior; α_i é o ângulo horizontal medido.

2.4.1 Azimute de um alinhamento em função das coordenadas

Em relação a determinação pelas coordenadas, como vimos na postagem sobre orientação, o rumo e o azimute relacionam-se conforme o quadro abaixo:

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$ → As coordenadas dos pontos conhecidos estão em UTM.

• Azimute do alinhamento VT₀₁-VT₀₂.

$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{743.942,882}-\mathrm{743.931,134}}{\mathrm{9.440.805,186\; <mo>-</mo>\; 9.440.803,370}}$)+C$
$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{11,748}}{\mathrm{1,816}}$)+\mathrm{0°}=$81°12'46"
2.4.2 Azimutes dos alinhamentos da poligonal

Utilizando-se da equação exibida no tópico 2.3, calculam-se os azimutes dos alinhamentos da poligonal. O azimute do alinhamento VT02-P01 é calculado inicialmente em função do azimute VT₀₁-VT₀₂ e o ângulo de orientação que foi medido em campo. Assim:

$\mathrm{Az_{VT_<mn>02</mn>P_<mn>01</mn>}}=\mathrm{81°12\text{'}46"\; <mo>+</mo>\; 280°27\text{'}15"}\pm \mathrm{180°}$
$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=\mathrm{361°40\text{'}01"}-\mathrm{180°}=$181°40'01"
Para os demais alinhamentos:

$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=181°40\text{'}01"+331°37\text{'}53,2"-180°=$333°17'54,2"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=333°17\text{'}54,2"+197°05\text{'}43,2"-180°=$350°23'37,4"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=350°23\text{'}37,4"+301°58\text{'}11,2"-180°=$472°21'48,6" - 360° = 112°21'48,6"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=112°21\text{'}48,6"+259°25\text{'}44,2"-180°=$191°47'32,8"

Conferência:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=191°47\text{'}32,8"+169°52\text{'}28,2"-180°=$181°40'01"

2.5 Cálculo das projeções relativas

O cálculo das projeções relativas conecta os azimutes e as distâncias medidas em campo. Quando o levantamento topográfico está alinhado com o norte magnético ou verdadeiro, é necessário que essa direção coincida com o eixo das ordenadas Y. O eixo da abscissa X, por sua vez, forma um ângulo de 90° com o eixo das ordenadas, constituindo assim o par de eixos cartesianos (Veras, 2011).

$\mathrm{x_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{sen(Az_ij)}$
$\mathrm{y_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{cos(Az_ij)}$

• Para a direção X (E).

$\mathrm{x_{VT₀₂-P₀₁}}=\mathrm{50,830}\times sen(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-1,479 m
$\mathrm{x_{P₀₁-P₀₂}}=\mathrm{53,527}\times sen(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$-24,052 m
$\mathrm{x_{P₀₂-P₀₃}}=\mathrm{74,274}\times sen(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$-12,395 m
$\mathrm{x_{P₀₃-P₀₄}}=\mathrm{52,378}\times sen(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$48,439 m
$\mathrm{x_{P₀₄-VT₀₂}}=\mathrm{51,411}\times sen(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-10,507 m

Erro na direção X → $\sum$_xij = Δ_x = 0,007 m

• Para a direção Y (N).

$\mathrm{y_{VT₀₂-P₀₁}}=50,830\times cos(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-50,808 m
$\mathrm{y_{P₀₁-P₀₂}}=53,527\times cos(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$47,819 m
$\mathrm{y_{P₀₂-P₀₃}}=74,274\times cos(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$73,233 m
$\mathrm{y_{P₀₃-P₀₄}}=52,378\times cos(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$-19,929 m
$\mathrm{y_{P₀₄-VT₀₂}}=51,411\times cos(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-50,326 m

Erro na direção Y → $\sum$_yij = Δ_y = -0,012 m

2.5.1 Erro linear

Fonte: Adaptado de Veras, 2011.
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(<mo>\Delta </mo>_x)²\; +\; (<mo>\Delta </mo>_y)²</mn></msqrt></math>}$
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(0,007)²\; <mo>+</mo>\; (<mo>-</mo>0,012)²</mn></msqrt></math>\; <mo>=</mo>\; <b><mn>0,014</mn>\; m</b>}$
2.5.2 Tolerância para o erro linear

$\mathrm{T_L}=\pm d$ \sqrt{L}$$_km
Em que: d é um coeficiente em função da classe da poligonal (Ver NBR 13133); L é o perímetro da poligonal em km.

Para a poligonal do exemplo temos:

d = 0,42 (Coeficiente para uma poligonal classe IIIP (NBR 13133).
L = 50,830 + 53,527 + 74,274 + 52,378 + 51,411 = 282,420 m = 0,28242 km

$\mathrm{T_L}=\pm \mathrm{0,42}$ \sqrt{\mathrm{0,282}}$=$0,223 m
2.6 Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.

As correções das projeções podem ser determinadas proporcionalmente aos lados ou ao módulo da projeção correspondente. O erro em um eixo guarda relação com o perímetro da mesma forma que a correção relativa à projeção de um lado se relaciona com esse lado.

2.6.1 Correção das projeções

• Para a direção X (E).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{x_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=\mathrm{K_x}$

Temos: $\mathrm{C_{x_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_x}$ → Fórmula da Correção na Direção X

Aplicando a fórmula para a direção X, temos:

$\mathrm{K_x}=$ \frac{\mathrm{0,007}}{\mathrm{282,420}}$=\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{x_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0013 m
$\mathrm{C_{x_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0017 m
$\mathrm{C_{x_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\sum$_Cxij = -0,007 m

• Para a direção Y (N).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{y_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Em que: C_xij; C_xij = correção das projeções; P = Perímetro e d_ij = comprimento do alinhamento.

Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=\mathrm{K_y}$

Temos: $\mathrm{C_{y_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_y}$ → Fórmula da Correção na Direção Y

Aplicando a fórmula para a direção Y, temos:

$\mathrm{K_y}=$ \frac{-\mathrm{0,012}}{\mathrm{282,420}}$=-\mathrm{4,231673716}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{y_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0023 m
$\mathrm{C_{y_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0031 m
$\mathrm{C_{y_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\sum$_Cyij = 0,012 m

2.6.2 Projeções corrigidas

Com as correções aplicadas aos alinhamentos, procede-se ao cálculo das projeções ajustadas:

• Para a direção X.

$\mathrm{x_{c_ij}}=\mathrm{x_ij}+\mathrm{C_{x_ij}}$
$\mathrm{x_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>1,479}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-1,480 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>24,052}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0013})=$-24,053 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{<mo>-</mo>12,395}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0017})=$-12,396 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₃P₀₄}}}=\mathrm{48,439}+(-\mathrm{0,0012})=$48,437 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>10,507}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-10,508 m
$\sum$_xcij = 0,000 m

• Para a direção Y.

$\mathrm{y_{c_ij}}=\mathrm{y_ij}+\mathrm{C_{y_ij}}$
$\mathrm{y_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>50,808}+\mathrm{0,0022}=$-50,806 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{47,819}+\mathrm{0,0023}=$47,821 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{73,233}+\mathrm{0,0031}=$73,236 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₃P₀₄}}}=-\mathrm{79,929}+\mathrm{0,0022}=$-19,927 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>-50,326}+\mathrm{0,0022}=$-50,324 m
$\sum$_ycij = 0,000 m

2.7 Cálculo das coordenadas planas dos pontos da poligonal.

As coordenadas do vértice desejado são obtidas somando as coordenadas do vértice anterior à projeção corrigida do alinhamento formado entre esses dois pontos. Matemáticamente a explicação anterior, que para o caso da poligonal do exemplo está em UTM, fica:

$\mathrm{E_n}=\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
$\mathrm{N_n}=\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
Em que:

$\mathrm{E_n}=$ Coordenada Este do ponto de interesse.
$\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Este do vértice anterior.
$\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida x_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.
$\mathrm{N_n}=$ Coordenada Norte do ponto de interesse.
$\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Norte do vértice anterior.
$\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida y_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.

Assim:

• Para as coordenadas E.

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=$743942,882 m
$E$_P01 = 743942,882 + (-1,480) = 743941,402 m
$E$_P02 = 743941,402 + (-24,053) = 743917,349 m
$E$_P03 = 743917,349 + (-12,396) = 743904,953 m
$E$_P04 = 743904,953 + 48,437 = 743953,390 m

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{743953,390}+(-\mathrm{10,508})=$743942,882 m ← conferência.

• Para as coordenadas N.

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=$9440805,186 m
$N$_P01 = 9440805,186 + (-50,806) = 9440754,380 m
$N$_P02 = 9440754,380 + 47,821 = 9440802,201 m
$N$_P03 = 9440802,201 + 73,236 = 9440875,436 m
$N$_P04 = 9440875,436 + (-19,927) = 9440855,510 m

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{9440855,510}+(-\mathrm{50,324})=$9440805,186 m ← conferência.

2.8 Cálculo da área da poligonal

Para o cálculo da área da poligonal, usaremos a Fórmula de Gauss. Gauss desenvolveu uma fórmula notável para calcular a área de qualquer polígono. Essa fórmula utiliza as coordenadas cartesianas dos vértices do polígono.
Vamos considerar um polígono irregular com n lados, e suponha que conhecemos as coordenadas de seus vértices $(E$_n, N_n), n = 1, 2, ... n - 1, sendo o primeiro vértice coincidente com o último.

$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) + (N₀₁×E₀₂ - ... - N_(n-1)×E_n - N_n×E₀₁)
$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) - (N₀₁×E₀₂ + ... + N_(n-1)×E_n + N_n×E₀₁)
$2S=$ |\sum E\times N$$_(n+1) - $\sum N\times E$_(n+1)|
OBS: O cálculo em módulo é para não termos um valor final de área negativo.

• Para a poligonal do exemplo.

$\sum$_E×N(n+1) = 743942,882×9440754,380 + 743941,402×9440802,201 + 743917,349×9440875,436 + 743904,953×9440855,510 + 743953,390×9440805,186 = 3,5116634866×10¹³ m²
$\sum$_N×E(n+1) = 9440805,186×743941,402 + 9440754,380×743917,349 + 9440802,201×743904,953 + 9440875,436×743953,390 + 9440855,510×743942,882 = 3,5116634872×10¹³ m²

Assim:

$2S=$ |\sum \mathrm{3,5116634866\times 10¹³}-\mathrm{3,5116634872\times 10¹³}|$=$5846,703 m²

$S=$ \frac{\mathrm{5846,703}}{2}$=$2923,352 m² ∴ 0,292 ha

2.9 Cálculo dos azimutes corrigidos

Os azimutes corrigidos são determinados em relação às projeções corrigidas ou às coordenadas totais. A atenção aos sinais das projeções é crucial, pois eles indicarão o quadrante no qual o alinhamento está situado.

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$
$\Delta E=$ E$$_(n+1) - $\mathrm{E_n}=\mathrm{x_{C_ij}}$
$\Delta N=$ N$$_(n+1) - $\mathrm{N_n}=\mathrm{y_{C_ij}}$
Desta forma, para os alinhamentos da poligonal do exemplo:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=atan($ \frac{\mathrm{-1,480}}{\mathrm{-50,806}}$)+\mathrm{180°}=$181°40'06"
$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-24,053}}{\mathrm{47,821}}$)+\mathrm{360°}=$333°17'54"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=atan($ \frac{\mathrm{-12,396}}{\mathrm{73,236}}$)+\mathrm{360°}=$350°23'34"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=atan($ \frac{\mathrm{48,437}}{\mathrm{-19,927}}$)+\mathrm{180°}=$112°21'42"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-10,508}}{\mathrm{-50,324}}$)+\mathrm{180°}=$191°47'39"

2.10 Cálculo dos lados corrigidos

Os lados corrigidos são determinados em relação às coordenadas totais ou às projeções corrigidas.

$\mathrm{d_ij}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>E)}}^2$+$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>N)}}^2$}$$

$\mathrm{d_{VT₀₂P₀₁}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-1,480)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,806)}}^2$}$=$50,828 m
$\mathrm{d_{P₀₁P₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-24,053)}}^2$+$ {\mathrm{47,821}}^2$}$=$53,530 m
$\mathrm{d_{P₀₂P₀₃}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-12,396)}}^2$+$ {\mathrm{73,236}}^2$}$=$74,277 m
$\mathrm{d_{P₀₃P₀₄}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{48,437}}^2$+$ {\mathrm{(-19,927)}}^2$}$=$53,376 m
$\mathrm{d_{P₀₄VT₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-10,508)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,324)}}^2$}$=$51,409 m

3 CONCLUSÃO

Dessa forma, a poligonal foi corrigida integralmente, abrangendo tanto os aspectos angulares quanto lineares. No próximo post, procederemos com os cálculos e a elaboração da planta topográfica desse exemplo.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
OLIVEIRA, M. T.; SARAIVA, S. Fundamentos da Topografia. 1998.
VERAS, R. C. Topografia roteiro para cálculo de Poligonal. 54 pag. – 1ª ed. 1997 – EDUFPI – Teresina.

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EXTRA: Ajustamento de uma poligonal fechada pelo Método dos Mínimos Quadrados.

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Topografia - Levantamento Planimétrico - Poligonação

INTRODUÇÃO

Como mencionado na postagem anterior, o termo "levantamento" refere-se ao conjunto de operações realizadas no campo e no escritório, utilizando métodos e instrumentos específicos, com o objetivo de obter os elementos necessários para a representação geométrica de uma determinada extensão de terreno, denominada superfície topográfica. Durante os trabalhos de campo, os pontos do terreno são identificados por meio da medição de ângulos e alinhamentos, sendo esses elementos fundamentais para a representação geométrica da área. No escritório, após realizar os cálculos necessários a partir dos dados (ângulos e distâncias) numericamente determinados no campo, procede-se à elaboração do desenho em papel, representando a projeção horizontal da área levantada (Comastri; Gripp Júnior, 1998).

O levantamento topográfico é planimétrico, quando visa a pesquisa dos limites e confrontações de uma propriedade envolve a determinação do seu perímetro, abrangendo, quando aplicável, o alinhamento com vias ou logradouros frontais, além da orientação e amarração a pontos materializados no terreno, pertencentes a uma rede cadastral de referência. Na ausência dessa rede, são utilizados pontos notáveis e estáveis nas proximidades. Quando esse levantamento tem o propósito de identificar a titularidade do imóvel, outros elementos complementares são necessários, como perícia técnico-judicial, memorial descritivo, entre outros (ABNT, 1994).

Existem vários métodos para a realização de um levantamento topográfico planimétrico, podemos citar a poligonação, a irradiação, a interseção, dentre outros. Neste post iremos abordar sobre o Levantamento Planimétrico pelo Método da Poligonação ou Caminhamento.

2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO - POLIGONAÇÃO

A poligonação é amplamente utilizada como método em levantamentos topográficos para determinar as coordenadas de pontos de interesse, especialmente em operações voltadas à definição de pontos de apoio planimétricos. Essencialmente, uma poligonal é constituída por uma sequência de linhas consecutivas, em que os comprimentos e direções são conhecidos, sendo obtidos por meio de medições realizadas em campo (VEIGA et al., 2012).

A NBR 13133 (ABNT, 1994) categoriza as poligonais topográficas em auxiliares, principais e secundárias. As poligonais resultantes de levantamentos topográficos de campo podem ser classificadas como fechadas, enquadradas ou abertas.

2.1 Poligonal auxiliar

Uma poligonal auxiliar é fundamentada nos pontos de apoio topográfico, e seus vértices são distribuídos na área a ser levantada, possibilitando a coleta de pontos de interesse de maneira direta ou indireta.

2.2 Poligonal principal

Por outro lado, uma poligonal principal é aquela que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem.

2.3 Poligonal secundária

Já uma poligonal secundária é aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, estabelece os pontos de apoio topográfico de segunda ordem.

2.4 Poligonal fechada

Uma poligonal fechada é caracterizada pelo fato de que o ponto de início do levantamento é o mesmo que o ponto de término. Esse tipo de poligonal apresenta a vantagem de permitir a verificação de erros de fechamento angular e linear.

2.5 Poligonal enquadrada

Em uma poligonal enquadrada, o levantamento tem início em dois pontos cujas coordenadas são previamente conhecidas e termina em outros dois pontos com coordenadas também previamente estabelecidas. Nesse tipo de poligonal, é igualmente viável realizar a verificação de erros de fechamento angular e linear.

2.5 Poligonal aberta

Em uma poligonal aberta, a origem é um ponto com coordenadas previamente conhecidas, e a finalização ocorre em um ponto cujas coordenadas são o objeto da determinação. Nesse caso, não há controle sobre os erros, tanto angulares quanto lineares.

Em nossas próximas postagem mostraremos o cálculo de cada uma das poligonais citadas: Fechada, Enquadrada e Aberta.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133. Execução de Levantamento Topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35 p.
COMASTRI, J. A.; GRIPP JÚNIOR, J. Topografia Aplicada: Medição, Divisão e Demarcação. Viçosa: UFV, 1998. 203p.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de Topografia. Paraná: [s.n.], 2012. 288 p.

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Topografia - Introdução a Planimetria

1 INTRODUÇÃO

A topometria, dentro do campo da topografia, é responsável pela avaliação de grandezas para a representação do ambiente. A planimetria, por sua vez, é uma parte da topometria que se concentra nos procedimentos, métodos e instrumentos de medição de ângulos e distâncias, levando em consideração um plano horizontal, ou seja, sem considerar o relevo (Tuler e Saraiva, 2014). Em resumo, a planimetria lida especificamente com a representação de pontos e objetos na superfície da Terra em duas dimensões, sem levar em conta as diferenças de elevação.

Fonte: Tuler e Saraiva, 2014.
1.1 O que é fazer um levantamento topográfico?

Um levantamento ou medição é o processo de realizar todas as operações e medidas necessárias para determinar a posição relativa dos pontos que constituem uma parte da superfície terrestre (ESPARTEL, 1980).

O levantamento topográfico é o conjunto de operações que envolvem trabalhos de campo e de escritório com o objetivo de coletar os dados necessários para a representação geométrica de uma área de terreno específica (COMASTRI, 1977).

Um levantamento topográfico pode ser classificado como planimétrico quando se limita a representar, em um plano de referência, apenas as projeções horizontais dos contornos dos pontos medidos (ESPARTEL, 1980). Isso significa que, em um levantamento planimétrico, o foco está nas coordenadas horizontais dos pontos, sem levar em consideração as diferenças de elevação ou altitude.

1.1.1 Fases do levantamento topográfico planimétrico

1. Planejamento, seleção de métodos e aparelhagem (Reconhecimento).
2. Apoio topográfico (Levantamento da poligonal básica).
3. Levantamento dos detalhes (Levantamento das feições planimétricas).
4. Cálculo e ajustes (Fechamento, área e coordenadas).
5. Original topográfico (Desenho da planta).
6. Relatório técnico (Memorial descritivo).

1.1.2 Instrumentais utilizados para a realização de um levantamento planimétrico

2 LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO: MÉTODOS PRINCIPAIS

Estes levantamentos estão associados ao aumento da aplicação de técnicas em campo, frequentemente utilizados para estabelecer pontos de referência que servirão como suporte para futuros levantamentos topográficos, o que, por conseguinte, exige maior rigor e controle.

2.1 Poligonação (Caminhamento)

Envolve a medição de ângulos e distâncias, levando a uma sequência de alinhamentos. É o método predominante para levantamentos, empregando uma estação total ou um teodolito.

2.2 Irradiação

Nesse procedimento, os pontos topográficos a serem registrados são estabelecidos por meio da medição de ângulos e distâncias.

O método de irradiação, em levantamentos topográficos, é normalmente usado em circunstâncias específicas e não é comumente empregado como o principal método de levantamento. Em vez disso, ele é mais frequentemente utilizado como um processo complementar ao caminhamento topográfico, especialmente quando se trata de mapear detalhes, como rios sinuosos, trilhas e outros acidentes geográficos.

2.3 Triangulação

Esse método envolve a obtenção de formas geométricas a partir da medição dos ângulos formados por cada vértice de um triângulo. Os pontos usados como vértices desses triângulos são chamados de "vértices de triangulação" (VVTT). Este é o método mais antigo e amplamente utilizado para levantamentos planimétricos.

2.4 Trilateração

Este método é semelhante à triangulação e, assim como a triangulação, utiliza propriedades geométricas a partir de triângulos superpostos. No entanto, a diferença está no fato de que o levantamento é realizado por meio da medição dos comprimentos dos lados.

2.5 Triangulateração

Este método combina elementos da triangulação e trilateração.

Devido à facilidade de medição de distâncias e ângulos usando estações totais, juntamente com a capacidade de processar automaticamente grandes quantidades de dados, a triangulateração se destaca em comparação com a triangulação e trilateração. Ela permite uma precisão superior e uma análise estatística mais robusta das observações e das coordenadas, especialmente devido ao grande número de observações redundantes que podem ser realizadas.

2.6 Interseção

Neste método, os pontos topográficos que serão levantados são determinados pela interseção dos lados de ângulos horizontais ou distâncias horizontais medidas a partir das extremidades de uma base estabelecida no terreno.

Este método é especialmente útil quando se deseja posicionar vértices em locais que são de difícil acesso ou inacessíveis devido a obstáculos naturais ou construídos pelo homem.

Em nossos próximos posts, daremos ênfase a cada um dos métodos citados nesta postagem.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia: Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. 2º Ed. Viçosa: UFV, 1987.
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
PASCINI, A. P. G. Topografia. Juíz de Fora: Ed. UFJF, 2013.

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