Ajustamento de Observações Geodésicas: Princípios Estatísticos Aplicados às Observações Geodésicas

Seguimos com a Aula 003 – Princípios Estatísticos Aplicados às Observações Geodésicas, o alicerce matemático para todos os métodos de ajustamento. A partir desta aula, começamos a formalizar o tratamento estatístico das observações, preparando o terreno para o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ).

Aula 003 – Princípios Estatísticos Aplicados às Observações Geodésicas
Objetivos da Aula

1. Compreender os conceitos estatísticos fundamentais aplicados à Geodésia.
2. Calcular média, variância, desvio padrão e erro médio.
3. Entender a diferença entre população e amostra.
4. Aplicar os princípios estatísticos para avaliar a qualidade de observações geodésicas.

1. A Estatística no Contexto Geodésico

Na Geodésia, cada medição é uma variável aleatória sujeita a flutuações imprevisíveis. A estatística permite analisar, interpretar e quantificar essas variações.

Os instrumentos (GNSS, estações totais, níveis) produzem valores que nunca são exatamente iguais, mesmo repetindo-se as condições de observação. Por isso, usamos ferramentas estatísticas para extrair o valor mais provável e avaliar sua confiabilidade.

2. Conceitos Fundamentais

Conceito	Definição	Fórmula
Média (𝑥̄)	Valor representativo do conjunto de observações.
Desvio (vᵢ)	Diferença entre cada observação e a média.
Variância (σ²)	Medida da dispersão dos valores em relação à média.
Desvio padrão (σ)	Raiz quadrada da variância; expressa a precisão das observações.
Erro médio da média (mₘ)	Incerteza associada à média das observações.

3. População e Amostra

• População: conjunto completo de todas as medições possíveis (ideal).
• Amostra: subconjunto de medições efetivamente realizadas.

Na Geodésia, trabalhamos quase sempre com amostras, pois não é possível medir infinitas vezes. Por isso, utilizamos ( n-1 ) no denominador da variância, correção de Bessel, que compensa o fato de trabalharmos com amostras.

4. Interpretação do Desvio Padrão

O desvio padrão (σ) mede o grau de dispersão dos valores observados. Em observações com distribuição normal (Gaussiana):

• ≈ 68% das observações estão dentro de ±1σ da média.
• ≈ 95% dentro de ±2σ.
• ≈ 99.7% dentro de ±3σ.

👉 Isso significa que, quanto menor for σ, maior é a precisão das observações.

5. Importância para o Ajustamento

O desvio padrão é usado para construir a matriz de pesos (P) no ajustamento:

Ou seja, quanto menor o desvio padrão, maior o peso (confiança) da observação. Assim, as observações mais precisas influenciam mais o resultado ajustado.

6. Exemplo Resolvido

6.1 Problema:

Durante uma campanha GNSS, foram medidas quatro distâncias (em metros) entre dois marcos geodésicos:

Observação	Valor (m)
1	2,324
2	2,320
3	2,322
4	2,325

Pede-se: calcular a média, os desvios, o desvio padrão e o erro médio da média.

6.2 Solução passo a passo:

6.2.1 Média:

6.2.2 Desvios individuais:

Obs
1	+0,00125
2	-0,00275
3	-0,00075
4	+0,00225

6.2.3 Variância:

6.2.4 Desvio padrão:

6.2.5 Erro médio da média:

6.2.6 Resultado final:

L = 2.3228 ± 0.0024 m

7. Exemplo Proposto

Foram observadas cinco distâncias horizontais entre dois marcos:

Observação	Valor (m)
1	5,217
2	5,220
3	5,222
4	5,218
5	5,221

7.1 Calcule:

a) A média das observações
b) O desvio padrão
c) O erro médio da média

7.2 Resposta Final Esperada:

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8. Conclusão da Aula

• A estatística fornece as ferramentas matemáticas para avaliar a qualidade das observações geodésicas.
• O desvio padrão quantifica a precisão.
• O erro médio da média expressa a confiança no valor ajustado.
• Esses conceitos serão fundamentais quando começarmos a propagar erros e construir a matriz de pesos (P).

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