Ajustamento de Observações Geodésicas: Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento.

A Aula 009 conclui o Módulo Introdutório e prepara definitivamente o terreno para entrarmos, a partir da próxima aula, no Método Paramétrico com modelos matemáticos reais e ajustes completos.

Aula 009 – Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento

Objetivos da Aula

1. Entender como um problema de ajustamento é organizado.
2. Identificar os elementos fundamentais: L, x, A, P, v.
3. Compreender a necessidade de modelo funcional.
4. Reconhecer quando é necessário linearizar uma função.
5. Montar a estrutura matricial completa usada no MMQ.

1. Componentes Centrais do Ajustamento

Qualquer problema de ajustamento geodésico possui os seguintes elementos:

1.1 Observações (L)

Vetor contendo todos os valores medidos no campo. Ex.: distâncias, ângulos, desníveis, coordenadas GNSS…

1.2 Incógnitas (x)

Grandezas que queremos determinar.

Exemplos:

• Coordenadas (X, Y, Z)
• Ângulos internos
• Azimutes
• Fatores de escala
• Erros sistemáticos modeláveis

1.3 Modelo Funcional

O elemento mais importante do ajustamento. É a forma matemática que relaciona observações e incógnitas:

ou, na versão paramétrica (linearizada):

O modelo funcional descreve como o mundo físico gera as observações.

1.4 Resíduos (v)

São as correções aplicadas às observações. Eles nos dizem:

• o que está coerente,
• o que está suspeito,
• onde podem existir erros grosseiros.

1.5 Pesos (P)

Com:

Quanto maior o peso → maior a confiança na observação.

2. Linearização de Funções

A maioria dos modelos geodésicos não é linear.

Exemplos:

• Equação da distância entre pontos
• Equação de direção
• Equação de azimute
• Equações GNSS (pseudodistâncias)
• Equação de nivelamento trigonométrico

Como o MMQ exige funções lineares, usamos expansão de Taylor de primeira ordem:

Em que:

• x₀ → aproximação inicial
• A → matriz das derivadas parciais
• δx → correções que buscamos

Essa etapa é chamada de linearização.

3. O Sistema Geral das Equações Normais

A solução do ajustamento é:

Em que:

• A^T P A → matriz normal
• A^T P L → vetor de termos independentes
• x̂ → valores ajustados
• v = Ax̂ - L) → resíduos

4. Organização Geral de um Ajustamento

Para qualquer problema, siga este roteiro:

• Passo 1 – Definir as observações (L):
  • Coletar e organizar todos os valores medidos.
• Passo 2 – Definir as incógnitas (x):
  • Escolher o que será ajustado.
• Passo 3 – Desenvolver o modelo funcional:
  • Relacionar observações ↔ parâmetros (Equações matemáticas do fenômeno).
• Passo 4 – Linearizar o modelo:
  • Obter a matriz A.
• Passo 5 – Construir a matriz de pesos (P):
  • Com base nas precisões instrumentais.
• Passo 6 – Montar e resolver as Equações Normais:
  • (A^T P A)x̂ = A^T P L
• Passo 7 – Calcular os resíduos (v):
  • Indicam coerência ou suspeita.
• Passo 8 – Avaliar a qualidade do ajustamento:
  • Teste global (χ²)
  • Teste de Baarda
  • Análise da precisão das incógnitas

5. Exemplo Resolvido (estrutura)

5.1 Problema:

• Uma distância e um azimute são medidos entre dois pontos A e B.
• Deseja-se determinar as coordenadas do ponto B, conhecendo A.

5.2 Observações:

• Distância: L₁ = 125,373 m
• Azimute: L₂ = 57° 12' 30"

5.3 Incógnitas:

5.4 Modelo funcional:

5.5 Estrutura do ajustamento:

5.5.1 Vetor observado:

5.5.2 Incógnitas:

5.5.3 Linearização → derivadas parciais

5.5.4 Montagem da matriz A

5.5.5 Solução via equações normais

👉 Observação: Não resolvemos completamente aqui porque o objetivo é "mostrar a estrutura", não o cálculo final.

6. Exemplo Proposto

Para medir o ponto B a partir de A foram observados:

• Distância: 233,540 m
• Direção: 145,322°

As incógnitas são X_B e Y_B.

Escreva:

a) O vetor de observações (L).
b) O vetor de incógnitas (x).
c) As equações funcionais.
d) A matriz de derivadas A (sem calcular valores numéricos).

6.1 Resposta Final Esperada (estrutura correta):

⇒Clique aqui⇐

7. Conclusão da Aula

• Todo ajustamento tem cinco elementos essenciais: L, x, A, P, v.
• A linearização é necessária para trabalhar com modelos reais.
• A matriz A, derivada das funções, é o coração do ajuste.
• A partir da próxima aula iniciaremos os modelos paramétricos, resolvendo casos reais.

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