Ajustamento de Observações Geodésicas: Formulação do Modelo Funcional Paramétrico.

A formulação do modelo funcional é uma etapa fundamental no ajustamento de observações. É nesse momento que se estabelece a relação matemática entre as observações realizadas em campo e os parâmetros desconhecidos do problema. No método paramétrico, as observações são expressas como funções dos parâmetros que se deseja determinar. A correta definição desse modelo é essencial para que o Método dos Mínimos Quadrados produza resultados confiáveis e fisicamente consistentes.

---

Aula 028 – Formulação do Modelo Funcional Paramétrico

---

Objetivos

1. Compreender o conceito de modelo funcional.
2. Identificar a relação entre observações e parâmetros.
3. Formular equações observacionais no método paramétrico.
4. Escrever o modelo funcional em forma matricial.
5. Preparar a base para a linearização do modelo.

---

1. Conceito de modelo funcional

O modelo funcional descreve a relação matemática entre:

• as observações realizadas
• os parâmetros desconhecidos

De forma geral:

Em que:

• L = vetor das observações
• x = vetor dos parâmetros
• f(x) = função matemática que relaciona observações e parâmetros

2. Inclusão dos erros de observação

Como toda observação contém erro, introduz-se o vetor de resíduos (v):

Em que:

• v = vetor de resíduos

O objetivo do ajustamento é determinar (x) de forma que os resíduos sejam mínimos segundo o critério dos mínimos quadrados.

3. Modelo funcional no método paramétrico

No método paramétrico, as incógnitas são os próprios parâmetros do problema. Assim, o modelo funcional assume a forma:

Ou, reorganizando:

Esse modelo pode ser:

• linear
• não linear

4. Modelo funcional linear

Se a relação entre observações e parâmetros for linear, o modelo torna-se:

Em que:

• A = matriz de coeficientes (matriz de projeto)

Nesse caso, o ajustamento pode ser resolvido diretamente.

5. Modelo funcional não linear

Em muitos problemas geodésicos, a relação entre observações e parâmetros não é linear.

Exemplo clássico: determinação de coordenadas a partir de distâncias.

Nesse caso, o modelo funcional é:

E será necessário realizar linearização para aplicar o MMQ.

6. Elementos do modelo funcional

O modelo funcional contém quatro componentes principais:

6.1 Observações

6.2 Parâmetros desconhecidos

6.3 Funções matemáticas

6.4 Resíduos

7. Exemplo Resolvido

Deseja-se ajustar a relação entre três observações e dois parâmetros.

Observações:

Modelo funcional:

Valores de (x_i):

x	L
1	5,000
2	7,000
3	9,000

Equações observacionais

Forma matricial

Modelo:

Interpretação

A matriz (A) mostra como cada observação depende dos parâmetros (a) e (b). Cada linha representa uma equação observacional.

8. Exercício Proposto

Considere o modelo:

Dados observados:

x	L
1	4,000
2	6,000
3	8,000

Determine:

a) as equações observacionais

b) o vetor (L)

c) a matriz (A)

8.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

9. Conclusão

A formulação do modelo funcional paramétrico estabelece a relação matemática entre as observações e os parâmetros desconhecidos. Essa etapa é essencial para qualquer problema de ajustamento, pois define a estrutura do sistema de equações que será resolvido pelo Método dos Mínimos Quadrados.

⇾ Próxima Aula ⇽ → Todas as Aulas ←

Leia mais

Ajustamento de Observações Geodésicas: Modelo Funcional no Método dos Mínimos Quadrados.

No ajustamento de observações, é necessário estabelecer uma relação matemática entre as observações realizadas e as incógnitas que se deseja determinar. Essa relação é chamada de modelo funcional e representa a base do Método dos Mínimos Quadrados. Um modelo funcional bem definido permite descrever corretamente o comportamento do sistema e garantir a consistência do ajustamento.

---

Modelo Funcional no Método dos Mínimos Quadrados

---

Objetivos

1. Compreender o conceito de modelo funcional.
2. Relacionar observações e incógnitas por meio de equações matemáticas.
3. Entender a forma matricial do modelo.
4. Introduzir a necessidade de linearização.
5. Preparar a base para a formulação paramétrica do MMQ.

---

1. Conceito de modelo funcional

O modelo funcional descreve a relação entre:

• observações ( L )
• incógnitas ( x )

Na forma geral:

Entretanto, como as observações contêm erros:

Em que:

• v = vetor de resíduos (correções às observações)

2. Forma matricial do modelo

Considerando ( n ) observações e ( u ) incógnitas:

O objetivo do ajustamento é determinar os valores de x que minimizam os resíduos.

3. Modelo linear

Se a função f(x) for linear:

então o modelo torna-se:

Em que:

• A = matriz de coeficientes (ou matriz de projeto)
• dimensão: n × u

Essa é a forma básica do modelo paramétrico linear.

4. Modelo não linear

Em muitos problemas geodésicos:

• distâncias
• direções
• coordenadas GNSS

A relação entre observações e incógnitas é não linear.

Nesse caso:

É linearizado em torno de um valor aproximado ( x_0 ):

Em que:

• Δ_x = correção das incógnitas
• A = matriz das derivadas parciais

Esse processo será estudado em detalhes nas próximas aulas.

5. Interpretação geométrica

O modelo funcional define:

• como cada observação depende das incógnitas
• a sensibilidade das observações às variações dos parâmetros
• a estrutura da matriz normal

Um modelo mal definido leva a:

• instabilidade
• matriz singular
• impossibilidade de ajustamento

6. Exemplo Resolvido

Deseja-se determinar o valor de uma distância ( x ) a partir de três observações: 100,012; 100,018; 100,010.

Modelo funcional:

Forma matricial:

Este é um modelo linear simples com:

O valor ajustado será a média das observações.

Resultado:

7. Exercício Proposto

Uma altura ( H ) foi determinada por quatro observações: 50,006; 50,010; 50,004; 50,008.

a) Escreva o modelo funcional

b) Identifique ( A ), ( L ), ( n ) e ( u )

7.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão

O modelo funcional estabelece a relação matemática entre observações e incógnitas e constitui a base de todo o ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados. Sua correta definição é essencial para garantir a estabilidade e a consistência do processo.

⇾ Próxima Aula ⇽ → Todas as Aulas ←

Leia mais

Ajustamento de Observações Geodésicas: Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento.

A Aula 009 conclui o Módulo Introdutório e prepara definitivamente o terreno para entrarmos, a partir da próxima aula, no Método Paramétrico com modelos matemáticos reais e ajustes completos.

Aula 009 – Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento

Objetivos da Aula

1. Entender como um problema de ajustamento é organizado.
2. Identificar os elementos fundamentais: L, x, A, P, v.
3. Compreender a necessidade de modelo funcional.
4. Reconhecer quando é necessário linearizar uma função.
5. Montar a estrutura matricial completa usada no MMQ.

1. Componentes Centrais do Ajustamento

Qualquer problema de ajustamento geodésico possui os seguintes elementos:

1.1 Observações (L)

Vetor contendo todos os valores medidos no campo. Ex.: distâncias, ângulos, desníveis, coordenadas GNSS…

1.2 Incógnitas (x)

Grandezas que queremos determinar.

Exemplos:

• Coordenadas (X, Y, Z)
• Ângulos internos
• Azimutes
• Fatores de escala
• Erros sistemáticos modeláveis

1.3 Modelo Funcional

O elemento mais importante do ajustamento. É a forma matemática que relaciona observações e incógnitas:

ou, na versão paramétrica (linearizada):

O modelo funcional descreve como o mundo físico gera as observações.

1.4 Resíduos (v)

São as correções aplicadas às observações. Eles nos dizem:

• o que está coerente,
• o que está suspeito,
• onde podem existir erros grosseiros.

1.5 Pesos (P)

Com:

Quanto maior o peso → maior a confiança na observação.

2. Linearização de Funções

A maioria dos modelos geodésicos não é linear.

Exemplos:

• Equação da distância entre pontos
• Equação de direção
• Equação de azimute
• Equações GNSS (pseudodistâncias)
• Equação de nivelamento trigonométrico

Como o MMQ exige funções lineares, usamos expansão de Taylor de primeira ordem:

Em que:

• x₀ → aproximação inicial
• A → matriz das derivadas parciais
• δx → correções que buscamos

Essa etapa é chamada de linearização.

3. O Sistema Geral das Equações Normais

A solução do ajustamento é:

Em que:

• A^T P A → matriz normal
• A^T P L → vetor de termos independentes
• x̂ → valores ajustados
• v = Ax̂ - L) → resíduos

4. Organização Geral de um Ajustamento

Para qualquer problema, siga este roteiro:

• Passo 1 – Definir as observações (L):
  • Coletar e organizar todos os valores medidos.
• Passo 2 – Definir as incógnitas (x):
  • Escolher o que será ajustado.
• Passo 3 – Desenvolver o modelo funcional:
  • Relacionar observações ↔ parâmetros (Equações matemáticas do fenômeno).
• Passo 4 – Linearizar o modelo:
  • Obter a matriz A.
• Passo 5 – Construir a matriz de pesos (P):
  • Com base nas precisões instrumentais.
• Passo 6 – Montar e resolver as Equações Normais:
  • (A^T P A)x̂ = A^T P L
• Passo 7 – Calcular os resíduos (v):
  • Indicam coerência ou suspeita.
• Passo 8 – Avaliar a qualidade do ajustamento:
  • Teste global (χ²)
  • Teste de Baarda
  • Análise da precisão das incógnitas

5. Exemplo Resolvido (estrutura)

5.1 Problema:

• Uma distância e um azimute são medidos entre dois pontos A e B.
• Deseja-se determinar as coordenadas do ponto B, conhecendo A.

5.2 Observações:

• Distância: L₁ = 125,373 m
• Azimute: L₂ = 57° 12' 30"

5.3 Incógnitas:

5.4 Modelo funcional:

5.5 Estrutura do ajustamento:

5.5.1 Vetor observado:

5.5.2 Incógnitas:

5.5.3 Linearização → derivadas parciais

5.5.4 Montagem da matriz A

5.5.5 Solução via equações normais

👉 Observação: Não resolvemos completamente aqui porque o objetivo é "mostrar a estrutura", não o cálculo final.

6. Exemplo Proposto

Para medir o ponto B a partir de A foram observados:

• Distância: 233,540 m
• Direção: 145,322°

As incógnitas são X_B e Y_B.

Escreva:

a) O vetor de observações (L).
b) O vetor de incógnitas (x).
c) As equações funcionais.
d) A matriz de derivadas A (sem calcular valores numéricos).

6.1 Resposta Final Esperada (estrutura correta):

⇒Clique aqui⇐

7. Conclusão da Aula

• Todo ajustamento tem cinco elementos essenciais: L, x, A, P, v.
• A linearização é necessária para trabalhar com modelos reais.
• A matriz A, derivada das funções, é o coração do ajuste.
• A partir da próxima aula iniciaremos os modelos paramétricos, resolvendo casos reais.

⇾ Próxima Aula ⇽ → Todas as Aulas ←

Leia mais