Ajustamento de Observações Geodésicas: Equações Normais e Solução pelo Método Clássico.

Após a formulação do critério dos mínimos quadrados, o próximo passo é determinar, de forma prática, os valores das incógnitas. Isso é feito por meio das equações normais, obtidas a partir da condição de minimização da soma ponderada dos quadrados dos resíduos. O método clássico consiste na formação e resolução direta dessas equações, sendo a base computacional do ajustamento paramétrico.

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Aula 021 – Equações Normais e Solução pelo Método Clássico

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Objetivos

1. Compreender o conceito de equações normais.
2. Formar a matriz normal.
3. Montar o sistema normal do ajustamento.
4. Resolver o sistema pelo método clássico.
5. Interpretar o significado físico da solução.

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1. Modelo linear do ajustamento

Partindo do modelo paramétrico:

ou:

O critério dos mínimos quadrados é:

2. Equações normais

A condição de mínimo conduz a:

Define-se:

Em que:

• N= matriz normal (u × u)

O sistema torna-se:

Esse é o sistema das equações normais.

3. Propriedades da matriz normal

A matriz (N) é:

• Simétrica.
• Positiva definida.
• Invertível (se houver redundância suficiente).

Isso garante solução única e estável.

4. Solução pelo método clássico

A solução é obtida por:

Etapas do método clássico:

• 1. Montar a matriz (A)
• 2. Definir a matriz de pesos (P)
• 3. Calcular (N = A^T P A)
• 4. Calcular o vetor (u = A^T P L)
• 5. Resolver o sistema:(N x = u )

5. Interpretação física

O método clássico:

• Combina todas as observações simultaneamente.
• Distribui os erros de forma ótima.
• Fornece o valor mais provável das incógnitas.

Observações com maior peso têm maior influência na solução.

6. Exemplo Resolvido

Determinar o valor ajustado de uma distância observada três vezes: 100,012; 100,018; 100,010.

Nota → Pesos iguais: P = I.

6.1 Passo 1 – Modelo

6.2 Passo 2 – Matriz normal

6.3 Passo 3 – Segundo membro

6.4 Passo 4 – Solução

6.5Passo 5 – Resíduos

7. Exercício Proposto

Uma altura foi observada quatro vezes: 50,006; 50,010; 50,004; 50,008. (Pesos iguais).

Determine o valor ajustado pelo método das equações normais.

7.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão

As equações normais constituem a forma operacional do Método dos Mínimos Quadrados. O método clássico permite obter diretamente a solução do ajustamento, combinando todas as observações e fornecendo o valor mais provável das incógnitas.

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