Ajustamento de Observações Geodésicas: Covariância e Correlação entre Observações.

Em muitos levantamentos geodésicos, as observações não são completamente independentes, pois podem compartilhar fontes comuns de erro. Nessas situações, torna-se necessário analisar a covariância e a correlação entre medições. Compreender essas relações é fundamental para representar corretamente a matriz variância–covariância e garantir resultados confiáveis no ajustamento.

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Aula 017 – Covariância e Correlação entre Observações

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Objetivos da Aula

1. Compreender o conceito de covariância entre observações.
2. Entender o significado físico da correlação.
3. Interpretar a dependência estatística entre medições.
4. Relacionar covariância e correlação à matriz variância–covariância.
5. Avaliar o impacto da correlação no ajustamento geodésico.

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1. Observações independentes e dependentes

Nas aulas anteriores consideramos, na maioria dos casos:

Isso significa que as observações são independentes.

Porém, em muitos levantamentos reais, as observações podem ser correlacionadas, ou seja, o erro de uma influencia o erro da outra.

2. Definição de Covariância

A covariância entre duas observações L_i e L_j é:

Interpretação:

• σ_ij > 0 → erros tendem a variar no mesmo sentido
• σ_ij < 0 → erros tendem a variar em sentidos opostos
• σ_ij = 0 → observações independentes

Na matriz variância–covariância:

Os termos fora da diagonal representam as covariâncias.

3. Coeficiente de Correlação

Para facilitar a interpretação, utiliza-se o coeficiente de correlação:

Em que:

Interpretação:

Valor de ρ	Significado
0	Sem correlação
Próximo de 1	Forte correlação positiva
Próximo de -1	Forte correlação negativa

4. Origem da correlação em Geodésia

A correlação surge quando observações compartilham fontes de erro.

Exemplos

• Observações feitas na mesma estação
• Séries GNSS processadas conjuntamente
• Nivelamento com o mesmo erro instrumental acumulado
• Direções medidas a partir de um mesmo círculo horizontal

Nestes casos, assumir independência pode levar a resultados incorretos.

5. Representação na matriz variância–covariância

Se duas observações possuem correlação:

Exemplo:

Essa matriz é:

• simétrica
• positiva definida (se fisicamente consistente)

6. Consequências no Ajustamento

Se houver correlação:

• A matriz de pesos não é diagonal
• Deve-se usar:

Ignorar correlações pode causar:

• subestimação ou superestimação das precisões
• distorção nas variâncias das incógnitas
• interpretação incorreta da qualidade da rede

7. Exemplo Resolvido

Duas observações possuem: σ₁ = 0,005 m; σ₂ = 0,004 m; σ₁₂ = 0,000010. Calcular o coeficiente de correlação.

• Passo 1

• Passo 2

7.1 Interpretação

Existe correlação positiva moderada entre as observações.

8. Exemplo Proposto

Dados: σ₁ = 0,006 m; σ₂ = 0,005 m; σ₁₂ = -0,000015. Calcule o coeficiente de correlação.

8.1 Resposta esperada

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9. Conclusão

A covariância e o coeficiente de correlação descrevem a dependência entre observações. Considerar corretamente essas relações é essencial para modelar a matriz variância–covariância e obter resultados confiáveis no ajustamento geodésico.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Introdução à Matriz Variância–Covariância.

A partir desta aula iniciamos o bloco mais importante para a formulação matricial do Ajustamento de Observações. A matriz variância–covariância é a base para: construção da matriz de pesos (P), propagação de incertezas, precisão das coordenadas ajustadas, elipses de erro, análise de confiabilidade.

Aula 015 – Introdução à Matriz Variância–Covariância

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Objetivos da Aula

1. Compreender o conceito de variância em forma matricial.
2. Entender o que é covariância entre observações.
3. Construir a matriz variância–covariância das observações.
4. Interpretar o significado físico dos elementos da matriz.
5. Preparar o caminho para a matriz de pesos (P).

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1. Variância em forma escalar

Até agora trabalhamos com uma observação:

Para várias observações independentes:

Cada uma possui sua variância:

Para organizar isso de forma sistemática, usamos uma matriz.

2. Covariância entre observações

A covariância mede o grau de dependência entre duas observações:

Interpretação:

Covariância	Significado
σij = 0	Observações independentes
σij > 0	Tendem a variar no mesmo sentido
σij < 0	Tendem a variar em sentidos opostos

Na maioria dos levantamentos de campo, assume-se inicialmente:

3. Definição da Matriz Variância–Covariância

A matriz é definida como:

Em que:

• Diagonal → variâncias
• Fora da diagonal → covariâncias

4. Caso mais comum em Geodésia

Se as observações são independentes: Matriz diagonal.

Exemplo típico:

• Distâncias medidas independentemente.
• Ângulos medidos separadamente.
• Observações GNSS de sessões independentes.

5. Interpretação física

A matriz variância–covariância representa:

• A qualidade das observações.
• A confiança estatística em cada medida.
• A estrutura de dependência entre elas.

Ela é o equivalente matricial do conceito de precisão.

6. Relação com a matriz de pesos

A matriz de pesos é:

Ou seja:

• Variância grande → peso pequeno
• Variância pequena → peso grande

Se a matriz é diagonal:

7. Exemplo Resolvido

Um levantamento possui três observações independentes:

• Distância 1: σ₁ = 0,005 m
• Distância 2: σ₂ = 0,010 m
• Distância 3: σ₃ = 0,020 m

7.1 Passo 1 – Variâncias

7.2 Passo 2 – Matriz variância–covariância

7.3 Passo 3 – Matriz de pesos

7.4 Interpretação

A primeira observação é a mais precisa → maior peso.

8. Exemplo Proposto

Quatro observações independentes apresentam:

• σ₁ = 0,004 m
• σ₂ = 0,006 m
• σ₃ = 0,010 m
• σ₄ = 0,020 m

8.1 Determine:

a) A matriz variância–covariância Σ_L

b) A matriz de pesos P

8.2 Resposta Final Esperada

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9. Conclusão da Aula

• A matriz variância–covariância descreve completamente a precisão das observações.
• Os termos diagonais são variâncias; os demais são covariâncias.
• Para observações independentes, a matriz é diagonal.
• A matriz de pesos é o inverso da matriz variância–covariância.
• Este conceito é fundamental para o Método dos Mínimos Quadrados.

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