Topografia - Qual a área do Terreno?

A figura a seguir representa esquematicamente o levantamento planimétrico de um terreno urbano, no qual será construído um conjunto de edifícios residenciais.

Com base neste desenho, é possível afirmar que este terreno tem:

a) área de 2430,00 m²

b) área de 2450,00 m²

c) área de 2475,00 m²

d) área de 2435,00 m²

Para solucionar esta questão, basicamente, só precisamos saber cálculos da nossa boa e velha geometria, assim, para começar a solução a primeira coisa que devemos fazer é destrinchar essa figura geométrica em outras de modo a facilitar o cálculo de sua área. Assim fazemos:

Saliento aqui, que existem outras n maneiras de dividir essa figura e encontrar o resultado.

Para não prendermos-nos as cores, eu vou chamar a área que pintei de amarelo de I, a verde de II e à azul de III.

Com tudo esquematizado, agora vamos começar o cálculo da área do terreno. Primeiramente a área total do terreno (AT) será A_T = A_I + A_II + A_III, ou seja, Área total é igual ao somatório das áreas I, II e III.

A área I é igual a:

A_I = base*altura , pois trata-se de um retângulo, assim temos:

A_I = 15*50 = 750,00 m²

Já a área II é igual a:

A_II = ((base maior + base menor)*altura)/2, pois nesse caso, agora temos um trapézio, então:

A_II = ((50+40)*(55-15-20))/2 = (90*20)/2 = 1800/2 = 900,00 m²

Agora na área III, novamente teremos a mesma equação da área I pois, também, trata-se de um retângulo, assim:

A_III = 20*40 = 800,00 m²

Para finalizar, somamos as três áreas encontradas:

A_T = 750 + 900 + 800 = 2450,00 m²

Assim temos como solução a alternativa b.

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Geometria Descritiva - Retas do Plano.

RETAS DO PLANO

Retas do Plano Vertical.

No Plano vertical podemos ter: (A)(B) = Reta Qualquer; (B)(C) = Reta Horizontal; (A)(C) = Reta Vertical.

Retas do Plano de Topo.

Já no Plano de Topo: (A)(B) = Reta Qualquer; (B)(C) = Reta Frontal; (A)(C) = Reta de Topo.

Retas do Plano de Perfil.

Enquanto que no Plano de Perfil temos: (A)(B) = Reta de Perfil; (B)(C) = Reta de Topo; (A)(C) = Reta de Vertical.

Retas do Plano Horizontal.

No Plano Horizontal podemos ter: (A)(B) = Reta Horizontal; (B)(C) = Reta de Topo; (A)(C) = Reta de Fronto-Horizontal.

Retas do Plano Frontal.

Ao mesmo tempo que no Plano Frontal teremos: (A)(B) = Reta Frontal; (B)(C) = Reta Fronto-Horizontal; (A)(C) = Reta Vertical.

Retas do Plano Paralelo à Linha de Terra.

Através da imagem acima vemos que, no Plano Paralelo a Linha de Terra teremos: (A)(B) = Reta Qualquer; (B)(C) = Reta Fronto-Horizontal; (A)(C) = Reta Perfil.

Retas do Plano Qualquer.

Por fim no Plano qualquer teremos quatro tipos de retas, que são: (r) = Reta Qualquer; (s) = Reta Frontal; (t) = Reta Horizontal; (H)(V) = Reta de Perfil.

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Geometria Descritiva - Plano paralelo ao Plano Bissetor Par

PLANO PARALELO AO PLANO BISSETOR PAR

Chama-se de Plano paralelo ao Bissetor Par a todo plano paralelo ao Bissetor Par (βp).

Propriedades

É um caso particular de um Plano paralelo a Linha de Terra (ππ');

Todo Plano paralelo ao Bissetor Par tem, em Épura, traços simétricos à Linha de Terra (ππ') segundo uma paralela a ela;

Todas as retas de um Plano paralelo ao Bissetor Par são paralelas ao Bissetor Par (βp);

• Suas projeções são paralelas;
• Seus traços situam-se em uma paralela em relação à Linha de Terra (ππ') e dela simétricos;
• Formam ângulos iguais com os Planos de Projeções.

Qualquer ponto de um Plano paralelo ao Bissetor Par, determina-o: Pois, para determina-lo, basta traçar pelo ponto dado uma reta (V)(H) do plano, isto é, uma reta cuja projeções sejam paralelas. Os traços απ e απ' do plano são paralelos à Linha de Terra (ππ') traçados por H e V’.

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Geometria Descritiva - Plano paralelo ao Plano Bissetor Ímpar

PLANO PARALELO AO PLANO BISSETOR ÍMPAR

Chama-se de Plano paralelo ao Bissetor Ímpar a todo plano paralelo ao Bissetor Ímpar (βi).

Propriedades

É um caso particular de um Plano paralelo a Linha de Terra (ππ');

Todo Plano paralelo ao Bissetor Ímpar tem, em Épura, traços coincidentes, segundo uma paralela à Linha de Terra (ππ');

Todas as retas de um Plano paralelo ao Bissetor Ímpar são paralelas ao Bissetor Ímpar (βi);

• Suas projeções fazem ângulos iguais com a Linha de Terra (ππ');
• As retas de um Plano paralelo ao Bissetor Ímpar, formam ângulos iguais com os Planos de Projeções;

Qualquer ponto de um Plano paralelo ao Bissetor Ímpar, determina-o: Pois, pelo ponto dado, traça-se uma reta (V)(H) do plano, ou seja, uma reta que tenha projeções concorrentes e formem ângulos iguais com a Linha de Terra (ππ'). Os traços απ e απ’, coincidentes, conterão H e V’.

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Geometria Descritiva - Plano perpendicular ao Plano Bissetor Par.

PLANO PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR PAR

Chama-se de Plano perpendicular ao Bissetor Par a todo plano perpendicular ao Bissetor Par (βp), desde que não seja paralelo ao Plano Bissetor Ímpar (βi).

Propriedades:

Tem traços concorrentes com a Linha de Terra (ππ') e atravessa os quatro diedros;

Constitui um caso particular de um plano qualquer;

Todo plano que tem traços, distintos, coincidentes é um Plano perpendicular ao Bissetor Par;

Qualquer reta de um Plano perpendicular ao Bissetor Par determina-o; o Para construí-lo, basta determinar os traços da reta e depois unir a Projeção Horizontal H do Traço Horizontal da reta à Projeção Vertical V’ do Traço Vertical da reta;

Em particular, qualquer um dos Traços de um Plano perpendicular ao Bissetor Par, determina o plano, pois o outro traço coincidirá com este.

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Geometria Descritiva - Plano Perpendicular ao Plano Bissetor Ímpar.

PLANO PERPENDICULAR AO PLANO BISSETOR ÍMPAR.

Chama-se de Plano perpendicular ao Plano Bissetor Ímpar (βi), a todo plano perpendicular ao Plano Bissetor Ímpar (βi), desde que não seja paralelo ao Plano Bissetor Par (βp).

Propriedades.

Tem traços concorrentes com a Linha de Terra (ππ') e atravessa os quatros diedros;

Constitui um caso particular de um Plano Qualquer;

Possui traços concorrentes e simétricos em relação a Linha de Terra (ππ');

Qualquer reta de um Plano perpendicular ao Plano Bissetor Ímpar (βi) determina o plano:

» Cada traço do plano contém o traço de mesmo nome da reta e o simétrico do outro traço da mesma.

→ Tomar o simétrico H de V₁';

→ Tomar o simétrico V' de H₁.

Qualquer dos traços de um Plano Perpendicular ao Bissetor Ímpar (βi) determina o plano, pois, se um traço já está determinado, basta traçar o simétrico dele em relação a Linha de Terra (ππ').

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Geometria Descritiva - Plano Qualquer.

PLANO QUALQUER

Chama-se de Plano Qualquer a todo plano oblíquo aos planos de projeções.

Propriedades:

Atravessa os quatros diedros;
Em épura caracteriza-se por possuir traços concorrentes e oblíquos em relação a Linha de Terra (ππ').


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Geometria Descritiva - Plano Paralelo a Linha de Terra.

PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA

Chama-se Plano paralelo a Linha de Terra, a todo plano paralelo a Linha de Terra (ππ') e oblíquo ao Planos de Projeções.

Propriedades:

Todo Plano paralelo a Linha de Terra, tem Traços Horizontal (απ) e Vertical (απ') paralelos a Linha de Terra (ππ');

Qualquer reta, exceto, uma Fronto-Horizontal de um Plano paralelo a Linha de Terra determina-o, pois: Se uma reta (A)(B) pertence a um Plano (α) paralelo a Linha de Terra para determinar o plano obtém-se os traços (H) e (V) da reta, depois traça-se por V’ o Traço Vertical (απ') do Plano e por H o Traço Horizontal (απ) do Plano, ambos paralelo a Linha de Terra.

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Geometria Descritiva - Plano Frontal.

PLANO FRONTAL

Chama-se de Plano Frontal a todo plano paralelo ao Plano Vertical de Projeção (π’).

Propriedades:

Todo Plano Frontal é perpendicular ao Plano Horizontal de Projeção (π), vale dizer, é Vertical;

Todo Plano Frontal tem um único traço, que é o Traço Horizontal (απ), e este, é paralelo a Linha de Terra (ππ’);

Por ser paralelo ao Plano Vertical de Projeção (π’), cada Plano Frontal é o lugar geométrico dos pontos do plano que tem o mesmo afastamento;

• Em Épura, tem o Traço Horizontal (απ) paralelo à Linha de Terra (ππ’).

Por ser perpendicular ao Plano Horizontal de Projeção (π), o Traço Horizontal (απ) de um Plano Frontal é o lugar geométrico das projeções horizontais dos pontos do plano.

Qualquer ponto de um Plano frontal, determina-o, pois: Se um ponto (M) pertence a um Plano Frontal (α), para determinar o plano, basta traçar por M o Traço Horizontal (απ) paralelo a Linha de Terra (ππ’);

Toda figura contida num Plano Frontal tem a Projeção Vertical em verdadeira grandeza.

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Geometria Descritiva - Plano Horizontal.

PLANO HORIZONTAL.

Chama-se de Plano Horizontal, a todo plano paralelo ao Plano Horizontal de Projeção (π).

Propriedades:

- Todo Plano Horizontal é perpendicular ao Plano Vertical de Projeção (π’), vale dizer: É de Topo;

- Todo Plano Horizontal tem um único traço, que é o Traço Vertical (απ’), e este, paralelo à Linha de Terra (ππ’);

- Por ser paralelo ao Plano Horizontal de Projeção (π), cada Plano Horizontal é o lugar geométrico dos pontos do plano que tem a mesma cota;

• Em Épura, tem o Traço Vertical (απ’) paralelo à Linha de Terra (ππ’).

- Por ser perpendicular ao Plano Vertical de Projeção (π’), o Traço Vertical (ππ’) de um Plano Horizontal é o lugar geométrico das projeções verticais dos pontos do plano;

- Qualquer ponto de um Plano Horizontal determina-o, pois: Se um ponto (M) pertence a um Plano Horizontal (α), para determinar o plano, basta traçar por M’ o Traço Vertical (απ’) paralelo a Linha de Terra (ππ’);

- Toda figura contida num Plano Horizontal tem Projeção Horizontal em Verdadeira Grandeza.

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Geometria Descritiva - Plano de Perfil.

PLANO DE PERFIL.
Chama-se Plano de Perfil a todo plano perpendicular à Linha de Terra (ππ');

Propriedades:

É simultaneamente Vertical e de Topo;

• Todo Plano de Perfil tem ambos os traços perpendiculares a Linha de Terra (ππ');

Em Épura, tem ambos os traços perpendiculares a Linha de Terra (ππ').

Por ser paralelo ao Plano de Origem, cada Plano de Perfil é o lugar geométrico dos pontos que tem a mesma abscissa;

Qualquer ponto de um Plano de Perfil determina o plano.

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Geometria Descritiva - Plano de Topo.

PLANO DE TOPO.

Chama-se Plano de Topo a todo plano perpendicular ao Plano Vertical (π') de projeção e oblíquo ao Plano Horizontal (π) de projeção.

Propriedades:

Tem seus traços concorrentes com à Linha de Terra (ππ') e atravessa os quatro diedros;
Todo Plano de Topo tem o Traço Horizontal (απ) perpendicular à Linha de Terra (απ');

• Em Épura, possui Traço Horizontal (απ) perpendicular à Linha de Terra (ππ') e Traço Vertical (απ') obliquo à Linha de Terra (ππ').

Como o Traço Horizontal (απ) é sempre perpendicular à Linha de Terra (ππ'), um Plano de Topo fica determinado pelo seu Traço Vertical (απ');

Todo ponto contido em um Plano de Topo tem Projeção Vertical sobre o Traço Vertical (απ');

• O Traço Vertical (απ') de um Plano de Topo é o lugar geométrico das Projeções Verticais dos pontos do plano.

Qualquer reta, exceto a Reta de Topo, de um Plano de Topo determina-o: Pois, como as Projeções Verticais sempre estarão contidas no Traço Vertical (απ'), assim, basta prolongar a Projeção Vertical da Reta até a Linha de Terra (ππ') e do ponto de encontro, lançar perpendicularmente o Traço Horizontal (απ).

O ângulo que um Plano de Topo faz com o Plano Horizontal (π), mede-se pelo ângulo que o Traço Vertical (απ') faz com à Linha de Terra (ππ').

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Geometria Descritiva - Plano Vertical.

PLANO VERTICAL

Chama-se de Plano Vertical a todo plano perpendicular ao Plano Horizontal (π) e oblíquo ao Plano Vertical (π’) de Projeção.

Propriedades:

- Tem traços concorrentes com a Linha de Terra (ππ’) e atravessa os quatro diedros;

- Todo Plano Vertical tem Traço Vertical (απ’) perpendicular à Linha de Terra (ππ’);

• Em Épura, possui Traço Vertical (απ’) perpendicular à Linha de Terra e Traço Horizontal (απ) obliquo à Linha de Terra (ππ’).

- Como o Traço Vertical (απ’) é sempre perpendicular à Linha de Terra (ππ’), um Plano Vertical fica determinado pelo seu Traço Horizontal;

- Todo ponto contido em um Plano Vertical tem Projeção Horizontal sobre o Traço Horizontal (απ);

• O Traço Horizontal (απ) de um Plano Vertical é o lugar geométrico das Projeções Horizontais dos Pontos do Plano.

- Qualquer reta exceto a Reta Vertical de um Plano Vertical determina-o: Pois, como as Projeções Horizontais sempre estarão contidas no Traço Horizontal (απ), assim, basta prolongar a Projeção Horizontal da Reta até a Linha de Terra (ππ’) e do ponto de encontro, lançar perpendicularmente o Traço Vertical (απ’).

- O ângulo que um Plano Vertical forma com o Plano Vertical de Projeção (π’), mede-se pelo ângulo que o Traço Horizontal (απ) faz com a Linha de Terra (ππ’).

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Geometria Descritiva - Traços do Plano.

TRAÇOS DO PLANO.

Traço Horizontal do Plano (απ) é a reta segundo a qual o Plano (α) corta o Plano Horizontal de Projeção (π), isto é, é o lugar geométrico dos pontos do plano de cota nula.

Traço Vertical do Plano (απ') é a reta segundo a qual o Plano (α) corta o Plano Vertical de Projeção (π'), isto é, é o lugar geométrico do plano de afastamento nulo.

Cada traço de um plano tem suas projeções de nome contrário na Linha de Terra (ππ').

Os traços de um plano, ou concorrem na Linha de Terra (ππ') ou são paralelos a ela.

Vantagens da Representação dos Planos por seus Traços.

• Redução do número de retas;
• Permite identificar a sua posição particular;
• Indicam as porções úteis do plano nos diedros pelos quais ele passa.

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Geometria Descritiva - Determinação do Plano.

DETERMINAÇÃO DO PLANO.
I - Três pontos não colineares determinam um plano.

II - Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.

III - Duas retas paralelas determinam um plano.

IV - Duas retas concorrentes determinam um plano.

Quando tivermos um plano definidos como nos casos I e II expostos acima, devemos transforma-los em um plano definido por duas retas.

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