As redes planimétricas constituem a base de grande parte dos levantamentos topográficos e geodésicos. Elas são formadas por um conjunto de pontos interligados por observações de distâncias, direções, ângulos ou coordenadas. Quando existem observações redundantes, as coordenadas obtidas por diferentes caminhos normalmente apresentam pequenas discrepâncias devido aos erros de medição. O ajustamento tem como objetivo distribuir esses erros de forma racional, produzindo coordenadas consistentes para todos os vértices da rede.
Aula 031 – Ajustamento de Redes Planimétricas Simples
Objetivos
- Compreender o conceito de rede planimétrica.
- Identificar observações e incógnitas de uma rede.
- Formular o modelo funcional paramétrico.
- Construir a matriz (A).
- Aplicar o MMQ em uma rede planimétrica simples.
1. Conceito de rede planimétrica
Uma rede planimétrica é um conjunto de pontos cujas coordenadas planas são determinadas a partir de observações geométricas.
Exemplos:
- redes de poligonação.
- redes de triangulação.
- redes de trilateração.
- redes GNSS planimétricas.
Uma rede simples pode ser representada por:
Em que:
- (A) possui coordenadas conhecidas.
- (B) e (C) possuem coordenadas desconhecidas.
2. Dados do problema
Considere o ponto de apoio: A(1.000,000; 1.000,000)m
Foram observadas as seguintes projeções planimétricas:
A → B
A → C
B → C
Observe que existe redundância. Se não houvesse erros, deveríamos ter:
3. Coordenadas preliminares
3.1 A partir das observações de A
3.1.1 Coordenadas de B
3.1.2 Coordenadas de C
4. Verificação da redundância
Utilizando as coordenadas preliminares:
Observado:
Diferença:
Para Y:
Observado:
Diferença:
Portanto existe incompatibilidade entre as observações.
5. Modelo funcional
As observações são escritas como:
A → B
A → C
B → C
6. Vetor das incógnitas
Como (A) é conhecido:
7. Construção da matriz A
A ordem das incógnitas é:
7.1 Equação 1
Linha:
7.2 Equação 2
Linha:
7.3 Equação 3
Linha:
7.4 Equação 4
Linha:
7.5 Equação 5
Linha:
7.6 Equação 6
Linha:
7.7 Matriz completa
8. Vetor l
Passando os termos conhecidos para o segundo membro:
9. Número de observações e redundância
Número de observações:
Número de incógnitas:
Logo:
A rede possui dois graus de liberdade. Portanto:
A rede é redundante e pode ser ajustada pelo MMQ.
10. Aplicação das equações normais
As equações normais são:
Assumindo:
Resulta:
A solução produz coordenadas ajustadas que minimizam:
11. Exemplo Resolvido
Após o ajustamento, obtêm-se aproximadamente:
Essas coordenadas satisfazem simultaneamente todas as observações da rede da melhor forma possível segundo o MMQ.
12. Exercício Proposto
Considere: A(500,000; 500,000)m
Observações: ΔXAB = 80,000m; ΔYAB = 40,000m; ΔXAC = 50,000m; ΔYAC = 100,000m; ΔXBC = -30,080m; ΔYBC = 60,030m.
Determine:
a) as coordenadas preliminares.
b) a matriz (A).
c) os graus de liberdade da rede.
12.1 Resposta final esperada
13. Conclusão
O ajustamento de redes planimétricas simples representa uma aplicação natural do método paramétrico. A redundância das observações permite detectar incompatibilidades e distribuir os erros de forma estatisticamente consistente, produzindo coordenadas mais confiáveis para os pontos da rede.
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