Ajustamento de Observações Geodésicas: Ajustamento de Poligonal Topográfica.

A poligonal topográfica é uma das estruturas geométricas mais utilizadas em levantamentos planimétricos. Ela consiste em uma sequência de segmentos cujos comprimentos e direções são medidos em campo. Entretanto, devido aos inevitáveis erros de observação, os valores medidos raramente satisfazem exatamente as condições geométricas do sistema. Dessa forma, torna-se necessário realizar o ajustamento das observações, permitindo obter coordenadas consistentes para os vértices da poligonal.

Nesta aula será apresentado como aplicar o Método dos Mínimos Quadrados, na forma paramétrica, para o ajustamento de uma poligonal simples.

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Aula 030 – Ajustamento de Poligonal Topográfica

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Objetivos

1. Compreender o conceito de poligonal topográfica.
2. Formular o modelo matemático para o ajustamento.
3. Construir as equações observacionais.
4. Aplicar o método paramétrico para estimar coordenadas.
5. Interpretar os resultados obtidos.

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1. Poligonal topográfica

Uma poligonal é composta por uma sequência de pontos conectados por segmentos.

Exemplo: A → B → C → D

Normalmente são observados:

• distâncias
• direções ou azimutes

A partir dessas observações determinam-se as coordenadas dos vértices.

2. Dados do problema

Considere a seguinte poligonal:

Ponto conhecido: A(1.000,000; 1.000,000)m

Observações:

Segmento	Distância	Direção
A → B	100,000 m	0°
B → C	100,020 m	90°
C → D	100,010 m	180°

Pretende-se determinar as coordenadas dos pontos: B, C e D.

3. Relações geométricas

As projeções de cada lado são dadas por:

4. Cálculo das projeções observadas

• Segmento A → B

• Segmento B → C

• Segmento C → D

5. Determinação preliminar das coordenadas

• Ponto B

• Ponto C

• Ponto D

6. Modelo funcional

As observações podem ser expressas como:

Em que:

• X_i,Y_i = coordenadas do ponto inicial
• X_j,Y_j = coordenadas do ponto final

7. Vetor das incógnitas

8. Estrutura da matriz A

Cada observação gera uma equação.

Exemplo: Segmento A → B

Como X_A é conhecido, a equação depende apenas de X_B.

Assim, a linha da matriz A torna-se:

Para a componente Y:

9. Forma matricial do modelo

O modelo paramétrico é:

Em que:

• L = vetor das observações
• A = matriz de coeficientes
• x = vetor de incógnitas

10. Aplicação do MMQ

As equações normais são:

Assumindo pesos iguais:

então:

A solução fornece as coordenadas ajustadas dos vértices.

11. Interpretação do ajustamento

O ajustamento da poligonal permite:

• distribuir os erros de medição
• garantir coerência geométrica
• minimizar os resíduos

Em poligonais fechadas, o ajustamento elimina:

• erro de fechamento linear
• erro de fechamento angular

12. Exemplo Resolvido

Considere: A(1.000,000; 1.000,000)m

Observações:

Segmento	Distância	Direção
A → B	100,000 m	0°
B → C	100,020 m	90°
C → D	100,010 m	180°

Coordenadas ajustadas obtidas:

13. Exercício Proposto

Considere: A(500,000, 500,000)m

Observações:

Segmento	Distância	Direção
A → B	80,000 m	0°
B → C	80,010 m	90°
C → D	80,005 m	180°

Determine as coordenadas de: B, C e D.

14. Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

15. Conclusão

O ajustamento de poligonais topográficas é uma aplicação direta do método paramétrico no tratamento de observações planimétricas. A formulação do modelo funcional permite estimar coordenadas consistentes para os vértices da rede, garantindo a compatibilidade geométrica do levantamento.

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