Excel Aplicado a Topografia: Cálculo das Coordenadas dos Vértices

E aí pessoas que estão acompanhando nossa minissérie sobre o Cálculo de uma Poligonal Fechada utilizando as ferramentas do Excel, blz?

Chegamos aos "finalmente" de nosso minicurso de Excel aplicado topografia, hoje iremos mostrar as rotinas para executar o cálculo das coordenadas dos vértices da nossa poligonal.

No presente momento, nossa Planilha_de_Calculos encontra-se assim:

Restando apenas a determinação das coordenadas dos pontos de interesse, no caso os vértices da nossa poligonal.

Coordenadas (E, N)

O cálculo das coordenadas de um ponto de interesse é dado por:

E = E_n-1 + xc_in-1
N = N_n-1 + yc_in-1
Em resumo, estou dizendo que a coordenada do vértice de interesse é a coordenada do vértice anterior somado a correção da projeção anterior a este vértice.

Ou seja, olhando para o croqui de nosso levantamento:

A coordenada do vértice P₂ é conhecida, assim, para calcular a coordenada do vértice TM₁ usaremos a coordenada do vértice P₂ somada a projeção corrigida P₂-TM₁.

Vamos para nossa planilha. A primeira ação é inserirmos os espaços para as coordenadas E e N dos vértices.

Agora iremos inserir as coordenadas E e N do vértice P₂ nas respectivas células, como elas já estão declaradas basta pressionar = e depois clicar na célula que se tem o respectivo valor.

Assim, podemos calcular as coordenadas do vértice TM₂. Como já explicado, no Excel vamos inserir a seguinte declaração:

Para preenchermos as demais células, basta clicar nesta célula que acabamos de declarar e arrastarmos para baixo:

Analogamente para as coordenadas N:

Com isso nós já finalizaríamos nossa planilha, pois chegamos ao nosso objetivo que eram as coordenadas dos vértices de interesse. Porém, para comprovar que os cálculos estão certos, vamos recalcular as coordenadas do vértice P₂, agora em função das coordenadas do vértice TM₄ que acabamos de determinar.

Para a coordenada E:

Para a coordenada N:

Como os resultados bateram, significa que nossos cálculos estão todos corretos.

Então pessoas, espero que vocês tenham entendido. A partir dessa pequena demonstração em 5 postagens, acredito que vocês estejam aptos a replicar essa metodologia e conseguir desenvolver as planilhas de vocês, muitos devem estar se perguntando: Mas, se forem mais de 5 vértices? A resposta é basta replicar só que adaptando de acordo com a quantidade de vértices levantados.

Com isso finalizamos nosso minicurso de Excel Aplicado a Topografia - Cálculo de uma Poligonal Fechada.

Até a próxima.

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Excel Aplicado a Topografia: Projeções, Erro Linear, Correção das Projeções e Projeções Corrigidas

E aí pessoas que acompanham as postagens de nosso Blog.

Dando sequência em nosso Minicurso de Excel Aplicado a Topografia, hoje, vamos passar a sequência de códigos (declarações) para a realização dos cálculos das Projeções, do Erro Linear, da Correção das Projeções e Projeções Corrigidas.

Pois vamos lá pessoas. No momento nossa planilha encontra-se assim:

Já desenvolvemos os cálculos referentes a Caderneta de Campo e em nossa Planilha de Cálculos já temos o Erro Angular, a Correção Angular, os Ângulos Horizontais Corrigidos e os Azimutes dos Alinhamentos.

Então vamos começar com o cálculo das Projeções.

Projeções (x_i, y_i)

Conhecido um sistema de eixos cartesianos (um sistema com dois eixos ortogonais (x e y) em nosso caso E e N), conseguimos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se as projeções do vetor nesses eixos.

Consideremos o um vetor nesse plano. A componente N do vetor (designada por y_i) é dada pela projeção do vetor no eixo N. Para definirmos a projeção do vetor ao longo de qualquer eixo, consideramos as extremidades do vetor e por elas traçamos linhas perpendiculares ao eixo até encontrá-lo. Tomamos então a distância entre as interseções como a projeção se a flecha estiver na mesma direção do eixo (isto é, se o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo for um ângulo agudo). Caso contrário, a projeção será essa distância, mas com sinal negativo.

Deste modo a projeção, tem que levar em conta a orientação do vetor em relação ao eixo. A projeção fica melhor definida, matematicamente, em termos do ângulo que para nosso caso é o azimute (entre o vetor e o eixo E). Podemos escrever:

x_i=d_i.sen(Az)
Em que, d_i (distância) é o lado de ordem “i" e Az é o Azimute do lado d_i.

Analogamente, a componente N é a projeção do vetor ao longo do eixo N. A expressão para y_i é, em termos do Azimute é:

y_i=d_i.cos(Az)
Depois dessa explicação, vamos jogar essas fórmulas em nosso "Excel". PORÉM!!!

A primeira ação é copiar as distâncias da Caderneta_de_Campo para a Planilha_de_Calculos.

Agora, vamos criar uma coluna para as projeções x e uma coluna para as projeções y.

Agora vamos inserir a fórmula da projeção em x.

Percebam que, ao inserir a função trigonométrica seno, tive que transformar o dado do azimute que estava em grau decimal para radianos. Para isso usamos a fórmula pré-definida do Excel denominada: RADIANOS.

Para preencher o restante da coluna, basta selecionar esta que já temos a fórmula declarada e arrastamos para as demais.

Agora para a componente y.

Arrastando a fórmula para as demais células da coluna:

De posse das projeções podemos calcular o Erro Linear.

Erro Linear

Sabemos que o Erro Linear é dado por:

El=(Δx² + Δy²)^0,5
Em que:
Δx = Erro na direção x = Σx_i;
Δy = Erro na direção y = Σy_i.

Deste modo, vamos jogar essas fórmulas em nossa planilha, para a realização dos somatórios, no caso do erro das direções, utilizaremos a Função SOMA:

Para o Erro Linear utilizaremos a Função RAIZ: Nota: no Excel, para se declarar potenciação deve-se inserir um acento circunflexo após a base, e após esse acento inserimos o expoente.

E como resultado:

Nota: Após o cálculo do Erro Linear é necessário verificar se o levantamento encontra-se dentro da Tolerância Linear a partir do Erro Relativo. A tolerância linear é dada em função da precisão linear do equipamento utilizado no levantamento e pelo perímetro levantado. Para essa série de postagens não iremos verificar a tolerância linear, pois não é objetivo. Mas, saibam que o levantamento utilizado como exemplo aqui está dentro de todas as tolerâncias. Para se informarem mais sobre Tolerância Linear recomendo a leitura da NBR 13133 da ABNT ou esta postagem aqui.

Após o cálculo do Erro Linear, temos os dados para a determinação das Correções das Projeções.

Correções das Projeções (Cx_i,Cy_i)

As correções das projeções são calculadas proporcionalmente aos lados (mas, também podem ser proporcional ao modulo da projeção devida.

Assim podemos enunciar que: O erro em um eixo está para o perímetro da poligonal assim como a correção relativa à projeção de um lado está para este lado.

Δ_x/P = Cx_i/d_i
Discriminando a fórmula: estou dizendo que a o erro em uma direção está para o perímetro, assim como, a correção está para o lado (distância).

Agora, fazendo Δ_x/P = K_x, temos:

K_x = Cx_i/d_i
Isolando Cx_i:

Cx_i = K_x*d_i
Porém, a correção das projeções, assim como a correção linear, deve ter o sinal contrário as projeções, de modo a termos a compensação do erro. Assim a fórmula das correções das projeções na direção x é:

Cx_i = -(K_x*d_i)
Analogamente para a direção y temos:

Cy_i = -(K_y*d_i)
Então vamos calcular em nossa planilha os valores de K_x e K_y.

Mas primeiro, o perímetro pois precisamos dele (K_x=Δ_x/P). Com a Função SOMA, iremos fazer o somatório dos lados de nossa poligonal (distância entre os vértices).

Agora K_x e K_y.

Deste modo, agora, vamos ao Excel inserir a fórmula para a correção da primeira projeção.

Primeiro vamos criar os espaços reservados para as correções:

Agora na primeira célula da coluna referente as correções na direção x, irei inserir a fórmula da respectiva correção.

Percebam que pelo fato do K_x ser o mesmo para todas as correções, fixei o mesmo na declaração inserindo o símbolo $ antes da letra (fixando a coluna) e $ antes do primeiro número (fixando a linha), fixando a célula.

Deste modo, para preenchermos as demais células dessa coluna, basta clicar na célula que acabamos de declarar a fórmula e arrastar para as demais abaixo.

Agora, analogamente para a direção y.

Primeiro, inserimos a equação na primeira célula:

Depois arrastamos a equação para as demais células da coluna:

Agora de posse desses valores, todas as correções das projeções, temos elementos para calcular as projeções corrigidas.

Projeções Corrigidas (xc_i,yc_i)

Para calcularmos as projeções corrigidas temos apenas que pegar as projeções soma-las as respectivas correções.

xc_i = x_i+Cx_i
yc_i = y_i+Cy_i
Assim, no Excel, reservamos um espaço para as projeções corrigidas:

Na primeira célula, vamos inserir a fórmula correspondente:

Para preencher as demais células desta coluna, basta clicar nesta que acabamos de declarar e arrastar para as demais abaixo:

Para as projeções corrigidas na direção y, repetimos o processo:

Com isso, calculamos todas as projeções corrigidas.

Agora para finalizar, vamos realizar a verificação se conseguimos realmente corrigir o Erro Linear, para isso basta fazer o somatório das Projeções Corrigidas em x e em y.

Percebam que, tanto Δ_x como o Δ_y ficaram zerados, isso significa que nossa poligonal não contem mais erros nas direções x e y, em consequência disto nossa poligonal está isenta de erro linear.

Essa postagem se encerra aqui, espero que todos que estejam acompanhando tenham conseguido chegar nesta etapa. Na próxima e última postagem dessa série, vamos calcular as Coordenadas de cada vértice que é o objetivo do levantamento topográfico.

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Excel aplicado a Topografia: Azimutes dos Alinhamentos

Para dar sequência ao nosso minicurso, mas, mini mesmo, de Excel Aplicado a Topografia, no caso aplicação desta ferramenta para o cálculo de uma poligonal topográfica fechada, vamos hoje, realizar o cálculo dos azimutes dos alinhamentos.

Então, para relembrar o Azimute é o ângulo horário medido da direção norte ao alinhamento, varia de 0° (zero graus) a 360° (trezentos e sessenta graus). O cálculo dos azimutes é uma etapa importante no desenvolvimento do cálculo de poligonal topográfica, por isso essa postagem é toda dedicada apenas a este cálculo.

Pois bem, nossa planilha encontra-se neste ponto, já realizamos o cálculo da caderneta de campo, como também já temos o erro angular, a correção angular e os ângulos horizontais corrigidos:

Partindo deste ponto que ficamos, vamos então iniciar o cálculo dos azimutes.

Quando realizamos um levantamento planimétrico pelo método da poligonação, temo que ter a priori um Azimute de partida, este pode ser determinado em campo através da determinação do Norte Verdadeiro ou Magnético (mais comum), ou, quando se dispõe das coordenadas de pelo menos dois pontos próximo a área levantada. E esse foi o nosso caso.

Vejamos, em nosso levantamento tínhamos disponíveis dois pontos cuja coordenadas eram conhecidas, os Marcos P₂ e P₃:

Sabendo disso, utilizamos o Marco P₃ como ponto de auxilio e o Marco P₂ como parte de nossa poligonal.

Em campo, estacionamos a Estação Total sobre o Marco P₂ e zeramos a mesma no Marco P₃ e pegamos o ângulo horário que tínhamos até o vértice TM₁. Com isso, determinamos o ângulo de orientação de nossa poligonal. Assim, com as coordenadas dos Pontos P₂ e P₃ e o ângulo de orientação da poligonal, temos um Azimute de partida como também podemos calcular os azimutes de nossa poligonal.

Então, a primeira ação é o cálculo do azimute entre o alinhamento P₃-P₂, pois este é o azimute de partida de nossa poligonal.

Vamos então para aquela revisão básica, pois vamos determinar o azimute de um alinhamento em função das coordenadas entre dois pontos. Quando dispomos das coordenadas de dois pontos de um alinhamento o azimute é determinado em função do cálculo Rumo (que é o menor ângulo formado entre o alinhamento e a linha Norte/Sul) e uma constante que vai variar de acordo com o quadrante que este Rumo se encontra.

Em resumo:

Assim, de acordo com a imagem acima, fica evidenciado que o azimute é o Rumo adicionado a uma constante que varia dependendo em qual quadrante esse alinhamento se encontra (rumo), e a determinação desse quadrante vai de acordo com a diferença entre as coordenadas dos dois pontos desse alinhamento ou seja, final e inicial.

Deste modo, com nossa planilha aberta vamos iniciar os cálculos de hoje.

Azimute de Partida (Az_P3-P2)

A primeira ação que tomaremos é COPIAR (ctrl+c) os dados do ângulo de orientação e coordenadas dos pontos P₃ e P₂ da Caderneta_de_Campo e COLAR (ctrl+v) para a Planilha_de_Calculos. (Aqueles que não criaram uma outra planilha e na aula passada continuaram os cálculos sobre a Caderneta de Campo não precisam realizar esta etapa.)

Feito isso, agora vamos determinar o ΔE e o ΔN, para definirmos em qual quadrante o rumo do alinhamento P₃-P₂ se encontra, para utilizarmos uma das quatro constantes e assim determinar o azimute do alinhamento (Aqui começa quem está trabalhando somente com a Caderneta_de_Campo).

ΔE = E_P2 - E_P3
ΔN = N_P2 - N_P3
Percebam que a diferença entre as coordenadas (Δ) é sempre dada pela coordenada do ponto de chegada (final) menos a coordenada do ponto de partida (inicial), como nosso alinhamento é P₃-P₂ ou seja parte-se do P₃ e chega-se no P₂ nossa fórmula resultou no que foi descrito acima.

No Excel:

Resultando:

Com o resultado encontrado ΔE e ΔN positivos, sabemos que o Rumo é do quadrante NE e assim o Azimute é igual ao Rumo, poderíamos apenas aplicar a fórmula para a determinação do Azimute, mas, a minha ideia aqui é automatizar, para que vocês em um futuro precisem utilizar esta fórmula para um rumo em outro quadrante não precisem realizar alterações, pois ela vai servir para os quatro.

Vemos que a fórmula do Azimute vai depender em que quadrante o rumo se encontra e a partir daí temos que somar uma das quatro constantes, então de certa forma devemos realizar um teste lógico, porém a Função SE por si só não dará conta desta solução, pois temos duas variáveis o ΔE e o ΔN, ou seja, duas condições e a Função SE só trabalha com uma condição retornando um resultado se essa condição for Verdadeira ou Falsa. Com isso iremos utilizar uma variante da Função SE que é a Função SE com E (SE(E)). Com essa função podemos verificar mais de uma condição e o resultado retornado se dará em conta da obtenção verdadeira ou falsa das duas condições impostas.

Por exemplo, para nosso caso o Rumo é do quadrante NE se ΔE for positivo e ΔN também for positivo, caso contrário ele é de um dos outros três quadrantes, no caso, ΔE positivo e ΔN negativo = quadrante SE, ΔE negativo e ΔN negativo = quadrante SO e ΔE negativo e ΔN positivo = quadrante NO. Assim temos que adaptar de modo que ele calcule as quatro condições.

Formulando no Excel temos:

SE(E(ΔE>0;ΔN>0);Graus(atan(ΔE/ΔN);SE(E(ΔE>0;ΔN<0);Graus(atan(ΔE/ΔN))+180;SE(E(ΔE<0;ΔN<0);Graus(atan(ΔE/ΔN))+180;SE(E(ΔE<0;ΔN>0);Graus(atan(ΔE/ΔN))+360))))
Embora pareça ser um quebra cabeça, essa formulação é bem simples de ser entendida, praticamente estou mandando o Excel:

• Verificar se o ΔE é positivo e o ΔN também é positivo, caso essa afirmação seja verdadeira ele vai calcular: Graus(Atan(ΔE/ΔN)) Nota: a declaração Graus( é a maneira de converter um valor que está em radianos para grau decimal no Excel, temos que declarar dessa forma pois como já explicado o Excel diferentemente de nossas calculadoras de mão, não faz essa conversão automaticamente.
• Não sendo afirmativas as duas condições anteriores o Excel então vai verificar se ΔE é positivo e o ΔN é negativo, caso verdadeiro, então: Graus(atan(ΔE/ΔN))+180;
• Novamente não tendo as duas condições afirmativas, o Excel vai verificar a terceira hipótese que é ΔE é negativo e ΔN também negativo, caso essa hipótese seja verdadeira: Graus(atan(ΔE/ΔN))+180;
• Por fim, nenhuma das três hipóteses anteriores não sendo verdadeira, o Excel verificará a última que é ΔE é negativo e o ΔN positivo, calculando assim o Azimute por: Graus(atan(ΔE/ΔN))+360.

No excel, eu recomendo fazermos o seguinte, para não ter dor de cabeça nem correr riscos de errar essa fórmula gigantesca.

Primeiro cálculamos o rumo, para isso vamos criar um espaço reservado para ele em nossa planilha.

Cálculando o rumo pela fórmula: rumo = Graus(atan(ΔE/ΔN)

Com o Rumo cálculado agora vamos reservar um espaço para as constantes e inserí-las:

Para finalizar, então agora vamos inserir a fórmula do Azimute em um espaço reservado.

E como resultado:

Como já era esperado, pelo fato do alinhamento está no primeiro quadrante, o Azimute é igual ao Rumo.

Cálculado o Azimute de Partida, agora fácilmente calculamos os azimutes dos alinhamentos de nossa poligonal, que é objetivo principal dessa nossa postagem.

Azimutes dos Alinhamentos

Dispondo de um azimute de partida e direções (ângulos horizontais), o azimute de um alinhamento é definido como:

Az_n = Az_n-1 + α ± 180°
Az_n = Az_n-1 - α ± 180°
Em que:

Az_n = Azimute do alinhamento;
Az_n-1 = Azimute do alinhamento anterior;
α = Ângulo horizontal medido. Soma-se α quando o Ângulo horizontal foi medido no sentido horário e subtrai-se α quando o Ângulo horizontal foi medido no sentido anti-horário.
± 180° = soma-se 180° quando (Az_n-1 + α)<180° ou (Az_n-1 - α)<180°, e, subtrai-se 180° quando (Az_n-1 + α)>180° ou (Az_n-1 - α)>180°

Em nosso caso, como os ângulos foram medidos no sentido horário, como consta na primeira postagem dessa série, o azimute dos alinhamentos será dado pela primeira equação: Az_n = Az_n-1 + α ± 180°

Percebe-se que como temos a opção somar ou subtrair 180° devemos inserir uma equação lógica, por ser apenas uma condição podemos facilmente usar a Função SE.

MAS, ATENÇÃO!!

O azimute do primeiro alinhamento (P₂-TM₁) deve ser calculado em função do Azimute P₃-P₂. Isso se deve pelo fato de não termos o conhecimento das coordenadas dos vértice TM₄ e, justamente por isso, utilizamos o Marco P₃ como auxiliar, determinando assim um ângulo de orientação para nossa poligonal.

Agora sem enrolação vamos ao Excel, começar os cálculos, primeiro, vamos criar o espaço para os Azimutes dos Alinhamentos.

Agora vamos ao cálculo do Azimute P₂-TM₁:

Discriminando a declaração da imagem, praticamente estou dizendo que o Azimute P₂-TM₁ = Azimute de Anterior (Azimute P₃-P₂) + Ângulo Horário (Ângulo de Orientação) ± 180° (que vai variar dependendo da condição imposta, no caso como condição coloquei que se a soma do azimute anterior + o ângulo horário for maior que 180° ele vai subtrair 180° se não, ele vai somar 180°).

E como resultado temos:

Agora percebam, o azimute é um Ângulo que vária de 0° a 360°, no caso do primeiro cálculo o valor do azimute deu dentro desse intervalo, mas, o que aconteceria se o valor estivesse fora desse intervalo?

Bem simples, no caso por esse modelo matemático (soma de azimute com ângulos) o azimute só pode ficar fora do intervalo para mais, ou seja, maior que 360°, quando isso acontecer, subtraímos 360° do valor final. No Excel, podemos novamente usar a Função SE, para determinar essa condição, ou seja:

SE((Az_n = Az_n-1 + α ± 180°)>360°;(Az_n = Az_n-1 + α ± 180°)-360°;(Az_n = Az_n-1 + α ± 180°))
Estou dizendo que:

Se o Az>360° ele vai subtrair 360°, se não, ele vai deixar do jeito que estar.

Inserindo no Excel, na célula que já temos declarado a fórmula:

Como o Azimute calculado não era maior que 360°, ele deixou do jeito que estava.

Agora vamos aos azimutes dos demais alinhamentos, primeiro de TM₁-TM₂. Sem a condição dos 360°.

Agora inserindo a condição dos 360°.

Como resultado temos:

Para os demais azimutes, vamos fazer a mágica do Excel, simplesmente clicando na célula que acabamos de preencher e arrastamos para as demais que faltam.

Repetindo para conversão em Arco:

Com isso, o cálculo dos azimutes dos alinhamentos está finalizado, mas, como ter certeza que os cálculos estão certos?

Basta recalcular o azimute do alinhamento P₂-TM₁, como a poligonal é fechada, o azimute anterior agora será o azimute do alinhamento TM₃-TM₄ (191°46'39,6") e o ângulo, o ângulo horizontal medido que foi zerado em TM₄ com vante em TM₁ (169°52'28,4") e a Estação em P₂, como estaremos utilizando dados diferentes, se o azimute calculado a partir desses dados der igual ao azimute calculado a partir do azimute P₃-P₂ e do ângulo de orientação, mostra que nosso cálculo está correto.

Fazendo:

Resultando:

Como esperado os resultados bateram.

Assim terminamos essa postagem, espero que todos tenham conseguido acompanhar até aqui. Em nossa próxima aula iremos calcular as Projeções, determinar o Erro Linear, as Correções das Projeções e Calcular as Projeções Corrigidas.

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