Ajustamento de Observações Geodésicas: Linearização de Modelos Não Lineares.

Em muitos problemas geodésicos, a relação entre observações e incógnitas não é linear. Distâncias, direções, ângulos e observações GNSS dependem das coordenadas por meio de funções não lineares. Para aplicar o Método dos Mínimos Quadrados nesses casos, é necessário transformar o modelo não linear em uma forma linear aproximada. Esse processo é chamado de linearização e constitui uma etapa fundamental do ajustamento paramétrico.

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Linearização de Modelos Não Lineares

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Objetivos

1. Compreender por que a linearização é necessária.
2. Entender o conceito de desenvolvimento em série de Taylor.
3. Construir o modelo linearizado.
4. Interpretar o significado das correções das incógnitas.
5. Preparar a base para o ajustamento iterativo.

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1. Modelo não linear

A forma geral do modelo funcional é:

Em que:

• L = vetor de observações
• x = vetor de incógnitas
• f_(x) = função não linear

1.1 Exemplos em Geodésia

Distância:

Direção:

Essas equações não podem ser usadas diretamente no modelo linear do MMQ.

2. Ideia da linearização

A solução é expandir a função em torno de um valor aproximado x₀.

Define-se:

Em que:

• x₀ = valor aproximado
• Δ_x = correção a ser determinada

3. Expansão em série de Taylor

Desenvolvendo f_(x) em torno de x₀:

Em que:

É a matriz das derivadas parciais (matriz de projeto).

4. Modelo linearizado

Substituindo no modelo funcional:

Reorganizando:

Define-se:

Obtém-se o modelo linear:

ou

Esse é o modelo utilizado no ajustamento.

5. Interpretação dos termos

• l = vetor de termos independentes (observações reduzidas)
• A = matriz de sensibilidade
• Δ_x = correções das incógnitas
• v = resíduos

Após o ajustamento:

6. Processo iterativo

Como a linearização é aproximada:

• 1. Escolhe-se x₀
• 2. Calcula-se Δ_x
• 3. Atualiza-se: x₁ = x₀ + Δ_x
• 4. Repete-se até que: Δ_x ≈ 0

Esse processo é chamado de ajustamento iterativo.

7. Exemplo Resolvido

Função:

Observação:

Valor aproximado:

• Passo 1 – Valor calculado

• Passo 2 – Derivada

• Passo 3 – Termo reduzido

• Passo 4 – Correção

Modelo:

• Passo 5 – Atualização

8. Exercício Proposto

Função:

Observação:

Valor aproximado:

Determine a correção Δ_x.

8.1 Resposta final esperada

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9. Conclusão

A linearização permite transformar modelos não lineares em formas compatíveis com o Método dos Mínimos Quadrados. Esse procedimento, baseado em derivadas parciais e valores aproximados, é essencial para o ajustamento de problemas geodésicos reais e conduz a processos iterativos de solução.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Modelo Funcional no Método dos Mínimos Quadrados.

No ajustamento de observações, é necessário estabelecer uma relação matemática entre as observações realizadas e as incógnitas que se deseja determinar. Essa relação é chamada de modelo funcional e representa a base do Método dos Mínimos Quadrados. Um modelo funcional bem definido permite descrever corretamente o comportamento do sistema e garantir a consistência do ajustamento.

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Modelo Funcional no Método dos Mínimos Quadrados

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Objetivos

1. Compreender o conceito de modelo funcional.
2. Relacionar observações e incógnitas por meio de equações matemáticas.
3. Entender a forma matricial do modelo.
4. Introduzir a necessidade de linearização.
5. Preparar a base para a formulação paramétrica do MMQ.

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1. Conceito de modelo funcional

O modelo funcional descreve a relação entre:

• observações ( L )
• incógnitas ( x )

Na forma geral:

Entretanto, como as observações contêm erros:

Em que:

• v = vetor de resíduos (correções às observações)

2. Forma matricial do modelo

Considerando ( n ) observações e ( u ) incógnitas:

O objetivo do ajustamento é determinar os valores de x que minimizam os resíduos.

3. Modelo linear

Se a função f(x) for linear:

então o modelo torna-se:

Em que:

• A = matriz de coeficientes (ou matriz de projeto)
• dimensão: n × u

Essa é a forma básica do modelo paramétrico linear.

4. Modelo não linear

Em muitos problemas geodésicos:

• distâncias
• direções
• coordenadas GNSS

A relação entre observações e incógnitas é não linear.

Nesse caso:

É linearizado em torno de um valor aproximado ( x_0 ):

Em que:

• Δ_x = correção das incógnitas
• A = matriz das derivadas parciais

Esse processo será estudado em detalhes nas próximas aulas.

5. Interpretação geométrica

O modelo funcional define:

• como cada observação depende das incógnitas
• a sensibilidade das observações às variações dos parâmetros
• a estrutura da matriz normal

Um modelo mal definido leva a:

• instabilidade
• matriz singular
• impossibilidade de ajustamento

6. Exemplo Resolvido

Deseja-se determinar o valor de uma distância ( x ) a partir de três observações: 100,012; 100,018; 100,010.

Modelo funcional:

Forma matricial:

Este é um modelo linear simples com:

O valor ajustado será a média das observações.

Resultado:

7. Exercício Proposto

Uma altura ( H ) foi determinada por quatro observações: 50,006; 50,010; 50,004; 50,008.

a) Escreva o modelo funcional

b) Identifique ( A ), ( L ), ( n ) e ( u )

7.1 Resposta final esperada

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8. Conclusão

O modelo funcional estabelece a relação matemática entre observações e incógnitas e constitui a base de todo o ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados. Sua correta definição é essencial para garantir a estabilidade e a consistência do processo.

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