Ajustamento de Observações Geodésicas: Condições de Observabilidade e Redundância.

Em um ajustamento geodésico, nem sempre é possível determinar todas as incógnitas a partir das observações disponíveis. Para que o Método dos Mínimos Quadrados produza uma solução única e confiável, é necessário que o sistema satisfaça condições matemáticas específicas. Essas condições estão relacionadas à observabilidade dos parâmetros e ao nível de redundância do sistema.

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Aula 023 – Condições de Observabilidade e Redundância

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Objetivos

1. Compreender o conceito de observabilidade.
2. Identificar quando um parâmetro é ou não determinável.
3. Relacionar observabilidade ao posto da matriz A.
4. Entender a relação entre observabilidade e redundância.
5. Analisar a estabilidade do ajustamento.

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1. Conceito de observabilidade

Um parâmetro é observável quando pode ser determinado de forma única a partir das observações. Matematicamente, isso significa que as observações fornecem informação independente suficiente sobre esse parâmetro.

Se um parâmetro não for observável:

• Não pode ser estimado.
• O sistema terá infinitas soluções.
• A matriz normal será singular.

2. Condição matricial de observabilidade

No modelo linear:

A condição fundamental é:

Em que:

• u = número de incógnitas.

Se o posto for menor:

Então:

• Há dependência linear entre as colunas de A.
• Alguns parâmetros não são observáveis.

3. Relação com a matriz normal

A matriz normal é:

Se os parâmetros forem observáveis:

• N é inversível.

Caso contrário:

• |N| = 0
• O sistema é singular.
• O ajustamento não pode ser resolvido sem restrições adicionais.

4. Redundância do sistema

A redundância é dada por:

Em que:

• n = número de observações
• u = número de incógnitas

Condições:

• r > 0: sistema redundante (desejável)
• r = 0: sistema determinado (sem controle)
• r < 0: sistema indeterminado

Observabilidade e redundância são conceitos diferentes:

• observabilidade → independência das colunas de A
• redundância → excesso de observações

Um sistema pode ter r > 0 e ainda assim ser não observável se houver dependência linear.

5. Interpretação geodésica

Problemas típicos de não observabilidade:

• Rede livre sem datum.
• Ausência de ponto fixo em coordenadas.
• Medições insuficientes para separar parâmetros.
• Observações que fornecem a mesma informação repetida.

Exemplo clássico: Uma rede planimétrica sem fixação permite translação e rotação livres.

6. Exemplo Resolvido

Deseja-se determinar duas incógnitas x e y.

Observações:

Forma matricial:

• Passo 1 – Redundância

O sistema é redundante.

• Passo 2 – Verificação do posto

As linhas são múltiplas entre si. Logo:

Conclusão:

• Apenas a soma x + y é observável.
• Os valores individuais de x e y não podem ser determinados.
• O sistema é não observável.
• A matriz normal é singular.

7. Exercício Proposto

Considere:

Determine:

a) n, u e r.

b) Se o sistema é observável.

7.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão

A observabilidade garante que todos os parâmetros possam ser determinados de forma única, enquanto a redundância fornece controle estatístico e confiabilidade ao ajustamento. Para um ajustamento geodésico estável, é necessário que a matriz (A) tenha posto completo e que o sistema possua redundância positiva.

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