Ajustamento de Observações Geodésicas: Introdução ao Método Paramétrico.

No ajustamento de observações existem diferentes formas de formular o problema matemático. Uma das mais utilizadas em Geodésia é o Método Paramétrico, no qual as incógnitas do sistema são os próprios parâmetros físicos que se deseja determinar, como coordenadas, altitudes ou parâmetros geométricos. Nesse método, as observações são expressas como funções desses parâmetros, e o Método dos Mínimos Quadrados é utilizado para estimar os valores mais prováveis dessas incógnitas.

---

Aula 025 – Introdução ao Método Paramétrico

---

Objetivos

1. Compreender o conceito do método paramétrico.
2. Identificar os parâmetros desconhecidos do problema.
3. Relacionar observações e incógnitas.
4. Montar o modelo funcional do método paramétrico.
5. Aplicar o método em um exemplo simples.

---

1. Conceito do método paramétrico

No método paramétrico, as incógnitas do ajustamento são os parâmetros do modelo matemático.

Exemplos de parâmetros em Geodésia:

• Coordenadas (X,Y,Z)
• Altitudes
• Orientação de estação
• Parâmetros de transformação
• Coeficientes de um modelo matemático

As observações são escritas como funções desses parâmetros.

Forma geral do modelo:

Em que:

• L = vetor de observações
• v = vetor de resíduos
• x = vetor de parâmetros

2. Modelo linear do método paramétrico

Quando o modelo é linear, pode-se escrever:

Em que:

• A = matriz de coeficientes (matriz de projeto)

Ou, isolando os resíduos:

O critério dos mínimos quadrados é:

3. Estrutura matricial do método

O problema é organizado usando vetores e matrizes.

3.1 Vetor de observações

3.2 Vetor de incógnitas

3.3 Matriz de coeficientes

4. Sistema de equações do ajustamento

Aplicando o critério dos mínimos quadrados, obtêm-se as **equações normais**:

Definindo

O sistema torna-se

A solução é

5. Exemplo Resolvido

Deseja-se ajustar a reta: y = a + bx, aos seguintes dados observados:

x	y
1	2,1
2	3,9
3	6,2

As incógnitas são:

• Passo 1 – Equações observacionais

Cada observação gera uma equação:

2,1 = a + b
3,9 = a + 2b
6,2 = a + 3b

• Passo 2 – Forma matricial

• Passo 3 – Cálculo da matriz normal

Primeiro calculamos

Agora

• Passo 4 – Segundo membro

• Passo 5 – Sistema normal

• Passo 6 – Solução

Resolvendo o sistema:

a = -0,033
b = 2,050

• Equação ajustada

y = -0,033 + 2,050x

6. Exercício Proposto

Considere os dados:

x	y
1	1,9
2	4,2
3	5,8

a) Escreva o modelo paramétrico.

b) Construa a matriz A.

c) Identifique o vetor L.

6.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

7. Conclusão

O método paramétrico formula o ajustamento diretamente em termos dos parâmetros do modelo matemático. A partir da matriz de coeficientes e do vetor de observações, o Método dos Mínimos Quadrados permite estimar os valores mais prováveis das incógnitas, sendo amplamente utilizado em problemas geodésicos e de engenharia.

⇾ Próxima Aula ⇽ → Todas as Aulas ←