1 INTRODUÇÃO
A Topografia é uma disciplina que faz parte da Geodésia e tem a responsabilidade de realizar medições, cálculos e representações de áreas limitadas na superfície terrestre. Para alcançar seu objetivo, a topografia utiliza conceitos de geometria e trigonometria plana, visando a criação de plantas topográficas. No entanto, em certas situações em que é necessário representar uma área extensa, fica evidente que não é possível ignorar a curvatura da Terra. Nessas circunstâncias, os trabalhos topográficos devem necessariamente se basear em pontos de apoio geodésicos, conhecidos como vértices geodésicos, localizados na superfície terrestre.
A palavra Topografia tem origem grega, derivando de "TOPOS" que significa "lugar" e "GRAFIA" que significa "descrição" ou "desenho", resultando na interpretação de "descrição de um lugar". Portanto, a topografia é a disciplina que se dedica ao estudo da representação detalhada de uma porção da superfície terrestre, considerando-a plana (Cardão, 1971).
A principal finalidade da Topografia é determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem considerar a curvatura decorrente da esfericidade da Terra (Espartel, 1980).
Em uma definição mais abrangente, a Topografia é caracterizada como a ciência aplicada que visa estudar e desenvolver métodos e instrumentos para coletar e processar informações do terreno, a partir das quais seja possível criar uma representação gráfica da realidade física em um documento cartográfico (Erba et al., 2009).
1.1 Levantamento topográfico
Realizar um levantamento ou medição envolve a execução de todas as operações e medidas requeridas para estabelecer a posição relativa dos pontos que constituem uma porção da superfície terrestre (Espartel, 1980).
2 DATUM
Trata-se de um sistema de referência empregado para o cálculo ou associação dos resultados obtidos em um levantamento (Brandalize, S.d.).
A palavra "datum" (plural: "data") é um termo de origem latina, cujo significado pode ser compreendido como uma referência geométrica (Silva; Segantine, 2015).
Na Geodésia, o termo "datum" refere-se a uma base a partir da qual as posições de elementos geográficos na superfície terrestre são determinadas. Como referência geodésica, devemos compreender um conjunto de informações que define as formas e o tamanho da Terra (Superfície de Referência), bem como a origem e a orientação do sistema de coordenadas estabelecido para o posicionamento de pontos na superfície terrestre (Silva; Segantine, 2015).
2.1 Sistema geodésico de referência
Para estabelecer um Sistema Geodésico de Referência, é fundamental, em primeiro lugar, definir a superfície (a forma geométrica da Terra) na qual o sistema será baseado de antemão.
2.1.1 Superfície topográfica ou física (Modelo Real)
Este modelo permite a representação da Terra de forma mais próxima à sua aparência na realidade, sem as deformações que outros modelos apresentam. É a superfície utilizada nas plantas topográficas e como base para a realização de trabalhos topográficos (Silva; Segantine, 2015).
No entanto, devido à complexidade da superfície terrestre, o modelo real ainda não possui definições matemáticas adequadas para uma representação completa. Como resultado, foram desenvolvidos outros modelos menos complexos para abordar essa irregularidade (Brandalize, S.d.).
Fonte: Pena, s.d.
2.1.2 Superfície geoidal
A superfície geoidal é uma superfície equipotencial do campo gravitacional e, em uma primeira aproximação, é aquela que mais se assemelha ao nível médio dos mares não perturbado (Arana, 2009).
Uma superfície equipotencial é aquela em que todos os seus pontos têm o mesmo potencial. No contexto do campo gravitacional, a superfície equipotencial possui a característica de ser perpendicular à direção da vertical em todos os seus pontos (Arana, 2009).
Pode-se considerar a superfície geoidal como a linha de força do campo gravitacional da Terra que passa pelo ponto e é perpendicular ao Geoide.
Fonte: Ponto Final, 2015.
2.1.3 Superfície elipsoidal
A superfície elipsoidal foi estabelecida para resolver o desafio da indeterminação do geoide e a dificuldade de utilizar a superfície topográfica como referência planimétrica.
Um elipsoide é uma superfície matemática criada ao rotacionar uma elipse em torno do seu semieixo menor. Esta figura geométrica tem dimensões que são aproximadamente semelhantes às dimensões da Terra e é definida de forma a proporcionar a melhor correspondência possível entre o elipsoide e o geoide em uma determinada região (Silva; Segantine, 2015).
Comparação gráfica 2D entre o elipsoide e o geoide. Fonte: Silva; Segantine, 2015.
2.2 Sistema geodésico brasileiro - SIRGAS2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas)
De acordo com IBGE (2015):
Estações SIRGAS nas Américas. Fonte: SIRGAS.ORG.
3 SISTEMA DE COORDENADAS
Quando o objetivo é determinar a posição de um ponto na superfície terrestre, isso implica calcular suas coordenadas. Calcular as coordenadas de um ponto envolve definir sua localização em relação a um sistema de coordenadas e a uma superfície de referência previamente selecionados. Esses sistemas e superfícies de referência são estabelecidos de forma a assegurar que todos os pontos tenham uma posição única e constante ao longo do tempo.
Neste contexto:
3.1 Sistema de coordenadas cartesiano plano ou Sistema plano-retangular
O sistema mais amplamente utilizado na Topografia é o Sistema de Coordenadas Cartesianas Plano. Este sistema tem suas raízes no trabalho do filósofo francês René Descartes e é fundamental para representar posições e direções na topografia. Ele é composto por dois eixos geométricos que estão em um mesmo plano e são perpendiculares entre si, criando quatro quadrantes distintos. A origem deste sistema é o ponto onde os dois eixos se cruzam.
O eixo principal, que está na horizontal, é chamado de eixo das abscissas e é representado como "X". O eixo secundário, que está na vertical, é chamado de eixo das ordenadas e é representado como "Y". Ambos os eixos são graduados de maneira igual, seguindo a escala definida para o sistema. Esse sistema de coordenadas cartesianas planas é essencial para a representação e análise de dados topográficos, permitindo uma descrição precisa das posições e elevações dos pontos na superfície terrestre.
No sistema de coordenadas cartesianas planas:
Nesse sistema, as coordenadas de um ponto são expressas como dois números que correspondem às projeções geométricas desse ponto nos eixos das abscissas (X) e das ordenadas (Y). Esse par de valores é chamado de coordenadas cartesianas planas ou coordenadas retangulares planas.
Uma semirreta, dentro deste sistema, é definida por dois pontos ou por um ponto e uma direção geométrica. A direção é indicada pelo ângulo (a) formado entre um dos eixos, geralmente o eixo das abscissas (X), tomado como referência, e a semirreta em questão.
Na trigonometria deste sistema, os valores positivos para as direções são considerados no sentido anti-horário a partir da referência angular, que é o eixo positivo das abscissas (X). Isso significa que os ângulos são medidos no sentido anti-horário a partir do eixo positivo das abscissas, e o sentido positivo da rotação é no sentido anti-horário.
Na Topografia, é comum adotar o eixo vertical como o eixo de origem para as direções, e o sentido angular horário é considerado positivo. Esse sistema de coordenadas recebe o nome de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano Topográfico.
Neste contexto, a direção é indicada pelo ângulo chamado de "Azimute" ou "Rumo". O Azimute é o ângulo formado entre o eixo vertical e o alinhamento considerado. É uma maneira de descrever a direção ou orientação de uma linha ou vetor na superfície terrestre em relação ao sistema de coordenadas topográficas. O sentido positivo do Azimute é no sentido horário, o que significa que os ângulos aumentam no sentido horário a partir do eixo vertical. Esse sistema é frequentemente utilizado na Topografia para representar direções e orientações.
Com as coordenadas cartesianas (X; Y) de dois pontos, é possível calcular facilmente a distância plana (também conhecida como distância euclidiana) entre esses dois pontos usando o teorema de Pitágoras, uma vez que a distância entre eles forma um triângulo retângulo.
A fórmula para calcular a distância entre dois pontos (X1, Y1) e (X2, Y2) em um sistema de coordenadas cartesianas é:
Distância = raíz((X2-X1)2+(Y2-Y1)2)
Isso envolve subtrair as coordenadas X e Y do primeiro ponto das coordenadas X e Y do segundo ponto, elevar essas diferenças ao quadrado, somá-las e tirar a raiz quadrada do resultado.
Essa fórmula permite calcular a distância entre quaisquer dois pontos em um plano cartesiano, e é amplamente usada em Topografia, Geodésia e em muitos outros campos relacionados à matemática e à ciência.
Sendo as coordenadas do ponto A(1;2) e B(-2;0) temos que: ΔXAB = – 2 – 1 = – 3 e ΔYAB = 0 – 2 = – 2
Substituindo, os valores que temos: dAB = 3,606
3.2 Sistema de coordenadas polar plano
O sistema de coordenadas polar plano é definido por:
A posição do ponto é estabelecida pela especificação da direção (α), conhecida como ângulo polar, e da distância (ρ), que é chamada de raio vetor. O par de valores (α, ρ) é denominado coordenadas polares planas.
Na matemática, o ângulo polar é considerado positivo no sentido anti-horário, mas na Topografia, esse sentido é invertido, e o eixo de orientação é o vertical.
O sistema de coordenadas polar plano topográfico é amplamente utilizado em todas as observações de direções horizontais e distâncias feitas com instrumentos topográficos em campo.
O procedimento no campo envolve a observação de duas direções e o cálculo do ângulo horizontal com base na diferença entre essas direções, tomando uma delas como referência. Isso resulta no ângulo polar. O raio vetor é determinado pela medição da distância em campo entre a posição do instrumento e o ponto final do alinhamento. Esse sistema é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo.
Medição em campo: obtenção de coordenadas polares. Fonte: Silva; Segantine, 2015.
3.3 Relação: sistema de coordenadas cartesianas planas e sistema de coordenadas polar planas
Um dos exemplos mais simples de transformação de coordenadas no plano é a conversão entre coordenadas retangulares e coordenadas polares, e vice-versa. Essa transformação é não apenas simples, mas também amplamente utilizada na Topografia. Isso ocorre porque as medições topográficas realizadas em campo frequentemente são baseadas em um sistema de coordenadas polares, enquanto suas representações em plantas topográficas se baseiam em um sistema de coordenadas retangulares (Silva; Segantine, 2015). Essa conversão entre os dois sistemas é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo e sua posterior representação gráfica em mapas e plantas.
Relação entre coordenadas cartesianas planas e polar planas. Fonte: Veras, 2012.
Analisando a figura abaixo, com fundamento na trigonometria, extraímos os seguintes modelos matemáticos de transformação:
cosα = x/ρ ⇒ x = ρ*cosα
senα = y/ρ ⇒ y = ρ*senα
ρ2 = x2 + y2 ⇒ ρ = raíz(x2 + y2)
tgα = y/x ⇒ α = arctan(y/x)
No entanto, na topografia a orientação é a partir do eixo y, assim:
senα = x/ρ ⇒ x = ρ*senα
cosα = y/ρ ⇒ y = ρ*cosα
ρ2 = x2 + y2 ⇒ ρ = raíz(x2 + y2)
tgα = x/y ⇒ α = arctan(x/y)
Exemplo 001. (Veras, 2012): Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico R cuja coordenadas polares são ρ = 5 e α=130°30’30”.
R. x = 3,802 unidades e y -3,248 unidades.
Exemplo 002: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico A cuja coordenadas polares são ρ = 10 e α=75°15’45”.
R. x = 9,671 unidades e y = 2,544 unidades.
Exemplo 003: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico A cuja coordenadas cartesianas são x = 9,671 e y = 2,544.
R. ρ = 10 unidades e α=75°15’43,12”.
Exemplo 004: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico B cuja coordenadas polares são ρ = 8 e α=160°25’50”.
R. x = 2,680 unidades e y = -7,538 unidades.
Exemplo 005: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico B cuja coordenadas cartesianas são x = 2,680 e y=-7,538.
R. ρ = 8 unidades e α = -19°34'18,93".
Conforme observado, o resultado encontrado não atende às exigências da questão, uma vez que é sabido que o ponto B está localizado no 2º quadrante. A resolução para essa situação será abordada durante a aula sobre orientações.
3.4 Sistema de coordenadas espaciais
O posicionamento espacial de um ponto pode ser determinado em um sistema cartesiano tridimensional, acrescentando um terceiro eixo (Z) ao sistema de coordenadas cartesiano plano (X;Y). Esse terceiro eixo é adicionado perpendicularmente ao plano definido pelos eixos X e Y.
No caso do sistema polar tridimensional, a posição espacial também pode ser determinada acrescentando um segundo ângulo ao sistema de coordenadas polar plano. Esse segundo ângulo é adicionado perpendicularmente ao plano de rotação do primeiro ângulo, permitindo uma representação tridimensional das coordenadas polares. Esse sistema é frequentemente utilizado em áreas como Geodésia e Astronomia para representar posições no espaço tridimensional.
Conforme a orientação dos eixos coordenados, um sistema pode ser classificado como dextrogiro ou levogiro. Um sistema será dextrogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY mediante uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do semieixo OZ. Por outro lado, um sistema será considerado levogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY por meio de uma rotação de 90° no sentido horário em torno do eixo OZ. Essa classificação ajuda a determinar a orientação relativa dos eixos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional.
Sistema dextrogiro e Sistema Levogiro. Fonte: Veras, 2012.
O sistema de coordenadas cartesiano espacial é particularmente adequado para determinar a posição de pontos no espaço, sendo um exemplo típico disso o posicionamento por satélites e das antenas receptoras de sinais GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite).
Nesse contexto, o sistema de coordenadas cartesiano espacial é definido de tal forma que sua origem seja o centro de massa da Terra. Os eixos (X; Y) são posicionados no plano do equador, enquanto o eixo (Z) coincide com o eixo médio de rotação da Terra. Além disso, o eixo (X) é direcionado de modo a interceptar o meridiano escolhido como referência.
Esse sistema recebe o nome de "Sistema Cartesiano Espacial Geocêntrico" e é fundamental para a determinação precisa das coordenadas tridimensionais de pontos no espaço em relação ao centro da Terra. Esse sistema é amplamente utilizado em aplicações de posicionamento global, para calcular com precisão a localização de objetos no globo terrestre.
3.5 Sistema de coordenadas geodésicas (elipsoidais)
No sistema de coordenadas geodésicas, também conhecido como sistema elipsoidal, a referência principal é o formato do elipsoide que melhor se ajusta à forma da Terra. As coordenadas geodésicas incluem a Latitude geodésica (φ) e a Longitude geodésica (λ) e são determinadas por meio de levantamentos geodésicos, que são procedimentos de medição e cálculo precisos realizados em campo.
A altura em coordenadas geodésicas é conhecida como altitude elipsoidal, e pode ser simplificada indiretamente pela soma da altura ortométrica (a altura acima do nível médio do mar) e a ondulação geoidal (a variação da forma do geóide em relação ao elipsoide de referência).
Para densificar ou transportar coordenadas geodésicas, é comum utilizar triangulações geodésicas e, atualmente, métodos baseados em rastreamento de satélites, principalmente o Sistema GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite). Essas técnicas permitem a determinação precisa das coordenadas geodésicas em uma ampla variedade de aplicações, incluindo cartografia, geodésia e posicionamento geoespacial.
Fonte: Gomes, 2020.
REFERÊNCIAS
ARANA, J. M. Introdução a Geodésia Física. Presidente Prudente: Unesp, 2009. Disponível em: <UNESP>.
BRANDALIZE, M. C. B. Apostila [01] Topografia. Disponível em: <UEFS>.
CARDÃO, C. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
ERBA, D. A. et al. Topografia para estudantes de arquitetura, engenharia e geologia. São Leopoldo: Editora Unisinos, 2009.
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
GOMES, D. S. Metodologia para o Georreferenciamento 3d com Fotogrametria Digital nos Levantamentos do Patrimônio Cultural Edificado. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco, Centro de Tecnologia e Geociências. Programa de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas e Tecnologias da Geoinformação, Recife, PE, 2020, . Disponível em: <UFPE>. Acesso: 16 de set. de 2023.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA – IBGE. Resolução do Presidente 1/2005: Altera a caracterização do Sistema Geodésico Brasileiro. 2005. Disponível em: <IBGE>.
SILVA, I.; SEGANTINE, P. C. L. Topografia para engenharia: Teoria e prática de geomática. São Paulo: Ed. Elsevier, 2015.
SIRGAS.ORG. Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas. Disponível em: <SIRGAS ORG>.
VERAS, R. C. Notas de Aula. Teresina: UFPI, 2012.
A Topografia é uma disciplina que faz parte da Geodésia e tem a responsabilidade de realizar medições, cálculos e representações de áreas limitadas na superfície terrestre. Para alcançar seu objetivo, a topografia utiliza conceitos de geometria e trigonometria plana, visando a criação de plantas topográficas. No entanto, em certas situações em que é necessário representar uma área extensa, fica evidente que não é possível ignorar a curvatura da Terra. Nessas circunstâncias, os trabalhos topográficos devem necessariamente se basear em pontos de apoio geodésicos, conhecidos como vértices geodésicos, localizados na superfície terrestre.
A palavra Topografia tem origem grega, derivando de "TOPOS" que significa "lugar" e "GRAFIA" que significa "descrição" ou "desenho", resultando na interpretação de "descrição de um lugar". Portanto, a topografia é a disciplina que se dedica ao estudo da representação detalhada de uma porção da superfície terrestre, considerando-a plana (Cardão, 1971).
A principal finalidade da Topografia é determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem considerar a curvatura decorrente da esfericidade da Terra (Espartel, 1980).
Em uma definição mais abrangente, a Topografia é caracterizada como a ciência aplicada que visa estudar e desenvolver métodos e instrumentos para coletar e processar informações do terreno, a partir das quais seja possível criar uma representação gráfica da realidade física em um documento cartográfico (Erba et al., 2009).
1.1 Levantamento topográfico
Realizar um levantamento ou medição envolve a execução de todas as operações e medidas requeridas para estabelecer a posição relativa dos pontos que constituem uma porção da superfície terrestre (Espartel, 1980).
2 DATUM
Trata-se de um sistema de referência empregado para o cálculo ou associação dos resultados obtidos em um levantamento (Brandalize, S.d.).
A palavra "datum" (plural: "data") é um termo de origem latina, cujo significado pode ser compreendido como uma referência geométrica (Silva; Segantine, 2015).
Na Geodésia, o termo "datum" refere-se a uma base a partir da qual as posições de elementos geográficos na superfície terrestre são determinadas. Como referência geodésica, devemos compreender um conjunto de informações que define as formas e o tamanho da Terra (Superfície de Referência), bem como a origem e a orientação do sistema de coordenadas estabelecido para o posicionamento de pontos na superfície terrestre (Silva; Segantine, 2015).
2.1 Sistema geodésico de referência
Para estabelecer um Sistema Geodésico de Referência, é fundamental, em primeiro lugar, definir a superfície (a forma geométrica da Terra) na qual o sistema será baseado de antemão.
- A superfície topográfica ou física: que compreende as irregularidades da superfície do terreno (relevo) formada pelas cadeias de montanhas, vales, campos, fossas oceânicas, pântanos, etc.
- A superfície geoidal: que é gerada pela superfície equipotencial do campo gravitacional terrestre, e que é considerada a forma real da Terra.
- A superfície elipsoidal: que é gerada por uma esfera ligeiramente achatada nos polos, à qual se dá o nome de elipsoide de revolução.
2.1.1 Superfície topográfica ou física (Modelo Real)
Este modelo permite a representação da Terra de forma mais próxima à sua aparência na realidade, sem as deformações que outros modelos apresentam. É a superfície utilizada nas plantas topográficas e como base para a realização de trabalhos topográficos (Silva; Segantine, 2015).
No entanto, devido à complexidade da superfície terrestre, o modelo real ainda não possui definições matemáticas adequadas para uma representação completa. Como resultado, foram desenvolvidos outros modelos menos complexos para abordar essa irregularidade (Brandalize, S.d.).
2.1.2 Superfície geoidal
A superfície geoidal é uma superfície equipotencial do campo gravitacional e, em uma primeira aproximação, é aquela que mais se assemelha ao nível médio dos mares não perturbado (Arana, 2009).
Uma superfície equipotencial é aquela em que todos os seus pontos têm o mesmo potencial. No contexto do campo gravitacional, a superfície equipotencial possui a característica de ser perpendicular à direção da vertical em todos os seus pontos (Arana, 2009).
Pode-se considerar a superfície geoidal como a linha de força do campo gravitacional da Terra que passa pelo ponto e é perpendicular ao Geoide.
2.1.3 Superfície elipsoidal
A superfície elipsoidal foi estabelecida para resolver o desafio da indeterminação do geoide e a dificuldade de utilizar a superfície topográfica como referência planimétrica.
Um elipsoide é uma superfície matemática criada ao rotacionar uma elipse em torno do seu semieixo menor. Esta figura geométrica tem dimensões que são aproximadamente semelhantes às dimensões da Terra e é definida de forma a proporcionar a melhor correspondência possível entre o elipsoide e o geoide em uma determinada região (Silva; Segantine, 2015).
2.2 Sistema geodésico brasileiro - SIRGAS2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas)
De acordo com IBGE (2015):
- Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre Internacional - ITRS (International Terrestrial Reference System).
- Figura geométrica para a Terra: Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80).
- Datum Vertical: Imbituba (Santa Catarina).
- Origem: Centro de massa da Terra.
- Orientação: Polos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com as direções definidas pelo BIH (Bureau International de l´Heure), em 1984,0.
- Época de Referência das coordenadas: 2000,4.
- Materialização: Estabelecida por intermédio de todas as estações que compõem a Rede Geodésica Brasileira, implantadas a partir das estações de referência.
3 SISTEMA DE COORDENADAS
Quando o objetivo é determinar a posição de um ponto na superfície terrestre, isso implica calcular suas coordenadas. Calcular as coordenadas de um ponto envolve definir sua localização em relação a um sistema de coordenadas e a uma superfície de referência previamente selecionados. Esses sistemas e superfícies de referência são estabelecidos de forma a assegurar que todos os pontos tenham uma posição única e constante ao longo do tempo.
Neste contexto:
- Sistema de coordenadas Cartesiano Plano ou Sistema Plano-Retangular.
- Sistema de coordenadas Polar Plano.
- Sistema de coordenadas Cartesiano Espacial.
- Sistema de Coordenadas Geodésicas (Elipsoidais).
3.1 Sistema de coordenadas cartesiano plano ou Sistema plano-retangular
O sistema mais amplamente utilizado na Topografia é o Sistema de Coordenadas Cartesianas Plano. Este sistema tem suas raízes no trabalho do filósofo francês René Descartes e é fundamental para representar posições e direções na topografia. Ele é composto por dois eixos geométricos que estão em um mesmo plano e são perpendiculares entre si, criando quatro quadrantes distintos. A origem deste sistema é o ponto onde os dois eixos se cruzam.
O eixo principal, que está na horizontal, é chamado de eixo das abscissas e é representado como "X". O eixo secundário, que está na vertical, é chamado de eixo das ordenadas e é representado como "Y". Ambos os eixos são graduados de maneira igual, seguindo a escala definida para o sistema. Esse sistema de coordenadas cartesianas planas é essencial para a representação e análise de dados topográficos, permitindo uma descrição precisa das posições e elevações dos pontos na superfície terrestre.
No sistema de coordenadas cartesianas planas:
- O eixo (X) é considerado positivo "para a direita", o que significa que os valores aumentam à medida que você se desloca para a direita.
- O eixo (Y) é considerado positivo "para cima", onde os valores aumentam à medida que você se move para cima.
Nesse sistema, as coordenadas de um ponto são expressas como dois números que correspondem às projeções geométricas desse ponto nos eixos das abscissas (X) e das ordenadas (Y). Esse par de valores é chamado de coordenadas cartesianas planas ou coordenadas retangulares planas.
Uma semirreta, dentro deste sistema, é definida por dois pontos ou por um ponto e uma direção geométrica. A direção é indicada pelo ângulo (a) formado entre um dos eixos, geralmente o eixo das abscissas (X), tomado como referência, e a semirreta em questão.
Na trigonometria deste sistema, os valores positivos para as direções são considerados no sentido anti-horário a partir da referência angular, que é o eixo positivo das abscissas (X). Isso significa que os ângulos são medidos no sentido anti-horário a partir do eixo positivo das abscissas, e o sentido positivo da rotação é no sentido anti-horário.
Na Topografia, é comum adotar o eixo vertical como o eixo de origem para as direções, e o sentido angular horário é considerado positivo. Esse sistema de coordenadas recebe o nome de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano Topográfico.
Neste contexto, a direção é indicada pelo ângulo chamado de "Azimute" ou "Rumo". O Azimute é o ângulo formado entre o eixo vertical e o alinhamento considerado. É uma maneira de descrever a direção ou orientação de uma linha ou vetor na superfície terrestre em relação ao sistema de coordenadas topográficas. O sentido positivo do Azimute é no sentido horário, o que significa que os ângulos aumentam no sentido horário a partir do eixo vertical. Esse sistema é frequentemente utilizado na Topografia para representar direções e orientações.
Com as coordenadas cartesianas (X; Y) de dois pontos, é possível calcular facilmente a distância plana (também conhecida como distância euclidiana) entre esses dois pontos usando o teorema de Pitágoras, uma vez que a distância entre eles forma um triângulo retângulo.
A fórmula para calcular a distância entre dois pontos (X1, Y1) e (X2, Y2) em um sistema de coordenadas cartesianas é:
Isso envolve subtrair as coordenadas X e Y do primeiro ponto das coordenadas X e Y do segundo ponto, elevar essas diferenças ao quadrado, somá-las e tirar a raiz quadrada do resultado.
Essa fórmula permite calcular a distância entre quaisquer dois pontos em um plano cartesiano, e é amplamente usada em Topografia, Geodésia e em muitos outros campos relacionados à matemática e à ciência.
Sendo as coordenadas do ponto A(1;2) e B(-2;0) temos que: ΔXAB = – 2 – 1 = – 3 e ΔYAB = 0 – 2 = – 2
Substituindo, os valores que temos: dAB = 3,606
3.2 Sistema de coordenadas polar plano
O sistema de coordenadas polar plano é definido por:
- Um ponto fixo chamado "O," que é denominado origem ou polo.
- Uma direção (α), que é medida em relação a um eixo de referência.
- Uma distância (ρ) que representa a medida entre a origem e o ponto cujas coordenadas precisam ser determinadas.
A posição do ponto é estabelecida pela especificação da direção (α), conhecida como ângulo polar, e da distância (ρ), que é chamada de raio vetor. O par de valores (α, ρ) é denominado coordenadas polares planas.
Na matemática, o ângulo polar é considerado positivo no sentido anti-horário, mas na Topografia, esse sentido é invertido, e o eixo de orientação é o vertical.
O sistema de coordenadas polar plano topográfico é amplamente utilizado em todas as observações de direções horizontais e distâncias feitas com instrumentos topográficos em campo.
O procedimento no campo envolve a observação de duas direções e o cálculo do ângulo horizontal com base na diferença entre essas direções, tomando uma delas como referência. Isso resulta no ângulo polar. O raio vetor é determinado pela medição da distância em campo entre a posição do instrumento e o ponto final do alinhamento. Esse sistema é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo.
3.3 Relação: sistema de coordenadas cartesianas planas e sistema de coordenadas polar planas
Um dos exemplos mais simples de transformação de coordenadas no plano é a conversão entre coordenadas retangulares e coordenadas polares, e vice-versa. Essa transformação é não apenas simples, mas também amplamente utilizada na Topografia. Isso ocorre porque as medições topográficas realizadas em campo frequentemente são baseadas em um sistema de coordenadas polares, enquanto suas representações em plantas topográficas se baseiam em um sistema de coordenadas retangulares (Silva; Segantine, 2015). Essa conversão entre os dois sistemas é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo e sua posterior representação gráfica em mapas e plantas.
Analisando a figura abaixo, com fundamento na trigonometria, extraímos os seguintes modelos matemáticos de transformação:
- Polar para cartesiana.
senα = y/ρ ⇒ y = ρ*senα
- Cartesiana para polar.
tgα = y/x ⇒ α = arctan(y/x)
No entanto, na topografia a orientação é a partir do eixo y, assim:
- Polar para cartesiana.
cosα = y/ρ ⇒ y = ρ*cosα
- Cartesiana para polar.
tgα = x/y ⇒ α = arctan(x/y)
Exemplo 001. (Veras, 2012): Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico R cuja coordenadas polares são ρ = 5 e α=130°30’30”.
R. x = 3,802 unidades e y -3,248 unidades.
Exemplo 002: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico A cuja coordenadas polares são ρ = 10 e α=75°15’45”.
R. x = 9,671 unidades e y = 2,544 unidades.
Exemplo 003: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico A cuja coordenadas cartesianas são x = 9,671 e y = 2,544.
R. ρ = 10 unidades e α=75°15’43,12”.
Exemplo 004: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico B cuja coordenadas polares são ρ = 8 e α=160°25’50”.
R. x = 2,680 unidades e y = -7,538 unidades.
Exemplo 005: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico B cuja coordenadas cartesianas são x = 2,680 e y=-7,538.
R. ρ = 8 unidades e α = -19°34'18,93".
Conforme observado, o resultado encontrado não atende às exigências da questão, uma vez que é sabido que o ponto B está localizado no 2º quadrante. A resolução para essa situação será abordada durante a aula sobre orientações.
3.4 Sistema de coordenadas espaciais
O posicionamento espacial de um ponto pode ser determinado em um sistema cartesiano tridimensional, acrescentando um terceiro eixo (Z) ao sistema de coordenadas cartesiano plano (X;Y). Esse terceiro eixo é adicionado perpendicularmente ao plano definido pelos eixos X e Y.
No caso do sistema polar tridimensional, a posição espacial também pode ser determinada acrescentando um segundo ângulo ao sistema de coordenadas polar plano. Esse segundo ângulo é adicionado perpendicularmente ao plano de rotação do primeiro ângulo, permitindo uma representação tridimensional das coordenadas polares. Esse sistema é frequentemente utilizado em áreas como Geodésia e Astronomia para representar posições no espaço tridimensional.
Conforme a orientação dos eixos coordenados, um sistema pode ser classificado como dextrogiro ou levogiro. Um sistema será dextrogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY mediante uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do semieixo OZ. Por outro lado, um sistema será considerado levogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY por meio de uma rotação de 90° no sentido horário em torno do eixo OZ. Essa classificação ajuda a determinar a orientação relativa dos eixos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional.
O sistema de coordenadas cartesiano espacial é particularmente adequado para determinar a posição de pontos no espaço, sendo um exemplo típico disso o posicionamento por satélites e das antenas receptoras de sinais GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite).
Nesse contexto, o sistema de coordenadas cartesiano espacial é definido de tal forma que sua origem seja o centro de massa da Terra. Os eixos (X; Y) são posicionados no plano do equador, enquanto o eixo (Z) coincide com o eixo médio de rotação da Terra. Além disso, o eixo (X) é direcionado de modo a interceptar o meridiano escolhido como referência.
Esse sistema recebe o nome de "Sistema Cartesiano Espacial Geocêntrico" e é fundamental para a determinação precisa das coordenadas tridimensionais de pontos no espaço em relação ao centro da Terra. Esse sistema é amplamente utilizado em aplicações de posicionamento global, para calcular com precisão a localização de objetos no globo terrestre.
3.5 Sistema de coordenadas geodésicas (elipsoidais)
No sistema de coordenadas geodésicas, também conhecido como sistema elipsoidal, a referência principal é o formato do elipsoide que melhor se ajusta à forma da Terra. As coordenadas geodésicas incluem a Latitude geodésica (φ) e a Longitude geodésica (λ) e são determinadas por meio de levantamentos geodésicos, que são procedimentos de medição e cálculo precisos realizados em campo.
A altura em coordenadas geodésicas é conhecida como altitude elipsoidal, e pode ser simplificada indiretamente pela soma da altura ortométrica (a altura acima do nível médio do mar) e a ondulação geoidal (a variação da forma do geóide em relação ao elipsoide de referência).
Para densificar ou transportar coordenadas geodésicas, é comum utilizar triangulações geodésicas e, atualmente, métodos baseados em rastreamento de satélites, principalmente o Sistema GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite). Essas técnicas permitem a determinação precisa das coordenadas geodésicas em uma ampla variedade de aplicações, incluindo cartografia, geodésia e posicionamento geoespacial.
REFERÊNCIAS
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