Geometria Descritiva - Rotação do Plano

Fala aí galerinha do blogger, beleza?

Estamos aqui de novo, para dar continuidade ao nosso conteúdo de Geometria Descritiva, no caso, estamos falando do Método Descritivo denominado Rotação, e hoje, vamos encerrar este conteúdo falando sobre a Rotação do Plano.

Pois bem, quando falamos em rotacionar um plano, ou melhor, quando desejamos rotacionar um plano em torno de um eixo, estamos falando em rotacionar três pontos não colineares deste plano, ou, uma reta do plano e um ponto do plano que não pertença a esta reta, ou ainda, rotacionar duas retas paralelas ou concorrentes que pertençam a este plano.
Ou seja, para rotacionar um plano devemos rotacionar os elementos geométricos que o definem: três pontos não colineares; uma reta e um ponto fora dela; duas retas concorrentes; duas retas paralelas, em mesmo sentido e mesma amplitude.

Diante do que foi descrito anteriormente, e baseando-se nos conteúdos das aulas anteriores, facilmente conseguiríamos realizar a rotação do plano, quando este for definidos pelos seus elementos geométricos, porém, se o plano for definido por seus traços, como se proceder?
Esta aula é basicamente para explicarmos o passo a passo para esta rotação, ou seja, rotacionar um plano definido por seus traços.

- ROTAÇÃO DE UM PLANO DEFINIDO POR SEUS TRAÇOS

Quando objetivamos rotacionar um plano que é definido por seus traços, é comum realizarmos a rotação de uma reta do plano e um ponto do plano fora dessa reta. Nesse contexto, é preferível que se escolha como reta do plano, a sua interseção com o plano ao qual o eixo de rotação seja perpendicular, deste modo:

• Escolhe-se o traço horizontal do plano dado, quando a rotação for em torno de um eixo vertical.
• Escolhe-se o traço vertical do plano dado, quando a rotação for em torno de um eixo de topo.

Já como ponto do plano fora da reta:

• Escolhe-se o traço do eixo de rotação sobre o plano.

Na Figura (A) temos a rotação de um plano em torno de um eixo vertical, enquanto que na Figura (B), temos a rotação de um plano em torno de um eixo de topo.

Observem que, para realizar a rotação do plano tanto em torno do eixo vertical (Figura A), seguiu-se os seguintes passos:

• Da projeção horizontal do eixo (e), traça-se uma perpendicular (e)(A) ao traço horizontal do plano;
• O ponto onde esta perpendicular tocou o traço horizontal do plano chamamos de (A), no caso a projeção horizontal de um ponto (A);
• Fez-se a rotação do ponto (A) em torno do eixo (e), na amplitude desejada;
• Perpendicularmente ao segmento (e)(Ā) constrói-se o traço horizontal do plano após a rotação;
• Fez-se por (e) uma reta horizontal (r) do plano (α) antes da rotação, e outra horizontal (s) após a rotação;
• Por fim, passando por V₂' construiu-se o traço vertical do plano (α).

Analogamente, fez-se a rotação do plano em torno do eixo de topo. Só que desta vez, faz-se uma perpendicular (e')(A') ao traço vertical do plano, partindo da projeção vertical do traço do eixo de topo (e), rotaciona-se a projeção vertical do ponto (A) no traço vertical do plano, perpendicularmente a (e')(Ā') constroi-se o traço vertical do plano após a rotação, faz-se por (e) uma reta frontal (r) do plano (α) antes da rotação, e outra (s) após a rotação, e, por fim passando por H₂ construiu-se o traço vertical do plano (α)
PRINCIPAIS APLICAÇÕES DA ROTAÇÃO DO PLANO
- Tornar um plano qualquer em um plano vertical.

Tornar um plano qualquer em um plano vertical é uma tarefa simples, pois, basta realizar uma rotação em torno de um eixo de topo.

Vejam que para para que um plano qualquer torne-se um plano vertical a partir de uma rotação, fez-se o passo a passo já discriminado anteriormente, só que de forma mais simples, pois, primeiramente, partindo da projeção vertical do eixo (e), foi tirada uma perpendicular em relação ao traço do plano, fez-se a rotação em torno do eixo fazendo com que o segmento (e')(Ā') ficasse paralelo a linha de terra, com isso, construiu-se o traço vertical do plano, passando por Ā' e perpendicular a linha de terra. Na sequência determinou-se uma reta frontal (f) do plano dado (α), por fim determinou-se o traço horizontal do plano, com esse passando pela projeção horizontal da interseção entre o eixo e a frontal (f) determinada anteriormente e se interceptando com o traço vertical, já definido, na linha de terra.

- Tornar um plano qualquer em um plano de topo.

Para tornar um plano qualquer em um plano de topo, basta realizar uma rotação em torno de um eixo vertical.

De forma análoga ao que já vem sendo dito, para tornar um plano qualquer em um plano de topo a partir de uma rotação, basta: tirar uma perpendicular em relação ao traço horizontal do plano, partindo da projeção horizontal do eixo de rotação, na interseção desta com o traço, define-se um ponto, que para o exemplo foi chamado de (A), rotaciona-se esse ponto até que o segmento (e)(Ā) fique paralelo a linha de terra, então passando por (Ā) perpendicularmente a linha de terra determina-se o traço horizontal do plano após a rotação. Na sequência determina-se uma reta horizontal do plano (α) dado antes da rotação e faz passar pela projeção vertical da interseção desta reta com o eixo, o traço vertical do plano que deve se interceptar com o traço horizontal, já determinado, na linha de terra.

- Tornar um plano qualquer em um plano horizontal

O plano horizontal é um plano paralelo ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano vertical de projeção. O plano qualquer é oblíquo a ambos os planos de projeções. Dessa forma, para tornamos um plano qualquer em um plano horizontal é necessário uma dupla rotação, a primeira para tornar esse plano perpendicular a um dos planos de projeções, no caso ao plano vertical, e a segunda para tornarmos esse plano paralelo ao plano horizontal.
Ou seja, primeiro deve-se tornar esse plano qualquer em um plano de topo, e na sequência em um plano horizontal. Como vimos, para tornar um plano qualquer em um plano de topo, devemos rotacionar esse plano em torno de um eixo vertical, por fim, para tornar esse plano de topo em um plano horizontal a segunda rotação não pode ser igual a primeira, ou seja, devemos realizar uma rotação em torno de um eixo de topo.

- Tornar um plano qualquer em um plano frontal

O plano frontal é um plano perpendicular ao plano horizontal de projeção e paralelo ao plano vertical de projeção. Para tornamos um plano qualquer em um plano frontal, também faz-se necessário uma dupla rotação. A primeira uma rotação em torno de um eixo de topo de modo a tornar o plano qualquer perpendicular a um dos planos de projeções, que no caso é o plano horizontal, e a segunda rotação para tornarmos esse plano paralelo ao plano vertical.
Ou seja, primeiro deve-se tornar esse plano qualquer em um plano vertical, e na sequência em um plano frontal. Já é de nosso conhecimento que para tornar um plano qualquer em um plano vertical, devemos rotacionar esse plano em torno de um eixo de topo, assim a segunda rotação, que deve ser em torno de um eixo diferente da primeira, será em torno de um eixo vertical.

- Tornar um plano qualquer em um plano paralelo a linha de terra

Para tornar um plano qualquer em um plano paralelo a linha de terra, pode-se optar por uma rotação em torno de um eixo vertical ou uma rotação em torno do eixo de topo.

• Rotação em torno do eixo vertical

A rotação de um plano qualquer para torná-lo paralelo a linha de terra, em função de uma rotação em torno de um eixo vertical, é uma tarefa simples. Pois basta:

1. Girar o traço horizontal do plano em torno do eixo (e), em uma determinada amplitude de modo que este fique paralelo a linha de terra;
2. Para determinar o traço vertical, basta passar pelo traço (O) do eixo no plano uma reta auxiliar (aqui (V)(H)). Reta a qual o traço horizontal está sobre o traço horizontal do plano rotacionado e o traço vertical é o ponto onde passará, paralelamente a linha de terra, o traço vertical do plano.

• Rotação em torno do eixo de topo

Analogamente, para tornar um plano qualquer em um plano paralelo a linha de terra, em função de uma de uma rotação em torno de um eixo de topo, basta:

1. Girar o traço vertical do plano em torno do eixo (e), em uma determinada amplitude de modo que este fique paralelo a linha de terra;
2. Para determinar o traço horizontal, basta passar pelo traço (O) do eixo no plano uma reta auxiliar (aqui (V)(H)). Reta a qual o traço vertical está sobre o traço vertical do plano rotacionado e o traço horizontal é o ponto onde passará, paralelamente a linha de terra, o traço horizontal do plano.

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Geometria Descritiva - Exercícios sobre o Estudo do Ponto

001 - Construir a épura dos pontos (A) e (B) situados no 4° diedro, de tal modo, que:

a) O ponto (A) está mais próximo do plano horizontal de projeção do que do plano vertical de projeção;
b) O ponto (B) está mais próximo do plano vertical de projeção do que do plano horizontal de projeção.

002 - Construir a épura e determinar as posições de cada um dos pontos a seguir: (A){0; -3; -2,5}, (B){-1; -1; -1}, (C){-2; 1; -1}, (D){1; -1; 0} e (E){2; -2,5; -1}

003 - Construir a épura e determinar as posições dos pontos: (A){0; -3; -2}, (B){-1; 0,5; -3}, (C){0,5; 0; 0,5} e (D){-2; -3; 0,5}.

004 - Construir a épura dos pontos (A), (B), (C), (D) e (E) situados, respectivamente:

a) Na linha de terra;
b) No terceiro diedro mais próximo do plano horizontal de projeção do que do plano vertical de projeção;
c) No semiplano horizontal posterior;
d) No semiplano vertical superior;
e) No semiplano horizontal anterior.

005 - Determinar as projeções dos pontos: (A){1; 2; 0}, (B){3; -3; 4}, (C){5; -5; -3,5}, (D){7; 2; -2}, (W){9; 3; ?} situado no plano horizontal de projeção, (X){11; ?; 2,5} situado no plano vertical de projeção, (Y){ 13, ; -4; ?} situado no plano horizontal de projeção e (Z){15; ?; -6} situado no plano vertical de projeção.

006 - Construir a épura do ponto (A), sabendo que este encontra-se situado no 4º diedro e sua cota é igual a 2/3 do seu afastamento.

007 - Construir a épura do ponto (B), sabendo que este encontra-se situado no 1º diedro e seu afastamento é igual a 1/3 da sua cota.

008 - Construir a épura dos (K), (L), (M) e (N), considerando que:

a) O ponto (K) encontra-se situado no semiplano vertical inferior a 1cm do plano horizontal de projeção.
b) O ponto (L) encontra-se situado no semiplano horizontal anterior a 0,5cm do plano vertical de projeção.
c) O ponto (M) encontra-se situado no 2º diedro mais próximo do plano horizontal de projeção do que do plano vertical de projeção.
d) O ponto (N) encontra-se situado no na linha de terra.

009 - Construir a épura dos pontos (A) e (B) situados, respectivamente, no bissetor ímpar e bissetor par, considerando que: (A){-3; 0,5; ?} e (B){3; ?; 1}.

010 - Determinar as projeções dos pontos (X){-2; -2; ?} situado no plano bissetor ímpar e (Y){2; ?; -3} situado no plano bissetor par.

011 - Construir a épura dos pontos (M){3; ?; 3} e (N){4; ?, 4}, sabendo que (M) encontra-se situado no plano bissetor ímpar e (N) encontra-se no plano bissetor par.

012 - Dado o ponto (Z){-2; -3; 5}, determine as projeções de um ponto (A) simétrico de (Z) em relação ao plano horizontal de projeção.

013 - Dado o ponto (X){-1; -2; 4}, determine as projeções de um ponto (D) simétrico de (X) em relação ao plano vertical de projeção.

014 - Construir a épura dos pontos (A) e (B), sabendo que (B) é simétrico do ponto (A){0; -1; 3} em relação ao plano horizontal de projeção.

015 - Construir a épura dos pontos (C) e (D), sabendo que (D) é simétrico de (C){-2; -4; -1} em relação ao plano vertical de projeção.

016 - Sabendo que o ponto (M){-2; -3; 2} é simétrico do ponto (N) em relação a linha de terra, pede-se a épura dos dois pontos.

017 - Determinar as coordenadas e as projeções do ponto (X), simétrico do ponto (Y){-1; 2; 3} em relação a linha de terra.

018 - Construir a épura dos pontos (M), (N) e (O), sabendo que:

- O ponto (M) é simétrico de (X){3; 1; 3} em relação ao plano horizontal de projeção.
- O ponto (N) é simétrico de (Y){7; -4; 1} em relação ao plano vertical de projeção.
- O ponto (O) é simétrico de (Z){11; 4; -4} em relação a linha de terra.

019 - Dados os pontos (K){1; 3; 2} e (L){2; -3; 1}, determinar as projeções dos pontos (A) e (B), considerando que:

- (A) é simétrico de (K) em relação ao plano bissetor ímpar.
- (B) é simétrico de (L) em relação ao plano bissetor par.

020 - Construir a épura dos pontos (A) e (B), considerando que:

- O ponto (A) é simétrico a (X){3; 3; 1} em relação ao plano bissetor ímpar.
- O ponto (B) é simétrico a (Y){7; -5; -7} em relação ao plano bissetor par.

021 - O ponto (Z){ 3; 1; -6} é simétrico de (Y) em relação ao plano horizontal de projeção, já o ponto (Y) é simétrico ao ponto (X) em relação ao plano bissetor ímpar. Determine as projeções do ponto (X).

022 - O ponto (M) é simétrico do ponto (N) em relação ao plano bissetor ímpar. (N) é simétrico de (O) em relação ao plano vertical de projeção e (O) é simétrico de (Z){-1; 2; 4} em relação ao plano horizontal de projeção. Construir a épura dos pontos (M), (N), (O) e (Z).

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Geometria Descritiva - Traços nos Bissetores Ímpar e Par de uma Reta de Perfil

Salve salve tripulantes dessa nave louca chamada Blogger... Blz?
Estamos aqui de novo, para mais uma aula de Geometria Descritiva. Nesta vamos explicar a vocês a maneira de se determinar os traços no bissetor ímpar e bissetor par de uma reta de perfil.

Pois bem, quando a reta de perfil não está em uma posição "mais particular ainda", ou seja, perpendicular a um dos planos bissetores, a determinação dos seus traços nesses bissetores não é tarefa das mais simples, no entanto é possível esta determinação.
Para exemplificarmos, essa determinação, primeiramente vamos relembrar uma característica da projeção lateral de um ponto, tendo em vista que, quando uma reta de perfil é perpendicular somente a linha de terra, faz-se necessário a determinação de sua projeção lateral para se determinar os seus traços.

• A projeção lateral de um ponto, indica qual o diedro este ponto de encontra no espaço.

Essa característica é facilmente visualizada na figura abaixo.

Considerando a linha de chamada dos pontos com a linha de terra, temos uma espécie de "eixo cartesiano" na épura. Com base nesses eixos, devido as características das posições dos pontos, sempre teremos:

• A projeção lateral de um ponto situado no primeiro diedro, no primeiro quadrante;
• A projeção lateral de um ponto situado no segundo diedro, no segundo quadrante;
• A projeção lateral de um ponto situado no terceiro diedro, no terceiro quadrante;
• A projeção lateral de um ponto situado no quarto diedro, no quarto quadrante;

Já é de nosso conhecimento as propriedades características de um ponto situado no plano bissetor ímpar, como também de um ponto situado no plano bissetor par. De acordo com essas propriedades, um ponto situado no plano bissetor ímpar estar situado no primeiro ou no terceiro, pois estes, são atravessados por esse plano, já um ponto situado no plano bissetor par, pode estar no segundo ou no quarto diedro, que são por onde esse plano passa.

Assim de acordo com o que aprendemos anteriormente, um ponto situado no plano bissetor ímpar terá sua projeção lateral no primeiro ou terceiro quadrante da épura, a depender dos seus valores de afastamento e cota, e, analogamente, um ponto situado no plano bissetor par terá sua projeção lateral situada no segundo ou quarto quadrante da épura de acordo com seus valores de afastamento ou de cota.

Nesse contexto, os pontos (A), (B), (C), (D), (E) e (F) pertencem a um mesmo plano de perfil. Os pontos (A), (B) e (C) estão situados no bissetor ímpar, e, os pontos (E), (F) e (G) estão situados no plano bissetor par. Dados: (A){0; 2; 2}, (B){0; 4; 4}, (C){0; -3; -3}, (D){0; -2,5; 2,5}, (E){0; -4,5; 4,5} e (F){0; 3,5; -3,5}.

A épura destes pontos com suas respectivas projeções laterais, encontra-se na figura abaixo:

Observem que, os pontos que se encontram no mesmo plano bissetor, possuem uma característica em comum, que é melhor visualizada quando se liga estes:

Vejam que, os pontos situados no bissetor ímpar, pertencem a um mesmo segmento que faz 45° com a linha de terra e atravessa o primeiro e o terceiro quadrante (quadrantes impares) da épura; já, os pontos situados no bissetor par, pertencem a um mesmo segmento que faz 45° com a linha de terra e atravessa o segundo e o quarto quadrante (quadrantes pares) épura. E isso sempre irá ocorrer.

Então, diante disto, facilmente conseguiremos determinar a projeção lateral dos traços no bissetor ímpar e par de qualquer tipo de reta de perfil, pois:

• Para determinar as projeções do traço no bissetor ímpar:

1. Faz-se um segmento que faça 45° com a linha de terra e atravesse o 1° e o 3° quadrante;
2. O ponto de concurso desse segmento com a projeção lateral da reta, encontra-se a projeção lateral do traço no bissetor ímpar desta reta;
3. Por fim determina-se as projeções horizontal e vertical do traço no bissetor ímpar da reta.

• Para determinar as projeções do traço no bissetor par:

1. Faz-se um segmento que faça 45° com a linha de terra e atravesse o 2° e o 4° quadrante;
2. O ponto de concurso desse segmento com a projeção lateral da reta, encontra-se a projeção lateral do traço no bissetor par desta reta;
3. Por fim determina-se as projeções horizontal e vertical do traço no bissetor par da reta.

Estas etapas podem ser vistas na animação abaixo, para a seguinte reta de perfil: (A){1; 2; 4}; (B){1; 7; 2,5}.

Abaixo segue uma vídeo-aula do canal do Prof. Me. Deniezio Gomes, em que é abordado este tema.

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