Consistem na modificação do sistema de representação, mantendo fixa a posição da figura no espaço.
Mudança do Plano Vertical de Projeção (MPV)
Neste caso, substituímos o plano vertical de projeção (π’) por um plano qualquer (π’1) de modo a se ter um outro sistema mongeano, logicamente, havendo uma mudança de plano teremos uma nova linha de terra, que neste caso passará de (ππ’) para (π’1π).
Assim, em épura temos:
Mudança do Plano Horizontal de Projeção (MPH)
Neste caso, substituímos o plano horizontal de projeção (π) por um plano qualquer (π1) de modo a se ter um outro sistema mongeano, assim como na MPV, na MPH teremos uma nova linha de terra, que neste caso passará de (ππ’) para (π1π’).
Em épura:
Agora aplicaremos a mudança de planos no Estudo do Ponto, da Reta e do Plano (clique nos links abaixo).
EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DESCRITIVA - ESTUDO DO PONTO
01 – Dar a épura dos pontos (A) e (B) situados no 2º diedro que seja:
a) O ponto (A) mais perto do plano (π) que do plano (π’);
b) O ponto (B) mais perto do plano (π’) que do plano (π).
02 – Construir a épura e dar as posições de cada um dos seguintes pontos: (A){1; -2; -1,5}, (B){0; 0; 0}, (C){-1; 2; 0}, (D){2; 0; 1},(E){4; -1,5; 0}.
03 – Fazer a épura e dar as posições dos seguintes pontos:(A){-1; 2; 1}, (B){0; -1,5; 2}, (C){-1,5; -1; -1,5}, (D){ 1; 2; -1,5}.
04 – Construir a épura dos pontos (A), (B), (C), (D) e (E) situados, respectivamente:
a) No semiplano horizontal anterior;
b) No semiplano vertical superior;
c) No semiplano horizontal posterior;
d) No 3º diedro e mais próximo de (π) do que de (π’;
e) Na Linha de Terra.
05 – Representar por suas projeções os seguintes pontos: (A){-2; -3; -1}, (B){-4; -2; -5}, (C){-6; 4; 2,5} (D){-8; -3; 1}, (M){-10; -4; ?} situado em (π), (N){-12; ?; -3,5} situado em (π’); (R){-14; 3; ?} situado em (π), (S){-16; ?, 5} situado em (π’).
06 – Dar a épura de um ponto (A) situado no 4º diedro com cota igual 1/3 do afastamento.
07 – Fazer a épura de um ponto (B) situado no 1º diedro cujo afastamento é igual a 2/3 da cota.
08 – Fazer a épura dos pontos (A), (B), (C) e (D), sabendo-se que:
a) O ponto (A) está situado no (π’s) distando 1,5 cm do plano (π);
b) O ponto (B) está situado no (πa) distando 3 cm do plano (π’);
c) O ponto (C) está situado no 2º diedro e mais próximo de plano (π) do que do plano (π’);
d) O pondo (D) está situado na linha de terra.
09 – Traçar a épura dos ponto (A) e (B) situados, respectivamente, no 1º e 2º bissetores, sabendo-se que (A){2; -1,5; ?} e (B){-1; ?; -2}.
10 – Construir as projeções dos pontos (C) e (D), sabendo-se que: (C){0; 1; ?} situado no (βi) e (D){-1; ?; 2} situado no (βp).
11 – De acordo com a épura abaixo, marque V para verdadeiro ou F para falso.
(F) – O ponto (A) está situado no 2º bissetor, em particular no 2º diedro;
(V) – O ponto (B) está situado no 2º bissetor, em particular no 4º diedro;
(V) – O ponto (A) está situado no 1º diedro, em particular no (βi);
(F) – O ponto (B) está situado no 3º diedro, em particular no (βp).
12 – Dado o ponto (A){1; 2; -4}, determine as projeções de um ponto (B), simétrico de (A) em relação ao plano (π').
13 – Dado o ponto (C){0; 1; -3}, pede-se determinar as projeções de um ponto (D), simétrico de (C) em relação ao plano (π).
14 – Determine as coordenadas de um ponto (B) simétrico de um ponto (A){2; 0; 1} em relação ao plano (π).
15 – Determine as coordenadas de um ponto (D) simétrico de um ponto (C){0; -3; -1}, em relação ao plano (π’).
16 – Dado um ponto (M){1; 2; -3}, determine as projeções de um ponto (N) simétrico de (M) em relação a Linha de terra.
17 – Determinar as coordenadas de um ponto (G), simétrico de um ponto (J){-1; -3; 1} em relação a linha de terra.
18 – Construir a épura dos pontos (A), (B), e (C), sabendo-se que:
a) O ponto (A) é simétrico de (M){-4; -2; -4} em relação ao plano (π');
b) O ponto (B) é simétrico de (N){-8; 3; -2} em relação ao plano (π);
c) O ponto (C) é simétrico de (X){-12; -5; -3} em relação a linha de terra.
19 – São dados os pontos (A){-2; 1; -3} e (B){-3; 4; -2}, determine as projeções de um ponto:
a) (M) simétrico de (A) em relação ao (βp);
b) (N) simétrico de (B) em relação ao (βi).
20 – Dar a épura dos pontos (N) e (M), sendo:
a) O Ponto (N) simétrico de um ponto (A){ -4; -4; -2} em relação ao 2º bissetor;
b) O ponto (M) simétrico de um ponto (B){-8; 4; 6} em relação ao 1º bissetor.
21 – O ponto (C){ -3; -2; 5} é simétrico de (B) em relação ao plano (π’), e este é simétrico ao ponto (A) em relação ao (βi). Determine as projeções do ponto (A).
22 – O ponto (A) é simétrico de (B) em relação ao (βp), (B) é simétrico de (C) em relação a (π) e (C) é simétrico de (D){0; -3; -1} em relação ao plano (π’). Determine as projeções do ponto (A).
23 – De acordo com a épura abaixo:
Marque a alternativa correta.
a) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (π);
b) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (π’);✔
c) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (βi);
d) (A) é simétrico de (B) em relação ao plano (βp);
e) (A) é simétrico de (B) em relação a linha de terra;
Dois planos quando não são paralelos diz-se que eles são “secantes”, ou seja, se interceptam. A interseção entre eles é uma reta denominada reta interseção (i).
A reta interseção (i) é determinada por 2 quaisquer de seus pontos, ou, por um só de seus pontos, quando se conhece “a priori” a direção da reta interseção (i).
Regra Gera para se determinar um ponto da reta interseção (i).
Considera-se um 3º plano (γ), chamado plano auxiliar, que corte os dois planos (α) e (β).
Determinam-se, em seguida, as retas (r) e (s), segundo as quais o plano (γ) corta (α) e (β), respectivamente.
Por fim, determina-se o ponto (m) de concurso das interseções auxiliares (r) e (s), este ponto pertence à reta interseção (i) dos planos (c) e (β).
Cada ponto (M) obtido é um ponto comum aos 3 planos.
(M) ∈ (α) ⇔ (M) ∈ (r)
(M) ∈ (β) ⇔ (M) ∈ (s)
(M) ∈ (γ) ⇔ (M) ∈ (i)
O plano auxiliar (γ) não pode ser paralelo à reta interseção (i).
Na obtenção de outro ponto (N) da reta interseção (i), devemos tomar um 2º plano auxiliar (γ2) paralelo ao 1º plano auxiliar.
Grupos de Categorias para a escolha do Plano Auxiliar.
1º Grupo: Uso dos Planos de Projeções como Auxiliares
A interseção de qualquer plano com um dos planos de projeção é o seu traço de mesmo nome.
E os pontos da reta interseção sempre estarão nos pontos de concorrência entre os traços dos planos, ou seja, um ponto estará na interseção entre os Traços Verticais, e o outro, na interseção entre os Traços Horizontais.
Restrições quanto ao uso dos planos de projeção como Auxiliares
a) Não se usará o Plano Horizontal (π) como auxiliar quando os traços horizontais dos 2 planos dados não concorrerem nos LE (Limites da Épura) ou forem paralelos.
b) Não se usará o Plano Vertical (π’) como auxiliar quando os traços verticais dos 2 planos dados não concorrerem nos LE ou forem paralelos.
c)Não se usará nenhum dos planos de projeções como auxiliar quando os traços dos 2 planos dados não concorrerem nos LE ou forem paralelos.
d) Não se usará nenhum dos planos de projeção como auxiliar quando os planos não forem ambos, dados por seus traços.
Nesses casos, não se usa os Planos de Projeções como auxiliares, pela impossibilidade de determinar a reta interseção, visto que os pontos da mesma são encontrados onde os traços de mesmo nomes dos planos se interceptam.
2º Grupo: Planos Horizontais e Frontais como Auxiliares (Planos Paralelos aos Planos de Projeções).
A interseção de qualquer plano com um Plano Horizontal é uma reta do plano, cuja cota é mesma do plano Horizontal considerado. E a interseção de qualquer plano com um Plano Frontal é uma reta do plano, cuja o afastamento é o mesmo do Plano Frontal considerado.
Assim, é necessário fazer a reta interseção do plano auxiliar com cada um dos dois planos que se deseja conhecer a interseção, pois a interseção dessas retas é que determinará o ponto da reta interseção.
Nesta figura, note que o ponto (M) da reta interseção é o ponto de concurso entre os traços horizontais dos planos, e o ponto (N) da reta interseção é o ponto de concurso das retas encontradas.
Restrições quanto ao uso dos Planos Horizontais e Frontais como Auxiliares.
a) Não se usará plano horizontal como auxiliar quando os traços horizontais dos dois planos forem paralelos.
b) Não se usará plano frontal como auxiliar quando os traços verticais dos dois planos forem paralelos.
c) Não se usará os planos frontais e nem horizontais quando os planos forem ambos, paralelos à ππ’ ou quando um deles for paralelo e o outro contiver ππ’.
Nesses casos não se pode usar os Planos Horizontais ou Frontais como auxiliares, pelo fato de que, as duas retas geradas serão paralelas entre si, com isso, não terão um ponto de concurso, ponto este que seria um ponto da reta interseção. Assim a reta interseção fica indeterminada.
3º Grupo: Planos Verticais e de Topo como Auxiliares.
A interseção de qualquer plano com um Plano Vertical, é uma reta do plano, cuja Projeção Horizontal se conhece, pois está contida em no Traço Horizontal do Plano. E a interseção de qualquer plano com um Plano de Topo, é uma reta do plano, cuja a Projeção Vertical se conhece, pois estará contida no Traço Vertical do Plano.
