Topografia - Sistema de Referência e Sistema de Coordenadas

1 INTRODUÇÃO

A Topografia é uma disciplina que faz parte da Geodésia e tem a responsabilidade de realizar medições, cálculos e representações de áreas limitadas na superfície terrestre. Para alcançar seu objetivo, a topografia utiliza conceitos de geometria e trigonometria plana, visando a criação de plantas topográficas. No entanto, em certas situações em que é necessário representar uma área extensa, fica evidente que não é possível ignorar a curvatura da Terra. Nessas circunstâncias, os trabalhos topográficos devem necessariamente se basear em pontos de apoio geodésicos, conhecidos como vértices geodésicos, localizados na superfície terrestre.

A palavra Topografia tem origem grega, derivando de "TOPOS" que significa "lugar" e "GRAFIA" que significa "descrição" ou "desenho", resultando na interpretação de "descrição de um lugar". Portanto, a topografia é a disciplina que se dedica ao estudo da representação detalhada de uma porção da superfície terrestre, considerando-a plana (Cardão, 1971).
A principal finalidade da Topografia é determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem considerar a curvatura decorrente da esfericidade da Terra (Espartel, 1980).
Em uma definição mais abrangente, a Topografia é caracterizada como a ciência aplicada que visa estudar e desenvolver métodos e instrumentos para coletar e processar informações do terreno, a partir das quais seja possível criar uma representação gráfica da realidade física em um documento cartográfico (Erba et al., 2009).

1.1 Levantamento topográfico

Realizar um levantamento ou medição envolve a execução de todas as operações e medidas requeridas para estabelecer a posição relativa dos pontos que constituem uma porção da superfície terrestre (Espartel, 1980).

2 DATUM

Trata-se de um sistema de referência empregado para o cálculo ou associação dos resultados obtidos em um levantamento (Brandalize, S.d.).

A palavra "datum" (plural: "data") é um termo de origem latina, cujo significado pode ser compreendido como uma referência geométrica (Silva; Segantine, 2015).

Na Geodésia, o termo "datum" refere-se a uma base a partir da qual as posições de elementos geográficos na superfície terrestre são determinadas. Como referência geodésica, devemos compreender um conjunto de informações que define as formas e o tamanho da Terra (Superfície de Referência), bem como a origem e a orientação do sistema de coordenadas estabelecido para o posicionamento de pontos na superfície terrestre (Silva; Segantine, 2015).

2.1 Sistema geodésico de referência

Para estabelecer um Sistema Geodésico de Referência, é fundamental, em primeiro lugar, definir a superfície (a forma geométrica da Terra) na qual o sistema será baseado de antemão.

• A superfície topográfica ou física: que compreende as irregularidades da superfície do terreno (relevo) formada pelas cadeias de montanhas, vales, campos, fossas oceânicas, pântanos, etc.
• A superfície geoidal: que é gerada pela superfície equipotencial do campo gravitacional terrestre, e que é considerada a forma real da Terra.
• A superfície elipsoidal: que é gerada por uma esfera ligeiramente achatada nos polos, à qual se dá o nome de elipsoide de revolução.

2.1.1 Superfície topográfica ou física (Modelo Real)

Este modelo permite a representação da Terra de forma mais próxima à sua aparência na realidade, sem as deformações que outros modelos apresentam. É a superfície utilizada nas plantas topográficas e como base para a realização de trabalhos topográficos (Silva; Segantine, 2015).

No entanto, devido à complexidade da superfície terrestre, o modelo real ainda não possui definições matemáticas adequadas para uma representação completa. Como resultado, foram desenvolvidos outros modelos menos complexos para abordar essa irregularidade (Brandalize, S.d.).

Fonte: Pena, s.d.
2.1.2 Superfície geoidal

A superfície geoidal é uma superfície equipotencial do campo gravitacional e, em uma primeira aproximação, é aquela que mais se assemelha ao nível médio dos mares não perturbado (Arana, 2009).

Uma superfície equipotencial é aquela em que todos os seus pontos têm o mesmo potencial. No contexto do campo gravitacional, a superfície equipotencial possui a característica de ser perpendicular à direção da vertical em todos os seus pontos (Arana, 2009).

Pode-se considerar a superfície geoidal como a linha de força do campo gravitacional da Terra que passa pelo ponto e é perpendicular ao Geoide.

Fonte: Ponto Final, 2015.
2.1.3 Superfície elipsoidal

A superfície elipsoidal foi estabelecida para resolver o desafio da indeterminação do geoide e a dificuldade de utilizar a superfície topográfica como referência planimétrica.

Um elipsoide é uma superfície matemática criada ao rotacionar uma elipse em torno do seu semieixo menor. Esta figura geométrica tem dimensões que são aproximadamente semelhantes às dimensões da Terra e é definida de forma a proporcionar a melhor correspondência possível entre o elipsoide e o geoide em uma determinada região (Silva; Segantine, 2015).

Comparação gráfica 2D entre o elipsoide e o geoide. Fonte: Silva; Segantine, 2015.
2.2 Sistema geodésico brasileiro - SIRGAS2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas)

De acordo com IBGE (2015):

• Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre Internacional - ITRS (International Terrestrial Reference System).
• Figura geométrica para a Terra: Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80).
• Datum Vertical: Imbituba (Santa Catarina).
• Origem: Centro de massa da Terra.
• Orientação: Polos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com as direções definidas pelo BIH (Bureau International de l´Heure), em 1984,0.
• Época de Referência das coordenadas: 2000,4.
• Materialização: Estabelecida por intermédio de todas as estações que compõem a Rede Geodésica Brasileira, implantadas a partir das estações de referência.

Estações SIRGAS nas Américas. Fonte: SIRGAS.ORG.
3 SISTEMA DE COORDENADAS

Quando o objetivo é determinar a posição de um ponto na superfície terrestre, isso implica calcular suas coordenadas. Calcular as coordenadas de um ponto envolve definir sua localização em relação a um sistema de coordenadas e a uma superfície de referência previamente selecionados. Esses sistemas e superfícies de referência são estabelecidos de forma a assegurar que todos os pontos tenham uma posição única e constante ao longo do tempo.

Neste contexto:

• Sistema de coordenadas Cartesiano Plano ou Sistema Plano-Retangular.
• Sistema de coordenadas Polar Plano.
• Sistema de coordenadas Cartesiano Espacial.
• Sistema de Coordenadas Geodésicas (Elipsoidais).

3.1 Sistema de coordenadas cartesiano plano ou Sistema plano-retangular

O sistema mais amplamente utilizado na Topografia é o Sistema de Coordenadas Cartesianas Plano. Este sistema tem suas raízes no trabalho do filósofo francês René Descartes e é fundamental para representar posições e direções na topografia. Ele é composto por dois eixos geométricos que estão em um mesmo plano e são perpendiculares entre si, criando quatro quadrantes distintos. A origem deste sistema é o ponto onde os dois eixos se cruzam.

O eixo principal, que está na horizontal, é chamado de eixo das abscissas e é representado como "X". O eixo secundário, que está na vertical, é chamado de eixo das ordenadas e é representado como "Y". Ambos os eixos são graduados de maneira igual, seguindo a escala definida para o sistema. Esse sistema de coordenadas cartesianas planas é essencial para a representação e análise de dados topográficos, permitindo uma descrição precisa das posições e elevações dos pontos na superfície terrestre.

No sistema de coordenadas cartesianas planas:

• O eixo (X) é considerado positivo "para a direita", o que significa que os valores aumentam à medida que você se desloca para a direita.
• O eixo (Y) é considerado positivo "para cima", onde os valores aumentam à medida que você se move para cima.

Nesse sistema, as coordenadas de um ponto são expressas como dois números que correspondem às projeções geométricas desse ponto nos eixos das abscissas (X) e das ordenadas (Y). Esse par de valores é chamado de coordenadas cartesianas planas ou coordenadas retangulares planas.

Uma semirreta, dentro deste sistema, é definida por dois pontos ou por um ponto e uma direção geométrica. A direção é indicada pelo ângulo (a) formado entre um dos eixos, geralmente o eixo das abscissas (X), tomado como referência, e a semirreta em questão.

Na trigonometria deste sistema, os valores positivos para as direções são considerados no sentido anti-horário a partir da referência angular, que é o eixo positivo das abscissas (X). Isso significa que os ângulos são medidos no sentido anti-horário a partir do eixo positivo das abscissas, e o sentido positivo da rotação é no sentido anti-horário.

Na Topografia, é comum adotar o eixo vertical como o eixo de origem para as direções, e o sentido angular horário é considerado positivo. Esse sistema de coordenadas recebe o nome de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano Topográfico.

Neste contexto, a direção é indicada pelo ângulo chamado de "Azimute" ou "Rumo". O Azimute é o ângulo formado entre o eixo vertical e o alinhamento considerado. É uma maneira de descrever a direção ou orientação de uma linha ou vetor na superfície terrestre em relação ao sistema de coordenadas topográficas. O sentido positivo do Azimute é no sentido horário, o que significa que os ângulos aumentam no sentido horário a partir do eixo vertical. Esse sistema é frequentemente utilizado na Topografia para representar direções e orientações.

Com as coordenadas cartesianas (X; Y) de dois pontos, é possível calcular facilmente a distância plana (também conhecida como distância euclidiana) entre esses dois pontos usando o teorema de Pitágoras, uma vez que a distância entre eles forma um triângulo retângulo.

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos (X1, Y1) e (X2, Y2) em um sistema de coordenadas cartesianas é:

Distância = raíz((X2-X1)²+(Y2-Y1)²)
Isso envolve subtrair as coordenadas X e Y do primeiro ponto das coordenadas X e Y do segundo ponto, elevar essas diferenças ao quadrado, somá-las e tirar a raiz quadrada do resultado.

Essa fórmula permite calcular a distância entre quaisquer dois pontos em um plano cartesiano, e é amplamente usada em Topografia, Geodésia e em muitos outros campos relacionados à matemática e à ciência.

Sendo as coordenadas do ponto A(1;2) e B(-2;0) temos que: ΔX_AB = – 2 – 1 = – 3 e ΔY_AB = 0 – 2 = – 2

Substituindo, os valores que temos: d_AB = 3,606

3.2 Sistema de coordenadas polar plano

O sistema de coordenadas polar plano é definido por:

• Um ponto fixo chamado "O," que é denominado origem ou polo.
• Uma direção (α), que é medida em relação a um eixo de referência.
• Uma distância (ρ) que representa a medida entre a origem e o ponto cujas coordenadas precisam ser determinadas.

A posição do ponto é estabelecida pela especificação da direção (α), conhecida como ângulo polar, e da distância (ρ), que é chamada de raio vetor. O par de valores (α, ρ) é denominado coordenadas polares planas.

Na matemática, o ângulo polar é considerado positivo no sentido anti-horário, mas na Topografia, esse sentido é invertido, e o eixo de orientação é o vertical.

O sistema de coordenadas polar plano topográfico é amplamente utilizado em todas as observações de direções horizontais e distâncias feitas com instrumentos topográficos em campo.

O procedimento no campo envolve a observação de duas direções e o cálculo do ângulo horizontal com base na diferença entre essas direções, tomando uma delas como referência. Isso resulta no ângulo polar. O raio vetor é determinado pela medição da distância em campo entre a posição do instrumento e o ponto final do alinhamento. Esse sistema é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo.

Medição em campo: obtenção de coordenadas polares. Fonte: Silva; Segantine, 2015.
3.3 Relação: sistema de coordenadas cartesianas planas e sistema de coordenadas polar planas

Um dos exemplos mais simples de transformação de coordenadas no plano é a conversão entre coordenadas retangulares e coordenadas polares, e vice-versa. Essa transformação é não apenas simples, mas também amplamente utilizada na Topografia. Isso ocorre porque as medições topográficas realizadas em campo frequentemente são baseadas em um sistema de coordenadas polares, enquanto suas representações em plantas topográficas se baseiam em um sistema de coordenadas retangulares (Silva; Segantine, 2015). Essa conversão entre os dois sistemas é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo e sua posterior representação gráfica em mapas e plantas.

Relação entre coordenadas cartesianas planas e polar planas. Fonte: Veras, 2012.
Analisando a figura abaixo, com fundamento na trigonometria, extraímos os seguintes modelos matemáticos de transformação:

• Polar para cartesiana.

cosα = x/ρ ⇒ x = ρ*cosα
senα = y/ρ ⇒ y = ρ*senα

• Cartesiana para polar.

ρ² = x² + y² ⇒ ρ = raíz(x² + y²)
tgα = y/x ⇒ α = arctan(y/x)
No entanto, na topografia a orientação é a partir do eixo y, assim:

• Polar para cartesiana.

senα = x/ρ ⇒ x = ρ*senα
cosα = y/ρ ⇒ y = ρ*cosα

• Cartesiana para polar.

ρ² = x² + y² ⇒ ρ = raíz(x² + y²)
tgα = x/y ⇒ α = arctan(x/y)
Exemplo 001. (Veras, 2012): Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico R cuja coordenadas polares são ρ = 5 e α=130°30’30”.

R. x = 3,802 unidades e y -3,248 unidades.

Exemplo 002: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico A cuja coordenadas polares são ρ = 10 e α=75°15’45”.

R. x = 9,671 unidades e y = 2,544 unidades.

Exemplo 003: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico A cuja coordenadas cartesianas são x = 9,671 e y = 2,544.

R. ρ = 10 unidades e α=75°15’43,12”.

Exemplo 004: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico B cuja coordenadas polares são ρ = 8 e α=160°25’50”.

R. x = 2,680 unidades e y = -7,538 unidades.

Exemplo 005: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico B cuja coordenadas cartesianas são x = 2,680 e y=-7,538.

R. ρ = 8 unidades e α = -19°34'18,93".

Conforme observado, o resultado encontrado não atende às exigências da questão, uma vez que é sabido que o ponto B está localizado no 2º quadrante. A resolução para essa situação será abordada durante a aula sobre orientações.

3.4 Sistema de coordenadas espaciais

O posicionamento espacial de um ponto pode ser determinado em um sistema cartesiano tridimensional, acrescentando um terceiro eixo (Z) ao sistema de coordenadas cartesiano plano (X;Y). Esse terceiro eixo é adicionado perpendicularmente ao plano definido pelos eixos X e Y.

No caso do sistema polar tridimensional, a posição espacial também pode ser determinada acrescentando um segundo ângulo ao sistema de coordenadas polar plano. Esse segundo ângulo é adicionado perpendicularmente ao plano de rotação do primeiro ângulo, permitindo uma representação tridimensional das coordenadas polares. Esse sistema é frequentemente utilizado em áreas como Geodésia e Astronomia para representar posições no espaço tridimensional.

Conforme a orientação dos eixos coordenados, um sistema pode ser classificado como dextrogiro ou levogiro. Um sistema será dextrogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY mediante uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do semieixo OZ. Por outro lado, um sistema será considerado levogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY por meio de uma rotação de 90° no sentido horário em torno do eixo OZ. Essa classificação ajuda a determinar a orientação relativa dos eixos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional.

Sistema dextrogiro e Sistema Levogiro. Fonte: Veras, 2012.
O sistema de coordenadas cartesiano espacial é particularmente adequado para determinar a posição de pontos no espaço, sendo um exemplo típico disso o posicionamento por satélites e das antenas receptoras de sinais GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite).

Nesse contexto, o sistema de coordenadas cartesiano espacial é definido de tal forma que sua origem seja o centro de massa da Terra. Os eixos (X; Y) são posicionados no plano do equador, enquanto o eixo (Z) coincide com o eixo médio de rotação da Terra. Além disso, o eixo (X) é direcionado de modo a interceptar o meridiano escolhido como referência.

Esse sistema recebe o nome de "Sistema Cartesiano Espacial Geocêntrico" e é fundamental para a determinação precisa das coordenadas tridimensionais de pontos no espaço em relação ao centro da Terra. Esse sistema é amplamente utilizado em aplicações de posicionamento global, para calcular com precisão a localização de objetos no globo terrestre.

3.5 Sistema de coordenadas geodésicas (elipsoidais)

No sistema de coordenadas geodésicas, também conhecido como sistema elipsoidal, a referência principal é o formato do elipsoide que melhor se ajusta à forma da Terra. As coordenadas geodésicas incluem a Latitude geodésica (φ) e a Longitude geodésica (λ) e são determinadas por meio de levantamentos geodésicos, que são procedimentos de medição e cálculo precisos realizados em campo.

A altura em coordenadas geodésicas é conhecida como altitude elipsoidal, e pode ser simplificada indiretamente pela soma da altura ortométrica (a altura acima do nível médio do mar) e a ondulação geoidal (a variação da forma do geóide em relação ao elipsoide de referência).

Para densificar ou transportar coordenadas geodésicas, é comum utilizar triangulações geodésicas e, atualmente, métodos baseados em rastreamento de satélites, principalmente o Sistema GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite). Essas técnicas permitem a determinação precisa das coordenadas geodésicas em uma ampla variedade de aplicações, incluindo cartografia, geodésia e posicionamento geoespacial.

Fonte: Gomes, 2020.
REFERÊNCIAS

ARANA, J. M. Introdução a Geodésia Física. Presidente Prudente: Unesp, 2009. Disponível em: <UNESP>.
BRANDALIZE, M. C. B. Apostila [01] Topografia. Disponível em: <UEFS>.
CARDÃO, C. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
ERBA, D. A. et al. Topografia para estudantes de arquitetura, engenharia e geologia. São Leopoldo: Editora Unisinos, 2009.
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
GOMES, D. S. Metodologia para o Georreferenciamento 3d com Fotogrametria Digital nos Levantamentos do Patrimônio Cultural Edificado. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco, Centro de Tecnologia e Geociências. Programa de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas e Tecnologias da Geoinformação, Recife, PE, 2020, . Disponível em: <UFPE>. Acesso: 16 de set. de 2023.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA – IBGE. Resolução do Presidente 1/2005: Altera a caracterização do Sistema Geodésico Brasileiro. 2005. Disponível em: <IBGE>.
SILVA, I.; SEGANTINE, P. C. L. Topografia para engenharia: Teoria e prática de geomática. São Paulo: Ed. Elsevier, 2015.
SIRGAS.ORG. Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas. Disponível em: <SIRGAS ORG>.
VERAS, R. C. Notas de Aula. Teresina: UFPI, 2012.

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Topografia - Unidades de Medidas

1. INTRODUÇÃO

De acordo com Comastri (1977), medir uma grandeza envolve compará-la com outra grandeza de mesma natureza e determinar quantas vezes ela é maior ou menor em relação à grandeza de referência. A unidade de medida é a porção da grandeza usada como ponto de comparação. O valor numérico que indica quantas vezes a grandeza é maior ou menor que a unidade escolhida é chamado de medida da grandeza. Portanto, a medição de uma grandeza, seja linear ou angular, implica em determinar quantas vezes a grandeza em questão contém a unidade de medida escolhida.

Por exemplo, se um segmento de linha AB no terreno contém 10 vezes a unidade de um metro, o comprimento medido AB é 10 vezes maior que a unidade, e podemos afirmar que o comprimento é de 10 metros, representado como AB = 10m. Da mesma forma, se um ângulo AOB contém 15 vezes a unidade grau, o ângulo medido é de 15°, e podemos escrever AÔB = 15°.

2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

A necessidade de realizar medições é uma prática ancestral que remonta aos primórdios das civilizações. Durante um longo período, cada país e região desenvolveu seu próprio sistema de medidas, muitas vezes utilizando unidades arbitrárias e imprecisas, como o palmo, pé, polegada, braça e côvado, frequentemente baseadas nas dimensões do corpo humano. Essa diversidade de sistemas de medida criava consideráveis desafios para o comércio, pois as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com as unidades de medida adotadas em outras regiões.

Fonte: MEDE, 2018.

Em 1789, uma tentativa de abordar esse desafio levou o Governo Republicano Francês a solicitar à Academia de Ciências da França a criação de um sistema de medidas fundamentado em uma "constante natural". Isso culminou na criação do Sistema Métrico Decimal. Com o tempo, vários países, incluindo o Brasil em 1928, aderiram à "Convenção do Metro" e passaram a adotar esse sistema. Inicialmente, o Sistema Métrico Decimal consistia em três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.

No entanto, devido ao avanço da ciência e da tecnologia, as necessidades de medições mais precisas e diversificadas cresceram. Como resultado, em 1960, o Sistema Métrico Decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, também conhecido como Sistema Internacional de Medidas. O SI é mais complexo e sofisticado, e o Brasil o adotou em 1962, ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro, tornando seu uso obrigatório em todo o Território Nacional.

Hoje o SI tem sete unidades de base: o metro – m (comprimento), o quilograma – kg (massa), o segundo – s (tempo), o ampere - A (intensidade de corrente elétrica), o kelvin – k (temperatura termodinâmica), o mol (quantidade de substância) e a candela – cd (intensidade luminosa).

Fonte: Mundo Educação

Trata-se de um sistema prático, coerente e mundialmente aceito nas relações internacionais, no ensino e nas pesquisas científicas, que evolui continuamente para refletir as melhores práticas de medição. O SI é o sistema de unidades adotado por todos os países do mundo, com exceção da Birmânia, da Libéria e dos Estados Unidos.

Para o contexto da Topografia, nesta postagem, serão tratadas três espécies de medidas:

• Lineares: COMPRIMENTO
• Angulares: ÂNGULOS
• Superfície: ÁREAS

3. MEDIDAS LINEARES

No Brasil, a unidade fundamental para a medição de comprimento é o metro, o qual é uma das sete unidades fundamentais do Sistema Internacional de Unidades (SI).
A unidade de medida chamada "metro" foi definida como sendo a vigésima milionésima parte (1/20.000.000) do comprimento de um quarto do meridiano terrestre (Comastri, 1977).
Atualmente, o metro é definido como o comprimento que a luz percorre no vácuo durante um período de tempo igual a 1/299.792.458 de segundos, conforme estabelecido como a 17ª unidade base pelo Comitê Geral de Pesos e Medidas (CGPM) em 1983.

Nota: A “Conference Générale des Poids et Mesures’ (Conferência Geral de Pesos e Medidas ou CGPM) é uma das três organizações criadas para avaliar e gerir o sistema Internacional de Unidades (SI) nos termos da “Metre Convention” (1875). Reúne-se em Paris a cada quatro ou seis anos.”

A unidade primária de medida de comprimento é o metro; no entanto, em algumas situações, essa unidade pode se tornar impraticável. Por exemplo, quando a medição envolve uma extensão muito grande, o metro pode ser considerado muito pequeno para essa finalidade. Por outro lado, em medições que envolvem extensões muito pequenas, o metro pode ser considerado excessivamente grande. Para contornar esse problema, o sistema métrico utiliza múltiplos e submúltiplos do metro.

	Nomes	Símbolos	Valores
Múltiplos	Quilômetro	km	1000 m
	Hectômetro	hm	100 m
	Decâmetro	dam	10 m
Unidade	Metro	m	1 m
Submúltiplos	Decímetro	dm	0,1 m
	Centímetro	cm	0,01 m
	Milímetro	mm	0,001 m

Além das unidades de medidas oficiais apresentadas, cabe mostrarmos outras unidades mais antigas, a exemplo:

Polegada (Inglesa)	=		=	2,54 cm
Polegada (Portuguesa)	=		=	2,75 cm
Palmo	=	8 polegadas	=	22 cm
Pé	=	12 polegadas	=	33 cm
Vara	=	5 palmos	=	1,1 cm
Braça	=	2 varas	=	2,2 m
Légua de sesmaria ou brasileira	=	3000 braças	=	6600 m
Légua geométrica	=		=	6000 m
Milha brasileira	=	1000 braças	=	2200 m
Milha marítima	=	1' de arco de meridiano *	=	1852 m

* Neste caso o raio médio da Terra tem valor aproximado de 6.366.707,02 m.

Exemplo 001: Converta para metros os seguintes valores:

a) 15.000 mm
b) 120 dam
c) 0,01 km
d) 1283 cm
e) 17 hm
f) 120 dm
g) 1.550.055 mm
h) 3.871 cm
i) 210 dam
j) 201 dm

3.1 Tipos de medidas lineares

As medidas lineares podem ser de três tipos.

DH = Distância Horizontal
DV = Distância Vertical
DI = Distância Inclinada
3.1.1 Horizontais

Referem-se às distâncias medidas em paralelo a um plano horizontal de referência. Essas medidas são utilizadas em Levantamentos Topográficos Planimétricos.

3.1.2 Verticais

Representam as distâncias medidas perpendicularmente a um plano horizontal de referência. Essas medidas são empregadas para quantificar as diferenças de altitude entre elementos da superfície e são fundamentais em Levantamentos Topográficos Altimétricos ou Planialtimétricos.

3.1.3 Inclinadas

Refere-se à medida de distância entre dois pontos em planos que seguem a inclinação da superfície do terreno.

3.2 Equipamentos de medição linear

3.2.1 Trena

É possível realizar medições em todas as direções. O material do qual pode ser composta a haste de medição inclui opções como fibra de vidro, aço com correção de temperatura (recomendada) e ínvar, que é a opção ideal.

Fonte: MSMI, s.d.
3.2.2 Mira (regua graduada)

Instrumento auxiliar empregado para determinar distâncias horizontais e verticais com o auxílio de um teodolito.

3.2.3 Distanciômetro

É um dispositivo eletrônico que utiliza tecnologia a laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) ou infravermelho para medir distâncias entre o equipamento e uma superfície refletora, frequentemente utilizando um prisma como alvo de reflexão.

Fonte: AllComp, s.d.
3.2.4 Estação Total (teodolito + distanciômetro)

Da mesma forma que o distanciômetro, a Estação Total é um dispositivo eletrônico que usa tecnologia a laser ou infravermelho para medir distâncias entre o equipamento e uma superfície refletora, frequentemente um prisma. Além disso, a estação total também é capaz de medir ângulos.

Fonte: CPE, s.d.
4. MEDIDAS ANGULARES

Medidas angulares podem ser realizadas nos planos horizontal (o horizonte do instrumento) e vertical (o plano que contém a linha vertical do local). Dessa forma, temos os ângulos horizontais e verticais (Veras, 2012).
Quando se trata de medições angulares em um plano bidimensional, o Sistema Internacional (SI) define três unidades de medida: grau, grado e radiano (Silva; Segantine, 2015).
Os instrumentos topográficos para medição de ângulos frequentemente utilizam como unidade de medida o grau ou o grado.

4.1 Grau

A unidade de medida conhecida como grau é uma unidade sexagesimal na qual a circunferência é dividida em 360 partes iguais, sendo cada uma dessas partes equivalente a um ângulo de 1 grau (1°). Cada grau, por sua vez, é subdividido em 60 partes iguais, e cada uma dessas partes corresponde a um ângulo de 1 minuto (1'). Cada minuto é então subdividido em 60 partes iguais, com cada uma delas representando um ângulo de 1 segundo (1”) (Silva; Segantine, 2015).

O valor de 1 grau é igual ao ângulo central que intercepta, em uma circunferência, um arco cujo comprimento corresponde a 1/360 do comprimento total da circunferência.

Na unidade sexagesimal de graus, os graus, minutos e segundos são representados pelo símbolo de grau para os graus, um acento agudo para os minutos e aspas para os segundos. Esses símbolos são colocados na parte superior direita dos números correspondentes (Silva; Segantine, 2015). Dessa forma:

175°23′44"
Lê-se: 175 graus, 23 minutos e 44 segundos.
O grau também pode ser representado usando uma segunda notação, chamada de notação decimal. Nessa forma numérica, estamos mais familiarizados, e o grau pode ser expresso como um número não inteiro. Por exemplo, o valor 175,3955556° (como mencionado anteriormente) pode ser simplificado para um único número decimal.

É viável converter valores entre as notações de grau decimal e sexagesimal. A notação decimal pode ser facilmente obtida a partir da notação sexagesimal usando a seguinte fórmula:

grau+min/60+seg/3600
Exemplo 002: Converta para graus decimais, os seguintes ângulos em graus sexagesimais:

a) 75°15’25”
b) 23°37’42”
c) 36°61’12”
d) 90°45’22,5”
e) 47°17'18"
f) 143°53’59”
g) 180°59’61”
h) 235°28’36”
i) 301°00”58”
j) 359°59’59”

Assim como é possível realizar a transformação de graus sexagesimais em graus decimais, o caminho inverso é dado pela seguinte formulação:

Exemplo 003: Converta para graus sexagesimais, os seguinte ângulo em graus decimais: 75,789532158°

Grau = 75°
Minutos = (75,789532158 - 75) * 60 = 47,37192948 ⇒ somente a parte inteira ⇒ 47'
Segundos = (47,37192948 - 47) * 60 = 22,31576880"

R. 75°47'22,32"

Exemplo 004: Converta para graus sexagesimais, os seguintes ângulos em graus decimais:

a) 181,660833333
b) 72,460000000
c) 15,236944444
d) 100,000277778
e) 359,033055556
f) 2,666388889
g) 63,755000000
h) 54,528888889
i) 48,373611111
j) 276,153055556

4.1.1 Equipamentos de medição angular

4.1.1.1 Teodolito

Um dispositivo empregado para medir com precisão ângulos tanto horizontais quanto verticais é conhecido como teodolito. Embora os teodolitos atuais sejam todos eletrônicos, ainda é comum o uso de teodolitos óptico-mecânicos.

Fonte: AllComp.
4.1.1.2 Estação Total

Assim como o teodolito, a estação total é capaz de medir ângulos tanto horizontais quanto verticais. A principal distinção entre elas e os teodolitos é que as estações totais também são capazes de medir distâncias. Importante notar que todas as estações totais são dispositivos eletrônicos e têm a capacidade de armazenar automaticamente as informações coletadas.

4.2 Grado

O valor de 1 grado corresponde ao ângulo central que intercepta um arco em uma circunferência, com um comprimento igual a 1/400 do comprimento total da circunferência.

Nesse contexto, a circunferência é dividida em 400 partes iguais, conforme ilustrado na figura, onde cada uma dessas partes representa um ângulo de 1^g (um grado). Cada grado é subdividido em 100 partes iguais, com cada parte correspondendo a um ângulo de 1 centígrado ou 1 minuto centesimal. Além disso, cada centígrado ou minuto centesimal é subdividido em 100 partes iguais, onde cada uma delas equivale a um ângulo de 1 miligrado ou 1 segundo centesimal (Silva, Segantine, 2015).

Assim, 135,6342^g corresponde a 135 grados, 63 centígrados e 42 miligrados ou 63 minutos centesimais e 42 segundos centesimais.

4.3 Relação entre grau e grado

A relação entre a medida de um ângulo em graus (°) e a mesma medida em grados (^g) é determinada pela diferença entre as duas divisões, que são 360 e 400 partes (Veras, 2012). Portanto:

α°/α^g = 360/400 = 9/10 ⇒ α° = 9/10α^g
Exemplo 005: (Veras, 2012) Expressar no sistema sexagesimal o ângulo:

φ = 366^g25′36"
φ° = (9/10)*366,2536^g = 329°37'41,6"

Exemplo 006: Expressar no sistema sexagesimal o ângulo: φ = 283^g37′10"
Exemplo 007: (Veras, 2012) Expressar no sistema centesimal o ângulo: φ = 165°15'40"

φ^g = (10/9)*165,2611111° = 183,6234568^g = 183^g62'34,568"

Exemplo 008: Expressar no sistema centesimal o ângulo: φ = 195°45'41"

4.4 Radianos

O valor de 1 radiano corresponde ao ângulo central que intercepta um arco de comprimento igual ao raio, quando consideramos uma circunferência com raio de 1 metro. Em outras palavras, um radiano é o ângulo central que corresponde a um arco de comprimento igual ao raio da circunferência.

Conforme ilustrado na figura abaixo, uma circunferência completa equivale a um ângulo de 2π radianos (6,283185 radianos), e um radiano corresponde a um ângulo de 57 graus, 17 minutos e 44,81 segundos. O ângulo reto, por sua vez, equivale a π/2 radianos. Devido ao fato de que o radiano expressa a relação entre dois comprimentos, ele é considerado uma unidade adimensional (Silva, Segantine, 2015).

4.5 Relação entre grau e radianos

Levando em consideração que o comprimento de uma circunferência com raio "r" é igual a 2πr, podemos estabelecer a seguinte relação:

2π𝑟/(360°) = c/α ⟹ α = (c×360°)/2π𝑟
Quando c = r ⟹ 1 radiano

α = 1rad = (180°)/π = 57°17'44,806"
Exemplo 009: (Veras, 2012) Expressar no sistema sexagesimal o ângulo: φ = 1,25614875rad

φ°=(180°)/π × 1,25614875 = 71°58'19,28"

Exemplo 010: Expressar no sistema radianos o ângulo: φ=257°00'15"

φ_rad = π/(180°) × 257°00′15" = 4,4855689

5 MEDIDAS SUPERFICIAIS

A unidade padrão para a medição de superfície no Sistema Internacional (SI) é o metro quadrado (m²). No entanto, em determinadas situações, é necessário utilizar múltiplos e submúltiplos dessa unidade.

	Nomes	Símbolos	Valores
Múltiplos	Quilômetro Quadrado	km2	1 000 000 m2
	Hectômetro Quadrado	hm2	10 000 m2
	Decâmetro Quadrado	dam2	100 m2
Unidade	Metro Quadrado	m2	1 m2
Submúltiplos	Decímetro Quadrado	dm2	0,01 m2
	Centímetro Quadrado	cm2	0,001 m2
	Milímetro Quadrado	mm2	0,00001 m2

Nas medidas agrárias, é comum utilizar uma unidade denominada "are" (a). O are possui o hectare (ha) como seu múltiplo e o centiare (ca) como seu submúltiplo.

• 1 are (1 a) equivale a uma superfície de 10 m x 10 m = 100 m²
• 1 hectare (1 ha) equivale a uma superfície de 100 m x 100 m = 10.000 m²
• 1 centiare (1 ca) equivale a uma superfície de 1 m x 1m = 1 m²

Outras medidas usadas.

Fonte: Veras, 2012.

* Unidades muito usadas no Piauí nos processos de demarcação e divisão de Datas.

REFERÊNCIAS

CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
SILVA, I.; SEGANTINE, P. C. L. Topografia para engenharia: Teoria e prática de geomática. São Paulo: Ed. Elsevier, 2015.
VERAS, R. C. Notas de Aula. Teresina: UFPI, 2012.

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Topografia - Índice

REVISÃO

• Trigonometria
• Escalas
• Unidades de Medidas
• Sistemas de Referências e Sistemas de Coordenadas
• Orientação: Rumo e Azimute

PLANIMETRIA

• Topografia - Introdução
• Topografia - Introdução a Planimetria
• Topografia - Levantamento Planimétrico - Poligonação
• Topografia - Roteiro para o cálculo de uma poligonal fechada (Método Analítico)

ALTIMETRIA

PLANIALTIMETRIA

EXTRAS

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Topografia - Revisão Matemática (Trigonometria)

1. INTRODUÇÃO

A trigonometria teve sua origem na Grécia devido à investigação das relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo, possivelmente com a finalidade de solucionar questões relacionadas à navegação, agrimensura e astronomia.

Hoje iremos realizar uma breve revisão sobre:

• Triângulo Retângulo ⇒ Relações Métricas, Teorema de Pitágoras e Relações Trigonométricas.
• Triângulo qualquer ⇒ Lei dos cossenos e Lei dos senos.

2. TRIÂNGULO RETÂNGULO

É uma figura geométrica constituída por três lados, apresentando um ângulo reto com medida de 90°, juntamente com dois ângulos agudos cuja medida é inferior a 90°.

O triângulo ABC é retângulo em A (ângulo de 90°).

Triângulo Retângulo.

a: É denominada hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
b e c: São chamados de catetos (os lados que formam o ângulo reto). b é o cateto oposto ao ângulo 𝛃 ou cateto adjacente ao ângulo 𝛄, enquanto c é o cateto oposto ao ângulo 𝛄 ou cateto adjacente ao ângulo 𝛃.
𝛃 e 𝛄 são ângulos complementares, ou seja, a soma de 𝛃 e 𝛄 é igual a 90°.

2.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo

No contexto do triângulo ABC, é possível estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:

Relações Métricas no Triângulo Retângulo.

a = hipotenusa; b e c = catetos; h = altura relativa à hipotenusa; m e n = projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

a) O quadrado de um cateto é igual ao resultado da multiplicação entre a hipotenusa e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

b²= a * n
c² = a * m
b) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

h²= m * n
c) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.

b * c = a * h
2.2 Teorema de Pitágoras

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: b² + c² = a²

A partir da primeira relação métrica, é possível deduzir o Teorema de Pitágoras:

b²= a * n
c² = a * m

b² + c² = a * n + a * m
b² + c² = a * (m + n) Como (m + n) = a:

b² + c² = a * (a)
b² + c² = a²
2.3 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Sobre o lado AB do ângulo agudo α, marquemos arbitrariamente os pontos B, B₁, B₂, ... e tracemos por esses pontos perpendiculares ao lado AB que encontram o lado AC nos pontos C, C₁, C₂, ...

Tem-se, assim, os triângulos ABC, AB₁C₁, AB₂C₂, ... semelhantes entre si.

BC/AC = (B₁C₁)/(AC₁) =(B₂C₂)/(AC₂ )= ⋯ = k₁ ⇒ senα
AB/AC = (AB₁)/(AC₁)=(AB₂)/(AC₂) = ⋯ = k₂ ⇒ cosα
BC/AB = (B₁C₁)/(AB₁) = (B₂C₂)/(AB₂) = ⋯ = k₃ ⇒ tgα

Assim considerando o triângulo retângulo ABC:

OBS: β+γ ⇒ Complementares

• Para o ângulo β

AC/BC = b/a = (cateto oposto a β)/hipotenusa = senβ
AB/BC = c/a = (cateto adjacente a β)/hipotenusa = cosβ
AC/AB = b/c = (cateto oposto a β)/(cateto adjacente a β) = tgβ

• Para o ângulo γ

AB/BC = c/a = (cateto oposto a γ)/hipotenusa = senγ
AC/BC = b/a = (cateto adjacente a γ)/hipotenusa = cosγ
AB/AC = c/b = (cateto oposto a γ)/(cateto adjacente a γ) = tgγ
Analisando as 6 equações anteriores temos que: senβ=cosγ e cosβ=senγ
Isto equivale a dizer que o seno de b é igual ao cosseno do seu complementar, e o cosseno de b é igual ao seno do seu complementar, isto é: senβ=cos(90°−β) e cosβ=sen(90°−β)
Uma outra relação trigonométrica diz: tgβ = senβ/cosβ ⇒ tgβ = (b/a) / (c/a) = b/a × a/c = 𝐛/𝐜

3. TRIÂNGULO QUALQUER

Um triângulo qualquer (não retângulo) é um tipo de triângulo que não possui ângulo reto (90 graus). Todos os seus ângulos internos são agudos (menores que 90 graus). Este tipo de triângulo pode ter lados de comprimentos diferentes e é classificado com base nos comprimentos dos lados e nas medidas dos ângulos internos, incluindo triângulos escalenos (todos os lados diferentes) e triângulos isósceles (dois lados iguais). Triângulos não retângulos são comuns em geometria e trigonometria, onde suas propriedades são estudadas e aplicadas em diversas situações.

3.1 Lei dos senos

Num triângulo qualquer, a relação entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

O triângulo BCD é um triângulo retângulo em C, inscrito em uma semicircunferência. Além disso, os ângulos A e D são congruentes, o que significa que são ângulos inscritos que determinam o mesmo arco BC na circunferência.

Dessa forma, tem-se:

senD = a/2R
Como: D ≅ A, tem-se: senA = a/2R ⇒ a/senA = 2R

De forma análoga: b/senB = 2R e c/senC = 2R

Igualando as expressões temos a expressão geral da Lei dos Senos:

a/senA = b/senB = c/senC = 2R
3.2 Lei dos cossenos

Num triângulo qualquer, o quadrado do comprimento de um lado é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados, diminuída do produto duplo desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.

No triângulo CHB:

a² = b² + (c−m)²
a² = h² + c² − 2cm + m²
a² = h² + m² + c² − 2cm
No triângulo CHA:

b² = h² + m²
Substituindo a segunda igualdade na primeira, vem:

a² = b² + c² − 2cm            (1)
No triângulo CHA:

cosA = m/b
m = b * cosA            (2)
Substituindo (2) em (1):

a² = b² + c² − 2bc cosA
Analogamente:

b² = a² + c² − 2ac cosB
c² = a² + b² − 2ab cosC
4 EXERCÍCIOS

001: Um observador realiza a medição angular com teodolito a partir do ponto P para as extremidades de uma ponte e de uma arvore de mesmo alinhamento com a ponte de distância 30m, conforme a figura. Determine o comprimento da ponte.

R.: Ponte = 7,981 m.

002: Para determinar o lado de uma estrada, mediu-se a partir de seu comprimento conhecido igual a 30 metros os ângulos A e B. Determinar a largura de x.

R.: x = 54,172 m.

003. (VÉRAS, 2012). Para determinar a largura de um rio, um profissional mediu, a partir de uma base (AB) de 30,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule o valor de h.

R.: h = 36,04 m.

REFERÊNCIAS

DOLCE, O. e POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. Volume 9. 9ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2013.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D. & PERIGO, R. Matemática. Volume Único. São Paulo: Editora Atual, 2002. 660p.
VERAS, R. C. Notas de Aula. Teresina: UFPI, 2012.
ZAGO, G. J.; SCIANI, W. A. Trigonometria. 2 ed. São Paulo: Érica, 1997.

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