Ajustamento de Observações Geodésicas: Interpretação Geométrica do Ajustamento.

Além da formulação algébrica e matricial, o Método dos Mínimos Quadrados possui uma interpretação geométrica clara e muito útil para compreender o comportamento do ajustamento. Nessa interpretação, o problema do ajustamento é visto como uma projeção de vetores em espaços vetoriais. Essa visão ajuda a entender por que os resíduos são ortogonais ao modelo e por que o método produz a solução de menor erro possível.

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Aula 024 – Interpretação Geométrica do Ajustamento

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Objetivos

1. Compreender a interpretação geométrica do ajustamento.
2. Entender o conceito de espaço das observações.
3. Interpretar o espaço gerado pela matriz de projeto.
4. Relacionar resíduos à ortogonalidade geométrica.
5. Compreender a solução do MMQ como uma projeção.

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1. Espaço das observações

Considere o vetor de observações:

Esse vetor pertence ao espaço vetorial:

Cada conjunto possível de observações pode ser representado como um ponto nesse espaço.

2. Espaço gerado pela matriz A

A matriz de projeto:

possui u colunas.

Essas colunas geram um subespaço chamado: espaço coluna de A.

Qualquer vetor da forma:

pertence a esse subespaço.

Esse espaço contém todos os vetores que podem ser representados pelo modelo matemático.

3. Problema fundamental do ajustamento

Em geral, devido aos erros de observação:

Ou seja, o vetor de observações não pertence ao espaço gerado pelo modelo.

Logo, não existe solução exata para:

4. Solução do MMQ

O Método dos Mínimos Quadrados procura o vetor:

que esteja no espaço coluna de A e seja o mais próximo possível de L.

Geometricamente, isso corresponde a projetar L sobre o subespaço S(A).

5. Vetor de resíduos

O vetor de resíduos é:

Esse vetor liga o ponto observado ao ponto ajustado.

A condição de mínimo implica:

No caso de pesos unitários:

Isso significa que o vetor de resíduos é ortogonal ao espaço gerado por A.

6. Interpretação geométrica

Temos três vetores principais:

• L → vetor observado
• L^ → vetor ajustado
• v → vetor de resíduos

Relação:

ou

Geometricamente:

• L está fora do subespaço
• L^ é a projeção de L
• v é perpendicular ao subespaço

7. Exemplo Resolvido

Considere o modelo:

Observações:

x	y
1	2
2	2,9
3	4,1

Matriz do modelo:

Vetor de observações:

A solução do MMQ fornece os parâmetros a e b que definem a reta que melhor se ajusta aos pontos observados. Geometricamente, o vetor L é projetado no subespaço gerado pelas colunas de A.

8. Exercício Proposto

Considere os pontos:

x	y
1	3
2	5
3	7

a) Escreva a matriz A.

b) Identifique o vetor de observações L.

c) Explique qual subespaço é gerado pelas colunas de A.

8.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

9. Conclusão

A interpretação geométrica do ajustamento mostra que o Método dos Mínimos Quadrados corresponde à projeção ortogonal do vetor de observações sobre o subespaço definido pelo modelo. Essa visão permite compreender de forma intuitiva a minimização dos resíduos e a estrutura das equações normais.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Interpretação Geométrica do Método dos Mínimos Quadrados.

O Método dos Mínimos Quadrados não é apenas um procedimento algébrico, mas também possui uma interpretação geométrica clara. Essa interpretação ajuda a compreender por que o método produz a melhor solução possível para sistemas redundantes. Nesta aula, o ajustamento é analisado como um problema de projeção em espaços vetoriais, fornecendo uma visão mais profunda do comportamento dos resíduos e das equações normais.

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Interpretação Geométrica do Método dos Mínimos Quadrados

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Objetivos

1. Compreender a interpretação geométrica do MMQ.
2. Entender o conceito de espaço das observações.
3. Interpretar a solução como uma projeção.
4. Compreender a ortogonalidade dos resíduos.
5. Relacionar a interpretação geométrica às equações normais.

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1. Espaço das observações

Considere o modelo matricial:

Ou:

O vetor L pertence ao espaço ℝⁿ, chamado de espaço das observações.

As colunas da matriz A formam um subespaço desse espaço, chamado de:

Ou espaço coluna de A.

Esse subespaço contém todos os vetores que podem ser representados como:

2. O problema geométrico

Devido aos erros de observação, em geral:

Ou seja, não existe um vetor x que satisfaça exatamente:

O objetivo do MMQ é encontrar o vetor:

Que esteja no subespaço S(A) e seja o mais próximo possível de L.

3. Projeção ortogonal

A solução do MMQ corresponde à projeção ortogonal do vetor L sobre o subespaço coluna de A.

Geometricamente:

• L = vetor observado
• Ax̂ = vetor ajustado
• v = Ax̂ - L = vetor de resíduos

O vetor de resíduos é perpendicular ao subespaço:

No caso de pesos unitários:

Essa é exatamente a condição das equações normais.

4. Interpretação da minimização

Minimizar:

Significa minimizar o comprimento (ponderado) do vetor de resíduos.

Assim, o MMQ encontra o ponto do subespaço que está à menor distância de L.

5. Caso simples (pesos unitários)

Se P = I, a projeção é euclidiana:

A matriz:

é chamada de matriz de projeção.

Ela transforma o vetor observado no vetor ajustado.

6. Exemplo Resolvido

Observações:

Modelo:

O subespaço gerado por A é a reta onde todos os valores são iguais.

A projeção de L nesse subespaço é:

Resíduos:

Observa-se que:

ou seja, os resíduos são ortogonais ao vetor coluna de A.

7. Exercício Proposto

Observações:

Sabendo que o modelo é:

Determine:

a) o vetor ajustado (\hat{L})

b) o vetor de resíduos

7.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão

A interpretação geométrica do MMQ mostra que o ajustamento corresponde à projeção ortogonal das observações sobre o espaço gerado pelo modelo. Essa visão explica a minimização dos resíduos e a condição de ortogonalidade expressa pelas equações normais.

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