abril 2019 ~ Deniezio Gomes

ENTENDENDO A SIMETRIA DE PONTOS EM GEOMETRIA DESCRITIVA

Alguns alunos estão com muitas dúvidas em relação a Simetria de Pontos, mais precisamente a uma questão específica que fala sobre a Simetria em relação ao Plano Bissetor Ímpar. Por isso, resolvi dar essa explicação detalhada.

Iremos iniciar com a definição de simetria. No dicionário encontramos:

Simetria: Substantivo feminino

1. conformidade, em medida, forma e posição relativa, entre as partes dispostas em cada lado de uma linha divisória, um plano médio, um centro ou um eixo.
2. POR EXTENSÃO: semelhança entre duas ou mais situações ou fenômenos; correspondência.

Uma outra definição diz que a simetria é “aquilo que pode ser dividido em partes, sendo que ambas as partes devem coincidir perfeitamente quando sobrepostas” (SIGNIFICADOS, s.d).

Sabendo desses informes acima, vamos então para a questão do vídeo sobre simetria de pontos, no trecho que fala da simetria em relação ao Plano Bissetor Ímpar.

Nota: Não se tem a necessidade desse desenvolvimento para solucionar esta questão, pois, a simetria entre dois pontos é definida pela perpendicular ao eixo, que passe pelos dois pontos estudados, e sobre essa perpendicular mensuramos a distância do primeiro ponto ao eixo e do segundo ponto ao eixo, se as distâncias forem iguais, os pontos são simétricos em relação ao eixo.

A questão: Seja (A) e (B) dois pontos simétricos ao plano BISSETOR ÍMPAR (βi), e as coordenadas de (A) sejam A{1; 3; -2}, quais as coordenadas do ponto (B)?

Sabemos que, quando dois pontos são simétricos em relação ao BISSETOR ÍMPAR temos que:

- A ABSCISSA do primeiro ponto é igual a ABSCISSA do segundo ponto;
- O AFASTAMENTO do primeiro ponto é igual a COTA do segundo ponto; e
- A COTA do primeiro ponto é igual ao AFASTAMENTO do segundo ponto.

Fazendo agora o ponto (A) como primeiro ponto e (B) sendo o segundo ponto, temos:

ABSC(A) = ABSC(B);
AFAST(A) = COTA(B); e
COTA(A) = AFAST(B).

Substituindo os valores que temos:

ABSC(A) = 1 = ABSC(B);
AFAST(A) = 3 = COTA(B); e
COTA(A) = -2 = AFAST(B).

Assim:

(A){1; 3; -2}
(B){1; -2; 3}

Ok?...

A dúvida que vocês estão tendo é: Deniezio, mas, o ponto (A) está no 4º diedro e o ponto (B) está no 2º diedro, como podem ser simétricos em relação ao (βi)? ... Não tem nada a ver se um ponto está no primeiro, segundo, terceiro ou quarto diedro, pois a simetria é em relação ao Plano Bissetor ímpar (βi) e o que importa é a posição desses pontos em relação ao eixo de simetria que no caso é o Plano Bissetor Ímpar (βi).

Agora vamos enxergar isso no espaço euclidiano.

Vejam nessa figura que: fizemos um corte lateral da vista espacial dos planos de projeções e do plano bissetor ímpar.

Blz?...

Na imagem acima, vocês já percebem a simetria, em relação ao PLANO BISSETOR ÍMPAR (βi)?...

Sim ou não, vamos melhorar a visualização.

Iremos inserir dois pontos auxiliares sobre o PLANO BISSETOR ÍMPAR que estejam a mesma distância do ponto de concurso deste plano com a LINHA DE TERRA (Ou seja, contidos no PLANO BISSETOR ÍMPAR e SIMÉTRICOS em relação a LINHA DE TERRA). OBS: Esses pontos auxiliares poderiam ser colocados em qualquer posição, desde que pertencentes ao plano bissetor ímpar que é o eixo de simetria da questão.

Pronto.

Agora iremos ligar os pontos auxiliares (P₁) e (P₂) aos pontos (A) e (B):

Percebam, a simetria agora está mais que visível, lembrando que a simetria pedida na questão é em relação ao BISSETOR ÍMPAR, não é mesmo...

Vejam que o triângulo formado por (P₁), (A) e (P₂) é o perfeitamente "espelhado" do outro lado do BISSETOR ÍMPAR, com o triângulo formado por (P₁), (B) e (P₂)...

Mas, mesmo assim, vamos melhorar essa visualização:

Agora a visualização da simetria está no seu ápice, percebam que os triângulos (verde e amarelo) são iguais, só estão "espelhados" em relação ao eixo que é o PLANO BISSETOR ÍMPAR (βi).

Para encerrar, vamos pegar a definição de simetria que diz: A simetria é definida como tudo “AQUILO QUE PODE SER DIVIDIDO EM PARTES, SENDO QUE AMBAS AS PARTES DEVEM COINCIDIR PERFEITAMENTE QUANDO SOBREPOSTAS”: