O Sistema Global de Navegação por Satélites (GNSS) revolucionou a Geodésia ao permitir a determinação de coordenadas tridimensionais com elevada precisão. Entretanto, as coordenadas obtidas em uma campanha de levantamento estão sujeitas a diversas fontes de erro, como órbitas dos satélites, propagação atmosférica, multicaminhamento e ruído instrumental. Além disso, em uma rede GNSS, um mesmo ponto normalmente participa de diversas linhas de base (baselines), gerando observações redundantes. O Método dos Mínimos Quadrados é utilizado para ajustar simultaneamente todas essas observações, produzindo coordenadas tridimensionais consistentes para toda a rede.
Nesta aula será apresentada a formulação do ajustamento de uma rede GNSS simples utilizando o método paramétrico.
Aula 033 – Ajustamento de Redes GNSS (Coordenadas 3D)
Objetivos
- Compreender a estrutura de uma rede GNSS.
- Identificar as incógnitas em um ajustamento tridimensional.
- Formular o modelo funcional paramétrico.
- Construir a matriz (A).
- Aplicar o MMQ em uma rede GNSS simples.
1. Estrutura de uma rede GNSS
Considere uma pequena rede composta por três pontos.
Em que:
- ponto A: coordenadas conhecidas
- pontos B e C: coordenadas desconhecidas.
As linhas representam vetores GNSS (baselines).
2. Dados do problema
Coordenadas conhecidas:
As observações GNSS forneceram os seguintes vetores:
Vetor A → B
Vetor A → C
Vetor B → C
3. Coordenadas preliminares
Ponto B
Ponto C
4. Verificação da redundância
A partir das coordenadas preliminares:
Componente X
Observado: 79,900 m.
Discrepância: 0,040 m.
Componente Y
Observado: 80,030 m.
Discrepância: 0,030 m.
Componente Z
Observado: 4,170 m.
Discrepância: 0,010 m
Existe, portanto, redundância na rede.
5. Modelo funcional
Para cada componente do vetor GNSS:
Vetor A → B
Vetor A → C
Vetor B → C
6. Vetor das incógnitas
Como o ponto A é conhecido:
7. Construção da matriz (A)
A ordem das incógnitas é:
Cada observação gera uma linha da matriz.
A → B
[0 1 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0]
A → C
[0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 1]
B → C
[0 -1 0 0 1 0]
[0 0 -1 0 0 1]
Matriz completa
8. Vetor (l)
Reorganizando as equações para a forma:
Obtém-se:
9. Redundância da rede
Número de observações: n = 9
Número de incógnitas: u = 6
Graus de liberdade: r = n - u = 9 - 6 = 3
Como n > u a rede é redundante e pode ser ajustada pelo Método dos Mínimos Quadrados.
10. Equações normais
Assumindo pesos iguais:
Obtém-se:
Ou
A solução desse sistema fornece as coordenadas tridimensionais ajustadas dos pontos (B) e (C).
Observação importante: Em levantamentos GNSS reais, a matriz de pesos (P) raramente é a identidade. Normalmente ela é construída a partir da matriz variância-covariância fornecida pelo software de processamento das linhas de base, refletindo a precisão distinta de cada componente X, Y e Z.
11. Exemplo Resolvido
Após o ajustamento, obtêm-se aproximadamente:
Os resíduos distribuídos pelo MMQ tornam as coordenadas compatíveis com todas as linhas de base observadas.
12. Exercício Proposto
Considere uma rede composta por um ponto conhecido (A) e dois pontos desconhecidos (B) e (C).
As observações são:
Vetor A → B
Vetor A → C
Vetor B → C
Determine:
- a) o vetor das incógnitas.
b) a matriz (A).
c) o número de graus de liberdade da rede.
12.1 Resposta final esperada
13. Conclusão
O ajustamento de redes GNSS é uma extensão natural do método paramétrico para problemas tridimensionais. As observações são representadas por vetores entre pontos, e as coordenadas tridimensionais constituem as incógnitas do sistema. A redundância das linhas de base permite detectar inconsistências e distribuir os erros de forma estatisticamente consistente, produzindo coordenadas finais mais confiáveis e adequadas às aplicações geodésicas.
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