Geodésia: Definição, Aplicações, Métodos e Redes Geodésicas

Desde as civilizações antigas, o ser humano tem se interessado pela forma da Terra. Nos poemas de Homero, a Terra era descrita como um grande disco flutuando sobre o oceano. Filósofos como Pitágoras, Tales e Aristóteles rejeitaram a ideia de uma Terra plana e defenderam sua esfericidade. Aristóteles, no século IV a.C., forneceu argumentos para a forma esférica da Terra, como o contorno circular da sombra terrestre durante eclipses e a variação do céu estrelado com a latitude. Eratóstenes, por sua vez, foi o primeiro a calcular as dimensões da Terra com base na observação do Sol em diferentes locais. Cerca de 150 anos depois, Posidônio utilizou um método semelhante, mas com a estrela Canopus, para determinar a circunferência da Terra.

A compreensão da forma da Terra evoluiu com o tempo. Ptolomeu desenvolveu o sistema geocêntrico, que predominou por séculos até ser refutado por Copérnico, que propôs que a Terra se movia ao redor do Sol. No século XVII, Picard utilizou uma luneta com retículos para medir o arco do meridiano e calcular o raio da Terra, cujas medições foram usadas por Newton em sua teoria da gravitação universal. Newton também sugeriu que a Terra era achatada nos polos, ideia confirmada por medições pendulares.

No século XVIII, expedições organizadas pela Academia de Ciências de Paris mediram arcos de meridiano em diferentes latitudes para resolver a controvérsia sobre a forma da Terra, concluindo que ela é um elipsoide achatado nos polos. Com o avanço das medições geodésicas, foram calculados parâmetros para o elipsoide de revolução ideal. A Geodésia do século XIX concentrou-se na pesquisa de parâmetros do melhor elipsoide.

Em uma abordagem inicial, as irregularidades da superfície da Terra podem ser desconsideradas, simplificando o problema para a determinação das dimensões do modelo geométrico mais apropriado. Devido a essas irregularidades, utilizam-se modelos ou superfícies de referência que são mais simples e regulares, com características geométricas bem definidas, que permitem a realização de ajustes e servem de base para cálculos e representações.

As superfícies de referência utilizadas nos levantamentos são o plano topográfico, o elipsoide de revolução, a esfera e o geoide.

Como já mencionado, o homem procura conhecer melhor o planeta em que vive. Este conhecimento traduz-se na definição da forma do planeta Terra, suas dimensões, comportamento dinâmico etc. Estas informações servem de apoio às atividades de mapeamento cartográfico para representação da Terra, as quais utilizam medições efetuadas na superfície terrestre, para posterior obtenção das coordenadas de pontos de interesse.

Do ponto de vista geodésico, a coleta dos dados de campo, as medições, o processamento dos dados para obtenção das coordenadas dos pontos de apoio, devem ser feitas com alta precisão. Desta forma, no desenvolvimento das atividades geodésicas, é preciso estabelecer um sistema geodésico de referência para o posicionamento a nível nacional.

Com a evolução científica tecnológica vivenciada nas últimas décadas, algumas ciências tiveram de se adequar a esta nova realidade, entre elas a Geodésia. De acordo com a definição clássica de Friedrich Robert Helmert (1880), a Geodésia é a ciência responsável pela medição e mapeamento da superfície da Terra. Esta superfície é influenciada pelo campo gravitacional terrestre, ao qual a maioria das observações geodésicas está relacionada. Portanto, a definição de Geodésia inclui também a determinação do campo gravitacional da Terra.

Mais recentemente, o escopo da Geodésia expandiu-se para incluir aplicações não só na Terra, mas também no oceano e no espaço. Em colaboração com outras ciências, a Geodésia agora abrange a determinação do fundo oceânico e o estudo da superfície e do campo gravitacional de outros corpos celestes, como a Lua (Geodésia lunar) e planetas (Geodésia planetária). Além disso, na definição clássica, deve-se considerar as “variações temporais da superfície da Terra e seu campo gravitacional”.

Para alcançar seus objetivos, a Geodésia emprega diferentes tipos de operações, o que leva à sua divisão em: Geodésia Geométrica, Geodésia Física e Geodésia Espacial. A Geodésia Geométrica realiza operações geométricas na superfície terrestre, como medições de ângulos e distâncias, muitas vezes combinadas com determinações astronômicas. A Geodésia Física foca em medições gravimétricas que proporcionam um conhecimento detalhado do campo gravitacional. Por sua vez, a Geodésia Espacial utiliza técnicas de posicionamento espacial, como o uso de satélites artificiais (Gemael, 1987, Hofmann-Wellenhof; Moritz, 2006).

Com base nesses conceitos, o problema fundamental da Geodésia pode ser definido como: “determinar a forma e o campo gravitacional externo da Terra e de outros corpos celestes ao longo do tempo, a partir de observações realizadas tanto sobre suas superfícies quanto em seus arredores”.

A Geodésia possui uma ampla gama de aplicações que se estendem por diversos campos. Segundo Peter Vanicëk (1982), a Geodésia tem sua aplicação em Produção de Mapas: Na distribuição e implantação de pontos de controle, tanto horizontais como verticais, na superfície terrestre, estabelecendo uma rede de vértices geodésicos georeferenciados que servirão de apoio para as atividades de mapeamento cartográfico;Planejamento urbano: A necessidade de georeferenciamento de pontos de controle geodésico, a serem utilizados na identificação e localização de vias urbanas, logradouros públicos, etc, fomentando o desenvolvimento urbano; Projetos de Obras Engenharia: Grandes estruturas, tais como barragens, pontes e grandes edifícios necessitam dispor de plantas para uma perfeita localização predeterminada. No caso de barragens e irrigações, a forma da superfície equipotencial deve ser conhecida. A determinação do movimento e a forma da superfície equipotencial são função da Geodésia; Ecologia: o estudo do efeito da ação do homem no meio ambiente. Atividades tais como movimento de terra, água subterrânea, extração de petróleo, possuem os efeitos monitorados mediante a Geodésia; Gestão de Recursos Naturais e Meio Ambiente: A Geodésia auxilia na gestão de recursos naturais ao fornecer dados para o monitoramento e mapeamento de recursos como água, florestas e minerais. Também é utilizada na modelagem de bacias hidrográficas e no planejamento de uso do solo, contribuindo para a conservação ambiental.

Outras aplicações: Monitoramento de Movimentos da Crosta Terrestre: A Geodésia é utilizada para monitorar movimentos tectônicos e deformações da crosta terrestre. Técnicas como o GNSS (Global Navigation Satellite System) e a interferometria de radar são empregadas para detectar e medir pequenas deformações que ocorrem devido a processos geofísicos, como terremotos e subsidência (Silva; Segantine, 2015); Navegação e Transporte: A Geodésia é fundamental para sistemas de navegação global, como o GPS, que dependem de coordenadas precisas para a orientação de aeronaves, embarcações e veículos terrestres, garantindo operações seguras e eficientes (Teunissen; Montenbruck, 2017); Como também: demarcação de limites territoriais, cadastro imobiliários e fundiários, mapeamentos para a produção da Cartografia Temática etc.

Os métodos de levantamento geodésicos são fundamentais para a determinação precisa das coordenadas e altitudes de pontos na superfície terrestre, desempenhando um papel crucial em diversas aplicações, como a cartografia, a construção civil e o monitoramento ambiental. Os principais métodos utilizados na geodésia incluem a triangulação, trilateração, nivelamento, e o posicionamento por satélite (GNSS). Cada um desses métodos possui características próprias e é aplicado conforme as necessidades específicas de precisão e as condições do terreno.

A triangulação é um método clássico de levantamento geodésico que envolve a medição de ângulos a partir de pontos de controle conhecidos, formando uma rede de triângulos conectados. Cada ponto na rede é determinado com base em ângulos medidos a partir de dois ou mais pontos previamente estabelecidos. Este método é amplamente utilizado em levantamentos topográficos de grandes áreas e em terrenos acidentados, onde a medição direta de distâncias é difícil (Bomford, 1980).

A trilateração, por outro lado, baseia-se na medição de distâncias entre pontos de controle, utilizando instrumentos como distanciômetros eletrônicos. Esse método é particularmente útil em áreas onde é possível medir distâncias com alta precisão, mas onde a medição de ângulos pode ser menos confiável (Seeger, 2008).

O nivelamento geométrico é um método de levantamento que permite determinar a diferença de altura entre pontos utilizando níveis ópticos e miras. Esse método é especialmente útil na construção civil e no mapeamento de terrenos, onde a precisão das elevações é crucial. As medições são realizadas ao longo de linhas retas, com o nível posicionado entre dois pontos sucessivos, garantindo a precisão das altitudes determinadas (Molodesnky et al., 1962).

O nivelamento trigonométrico, por sua vez, é utilizado em terrenos mais acidentados, onde a medição direta de alturas seria impraticável. Este método utiliza ângulos verticais e distâncias horizontais para calcular a diferença de altura entre dois pontos. A precisão do nivelamento trigonométrico depende da qualidade dos instrumentos e da exatidão das medições angulares (Ghilani, 2017).

O desenvolvimento do GNSS, que inclui sistemas como GPS, GLONASS, Galileo e BeiDou, revolucionou os métodos de levantamento geodésico. O GNSS permite a determinação de coordenadas tridimensionais com alta precisão em qualquer ponto da superfície terrestre. O sistema utiliza sinais transmitidos por satélites, que são captados por receptores GNSS em terra, possibilitando o cálculo das coordenadas com base na trilateração espacial (Hofmann-Wellenhof; Moritz, 2006).

O GNSS oferece dois principais métodos de posicionamento: o posicionamento absoluto e o posicionamento relativo. No posicionamento absoluto, um único receptor é utilizado para determinar sua posição em relação aos satélites. No posicionamento relativo, dois ou mais receptores são utilizados simultaneamente, comparando as medições feitas por ambos para aumentar a precisão das coordenadas calculadas (Monico, 2008).

Sempre que é necessário realizar o levantamento de uma grande área da superfície terrestre, é recomendável estabelecer uma rede de pontos de controle, chamados de marcos geodésicos. Esses pontos de controle, que podem ser construídos especificamente para este fim ou definidos a partir de estruturas já existentes, têm suas posições determinadas em relação a um sistema de referência adotado. Uma vez conhecidas suas coordenadas, esses pontos podem ser utilizados em diversos contextos, como em estudos geofísicos, monitoramento de satélites artificiais, demarcação de fronteiras nacionais e internacionais,confecção de mapas, exploração de recursos naturais, e monitoramento de estruturas. Além disso, esses pontos devem atender às exigências de pesquisas científicas e da engenharia geodésica.

Uma rede geodésica pode ser entendida como um objeto geométrico, onde seus pontos são definidos exclusivamente por suas coordenadas, as quais não são observáveis diretamente, mas sim obtidas através de medições realizadas entre os pontos da rede. Um melhor entendimento para uma rede geodésica é: um conjunto de pontos cuja localização precisa na superfície terrestre é conhecida em um sistema de coordenadas específico, geralmente global, como o Sistema Geodésico Mundial (WGS84). Esses pontos são estabelecidos através de métodos de levantamento geodésico, como medições GNSS, trilateração e nivelamento, e são usados para apoiar uma ampla gama de atividades de posicionamento, navegação, mapeamento e monitoramento de movimentos da crosta terrestre.

De acordo com Segantine (1995) e Santos (1998), as redes geodésicas clássicas são classificadas em quatro ordens: a rede de primeira ordem consiste em polígonos com lados de grande extensão, variando de 20 a 50 km ou mais; a rede de segunda ordem possui lados com comprimentos entre 10 e 20 km; a rede de terceira ordem apresenta lados entre 5 e 10 km; e a rede de quarta ordem tem lados que medem entre 1 e 3 km. Leick (2004) enfatiza que uma rede geodésica bem estabelecida é fundamental para manter a integridade dos dados de posicionamento e para apoiar uma ampla gama de aplicações científicas e comerciais.

Tradicionalmente, o conjunto de coordenadas utilizado para descrever as posições dos pontos na superfície terrestre é dividido em componentes horizontais e verticais, resultando em redes geodésicas horizontais e verticais.

De acordo com Krakiwski et al. (1986), redes geodésicas horizontais são compostas por pontos cujas coordenadas são determinadas em relação a um sistema de referência específico. As altitudes ortométricas dos pontos de controle dentro de uma rede geodésica horizontal são calculadas de maneira aproximada. O sistema de referência utilizado para o estabelecimento dessas redes horizontais é baseado em um elipsoide de rotação, cuja forma e tamanho são tradicionalmente definidos pelos comprimentos do semieixo maior e do semieixo menor. As redes horizontais são, portanto, fundamentadas na superfície desse elipsoide de referência.

As redes geodésicas verticais são compostas por pontos definidos apenas por uma coordenada de altitude, que representa a altura em relação ao nível do mar, ou, de maneira mais precisa, em relação ao geoide. Essas redes são também conhecidas como redes de alturas geodésicas, e algumas vezes são chamadas de "redes verticais".

Mesmo as redes de pontos verticais necessitam de alguns pontos com coordenadas horizontais associadas. A principal diferença entre redes verticais e horizontais é que, nas redes verticais, o posicionamento horizontal é conhecido, mas com menor precisão, enquanto, nas redes horizontais, a altitude é determinada de forma aproximada.

Países como Estados Unidos da América, Canadá, Alemanha, Austrália, Suíça, Áustria e outros países europeus possuem redes geodésicas horizontais e verticais. No Brasil dispomos de uma Rede Geodésica denominada de “Sistema Geodésico Brasileiro” com informações planimétricas, altimétricas e gravimétricas do território nacional.

O surgimento da tecnologia GNSS transformou profundamente o conceito de redes geodésicas. Atualmente, os posicionamentos geodésicos realizados com GNSS podem alcançar precisões de 1 a 2 ppm com relativa facilidade, desde que realizados por empresas equipadas com receptores que observam a fase da portadora (IBGE, 1994). Atualmente, discute-se a criação de "super-redes" de alta precisão utilizando tecnologias como VLBI, LLR, SLR e GNSS.

As redes geodésicas podem ser classificadas em globais, nacionais e locais, dependendo da extensão geográfica e do nível de precisão requerido. As redes globais, como a ITRF (International Terrestrial Reference Frame), fornecem um quadro de referência global para posicionamento e navegação, enquanto as redes nacionais e locais são usadas para projetos regionais e específicos.

A Rede GNSS Internacional (IGS) foi proposta pela NASA em 1989, a implantação do IGS foi formalizada em 1º de fevereiro de 1991. O IGS é uma rede internacional composta por cerca de duzentas estações que operam continuamente com receptores de dupla frequência. Além dessas estações, a rede inclui doze Centros Regionais de Análise de Dados, três Centros Globais de Dados, sete Centros de Análise e uma agência central localizada no Jet Propulsion Laboratory (JPL, 1991).

O IGS coleta dados de observação GNSS que são utilizados para gerar produtos como efemérides precisas, parâmetros de rotação da Terra, coordenadas e velocidades das estações IGS, e informações sobre os relógios das estações. A precisão desses produtos apoia diversas atividades, incluindo o monitoramento de deformações da crosta terrestre, a determinação das órbitas de satélites e o acompanhamento da ionosfera.

A Rede Continental Sul-Americana. O projeto de implantação do Sistema de Referência Geocêntrico para a América do Sul (SIRGAS) foi iniciado durante a Conferência Internacional para a definição de um Datum Geocêntrico para a América do Sul, realizada em 1993, em Assunção, Paraguai. Durante a conferência, foram estabelecidas definições específicas para o sistema de referência e o datum geocêntrico do continente.Sua definição é idêntica à do Sistema de Referência Terrestre Internacional (ITRS: International Terrestrial Reference System) e sua realização é uma densificação regional da realização do ITRS (ITRF) na América (IBGE, s.d). O datum geocêntrico foi definido com base nos eixos coordenados do sistema de referência SIRGAS e nos parâmetros do elipsoide do "Geodetic Reference System (GRS) de 1980".
< br /> A Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo dos Sistemas GNSS (RBMC) é uma iniciativa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) criada em 1996, que tem como objetivo fornecer dados precisos e em tempo real para diversas aplicações geodésicas e de navegação no Brasil. A RBMC é composta por uma rede de estações de rastreamento GNSS distribuídas estrategicamente pelo território brasileiro, operando continuamente e capturando sinais de satélites como GPS, GLONASS, Galileo e BeiDou. Esses dados são transmitidos para centros de processamento e disponibilizados ao público, apoiando uma ampla gama de atividades que exigem dados geoespaciais precisos (IBGE, 2024).

As estações da RBMC são equipadas com receptores GNSS de alta precisão, operando em dupla frequência, o que garante uma coleta de dados robusta e precisa. Elas eliminam a necessidade de manter um receptor em um ponto fixo de coordenadas conhecidas, facilitando o trabalho em áreas de difícil acesso. As informações coletadas pelas estações da RBMC são integradas ao SIRGAS, garantindo uma precisão de aproximadamente ± 5 mm, e são usadas para diversas finalidades, como o monitoramento de deformações da crosta terrestre, a determinação de órbitas de satélites e a densificação da rede do IGS, contribuindo significativamente para a precisão dos produtos geoespaciais no Brasil.

A geodésia é uma ciência fundamental para uma ampla gama de aplicações que vão desde a cartografia e navegação até o monitoramento de fenômenos naturais e a construção de grandes obras de engenharia. Os avanços tecnológicos, especialmente no campo do GNSS, ampliaram as possibilidades da geodésia, permitindo medições mais precisas e eficientes. Redes geodésicas, tanto nacionais quanto internacionais, desempenham um papel crucial na integração e padronização dos dados geoespaciais, assegurando a precisão e a consistência necessárias para o desenvolvimento de aplicações críticas em todo o mundo.

Referências

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Ajustamento de Observações Geodésicas pelo Método dos Mínimos Quadrados

O ajustamento de observações geodésicas pelo método dos mínimos quadrados (MMQ) é uma técnica matemática essencial na geodésia, utilizada para processar dados de medições e estimar as melhores aproximações dos parâmetros desconhecidos em levantamentos geodésicos. A geodésia, que é a ciência dedicada ao estudo da forma e do campo gravitacional da Terra, além de suas variações temporais, exige uma precisão extrema nas medições e no ajustamento dos dados. O método dos mínimos quadrados surge como uma ferramenta ideal para minimizar os erros inerentes a qualquer observação, ajustando os dados de maneira que a soma dos quadrados dos resíduos seja a menor possível. Este método é fundamental na geodésia, pois permite lidar de maneira robusta e eficiente com os erros de medição, assegurando que as estimativas finais sejam as mais próximas possíveis dos valores reais (Dalmolin, 2002; Gemael, et al. 2015).

O método dos mínimos quadrados foi desenvolvido de forma independente por Carl Friedrich Gauss e Adrien-Marie Legendre no final do século XVIII e início do século XIX. A principal motivação para a criação do MMQ foi a necessidade de processar observações astronômicas e geodésicas de forma eficiente, levando em consideração as imprecisões inerentes às medições. Gauss aplicou o método para prever a posição de Ceres, um asteroide recém-descoberto, usando medições que apresentavam variabilidade. Desde então, o método dos mínimos quadrados tornou-se uma ferramenta padrão em diversas disciplinas que necessitam de análise de dados e ajustamento de observações.

A essência do método dos mínimos quadrados é minimizar a soma dos quadrados dos resíduos V^TV, onde V representa o vetor de resíduos, ou seja, as diferenças entre os valores observados e os valores ajustados. A minimização dos resíduos quadráticos garante que os erros sejam distribuídos de maneira equilibrada, proporcionando uma solução estatisticamente ótima para o problema de ajustamento (Ghilani; Wolf, 2006). Além disso, a metodologia do MMQ considera que os erros nas observações seguem uma distribuição normal, o que permite a aplicação de técnicas estatísticas para a análise de qualidade das medições e dos resultados ajustados.

Nas observações geodésicas, é inevitável a presença de erros que afetam a precisão dos resultados. Esses erros podem ser classificados em três categorias principais: erros grosseiros, sistemáticos e aleatórios. Erros grosseiros são causados por falhas humanas, como leituras incorretas de instrumentos, e precisam ser identificados e removidos antes do ajustamento dos dados. Erros sistemáticos resultam de imperfeições nos instrumentos de medição ou de condições ambientais constantes, como a refração atmosférica. Esses erros podem ser modelados e corrigidos, mas é necessário conhecimento sobre suas causas e comportamento. Erros aleatórios são imprevisíveis e seguem uma distribuição normal. O MMQ é particularmente eficaz em lidar com esses erros, uma vez que minimiza o efeito dos mesmos nas observações ajustadas. O papel do MMQ na geodésia é essencial para lidar com esses erros e fornecer estimativas precisas dos parâmetros desconhecidos. A robustez do método reside na sua capacidade de incorporar múltiplas observações redundantes, o que permite não apenas a estimativa dos parâmetros, mas também a detecção de erros e a análise da qualidade dos dados.

No contexto do MMQ, as observações são frequentemente ponderadas para refletir sua precisão relativa. Observações com menor incerteza são atribuídas com maior peso, e aquelas com maior incerteza recebem menor peso. A matriz de pesos P é então usada para modificar a função objetivo, de modo que o ajustamento minimize a soma ponderada dos quadrados dos resíduos, ou seja, V^TPV. A matriz de pesos é essencial para garantir que o ajustamento leve em consideração a qualidade das diferentes observações.

Com o avanço da tecnologia, o MMQ pode ser facilmente implementado em softwares geodésicos que automatizam grande parte do processo de cálculo. No entanto, é importante que o geodesista compreenda os princípios básicos do método para interpretar os resultados corretamente e identificar possíveis problemas. Ghilani e Wolf (2006) sugerem que uma boa prática é sempre realizar uma análise de resíduos para verificar a presença de erros sistemáticos ou grosseiros nas observações. Além disso, é crucial realizar uma análise de sensibilidade para entender como as variações nos dados de entrada afetam os resultados finais do ajustamento. No software de ajustamento, a solução para o sistema de equações normais pode ser encontrada usando métodos diretos, como a eliminação de Gauss, ou métodos iterativos, como o método de mínimos quadrados ponderado iterativo (IRLS), especialmente quando há uma presença significativa de observações com diferentes precisões. Gemael et al. (2015) observa que a escolha do método depende da complexidade do problema e da disponibilidade computacional.

O método dos mínimos quadrados é aplicado em diversas áreas da geodésia, cada uma com características específicas, dependendo do tipo de observação e dos objetivos do levantamento. Uma aplicação clássica do MMQ é no ajustamento de redes geodésicas, que são conjuntos de pontos cujas posições são determinadas por medições de ângulos e distâncias. No ajustamento de redes geodésicas, todas as observações são ajustadas simultaneamente para minimizar os erros de medição. Por exemplo, ao determinar a posição de vértices em uma rede de triangulação, medem-se os ângulos entre os vértices e as distâncias entre os pontos. O MMQ é utilizado para ajustar esses dados e determinar as coordenadas mais prováveis dos vértices, garantindo que as observações sejam consistentes entre si e minimizando os resíduos quadráticos (Torge; Müller, 2012).

Outra aplicação importante do MMQ é no ajustamento de redes de nivelamento, que é um método geodésico utilizado para determinar as diferenças de elevação entre pontos. As observações de nivelamento são especialmente suscetíveis a erros cumulativos ao longo de grandes distâncias. O MMQ é aplicado para ajustar essas observações, minimizando a soma dos quadrados dos resíduos e proporcionando uma estimativa mais precisa das altitudes. Em projetos de construção civil, por exemplo, o nivelamento é de extrema importância para garantir que estruturas como pontes e edifícios sejam construídas em níveis adequados. O ajustamento de redes de nivelamento pelo MMQ é fundamental para evitar erros que poderiam comprometer a segurança e a funcionalidade das obras (Ghilani; Wolf, 2012).

O método dos mínimos quadrados também é amplamente utilizado em aplicações GNSS (Global Navigation Satellite System), incluindo o GPS. No entanto, as medições GNSS estão sujeitas a vários tipos de erros, como erros de relógio, ionosfera, troposfera e multi-percurso. O MMQ é usado para ajustar as observações GNSS, corrigindo esses erros e fornecendo uma posição mais precisa. Em levantamentos geodésicos modernos, as redes GNSS permanentes utilizam o MMQ para ajustar as observações de múltiplas estações, melhorando a precisão das coordenadas obtidas (Leick, et al. 2015).

Em estudos de deformação da crosta terrestre, o MMQ é utilizado para ajustar medições de deslocamento em pontos ao longo do tempo. Estas medições são cruciais para monitorar a atividade tectônica, prever eventos sísmicos e compreender a dinâmica da Terra. Ao combinar dados de diferentes fontes, como GNSS e InSAR (Interferometric Synthetic Aperture Radar), o MMQ permite um ajuste consistente das observações, minimizando os erros e proporcionando estimativas precisas das taxas de deformação (Torge; Müller, 2012).

Na fotogrametria e no sensoriamento remoto, o MMQ é utilizado para ajustar a orientação de fotografias aéreas e imagens de satélite, permitindo a reconstrução precisa de modelos tridimensionais da superfície terrestre. Este ajustamento é fundamental para a criação de mapas topográficos e para o monitoramento de mudanças no uso do solo. A capacidade do MMQ de lidar com grandes volumes de dados e de integrar diferentes tipos de medições é essencial para a precisão dos modelos fotogramétricos (Ghilani; Wolf, 2012).

Na hidrografia, o MMQ é utilizado para ajustar medições de profundidade e posição de pontos subaquáticos. A precisão na determinação dessas posições é crucial para a cartografia náutica e para a segurança da navegação. O MMQ permite corrigir erros de medição e integrar dados de diferentes sensores, como ecossondas e GNSS, garantindo que os levantamentos hidrográficos sejam precisos e confiáveis (Vasconellos; Blitzkow, 2003).

Existem diferentes abordagens para o ajustamento de observações geodésicas pelo MMQ, dependendo do tipo de problema e das características das observações. No ajustamento clássico pelo MMQ, assume-se que os erros nas observações seguem uma distribuição normal e que não há outliers significativos. Esta abordagem é adequada para a maioria dos levantamentos geodésicos, onde as medições são feitas com instrumentos de alta precisão e as condições de medição são controladas. No entanto, em casos onde há a presença de outliers ou de erros grosseiros, o ajustamento clássico pode não ser o método mais adequado (Ghilani; Wolf, 2006).

O ajustamento por condicionamento é utilizado quando há relações funcionais conhecidas entre as observações. Por exemplo, em uma rede de triangulação, os ângulos medidos devem somar 180 graus menos o ângulo de erro de fechamento. Essas condições são incorporadas no processo de ajustamento para garantir que as observações ajustadas respeitem essas restrições geométricas. Este método é particularmente útil em levantamentos onde há relações geométricas rígidas entre as observações (Ghilani; Wolf, 2012).

O ajustamento robusto pelo MMQ é uma abordagem que minimiza o impacto de outliers nas observações. Este método é útil em levantamentos onde há uma alta probabilidade de erros grosseiros ou onde as condições de medição são adversas. O ajustamento robusto utiliza funções de perda que são menos sensíveis a grandes desvios, proporcionando estimativas mais estáveis em presença de dados contaminados por outliers. Este método é amplamente utilizado em levantamentos GNSS e em estudos de deformação da crosta terrestre, onde a presença de outliers pode comprometer significativamente os resultados (Ghilani; Wolf, 2006)

A precisão e a confiabilidade do ajustamento pelo MMQ dependem de vários fatores, incluindo a qualidade das observações, o número de medições redundantes, e o modelo matemático utilizado. Em geral, quanto maior o número de observações redundantes, mais preciso será o ajustamento, pois as medições adicionais permitem detectar e corrigir erros (Gemael, et al. 2015). Além disso, a análise da precisão do ajustamento é realizada através da variância a posteriori, que mede a dispersão dos resíduos ajustados. Esta medida é utilizada para avaliar a qualidade das observações e para identificar a presença de outliers ou de erros sistemáticos não modelados. A confiabilidade interna e externa das observações também é avaliada através de testes estatísticos, como o teste da média dos resíduos quadráticos, que verifica a consistência entre as observações e o modelo matemático (Torge; Müller, 2012).

Para ilustrar o uso prático do MMQ na geodésia, considere um levantamento de uma rede de triangulação para determinar a posição de pontos em uma região montanhosa. As medições de ângulos são realizadas utilizando teodolitos de alta precisão, e as distâncias entre os pontos são medidas com distanciômetros eletrônicos. Devido às condições adversas do terreno, algumas medições podem estar sujeitas a erros sistemáticos, como a refração atmosférica, e a presença de outliers, como medições incorretas de distâncias devido a obstáculos. O MMQ é aplicado para ajustar todas as medições simultaneamente, minimizando os resíduos e garantindo que as coordenadas finais dos pontos sejam as mais precisas possíveis (Ghilani; Wolf, 2006).

Em outro exemplo, considere um levantamento GNSS para monitorar a subsidência de uma área urbana devido à extração de água subterrânea. As medições GNSS são realizadas em várias estações permanentes ao longo de um período de tempo para detectar pequenas mudanças nas coordenadas dos pontos. O MMQ é utilizado para ajustar as observações GNSS, corrigindo os erros de relógio, ionosfera, troposfera e multi-percurso. A análise dos resíduos ajustados permite detectar padrões de movimento que indicam subsidência, e os resultados ajustados são utilizados para informar políticas de gestão de recursos hídricos e para planejar medidas de mitigação (Leick, et al. 2015).

Em conclusão, o ajustamento de observações geodésicas pelo método dos mínimos quadrados é uma técnica fundamental na geodésia, essencial para garantir a precisão e a confiabilidade das medições geodésicas. O MMQ permite integrar múltiplas observações redundantes, lidar com diferentes tipos de erros e fornecer estimativas precisas dos parâmetros desconhecidos. A aplicação do MMQ abrange uma ampla gama de levantamentos geodésicos, incluindo o ajustamento de redes geodésicas, redes de nivelamento, observações GNSS, estudos de deformação da crosta terrestre, fotogrametria, sensoriamento remoto e hidrografia. A escolha do método de ajustamento adequado depende das características das observações, das condições de medição e dos objetivos do levantamento. Com o contínuo avanço da tecnologia e a disponibilidade de dados de alta precisão, o MMQ continuará a desempenhar um papel importante na geodésia, contribuindo para o desenvolvimento de aplicações científicas, de engenharia e de gestão de recursos naturais.

Referências

Dalmolin, Q. Ajustamento por Mínimos Quadrados. Curitiba: Ed. UFPR, 2002.

Gemael, C.; Machado, A. M. L.; Wandresen, R. Introdução ao Ajustamento de Observaões: Aplicações Geodésicas. 2 ed. Curitiba: Ed. UFPR, 2015.

Ghilani, C; Wolf, P. Adjustment Computations: Spatial Data Analysis. 4 ed. New Jersey: Jonh Wiley & Sons, 2006.

Ghilani, C; Wolf, P. Elementary Surveying: An Introduction to Geomatics. 3 ed. New Jersey: Jonh Wiley & Sons, 2012.

Leick, A.; Rapoport, L.; Tatarnikov, D. GPS Satellite Surveying. 4 ed. New Jersey: John Wiley & Sons, 2015

Torge, W.; Müller, J. Geodesy. 4 ed. Berlin/Boston: Walterde Gruyter, 2012.

Vasconcellos, J. C. P.; Blitzkow, D. Ajustamento de redes geodésicas GPS de densificação e extensão. 2003, Anais.. Belo Horizonte, MG: Sociedade Brasileira de Cartografia, Geodésia, Fotogrametria e Sensoriamento Remoto, 2003. Disponível em: https://repositorio.usp.br/directbitstream/721c2b4e-cb91-4b79-89d0-b3fc0842aa69/Blitzkow-2003-ajustamento.pdf. Acesso em: 03 fev. 2025.

Leia mais

Topografia - Roteiro para o cálculo de uma poligonal fechada (Método Analítico)

Edit: Recomendo o uso do navegador Firefox.

1 INTRODUÇÃO

A poligonação, também conhecida como caminhamento, consiste em uma sequência de distâncias e ângulos medidos entre pontos adjacentes, formando linhas poligonais ou polígonos. Inicia-se com uma linha formada por dois pontos conhecidos, determinam-se novos pontos ao longo do percurso até atingir uma linha composta por pontos também conhecidos.

Por meio da poligonal, é possível estabelecer uma série de pontos de apoio para levantamentos topográficos, a partir dos quais coordenadas de outros pontos podem ser determinadas, utilizando métodos como a irradiação. Conforme a NBR 13133 (1994, ABNT), as poligonais são classificadas em:

• Principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem;
• Secundária: poligonal que, apoiada nos vértices da poligonal principal, determina os pontos de apoio topográfico de segunda ordem;
• Auxiliar: poligonal usada para coletar pontos de detalhes considerados importantes.

Em campo, as poligonais topográficas podem ser classificadas como FECHADA (o levantamento inicia e termina no mesmo ponto cujas coordenadas são conhecidas), ENQUADRADA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e chega a outro ponto de coordenadas também conhecidas) e ABERTA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e termina em um ponto cujas coordenadas são desconhecidas).

Após a conclusão do levantamento topográfico em campo, durante o qual são medidos ângulos e distâncias, passamos para a fase de escritório. Nesta etapa, são realizados cálculos para determinar as coordenadas dos vértices da poligonal levantada. Essas coordenadas são referenciadas a um sistema cartesiano plano ortogonal, com os eixos coincidindo nas direções leste-oeste e norte-sul, respectivamente.

Embora o método de Bowditch (Compensação) seja amplamente utilizado globalmente, ele não é um procedimento de ajustamento muito rigoroso, pois presume regularidade na precisão dos ângulos e distâncias dos lados, o que nem sempre é alcançado em levantamentos. No método de Bowditch, o erro angular é distribuído igualmente entre os vértices da poligonal, e a compensação linear é realizada distribuindo o erro de forma proporcional aos comprimentos dos lados da poligonal.

A seguir, serão apresentadas as etapas para o cálculo de uma poligonal topográfica pelo Método Analítico (Bowditch), conforme demonstrado por Oliveira e Saraiva (1998).

2 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE UMA POLIGONAL FECHADA

De forma resumida, o roteiro para o cálculo de uma poligonal topográfica fechada consiste:

1. Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular.
2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.
3. Cálculo das projeções relativas.
4. Cálculo do erro linear e verificação da tolerância.
5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.
6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse.
7. Cálculo da área, cálculo dos azimutes corrigidos e cálculo dos lados corrigidos.

Para melhor visualisarmos a sequência de cálculos, utilizaremos de um exemplo prático:

Exemplo: Foi realizado um levantamento topográfico a partir do método poligonação (poligonal fechada, com caminhamento no sentido horário e medição de ângulos horizontais horários externos a poligonal) conforme croqui apresentado. Os resultados das medições em campo encontram-se no caderneta de campo apresentada.

2.1 Cálculo da média dos ângulos PD e PI

As medições de ângulos horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. Essa abordagem é conhecida como leitura de pares conjugados, em que a média é calculada pela seguinte fórmula:

$\alpha$_i = $\frac{\mathrm{PD}+\mathrm{PI}}{2}\pm \mathrm{90°}$
A condição de somar-se ou subtrair-se 90° (noventa graus) depende:

• Se a leitura em PD for maior que a leitura em PI → Soma-se 90°.
• Se leitura em PD for menor que a leitura em PI → Subtrai-se 90°.

Assim, para o ângulo lido com a estação no vértice VT02, temos:

• Para a leitura a ré:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}\pm \mathrm{90°}$
Observa-se que a leitura em PD é menor que a leitura em PI assim:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}-\mathrm{90°}$
$\alpha$_ré = 00°00'0,5"

• Para a leitura a vante:

$\alpha$_vante = $\frac{\mathrm{169°52\text{'}28"}+\mathrm{349°52\text{'}28"}}{2}-\mathrm{90°}$
Tivemos novamente PD menor que PI. Dessa forma:

$\alpha$_vante = 169°52'28"
De posse dos ângulos de ré e de vante, faz-se então o cálculo do ângulo poligonal, que no caso, trata-se do ângulo que realmente será utilizado no cálculo:

$\alpha$_(n) = α_vante - α_ré

• Para o VT02.

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" - 00°00'0,5" = 169°52'28"
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

α_P01 = 331°37’53”
α_P02 = 197°05’43”
α_P03 = 301°58’11”
α_P04 = 259°25’44”

2.2 Cálculo das médias das distâncias em PD e PI

As medições das distâncias horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. O cálculo da média é determinado pela seguinte fórmula:

$dh$_ij = $\frac{\mathrm{dh_PD}+\mathrm{dh_PI}}{2}$
Assim, para as distâncias lidas com a estação no vértice VT02 com vante em P₀₁, temos:

$\mathrm{dh_{VT<mn>₀₂</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$ \frac{\mathrm{50,830}+\mathrm{50,830}}{2}$$
$\mathrm{dh_{VT_<mn>02</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$50,830 m
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

dh_P01-P02 = 53,527 m
dh_P02-P03 = 74,274 m
dh_P03-P04 = 52,378 m
dh_P04-VT02 = 51,411 m

2.3 Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular

Em uma poligonal geometricamente fechada E_a = 0, a soma dos ângulos, expressa no sistema sexagesimal, segue uma das seguintes fórmulas:

$\sum \alpha$_internos = (n - 2) . 180°
$\sum \alpha$_externos = (n + 2) . 180°
Em que n = número de vértices.

Claramente, o valor resultante da soma dos ângulos medidos em campo divergirá do resultado obtido pela aplicação de uma das fórmulas mencionadas anteriormente. Essa divergência é conhecida como Erro Angular.

$E_a=\sum \alpha$_campo - ∑α_p.g.f
Em que:
- ∑α_campo = somatório dos ângulos medidos em campo.
- ∑α_p.g.f = somatório angular em uma poligonal geometricamente fechada com o mesmo número de vértices.

Para os ângulos do exemplo, temos que os ângulos são externos, assim:

$\sum \alpha$_p.g.f = (5 + 2) . 180° = 1260°00'00"
O somatório dos ângulos medidos em campo é igual a:

$\sum \alpha$_campo = 169°52'28" + 331°37'53" + 197°05'43" + 301°58'11" + 259°25'44" = 1259°59'59"
Assim, o erro angular para a presente poligonal é:

$E$_a = 1259°59'58" - 1260°00'00" = -00°00'01"
2.3.1 Tolerância para o erro angular

Para que a compensação do erro de fechamento seja possível, é essencial que este seja inferior ao valor de tolerância previamente estabelecido.

$T$_a = ±k$\sqrt{n}$
Em que: k = coeficiente variável de 1”, 2” ou 3”, função da maior ou menor precisão desejada e n = número de vértices da poligonal.

A condição para distribuir o erro angular é:

$|E$_a| ≤ |T_a|
Para o levantamento do exemplo, a tolerância foi dada por:

$\mathrm{T_a}=\pm 3$ \sqrt{5}$=$±6,71"
Como $\mathrm{<mo>-</mo>6,71"}\le \mathrm{<mo>-</mo>1,0"}\le \mathrm{<mo>+</mo>6,71"}$, pode-se distribuir o erro angular.

2.3.2 Correção angular

O erro angular é distribuído de maneira uniforme entre todos os vértices. A correção angular por vértice é calculada pela seguinte fórmula:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{\mathrm{E_a}}{n})$$
Em que E_a = erro angular e n = número de vértices.

Para o levantamento do exemplo:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{-\mathrm{1,0"}}{5})$=$0,2"
2.3.3 Ângulos corrigidos

Os ângulos corrigidos são determinados pela seguinte equação:

$\alpha$_C= α_i + C_a
Para o ângulo medido em VT₀₂:

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" + 0,2" = 169°52'28,2"
Repetindo o cálculo para os demais ângulos temos:

α_P01 = 331°37'53" + 0,2" = 331°37'53,2"
α_P02 = 197°05'43" + 0,2" = 197°05'43,2"
α_P03 = 301°58'11" + 0,2" = 301°58'11,2"
α_P04 = 259°25'44" + 0,2" = 259°25'44,2"

Para verificar que a poligonal levantada foi corrigida, basta realizar o somatório dos ângulos corrigidos:

$\sum \alpha$_C = 169°52'28,2" + 331°37'53,2" + 197°05'43,2" + 301°58'11,2" + 259°25'44,2" = 1260°00'00"
2.4 Cálculo dos azimutes dos alinhamentos

O azimute é o ângulo horário medido a partir do norte até o alinhamento, abrangendo uma variação de 0° a 360°.

Em projetos envolvendo poligonais topográficas, o azimute de um alinhamento é calculado a partir do azimute do alinhamento anterior e do ângulo horizontal medido, conforme expresso na seguinte equação:

• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido horário.
• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}-\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido anti-horário.

Em que: Az_n é o azimute a se determinar; Az_(n-1) é o azimute do alinhamento anterior; α_i é o ângulo horizontal medido.

2.4.1 Azimute de um alinhamento em função das coordenadas

Em relação a determinação pelas coordenadas, como vimos na postagem sobre orientação, o rumo e o azimute relacionam-se conforme o quadro abaixo:

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$ → As coordenadas dos pontos conhecidos estão em UTM.

• Azimute do alinhamento VT₀₁-VT₀₂.

$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{743.942,882}-\mathrm{743.931,134}}{\mathrm{9.440.805,186\; <mo>-</mo>\; 9.440.803,370}}$)+C$
$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{11,748}}{\mathrm{1,816}}$)+\mathrm{0°}=$81°12'46"
2.4.2 Azimutes dos alinhamentos da poligonal

Utilizando-se da equação exibida no tópico 2.3, calculam-se os azimutes dos alinhamentos da poligonal. O azimute do alinhamento VT02-P01 é calculado inicialmente em função do azimute VT₀₁-VT₀₂ e o ângulo de orientação que foi medido em campo. Assim:

$\mathrm{Az_{VT_<mn>02</mn>P_<mn>01</mn>}}=\mathrm{81°12\text{'}46"\; <mo>+</mo>\; 280°27\text{'}15"}\pm \mathrm{180°}$
$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=\mathrm{361°40\text{'}01"}-\mathrm{180°}=$181°40'01"
Para os demais alinhamentos:

$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=181°40\text{'}01"+331°37\text{'}53,2"-180°=$333°17'54,2"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=333°17\text{'}54,2"+197°05\text{'}43,2"-180°=$350°23'37,4"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=350°23\text{'}37,4"+301°58\text{'}11,2"-180°=$472°21'48,6" - 360° = 112°21'48,6"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=112°21\text{'}48,6"+259°25\text{'}44,2"-180°=$191°47'32,8"

Conferência:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=191°47\text{'}32,8"+169°52\text{'}28,2"-180°=$181°40'01"

2.5 Cálculo das projeções relativas

O cálculo das projeções relativas conecta os azimutes e as distâncias medidas em campo. Quando o levantamento topográfico está alinhado com o norte magnético ou verdadeiro, é necessário que essa direção coincida com o eixo das ordenadas Y. O eixo da abscissa X, por sua vez, forma um ângulo de 90° com o eixo das ordenadas, constituindo assim o par de eixos cartesianos (Veras, 2011).

$\mathrm{x_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{sen(Az_ij)}$
$\mathrm{y_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{cos(Az_ij)}$

• Para a direção X (E).

$\mathrm{x_{VT₀₂-P₀₁}}=\mathrm{50,830}\times sen(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-1,479 m
$\mathrm{x_{P₀₁-P₀₂}}=\mathrm{53,527}\times sen(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$-24,052 m
$\mathrm{x_{P₀₂-P₀₃}}=\mathrm{74,274}\times sen(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$-12,395 m
$\mathrm{x_{P₀₃-P₀₄}}=\mathrm{52,378}\times sen(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$48,439 m
$\mathrm{x_{P₀₄-VT₀₂}}=\mathrm{51,411}\times sen(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-10,507 m

Erro na direção X → $\sum$_xij = Δ_x = 0,007 m

• Para a direção Y (N).

$\mathrm{y_{VT₀₂-P₀₁}}=50,830\times cos(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-50,808 m
$\mathrm{y_{P₀₁-P₀₂}}=53,527\times cos(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$47,819 m
$\mathrm{y_{P₀₂-P₀₃}}=74,274\times cos(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$73,233 m
$\mathrm{y_{P₀₃-P₀₄}}=52,378\times cos(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$-19,929 m
$\mathrm{y_{P₀₄-VT₀₂}}=51,411\times cos(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-50,326 m

Erro na direção Y → $\sum$_yij = Δ_y = -0,012 m

2.5.1 Erro linear

Fonte: Adaptado de Veras, 2011.
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(<mo>\Delta </mo>_x)²\; +\; (<mo>\Delta </mo>_y)²</mn></msqrt></math>}$
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(0,007)²\; <mo>+</mo>\; (<mo>-</mo>0,012)²</mn></msqrt></math>\; <mo>=</mo>\; <b><mn>0,014</mn>\; m</b>}$
2.5.2 Tolerância para o erro linear

$\mathrm{T_L}=\pm d$ \sqrt{L}$$_km
Em que: d é um coeficiente em função da classe da poligonal (Ver NBR 13133); L é o perímetro da poligonal em km.

Para a poligonal do exemplo temos:

d = 0,42 (Coeficiente para uma poligonal classe IIIP (NBR 13133).
L = 50,830 + 53,527 + 74,274 + 52,378 + 51,411 = 282,420 m = 0,28242 km

$\mathrm{T_L}=\pm \mathrm{0,42}$ \sqrt{\mathrm{0,282}}$=$0,223 m
2.6 Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.

As correções das projeções podem ser determinadas proporcionalmente aos lados ou ao módulo da projeção correspondente. O erro em um eixo guarda relação com o perímetro da mesma forma que a correção relativa à projeção de um lado se relaciona com esse lado.

2.6.1 Correção das projeções

• Para a direção X (E).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{x_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=\mathrm{K_x}$

Temos: $\mathrm{C_{x_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_x}$ → Fórmula da Correção na Direção X

Aplicando a fórmula para a direção X, temos:

$\mathrm{K_x}=$ \frac{\mathrm{0,007}}{\mathrm{282,420}}$=\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{x_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0013 m
$\mathrm{C_{x_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0017 m
$\mathrm{C_{x_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\sum$_Cxij = -0,007 m

• Para a direção Y (N).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{y_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Em que: C_xij; C_xij = correção das projeções; P = Perímetro e d_ij = comprimento do alinhamento.

Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=\mathrm{K_y}$

Temos: $\mathrm{C_{y_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_y}$ → Fórmula da Correção na Direção Y

Aplicando a fórmula para a direção Y, temos:

$\mathrm{K_y}=$ \frac{-\mathrm{0,012}}{\mathrm{282,420}}$=-\mathrm{4,231673716}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{y_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0023 m
$\mathrm{C_{y_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0031 m
$\mathrm{C_{y_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\sum$_Cyij = 0,012 m

2.6.2 Projeções corrigidas

Com as correções aplicadas aos alinhamentos, procede-se ao cálculo das projeções ajustadas:

• Para a direção X.

$\mathrm{x_{c_ij}}=\mathrm{x_ij}+\mathrm{C_{x_ij}}$
$\mathrm{x_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>1,479}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-1,480 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>24,052}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0013})=$-24,053 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{<mo>-</mo>12,395}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0017})=$-12,396 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₃P₀₄}}}=\mathrm{48,439}+(-\mathrm{0,0012})=$48,437 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>10,507}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-10,508 m
$\sum$_xcij = 0,000 m

• Para a direção Y.

$\mathrm{y_{c_ij}}=\mathrm{y_ij}+\mathrm{C_{y_ij}}$
$\mathrm{y_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>50,808}+\mathrm{0,0022}=$-50,806 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{47,819}+\mathrm{0,0023}=$47,821 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{73,233}+\mathrm{0,0031}=$73,236 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₃P₀₄}}}=-\mathrm{79,929}+\mathrm{0,0022}=$-19,927 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>-50,326}+\mathrm{0,0022}=$-50,324 m
$\sum$_ycij = 0,000 m

2.7 Cálculo das coordenadas planas dos pontos da poligonal.

As coordenadas do vértice desejado são obtidas somando as coordenadas do vértice anterior à projeção corrigida do alinhamento formado entre esses dois pontos. Matemáticamente a explicação anterior, que para o caso da poligonal do exemplo está em UTM, fica:

$\mathrm{E_n}=\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
$\mathrm{N_n}=\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
Em que:

$\mathrm{E_n}=$ Coordenada Este do ponto de interesse.
$\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Este do vértice anterior.
$\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida x_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.
$\mathrm{N_n}=$ Coordenada Norte do ponto de interesse.
$\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Norte do vértice anterior.
$\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida y_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.

Assim:

• Para as coordenadas E.

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=$743942,882 m
$E$_P01 = 743942,882 + (-1,480) = 743941,402 m
$E$_P02 = 743941,402 + (-24,053) = 743917,349 m
$E$_P03 = 743917,349 + (-12,396) = 743904,953 m
$E$_P04 = 743904,953 + 48,437 = 743953,390 m

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{743953,390}+(-\mathrm{10,508})=$743942,882 m ← conferência.

• Para as coordenadas N.

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=$9440805,186 m
$N$_P01 = 9440805,186 + (-50,806) = 9440754,380 m
$N$_P02 = 9440754,380 + 47,821 = 9440802,201 m
$N$_P03 = 9440802,201 + 73,236 = 9440875,436 m
$N$_P04 = 9440875,436 + (-19,927) = 9440855,510 m

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{9440855,510}+(-\mathrm{50,324})=$9440805,186 m ← conferência.

2.8 Cálculo da área da poligonal

Para o cálculo da área da poligonal, usaremos a Fórmula de Gauss. Gauss desenvolveu uma fórmula notável para calcular a área de qualquer polígono. Essa fórmula utiliza as coordenadas cartesianas dos vértices do polígono.
Vamos considerar um polígono irregular com n lados, e suponha que conhecemos as coordenadas de seus vértices $(E$_n, N_n), n = 1, 2, ... n - 1, sendo o primeiro vértice coincidente com o último.

$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) + (N₀₁×E₀₂ - ... - N_(n-1)×E_n - N_n×E₀₁)
$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) - (N₀₁×E₀₂ + ... + N_(n-1)×E_n + N_n×E₀₁)
$2S=$ |\sum E\times N$$_(n+1) - $\sum N\times E$_(n+1)|
OBS: O cálculo em módulo é para não termos um valor final de área negativo.

• Para a poligonal do exemplo.

$\sum$_E×N(n+1) = 743942,882×9440754,380 + 743941,402×9440802,201 + 743917,349×9440875,436 + 743904,953×9440855,510 + 743953,390×9440805,186 = 3,5116634866×10¹³ m²
$\sum$_N×E(n+1) = 9440805,186×743941,402 + 9440754,380×743917,349 + 9440802,201×743904,953 + 9440875,436×743953,390 + 9440855,510×743942,882 = 3,5116634872×10¹³ m²

Assim:

$2S=$ |\sum \mathrm{3,5116634866\times 10¹³}-\mathrm{3,5116634872\times 10¹³}|$=$5846,703 m²

$S=$ \frac{\mathrm{5846,703}}{2}$=$2923,352 m² ∴ 0,292 ha

2.9 Cálculo dos azimutes corrigidos

Os azimutes corrigidos são determinados em relação às projeções corrigidas ou às coordenadas totais. A atenção aos sinais das projeções é crucial, pois eles indicarão o quadrante no qual o alinhamento está situado.

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$
$\Delta E=$ E$$_(n+1) - $\mathrm{E_n}=\mathrm{x_{C_ij}}$
$\Delta N=$ N$$_(n+1) - $\mathrm{N_n}=\mathrm{y_{C_ij}}$
Desta forma, para os alinhamentos da poligonal do exemplo:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=atan($ \frac{\mathrm{-1,480}}{\mathrm{-50,806}}$)+\mathrm{180°}=$181°40'06"
$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-24,053}}{\mathrm{47,821}}$)+\mathrm{360°}=$333°17'54"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=atan($ \frac{\mathrm{-12,396}}{\mathrm{73,236}}$)+\mathrm{360°}=$350°23'34"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=atan($ \frac{\mathrm{48,437}}{\mathrm{-19,927}}$)+\mathrm{180°}=$112°21'42"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-10,508}}{\mathrm{-50,324}}$)+\mathrm{180°}=$191°47'39"

2.10 Cálculo dos lados corrigidos

Os lados corrigidos são determinados em relação às coordenadas totais ou às projeções corrigidas.

$\mathrm{d_ij}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>E)}}^2$+$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>N)}}^2$}$$

$\mathrm{d_{VT₀₂P₀₁}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-1,480)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,806)}}^2$}$=$50,828 m
$\mathrm{d_{P₀₁P₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-24,053)}}^2$+$ {\mathrm{47,821}}^2$}$=$53,530 m
$\mathrm{d_{P₀₂P₀₃}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-12,396)}}^2$+$ {\mathrm{73,236}}^2$}$=$74,277 m
$\mathrm{d_{P₀₃P₀₄}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{48,437}}^2$+$ {\mathrm{(-19,927)}}^2$}$=$53,376 m
$\mathrm{d_{P₀₄VT₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-10,508)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,324)}}^2$}$=$51,409 m

3 CONCLUSÃO

Dessa forma, a poligonal foi corrigida integralmente, abrangendo tanto os aspectos angulares quanto lineares. No próximo post, procederemos com os cálculos e a elaboração da planta topográfica desse exemplo.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
OLIVEIRA, M. T.; SARAIVA, S. Fundamentos da Topografia. 1998.
VERAS, R. C. Topografia roteiro para cálculo de Poligonal. 54 pag. – 1ª ed. 1997 – EDUFPI – Teresina.

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EXTRA: Ajustamento de uma poligonal fechada pelo Método dos Mínimos Quadrados.

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Topografia - Levantamento Planimétrico - Poligonação

INTRODUÇÃO

Como mencionado na postagem anterior, o termo "levantamento" refere-se ao conjunto de operações realizadas no campo e no escritório, utilizando métodos e instrumentos específicos, com o objetivo de obter os elementos necessários para a representação geométrica de uma determinada extensão de terreno, denominada superfície topográfica. Durante os trabalhos de campo, os pontos do terreno são identificados por meio da medição de ângulos e alinhamentos, sendo esses elementos fundamentais para a representação geométrica da área. No escritório, após realizar os cálculos necessários a partir dos dados (ângulos e distâncias) numericamente determinados no campo, procede-se à elaboração do desenho em papel, representando a projeção horizontal da área levantada (Comastri; Gripp Júnior, 1998).

O levantamento topográfico é planimétrico, quando visa a pesquisa dos limites e confrontações de uma propriedade envolve a determinação do seu perímetro, abrangendo, quando aplicável, o alinhamento com vias ou logradouros frontais, além da orientação e amarração a pontos materializados no terreno, pertencentes a uma rede cadastral de referência. Na ausência dessa rede, são utilizados pontos notáveis e estáveis nas proximidades. Quando esse levantamento tem o propósito de identificar a titularidade do imóvel, outros elementos complementares são necessários, como perícia técnico-judicial, memorial descritivo, entre outros (ABNT, 1994).

Existem vários métodos para a realização de um levantamento topográfico planimétrico, podemos citar a poligonação, a irradiação, a interseção, dentre outros. Neste post iremos abordar sobre o Levantamento Planimétrico pelo Método da Poligonação ou Caminhamento.

2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO - POLIGONAÇÃO

A poligonação é amplamente utilizada como método em levantamentos topográficos para determinar as coordenadas de pontos de interesse, especialmente em operações voltadas à definição de pontos de apoio planimétricos. Essencialmente, uma poligonal é constituída por uma sequência de linhas consecutivas, em que os comprimentos e direções são conhecidos, sendo obtidos por meio de medições realizadas em campo (VEIGA et al., 2012).

A NBR 13133 (ABNT, 1994) categoriza as poligonais topográficas em auxiliares, principais e secundárias. As poligonais resultantes de levantamentos topográficos de campo podem ser classificadas como fechadas, enquadradas ou abertas.

2.1 Poligonal auxiliar

Uma poligonal auxiliar é fundamentada nos pontos de apoio topográfico, e seus vértices são distribuídos na área a ser levantada, possibilitando a coleta de pontos de interesse de maneira direta ou indireta.

2.2 Poligonal principal

Por outro lado, uma poligonal principal é aquela que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem.

2.3 Poligonal secundária

Já uma poligonal secundária é aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, estabelece os pontos de apoio topográfico de segunda ordem.

2.4 Poligonal fechada

Uma poligonal fechada é caracterizada pelo fato de que o ponto de início do levantamento é o mesmo que o ponto de término. Esse tipo de poligonal apresenta a vantagem de permitir a verificação de erros de fechamento angular e linear.

2.5 Poligonal enquadrada

Em uma poligonal enquadrada, o levantamento tem início em dois pontos cujas coordenadas são previamente conhecidas e termina em outros dois pontos com coordenadas também previamente estabelecidas. Nesse tipo de poligonal, é igualmente viável realizar a verificação de erros de fechamento angular e linear.

2.5 Poligonal aberta

Em uma poligonal aberta, a origem é um ponto com coordenadas previamente conhecidas, e a finalização ocorre em um ponto cujas coordenadas são o objeto da determinação. Nesse caso, não há controle sobre os erros, tanto angulares quanto lineares.

Em nossas próximas postagem mostraremos o cálculo de cada uma das poligonais citadas: Fechada, Enquadrada e Aberta.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133. Execução de Levantamento Topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35 p.
COMASTRI, J. A.; GRIPP JÚNIOR, J. Topografia Aplicada: Medição, Divisão e Demarcação. Viçosa: UFV, 1998. 203p.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de Topografia. Paraná: [s.n.], 2012. 288 p.

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Topografia - Introdução a Planimetria

1 INTRODUÇÃO

A topometria, dentro do campo da topografia, é responsável pela avaliação de grandezas para a representação do ambiente. A planimetria, por sua vez, é uma parte da topometria que se concentra nos procedimentos, métodos e instrumentos de medição de ângulos e distâncias, levando em consideração um plano horizontal, ou seja, sem considerar o relevo (Tuler e Saraiva, 2014). Em resumo, a planimetria lida especificamente com a representação de pontos e objetos na superfície da Terra em duas dimensões, sem levar em conta as diferenças de elevação.

Fonte: Tuler e Saraiva, 2014.
1.1 O que é fazer um levantamento topográfico?

Um levantamento ou medição é o processo de realizar todas as operações e medidas necessárias para determinar a posição relativa dos pontos que constituem uma parte da superfície terrestre (ESPARTEL, 1980).

O levantamento topográfico é o conjunto de operações que envolvem trabalhos de campo e de escritório com o objetivo de coletar os dados necessários para a representação geométrica de uma área de terreno específica (COMASTRI, 1977).

Um levantamento topográfico pode ser classificado como planimétrico quando se limita a representar, em um plano de referência, apenas as projeções horizontais dos contornos dos pontos medidos (ESPARTEL, 1980). Isso significa que, em um levantamento planimétrico, o foco está nas coordenadas horizontais dos pontos, sem levar em consideração as diferenças de elevação ou altitude.

1.1.1 Fases do levantamento topográfico planimétrico

1. Planejamento, seleção de métodos e aparelhagem (Reconhecimento).
2. Apoio topográfico (Levantamento da poligonal básica).
3. Levantamento dos detalhes (Levantamento das feições planimétricas).
4. Cálculo e ajustes (Fechamento, área e coordenadas).
5. Original topográfico (Desenho da planta).
6. Relatório técnico (Memorial descritivo).

1.1.2 Instrumentais utilizados para a realização de um levantamento planimétrico

2 LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO: MÉTODOS PRINCIPAIS

Estes levantamentos estão associados ao aumento da aplicação de técnicas em campo, frequentemente utilizados para estabelecer pontos de referência que servirão como suporte para futuros levantamentos topográficos, o que, por conseguinte, exige maior rigor e controle.

2.1 Poligonação (Caminhamento)

Envolve a medição de ângulos e distâncias, levando a uma sequência de alinhamentos. É o método predominante para levantamentos, empregando uma estação total ou um teodolito.

2.2 Irradiação

Nesse procedimento, os pontos topográficos a serem registrados são estabelecidos por meio da medição de ângulos e distâncias.

O método de irradiação, em levantamentos topográficos, é normalmente usado em circunstâncias específicas e não é comumente empregado como o principal método de levantamento. Em vez disso, ele é mais frequentemente utilizado como um processo complementar ao caminhamento topográfico, especialmente quando se trata de mapear detalhes, como rios sinuosos, trilhas e outros acidentes geográficos.

2.3 Triangulação

Esse método envolve a obtenção de formas geométricas a partir da medição dos ângulos formados por cada vértice de um triângulo. Os pontos usados como vértices desses triângulos são chamados de "vértices de triangulação" (VVTT). Este é o método mais antigo e amplamente utilizado para levantamentos planimétricos.

2.4 Trilateração

Este método é semelhante à triangulação e, assim como a triangulação, utiliza propriedades geométricas a partir de triângulos superpostos. No entanto, a diferença está no fato de que o levantamento é realizado por meio da medição dos comprimentos dos lados.

2.5 Triangulateração

Este método combina elementos da triangulação e trilateração.

Devido à facilidade de medição de distâncias e ângulos usando estações totais, juntamente com a capacidade de processar automaticamente grandes quantidades de dados, a triangulateração se destaca em comparação com a triangulação e trilateração. Ela permite uma precisão superior e uma análise estatística mais robusta das observações e das coordenadas, especialmente devido ao grande número de observações redundantes que podem ser realizadas.

2.6 Interseção

Neste método, os pontos topográficos que serão levantados são determinados pela interseção dos lados de ângulos horizontais ou distâncias horizontais medidas a partir das extremidades de uma base estabelecida no terreno.

Este método é especialmente útil quando se deseja posicionar vértices em locais que são de difícil acesso ou inacessíveis devido a obstáculos naturais ou construídos pelo homem.

Em nossos próximos posts, daremos ênfase a cada um dos métodos citados nesta postagem.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia: Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. 2º Ed. Viçosa: UFV, 1987.
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
PASCINI, A. P. G. Topografia. Juíz de Fora: Ed. UFJF, 2013.

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