Fala galera do Blogger, beleza?. Então, dando continuidade ao nosso conteúdo sobre Topografia, hoje vamos abordar o roteiro para o cálculo de uma poligonal enquadrada, pelo método analítico. Mas, antes, vamos aquela velha revisão.

Pois bem, na postagem "Topografia - Levantamento Planimétrico: Poligonação", vimos que as poligonais topográficas podem ser de três tipos:

1. Fechadas - Que permitem o cálculo, verificação e correção de erros angulares e lineares.
2. Enquadradas - Que permitem o cálculo, verificação e correção de erros angulares e lineares.
3. Abertas - Que não permitem o cálculo, verificação e correção de erros angulares e lineares.

Assim, na postagem anterior, realizamos todo o processo de cálculo, verificação correções de erros para uma poligonal fechada. Hoje, vamos abordar a matemática envolvida para o cálculo de erros e ajustes de uma poligonal enquadrada.

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Topografia - Roteiro para o cálculo de uma poligonal enquadrada

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De forma resumida, o roteiro para o cálculo de uma poligonal topográfica enquadrada consiste em:

1. Cálculo do erro angular, verificação da tolerância e correção do erro angular.
2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.
3. Cálculo das projeções relativas.
4. Cálculo do erro linear e verificação da tolerância.
5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.
6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse.
7. Cálculo dos azimutes corrigidos e cálculo dos lados corrigidos.

Então, a melhor forma de se aprender Topografia é realizando cálculos na prática, dito isso vamos ao exemplo de hoje:

Exemplo: (VERAS, 1997). Foi realizado um levantamento topográfico a partir do método poligonação (poligonal enquadrada, com medição de ângulos horizontais horários) conforme croqui apresentado. Os resultados das medições em campo encontram-se no caderneta de campo apresentada.

OBS: Para o presente exemplo, iremos desconsiderar os cálculos das tolerâncias, tanto angular como linear. Detalhes sobre esses cálculos podem ser vistos AQUI!!

Então, vamos lá.

1. Cálculo do erro angular, verificação da tolerância e correção do erro angular.

O erro angular em uma poligonal enquadrada é determinado por:

Em que:

• Az_{final_𝐶𝑎𝑙} = Azimute final cálculado pelos ângulos medidos.

• Az_final = Azimute final conhecido.

Desta forma, a primeira ação a ser realizada é o cálculo do azimute final pelas duas formas.

a) Cálculo do Azimute Final

Observem que, o caminhamento desta poligonal se inicia de B para A, na sequência para M₁, M₂, ..., M₁₀, I e J. No entanto o azimute dado na questão é de A para B. Destar forma precisamos calcular o azimute inicial do caminhamento. Mas, vejam que, como não temos as coordenadas do ponto B, não é possível aplicar a formulação do Rumo para determinar este azimute, no entanto, aqui, basta aplicarmos o conceito de contra-azimute. Que basicamente indica a direção oposta de um azimute conhecido.

Assim, facilmente calculamos o Azimute de B para A.

Az_inicial = Az_AB + 180° = 320°50'46" + 180° = 500°50′46" − 360° = 140° 50'46"

Agora iremos calcular os somátório dos ângulos medidos em campo:

Σ_α = 173°58’32” + 182°40’30” + 139°56’00” + … + 109°02’00” + 196°00’00” + 217°41’26” + 110°57’00”
Σ_α = 2063°39'33"
De posse dessas informações, agora podemos calcular o azimute final:

Az_{final_𝐶𝑎𝑙} = 140°50'46" + 2063°39'33" - 12 x 180° = 44°30'19"
Alguns mais curiosos devem estar se perguntando: "Como assim Deniezio, pq só 12 o número de vertices?" A resposta é simples, tanto o ponto B como o ponto J, serviram apenas de apoio, no caso o instrumento (estação total/teodolito) não foi estacionado sobre eles.

b) Cálculo do erro angular.

O erro angular em uma poligonal enquadrada é dado por:

Assim:

E_a = 44°30'19"− 44°31'08" = -00°00'49"
c) Correção angular.

De posse do erro angular, a próxima etapa é a determinação da correção angular, ou seja, é determinar o quanto será compensado, igualmente, em cada ângulo, afim de eliminar o erro angular.

C_a = - (-49" / 12) = 4,08"
d) Ângulos horizontais corrigidos.

Para determinar os ângulos corrigidos, basta somar a cada ângulo medido em campo o valor da correção (4,08").

Desta forma temos:

2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.

Já é de nosso conhecimento que, em trabalhos com poligonais topográficas, o azimute de um alinhamento é determinado pelo azimute do alinhamento anterior e o ângulo horizontal medido conforme a equação:

Assim:</>

3. Cálculo das projeções relativas

O cálculo das projeções relativas estabelece a relação entre os azimutes dos alinhamentos e as distâncias obtidas em campo. Admitindo que o levantamento esteja orientado em relação ao norte magnético ou ao norte verdadeiro, essa direção é adotada como coincidente com o eixo das ordenadas (Y). Consequentemente, o eixo das abscissas (X) é definido perpendicular a esse, formando um sistema de eixos cartesianos ortogonais.

Substituindo para os valores que temos:

4. Cálculo do erro linear (E_L) e verificação da Tolerância Linear

4.1 Erro linear

Assim:

∆_x = 1.897,247 – (17.476,084 – 15.578,475)= −0,362 m ∆_y = −1.003,372 – (1.458,035 – 2.463,107) = 1,700 m

5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas

5.1 Correções das projeções

Desta forma:

5.2 Projeções corrigidas

Substituindo

6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse

6.1 Coordenadas dos vértices

7. Cálculo dos azimutes corrigidos e distâncias corrigidas

Fica como dever de casa...

Referências

ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
SILVA, Irineu da; SEGANTINE, Paulo Cesar Lima. C. L. Topografia para engenharia: Teoria e prática de geomática. São Paulo: Ed. Elsevier, 2015.
TULER, M.; SARAIVA, S. Fundamentos de Topografia. Porto Alegre: Bookman, 2014.
VEIGA, L. A. K; Zanetti, M. A. Z; FAGGION, P. L. Fundamentos de Topografia. Universidade Federal do Paraná, 2007.
VERAS, R. C. Topografia roteiro para cálculo de Poligonal. 54 pag. – 1ª ed. 1997 – EDUFPI – Teresina.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Cálculo dos Resíduos e Verificação do Ajustamento.

Após a determinação das incógnitas pelo Método dos Mínimos Quadrados, é necessário avaliar a qualidade do ajustamento. Isso é feito por meio do cálculo dos resíduos, que representam as correções aplicadas às observações. A análise dos resíduos permite verificar a consistência dos dados e constitui a base para a avaliação estatística do ajustamento geodésico.

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Cálculo dos Resíduos e Verificação do Ajustamento

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Objetivos

1. Compreender o significado dos resíduos no ajustamento.
2. Calcular o vetor de resíduos.
3. Interpretar os resultados do ajustamento.
4. Verificar a consistência das observações.
5. Preparar a base para a estimativa da variância a posteriori.

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1. Conceito de resíduo

No modelo paramétrico:

O vetor:

É chamado de vetor de resíduos.

Cada componente (v_i) representa a correção aplicada à observação (L_i).

2. Cálculo dos resíduos

Após determinar:

Os resíduos são obtidos por:

Ou, equivalentemente:

3. Propriedade importante

No ajustamento por mínimos quadrados:

Isso significa que os resíduos são ortogonais ao espaço das incógnitas, garantindo a condição de mínimo.

4. Interpretação física

Os resíduos indicam:

• Quanto cada observação foi corrigida.
• A coerência do conjunto de dados.
• A possível presença de erros grosseiros.

Resíduos muito grandes podem indicar:

• Observações inconsistentes.
• Problemas de modelagem.
• Erros de medição.

5. Soma ponderada dos quadrados dos resíduos

Após o ajustamento, calcula-se:

Esse valor representa a soma ponderada dos quadrados dos resíduos e será utilizado para estimar a variância a posteriori.

6. Exemplo Resolvido

Observações de uma distância (pesos iguais): 100,012; 100,018; 100,010.

Temos que:

• Passo 1 – Matriz A

• Passo 2 – Valores calculados

• Passo 3 – Resíduos

• Passo 4 – Soma dos quadrados

Como P = I:

7. Exercício Proposto

Observações (pesos iguais): 50,006; 50,010; 50,004; 50,008.

Valor ajustado:

Calcule:

a) os resíduos

b) v^T v

7.1 Resposta final esperada.

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8. Conclusão

O cálculo dos resíduos permite avaliar a consistência das observações e verificar a qualidade do ajustamento. A soma ponderada dos quadrados dos resíduos é um indicador fundamental para a análise estatística e para a estimativa da precisão dos resultados.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Estrutura Matricial do MMQ.

O Método dos Mínimos Quadrados se torna realmente poderoso em Geodésia quando é formulado em linguagem matricial. A estrutura matricial permite representar grandes redes de observações, combinar diferentes tipos de medidas e aplicar pesos de forma consistente. Nesta aula, organizamos o MMQ em sua forma matricial padrão, identificando os vetores e matrizes fundamentais que serão usados em todos os problemas de ajustamento paramétrico.

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Aula 022 – Estrutura Matricial do Método dos Mínimos Quadrados

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Objetivos

1. Identificar os elementos matriciais do ajustamento (L, x, A, v, P).
2. Compreender o modelo linear paramétrico em forma matricial.
3. Entender a função objetivo na forma matricial.
4. Montar as equações normais usando álgebra matricial.
5. Interpretar dimensões e significado físico de cada matriz.

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1. Vetores e matrizes fundamentais

No ajustamento paramétrico, definimos:

• L: vetor de observações (n × 1)

• x: vetor de incógnitas (u × 1)

• A: matriz de coeficientes (ou matriz de projeto) (n × u)

• v: vetor de resíduos (n × 1)

• P: matriz de pesos (n × n), simétrica e positiva definida.

2. Modelo linear do MMQ em forma matricial

O modelo paramétrico linear é:

ou, isolando resíduos:

2.1 Dimensões (checagem rápida)

• Ax resulta em (n × u)(u × 1)=(n × 1), compatível com L.

Essa checagem de dimensões evita erros de modelagem.

3. Função objetivo (critério) em forma matricial

Com pesos:

Interpretação:

• v^T P v é um escalar (1 × 1)
• resíduos maiores e observações com maior peso aumentam Φ

Sem pesos (caso particular):

4. Formação matricial das equações normais

Substituindo v=A_x-L) em Φ e aplicando a condição de mínimo, obtém-se:

Define-se a matriz normal:

e o vetor do segundo membro:

Assim:

5. Solução matricial

Se N for inversível:

Pontos-chave:

• N é (u × u)
• a inversão ocorre no espaço das incógnitas (normalmente menor que n)

6. Observações sobre estabilidade (visão geodésica)

A estrutura matricial deixa claro que o ajustamento depende de:

• modelo bem definido (A com posto completo)
• pesos coerentes (P positiva definida)
• redundância suficiente (n > u)

Se o posto de A for insuficiente, N pode ficar singular e o sistema não terá solução única sem restrições.

7. Exemplo Resolvido (estrutura matricial completa)

Três observações de uma mesma grandeza:

Uma incógnita:

Modelo: L+v=A_x) com

• Passo 1 – Matriz normal

• Passo 2 – Segundo membro

• Passo 3 – Solução

8. Exercício Proposto

Considere:

Monte:

a) N=A^T P A

b) u=A^T P L

c) x=N^-1u

8.1 Resposta final esperada

⇒Clique aqui⇐

9. Conclusão

A estrutura matricial do MMQ organiza o ajustamento em termos de vetores e matrizes fundamentais: (L, x, A, v, P). Essa formulação permite tratar redes geodésicas complexas e conduz diretamente às equações normais e à solução por álgebra linear.

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