Topografia - Roteiro para o cálculo de uma poligonal fechada (Método Analítico)

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1 INTRODUÇÃO

A poligonação, também conhecida como caminhamento, consiste em uma sequência de distâncias e ângulos medidos entre pontos adjacentes, formando linhas poligonais ou polígonos. Inicia-se com uma linha formada por dois pontos conhecidos, determinam-se novos pontos ao longo do percurso até atingir uma linha composta por pontos também conhecidos.

Por meio da poligonal, é possível estabelecer uma série de pontos de apoio para levantamentos topográficos, a partir dos quais coordenadas de outros pontos podem ser determinadas, utilizando métodos como a irradiação. Conforme a NBR 13133 (1994, ABNT), as poligonais são classificadas em:

• Principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem;
• Secundária: poligonal que, apoiada nos vértices da poligonal principal, determina os pontos de apoio topográfico de segunda ordem;
• Auxiliar: poligonal usada para coletar pontos de detalhes considerados importantes.

Em campo, as poligonais topográficas podem ser classificadas como FECHADA (o levantamento inicia e termina no mesmo ponto cujas coordenadas são conhecidas), ENQUADRADA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e chega a outro ponto de coordenadas também conhecidas) e ABERTA (o levantamento parte de um ponto de coordenadas conhecidas e termina em um ponto cujas coordenadas são desconhecidas).

Após a conclusão do levantamento topográfico em campo, durante o qual são medidos ângulos e distâncias, passamos para a fase de escritório. Nesta etapa, são realizados cálculos para determinar as coordenadas dos vértices da poligonal levantada. Essas coordenadas são referenciadas a um sistema cartesiano plano ortogonal, com os eixos coincidindo nas direções leste-oeste e norte-sul, respectivamente.

Embora o método de Bowditch (Compensação) seja amplamente utilizado globalmente, ele não é um procedimento de ajustamento muito rigoroso, pois presume regularidade na precisão dos ângulos e distâncias dos lados, o que nem sempre é alcançado em levantamentos. No método de Bowditch, o erro angular é distribuído igualmente entre os vértices da poligonal, e a compensação linear é realizada distribuindo o erro de forma proporcional aos comprimentos dos lados da poligonal.

A seguir, serão apresentadas as etapas para o cálculo de uma poligonal topográfica pelo Método Analítico (Bowditch), conforme demonstrado por Oliveira e Saraiva (1998).

2 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE UMA POLIGONAL FECHADA

De forma resumida, o roteiro para o cálculo de uma poligonal topográfica fechada consiste:

1. Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular.
2. Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.
3. Cálculo das projeções relativas.
4. Cálculo do erro linear e verificação da tolerância.
5. Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.
6. Cálculo das coordenadas planas dos pontos de interesse.
7. Cálculo da área, cálculo dos azimutes corrigidos e cálculo dos lados corrigidos.

Para melhor visualisarmos a sequência de cálculos, utilizaremos de um exemplo prático:

Exemplo: Foi realizado um levantamento topográfico a partir do método poligonação (poligonal fechada, com caminhamento no sentido horário e medição de ângulos horizontais horários externos a poligonal) conforme croqui apresentado. Os resultados das medições em campo encontram-se no caderneta de campo apresentada.

2.1 Cálculo da média dos ângulos PD e PI

As medições de ângulos horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. Essa abordagem é conhecida como leitura de pares conjugados, em que a média é calculada pela seguinte fórmula:

$\alpha$_i = $\frac{\mathrm{PD}+\mathrm{PI}}{2}\pm \mathrm{90°}$
A condição de somar-se ou subtrair-se 90° (noventa graus) depende:

• Se a leitura em PD for maior que a leitura em PI → Soma-se 90°.
• Se leitura em PD for menor que a leitura em PI → Subtrai-se 90°.

Assim, para o ângulo lido com a estação no vértice VT02, temos:

• Para a leitura a ré:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}\pm \mathrm{90°}$
Observa-se que a leitura em PD é menor que a leitura em PI assim:

$\alpha$_ré=$\frac{\mathrm{00°00\text{'}00"}+\mathrm{180°00\text{'}01"}}{2}-\mathrm{90°}$
$\alpha$_ré = 00°00'0,5"

• Para a leitura a vante:

$\alpha$_vante = $\frac{\mathrm{169°52\text{'}28"}+\mathrm{349°52\text{'}28"}}{2}-\mathrm{90°}$
Tivemos novamente PD menor que PI. Dessa forma:

$\alpha$_vante = 169°52'28"
De posse dos ângulos de ré e de vante, faz-se então o cálculo do ângulo poligonal, que no caso, trata-se do ângulo que realmente será utilizado no cálculo:

$\alpha$_(n) = α_vante - α_ré

• Para o VT02.

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" - 00°00'0,5" = 169°52'28"
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

α_P01 = 331°37’53”
α_P02 = 197°05’43”
α_P03 = 301°58’11”
α_P04 = 259°25’44”

2.2 Cálculo das médias das distâncias em PD e PI

As medições das distâncias horizontais são realizadas nas posições direta (PD) e inversa (PI) da luneta. O cálculo da média é determinado pela seguinte fórmula:

$dh$_ij = $\frac{\mathrm{dh_PD}+\mathrm{dh_PI}}{2}$
Assim, para as distâncias lidas com a estação no vértice VT02 com vante em P₀₁, temos:

$\mathrm{dh_{VT<mn>₀₂</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$ \frac{\mathrm{50,830}+\mathrm{50,830}}{2}$$
$\mathrm{dh_{VT_<mn>02</mn><mo>-</mo>P<mn>₀₁</mn>}}=$50,830 m
Repetindo a sequência de cálculo para os demais vértices, temos:

dh_P01-P02 = 53,527 m
dh_P02-P03 = 74,274 m
dh_P03-P04 = 52,378 m
dh_P04-VT02 = 51,411 m

2.3 Cálculo, verificação da tolerância e correção do erro angular

Em uma poligonal geometricamente fechada E_a = 0, a soma dos ângulos, expressa no sistema sexagesimal, segue uma das seguintes fórmulas:

$\sum \alpha$_internos = (n - 2) . 180°
$\sum \alpha$_externos = (n + 2) . 180°
Em que n = número de vértices.

Claramente, o valor resultante da soma dos ângulos medidos em campo divergirá do resultado obtido pela aplicação de uma das fórmulas mencionadas anteriormente. Essa divergência é conhecida como Erro Angular.

$E_a=\sum \alpha$_campo - ∑α_p.g.f
Em que:
- ∑α_campo = somatório dos ângulos medidos em campo.
- ∑α_p.g.f = somatório angular em uma poligonal geometricamente fechada com o mesmo número de vértices.

Para os ângulos do exemplo, temos que os ângulos são externos, assim:

$\sum \alpha$_p.g.f = (5 + 2) . 180° = 1260°00'00"
O somatório dos ângulos medidos em campo é igual a:

$\sum \alpha$_campo = 169°52'28" + 331°37'53" + 197°05'43" + 301°58'11" + 259°25'44" = 1259°59'59"
Assim, o erro angular para a presente poligonal é:

$E$_a = 1259°59'58" - 1260°00'00" = -00°00'01"
2.3.1 Tolerância para o erro angular

Para que a compensação do erro de fechamento seja possível, é essencial que este seja inferior ao valor de tolerância previamente estabelecido.

$T$_a = ±k$\sqrt{n}$
Em que: k = coeficiente variável de 1”, 2” ou 3”, função da maior ou menor precisão desejada e n = número de vértices da poligonal.

A condição para distribuir o erro angular é:

$|E$_a| ≤ |T_a|
Para o levantamento do exemplo, a tolerância foi dada por:

$\mathrm{T_a}=\pm 3$ \sqrt{5}$=$±6,71"
Como $\mathrm{<mo>-</mo>6,71"}\le \mathrm{<mo>-</mo>1,0"}\le \mathrm{<mo>+</mo>6,71"}$, pode-se distribuir o erro angular.

2.3.2 Correção angular

O erro angular é distribuído de maneira uniforme entre todos os vértices. A correção angular por vértice é calculada pela seguinte fórmula:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{\mathrm{E_a}}{n})$$
Em que E_a = erro angular e n = número de vértices.

Para o levantamento do exemplo:

$\mathrm{C_a}=$ -(\frac{-\mathrm{1,0"}}{5})$=$0,2"
2.3.3 Ângulos corrigidos

Os ângulos corrigidos são determinados pela seguinte equação:

$\alpha$_C= α_i + C_a
Para o ângulo medido em VT₀₂:

$\alpha$_VT02 = 169°52'28" + 0,2" = 169°52'28,2"
Repetindo o cálculo para os demais ângulos temos:

α_P01 = 331°37'53" + 0,2" = 331°37'53,2"
α_P02 = 197°05'43" + 0,2" = 197°05'43,2"
α_P03 = 301°58'11" + 0,2" = 301°58'11,2"
α_P04 = 259°25'44" + 0,2" = 259°25'44,2"

Para verificar que a poligonal levantada foi corrigida, basta realizar o somatório dos ângulos corrigidos:

$\sum \alpha$_C = 169°52'28,2" + 331°37'53,2" + 197°05'43,2" + 301°58'11,2" + 259°25'44,2" = 1260°00'00"
2.4 Cálculo dos azimutes dos alinhamentos

O azimute é o ângulo horário medido a partir do norte até o alinhamento, abrangendo uma variação de 0° a 360°.

Em projetos envolvendo poligonais topográficas, o azimute de um alinhamento é calculado a partir do azimute do alinhamento anterior e do ângulo horizontal medido, conforme expresso na seguinte equação:

• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido horário.
• $\mathrm{Az_n}=\mathrm{Az_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}-\alpha$_i ± 180° → para α_i no sentido anti-horário.

Em que: Az_n é o azimute a se determinar; Az_(n-1) é o azimute do alinhamento anterior; α_i é o ângulo horizontal medido.

2.4.1 Azimute de um alinhamento em função das coordenadas

Em relação a determinação pelas coordenadas, como vimos na postagem sobre orientação, o rumo e o azimute relacionam-se conforme o quadro abaixo:

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$ → As coordenadas dos pontos conhecidos estão em UTM.

• Azimute do alinhamento VT₀₁-VT₀₂.

$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{743.942,882}-\mathrm{743.931,134}}{\mathrm{9.440.805,186\; <mo>-</mo>\; 9.440.803,370}}$)+C$
$\mathrm{Az_{VT_<mn>01</mn>VT_<mn>02</mn>}}=atan($ \frac{\mathrm{11,748}}{\mathrm{1,816}}$)+\mathrm{0°}=$81°12'46"
2.4.2 Azimutes dos alinhamentos da poligonal

Utilizando-se da equação exibida no tópico 2.3, calculam-se os azimutes dos alinhamentos da poligonal. O azimute do alinhamento VT02-P01 é calculado inicialmente em função do azimute VT₀₁-VT₀₂ e o ângulo de orientação que foi medido em campo. Assim:

$\mathrm{Az_{VT_<mn>02</mn>P_<mn>01</mn>}}=\mathrm{81°12\text{'}46"\; <mo>+</mo>\; 280°27\text{'}15"}\pm \mathrm{180°}$
$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=\mathrm{361°40\text{'}01"}-\mathrm{180°}=$181°40'01"
Para os demais alinhamentos:

$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=181°40\text{'}01"+331°37\text{'}53,2"-180°=$333°17'54,2"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=333°17\text{'}54,2"+197°05\text{'}43,2"-180°=$350°23'37,4"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=350°23\text{'}37,4"+301°58\text{'}11,2"-180°=$472°21'48,6" - 360° = 112°21'48,6"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=112°21\text{'}48,6"+259°25\text{'}44,2"-180°=$191°47'32,8"

Conferência:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=191°47\text{'}32,8"+169°52\text{'}28,2"-180°=$181°40'01"

2.5 Cálculo das projeções relativas

O cálculo das projeções relativas conecta os azimutes e as distâncias medidas em campo. Quando o levantamento topográfico está alinhado com o norte magnético ou verdadeiro, é necessário que essa direção coincida com o eixo das ordenadas Y. O eixo da abscissa X, por sua vez, forma um ângulo de 90° com o eixo das ordenadas, constituindo assim o par de eixos cartesianos (Veras, 2011).

$\mathrm{x_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{sen(Az_ij)}$
$\mathrm{y_ij}=\mathrm{d_ij}\times \mathrm{cos(Az_ij)}$

• Para a direção X (E).

$\mathrm{x_{VT₀₂-P₀₁}}=\mathrm{50,830}\times sen(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-1,479 m
$\mathrm{x_{P₀₁-P₀₂}}=\mathrm{53,527}\times sen(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$-24,052 m
$\mathrm{x_{P₀₂-P₀₃}}=\mathrm{74,274}\times sen(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$-12,395 m
$\mathrm{x_{P₀₃-P₀₄}}=\mathrm{52,378}\times sen(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$48,439 m
$\mathrm{x_{P₀₄-VT₀₂}}=\mathrm{51,411}\times sen(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-10,507 m

Erro na direção X → $\sum$_xij = Δ_x = 0,007 m

• Para a direção Y (N).

$\mathrm{y_{VT₀₂-P₀₁}}=50,830\times cos(\mathrm{181°40\text{'}01"})=$-50,808 m
$\mathrm{y_{P₀₁-P₀₂}}=53,527\times cos(\mathrm{333°17\text{'}54,2"})=$47,819 m
$\mathrm{y_{P₀₂-P₀₃}}=74,274\times cos(\mathrm{350°23\text{'}37,4"})=$73,233 m
$\mathrm{y_{P₀₃-P₀₄}}=52,378\times cos(\mathrm{112°21\text{'}48,6"})=$-19,929 m
$\mathrm{y_{P₀₄-VT₀₂}}=51,411\times cos(\mathrm{191°47\text{'}32,8"})=$-50,326 m

Erro na direção Y → $\sum$_yij = Δ_y = -0,012 m

2.5.1 Erro linear

Fonte: Adaptado de Veras, 2011.
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(<mo>\Delta </mo>_x)²\; +\; (<mo>\Delta </mo>_y)²</mn></msqrt></math>}$
$\mathrm{E_L\; <mo>=</mo>\; <math><msqrt><mn>(0,007)²\; <mo>+</mo>\; (<mo>-</mo>0,012)²</mn></msqrt></math>\; <mo>=</mo>\; <b><mn>0,014</mn>\; m</b>}$
2.5.2 Tolerância para o erro linear

$\mathrm{T_L}=\pm d$ \sqrt{L}$$_km
Em que: d é um coeficiente em função da classe da poligonal (Ver NBR 13133); L é o perímetro da poligonal em km.

Para a poligonal do exemplo temos:

d = 0,42 (Coeficiente para uma poligonal classe IIIP (NBR 13133).
L = 50,830 + 53,527 + 74,274 + 52,378 + 51,411 = 282,420 m = 0,28242 km

$\mathrm{T_L}=\pm \mathrm{0,42}$ \sqrt{\mathrm{0,282}}$=$0,223 m
2.6 Cálculo das correções das projeções e projeções corrigidas.

As correções das projeções podem ser determinadas proporcionalmente aos lados ou ao módulo da projeção correspondente. O erro em um eixo guarda relação com o perímetro da mesma forma que a correção relativa à projeção de um lado se relaciona com esse lado.

2.6.1 Correção das projeções

• Para a direção X (E).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{x_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _x}}{P}$=\mathrm{K_x}$

Temos: $\mathrm{C_{x_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_x}$ → Fórmula da Correção na Direção X

Aplicando a fórmula para a direção X, temos:

$\mathrm{K_x}=$ \frac{\mathrm{0,007}}{\mathrm{282,420}}$=\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{x_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0013 m
$\mathrm{C_{x_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0017 m
$\mathrm{C_{x_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\mathrm{C_{x_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{2,335610231}.$ {10}^{-5}$=$-0,0012 m
$\sum$_Cxij = -0,007 m

• Para a direção Y (N).

$$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=$ \frac{\mathrm{C_{y_ij}}}{\mathrm{d_ij}}$$
Em que: C_xij; C_xij = correção das projeções; P = Perímetro e d_ij = comprimento do alinhamento.

Fazendo: $$ \frac{\mathrm{\Delta _y}}{P}$=\mathrm{K_y}$

Temos: $\mathrm{C_{y_ij}}=-\mathrm{d_ij}\times \mathrm{K_y}$ → Fórmula da Correção na Direção Y

Aplicando a fórmula para a direção Y, temos:

$\mathrm{K_y}=$ \frac{-\mathrm{0,012}}{\mathrm{282,420}}$=-\mathrm{4,231673716}.$ {10}^{-5}$$

$\mathrm{C_{y_VT₀₂_P₀₁}}=-\mathrm{50,830}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₁_P₀₂}}=-\mathrm{53,527}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0023 m
$\mathrm{C_{y_P₀₂_P₀₃}}=-\mathrm{74,274}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0031 m
$\mathrm{C_{y_P₀₃_P₀₄}}=-\mathrm{52,378}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\mathrm{C_{y_P₀₄_VT₀₂}}=-\mathrm{51,411}.\mathrm{(-4,231673716)}.$ {10}^{-5}$=$0,0022 m
$\sum$_Cyij = 0,012 m

2.6.2 Projeções corrigidas

Com as correções aplicadas aos alinhamentos, procede-se ao cálculo das projeções ajustadas:

• Para a direção X.

$\mathrm{x_{c_ij}}=\mathrm{x_ij}+\mathrm{C_{x_ij}}$
$\mathrm{x_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>1,479}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-1,480 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>24,052}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0013})=$-24,053 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{<mo>-</mo>12,395}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0017})=$-12,396 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₃P₀₄}}}=\mathrm{48,439}+(-\mathrm{0,0012})=$48,437 m
$\mathrm{x_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>10,507}+(\mathrm{<mo>-</mo>0,0012})=$-10,508 m
$\sum$_xcij = 0,000 m

• Para a direção Y.

$\mathrm{y_{c_ij}}=\mathrm{y_ij}+\mathrm{C_{y_ij}}$
$\mathrm{y_{c_{VT₀₂P₀₁}}}=\mathrm{<mo>-</mo>50,808}+\mathrm{0,0022}=$-50,806 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₁P₀₂}}}=\mathrm{47,819}+\mathrm{0,0023}=$47,821 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₂P₀₃}}}=\mathrm{73,233}+\mathrm{0,0031}=$73,236 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₃P₀₄}}}=-\mathrm{79,929}+\mathrm{0,0022}=$-19,927 m
$\mathrm{y_{c_{P₀₄VT₀₂}}}=\mathrm{<mo>-</mo>-50,326}+\mathrm{0,0022}=$-50,324 m
$\sum$_ycij = 0,000 m

2.7 Cálculo das coordenadas planas dos pontos da poligonal.

As coordenadas do vértice desejado são obtidas somando as coordenadas do vértice anterior à projeção corrigida do alinhamento formado entre esses dois pontos. Matemáticamente a explicação anterior, que para o caso da poligonal do exemplo está em UTM, fica:

$\mathrm{E_n}=\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
$\mathrm{N_n}=\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}+\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}$
Em que:

$\mathrm{E_n}=$ Coordenada Este do ponto de interesse.
$\mathrm{E_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Este do vértice anterior.
$\mathrm{x_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida x_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.
$\mathrm{N_n}=$ Coordenada Norte do ponto de interesse.
$\mathrm{N_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}=$ Coordenada Norte do vértice anterior.
$\mathrm{y_{c_{(n<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}}=$ Projeção corrigida y_c do alinhamento entre o ponto de interesse e o ponto anterior.

Assim:

• Para as coordenadas E.

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=$743942,882 m
$E$_P01 = 743942,882 + (-1,480) = 743941,402 m
$E$_P02 = 743941,402 + (-24,053) = 743917,349 m
$E$_P03 = 743917,349 + (-12,396) = 743904,953 m
$E$_P04 = 743904,953 + 48,437 = 743953,390 m

$\mathrm{E_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{743953,390}+(-\mathrm{10,508})=$743942,882 m ← conferência.

• Para as coordenadas N.

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=$9440805,186 m
$N$_P01 = 9440805,186 + (-50,806) = 9440754,380 m
$N$_P02 = 9440754,380 + 47,821 = 9440802,201 m
$N$_P03 = 9440802,201 + 73,236 = 9440875,436 m
$N$_P04 = 9440875,436 + (-19,927) = 9440855,510 m

$\mathrm{N_{VT_<mn>02</mn>}}=\mathrm{9440855,510}+(-\mathrm{50,324})=$9440805,186 m ← conferência.

2.8 Cálculo da área da poligonal

Para o cálculo da área da poligonal, usaremos a Fórmula de Gauss. Gauss desenvolveu uma fórmula notável para calcular a área de qualquer polígono. Essa fórmula utiliza as coordenadas cartesianas dos vértices do polígono.
Vamos considerar um polígono irregular com n lados, e suponha que conhecemos as coordenadas de seus vértices $(E$_n, N_n), n = 1, 2, ... n - 1, sendo o primeiro vértice coincidente com o último.

$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) + (N₀₁×E₀₂ - ... - N_(n-1)×E_n - N_n×E₀₁)
$2S=(E$₀₁×N₀₂ + ... + E_(n-1)×N_n + E_n×N₀₁) - (N₀₁×E₀₂ + ... + N_(n-1)×E_n + N_n×E₀₁)
$2S=$ |\sum E\times N$$_(n+1) - $\sum N\times E$_(n+1)|
OBS: O cálculo em módulo é para não termos um valor final de área negativo.

• Para a poligonal do exemplo.

$\sum$_E×N(n+1) = 743942,882×9440754,380 + 743941,402×9440802,201 + 743917,349×9440875,436 + 743904,953×9440855,510 + 743953,390×9440805,186 = 3,5116634866×10¹³ m²
$\sum$_N×E(n+1) = 9440805,186×743941,402 + 9440754,380×743917,349 + 9440802,201×743904,953 + 9440875,436×743953,390 + 9440855,510×743942,882 = 3,5116634872×10¹³ m²

Assim:

$2S=$ |\sum \mathrm{3,5116634866\times 10¹³}-\mathrm{3,5116634872\times 10¹³}|$=$5846,703 m²

$S=$ \frac{\mathrm{5846,703}}{2}$=$2923,352 m² ∴ 0,292 ha

2.9 Cálculo dos azimutes corrigidos

Os azimutes corrigidos são determinados em relação às projeções corrigidas ou às coordenadas totais. A atenção aos sinais das projeções é crucial, pois eles indicarão o quadrante no qual o alinhamento está situado.

$\mathrm{Az_ij}=\; atan($ \frac{\mathrm{\Delta E}}{\mathrm{\Delta N}}$)+C$
$\Delta E=$ E$$_(n+1) - $\mathrm{E_n}=\mathrm{x_{C_ij}}$
$\Delta N=$ N$$_(n+1) - $\mathrm{N_n}=\mathrm{y_{C_ij}}$
Desta forma, para os alinhamentos da poligonal do exemplo:

$\mathrm{Az_{VT₀₂P₀₁}}=atan($ \frac{\mathrm{-1,480}}{\mathrm{-50,806}}$)+\mathrm{180°}=$181°40'06"
$\mathrm{Az_{P₀₁P₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-24,053}}{\mathrm{47,821}}$)+\mathrm{360°}=$333°17'54"
$\mathrm{Az_{P₀₂P₀₃}}=atan($ \frac{\mathrm{-12,396}}{\mathrm{73,236}}$)+\mathrm{360°}=$350°23'34"
$\mathrm{Az_{P₀₃P₀₄}}=atan($ \frac{\mathrm{48,437}}{\mathrm{-19,927}}$)+\mathrm{180°}=$112°21'42"
$\mathrm{Az_{P₀₄VT₀₂}}=atan($ \frac{\mathrm{-10,508}}{\mathrm{-50,324}}$)+\mathrm{180°}=$191°47'39"

2.10 Cálculo dos lados corrigidos

Os lados corrigidos são determinados em relação às coordenadas totais ou às projeções corrigidas.

$\mathrm{d_ij}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>E)}}^2$+$ {\mathrm{(<mo>\Delta </mo>N)}}^2$}$$

$\mathrm{d_{VT₀₂P₀₁}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-1,480)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,806)}}^2$}$=$50,828 m
$\mathrm{d_{P₀₁P₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-24,053)}}^2$+$ {\mathrm{47,821}}^2$}$=$53,530 m
$\mathrm{d_{P₀₂P₀₃}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-12,396)}}^2$+$ {\mathrm{73,236}}^2$}$=$74,277 m
$\mathrm{d_{P₀₃P₀₄}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{48,437}}^2$+$ {\mathrm{(-19,927)}}^2$}$=$53,376 m
$\mathrm{d_{P₀₄VT₀₂}}=$ \sqrt{$ {\mathrm{(-10,508)}}^2$+$ {\mathrm{(-50,324)}}^2$}$=$51,409 m

3 CONCLUSÃO

Dessa forma, a poligonal foi corrigida integralmente, abrangendo tanto os aspectos angulares quanto lineares. No próximo post, procederemos com os cálculos e a elaboração da planta topográfica desse exemplo.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
OLIVEIRA, M. T.; SARAIVA, S. Fundamentos da Topografia. 1998.
VERAS, R. C. Topografia roteiro para cálculo de Poligonal. 54 pag. – 1ª ed. 1997 – EDUFPI – Teresina.

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EXTRA: Ajustamento de uma poligonal fechada pelo Método dos Mínimos Quadrados.

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Topografia - Levantamento Planimétrico - Poligonação

INTRODUÇÃO

Como mencionado na postagem anterior, o termo "levantamento" refere-se ao conjunto de operações realizadas no campo e no escritório, utilizando métodos e instrumentos específicos, com o objetivo de obter os elementos necessários para a representação geométrica de uma determinada extensão de terreno, denominada superfície topográfica. Durante os trabalhos de campo, os pontos do terreno são identificados por meio da medição de ângulos e alinhamentos, sendo esses elementos fundamentais para a representação geométrica da área. No escritório, após realizar os cálculos necessários a partir dos dados (ângulos e distâncias) numericamente determinados no campo, procede-se à elaboração do desenho em papel, representando a projeção horizontal da área levantada (Comastri; Gripp Júnior, 1998).

O levantamento topográfico é planimétrico, quando visa a pesquisa dos limites e confrontações de uma propriedade envolve a determinação do seu perímetro, abrangendo, quando aplicável, o alinhamento com vias ou logradouros frontais, além da orientação e amarração a pontos materializados no terreno, pertencentes a uma rede cadastral de referência. Na ausência dessa rede, são utilizados pontos notáveis e estáveis nas proximidades. Quando esse levantamento tem o propósito de identificar a titularidade do imóvel, outros elementos complementares são necessários, como perícia técnico-judicial, memorial descritivo, entre outros (ABNT, 1994).

Existem vários métodos para a realização de um levantamento topográfico planimétrico, podemos citar a poligonação, a irradiação, a interseção, dentre outros. Neste post iremos abordar sobre o Levantamento Planimétrico pelo Método da Poligonação ou Caminhamento.

2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO - POLIGONAÇÃO

A poligonação é amplamente utilizada como método em levantamentos topográficos para determinar as coordenadas de pontos de interesse, especialmente em operações voltadas à definição de pontos de apoio planimétricos. Essencialmente, uma poligonal é constituída por uma sequência de linhas consecutivas, em que os comprimentos e direções são conhecidos, sendo obtidos por meio de medições realizadas em campo (VEIGA et al., 2012).

A NBR 13133 (ABNT, 1994) categoriza as poligonais topográficas em auxiliares, principais e secundárias. As poligonais resultantes de levantamentos topográficos de campo podem ser classificadas como fechadas, enquadradas ou abertas.

2.1 Poligonal auxiliar

Uma poligonal auxiliar é fundamentada nos pontos de apoio topográfico, e seus vértices são distribuídos na área a ser levantada, possibilitando a coleta de pontos de interesse de maneira direta ou indireta.

2.2 Poligonal principal

Por outro lado, uma poligonal principal é aquela que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem.

2.3 Poligonal secundária

Já uma poligonal secundária é aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, estabelece os pontos de apoio topográfico de segunda ordem.

2.4 Poligonal fechada

Uma poligonal fechada é caracterizada pelo fato de que o ponto de início do levantamento é o mesmo que o ponto de término. Esse tipo de poligonal apresenta a vantagem de permitir a verificação de erros de fechamento angular e linear.

2.5 Poligonal enquadrada

Em uma poligonal enquadrada, o levantamento tem início em dois pontos cujas coordenadas são previamente conhecidas e termina em outros dois pontos com coordenadas também previamente estabelecidas. Nesse tipo de poligonal, é igualmente viável realizar a verificação de erros de fechamento angular e linear.

2.5 Poligonal aberta

Em uma poligonal aberta, a origem é um ponto com coordenadas previamente conhecidas, e a finalização ocorre em um ponto cujas coordenadas são o objeto da determinação. Nesse caso, não há controle sobre os erros, tanto angulares quanto lineares.

Em nossas próximas postagem mostraremos o cálculo de cada uma das poligonais citadas: Fechada, Enquadrada e Aberta.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133. Execução de Levantamento Topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35 p.
COMASTRI, J. A.; GRIPP JÚNIOR, J. Topografia Aplicada: Medição, Divisão e Demarcação. Viçosa: UFV, 1998. 203p.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de Topografia. Paraná: [s.n.], 2012. 288 p.

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Topografia - Introdução a Planimetria

1 INTRODUÇÃO

A topometria, dentro do campo da topografia, é responsável pela avaliação de grandezas para a representação do ambiente. A planimetria, por sua vez, é uma parte da topometria que se concentra nos procedimentos, métodos e instrumentos de medição de ângulos e distâncias, levando em consideração um plano horizontal, ou seja, sem considerar o relevo (Tuler e Saraiva, 2014). Em resumo, a planimetria lida especificamente com a representação de pontos e objetos na superfície da Terra em duas dimensões, sem levar em conta as diferenças de elevação.

Fonte: Tuler e Saraiva, 2014.
1.1 O que é fazer um levantamento topográfico?

Um levantamento ou medição é o processo de realizar todas as operações e medidas necessárias para determinar a posição relativa dos pontos que constituem uma parte da superfície terrestre (ESPARTEL, 1980).

O levantamento topográfico é o conjunto de operações que envolvem trabalhos de campo e de escritório com o objetivo de coletar os dados necessários para a representação geométrica de uma área de terreno específica (COMASTRI, 1977).

Um levantamento topográfico pode ser classificado como planimétrico quando se limita a representar, em um plano de referência, apenas as projeções horizontais dos contornos dos pontos medidos (ESPARTEL, 1980). Isso significa que, em um levantamento planimétrico, o foco está nas coordenadas horizontais dos pontos, sem levar em consideração as diferenças de elevação ou altitude.

1.1.1 Fases do levantamento topográfico planimétrico

1. Planejamento, seleção de métodos e aparelhagem (Reconhecimento).
2. Apoio topográfico (Levantamento da poligonal básica).
3. Levantamento dos detalhes (Levantamento das feições planimétricas).
4. Cálculo e ajustes (Fechamento, área e coordenadas).
5. Original topográfico (Desenho da planta).
6. Relatório técnico (Memorial descritivo).

1.1.2 Instrumentais utilizados para a realização de um levantamento planimétrico

2 LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO: MÉTODOS PRINCIPAIS

Estes levantamentos estão associados ao aumento da aplicação de técnicas em campo, frequentemente utilizados para estabelecer pontos de referência que servirão como suporte para futuros levantamentos topográficos, o que, por conseguinte, exige maior rigor e controle.

2.1 Poligonação (Caminhamento)

Envolve a medição de ângulos e distâncias, levando a uma sequência de alinhamentos. É o método predominante para levantamentos, empregando uma estação total ou um teodolito.

2.2 Irradiação

Nesse procedimento, os pontos topográficos a serem registrados são estabelecidos por meio da medição de ângulos e distâncias.

O método de irradiação, em levantamentos topográficos, é normalmente usado em circunstâncias específicas e não é comumente empregado como o principal método de levantamento. Em vez disso, ele é mais frequentemente utilizado como um processo complementar ao caminhamento topográfico, especialmente quando se trata de mapear detalhes, como rios sinuosos, trilhas e outros acidentes geográficos.

2.3 Triangulação

Esse método envolve a obtenção de formas geométricas a partir da medição dos ângulos formados por cada vértice de um triângulo. Os pontos usados como vértices desses triângulos são chamados de "vértices de triangulação" (VVTT). Este é o método mais antigo e amplamente utilizado para levantamentos planimétricos.

2.4 Trilateração

Este método é semelhante à triangulação e, assim como a triangulação, utiliza propriedades geométricas a partir de triângulos superpostos. No entanto, a diferença está no fato de que o levantamento é realizado por meio da medição dos comprimentos dos lados.

2.5 Triangulateração

Este método combina elementos da triangulação e trilateração.

Devido à facilidade de medição de distâncias e ângulos usando estações totais, juntamente com a capacidade de processar automaticamente grandes quantidades de dados, a triangulateração se destaca em comparação com a triangulação e trilateração. Ela permite uma precisão superior e uma análise estatística mais robusta das observações e das coordenadas, especialmente devido ao grande número de observações redundantes que podem ser realizadas.

2.6 Interseção

Neste método, os pontos topográficos que serão levantados são determinados pela interseção dos lados de ângulos horizontais ou distâncias horizontais medidas a partir das extremidades de uma base estabelecida no terreno.

Este método é especialmente útil quando se deseja posicionar vértices em locais que são de difícil acesso ou inacessíveis devido a obstáculos naturais ou construídos pelo homem.

Em nossos próximos posts, daremos ênfase a cada um dos métodos citados nesta postagem.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia: Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. 2º Ed. Viçosa: UFV, 1987.
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
PASCINI, A. P. G. Topografia. Juíz de Fora: Ed. UFJF, 2013.

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Topografia - Introdução

1 INTRODUÇÃO

A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta, a curvatura resultante da esfericidade terrestre (Espartel, 1980).

1.1 Topometria

conjunto dos métodos utilizados para coletar os dados necessários para a elaboração de uma planta ou mapa topográfico.

1.1.1 Planimetria

É a representação em projeção horizontal dos detalhes existentes na superfície, enfocando principalmente a disposição e posição relativa dos elementos sem considerar as variações de elevação ou altitude. Em outras palavras, a planimetria se concentra na representação bidimensional de características da superfície terrestre, como estradas, rios, edifícios e outros objetos, sem levar em conta a variação de altitude.

1.1.2 Altimetria

É o ramo da topografia que se dedica a determinar as cotas ou as distâncias verticais de um certo número de pontos em relação ao plano horizontal de projeção. Ela se concentra em medir e representar as variações de elevação ou altitude da superfície da Terra, permitindo a criação de modelos tridimensionais do terreno e a representação precisa das diferenças de altura entre pontos específicos. A altimetria é essencial em projetos que envolvem a construção de estradas, ferrovias, represas, barragens e outros empreendimentos que requerem informações detalhadas sobre o relevo do terreno.

1.1.3 Levantamento topográfico

O levantamento topográfico envolve a realização de todas as operações e medidas necessárias para determinar a posição relativa dos pontos que compõem uma parte específica da superfície terrestre (Espartel, 1980). Esse processo inclui a coleta precisa de informações sobre a localização tridimensional de pontos geográficos, ajudando a criar representações detalhadas do terreno, mapas e modelos que são essenciais para uma variedade de aplicações, como engenharia civil, planejamento urbano, agricultura e muito mais. É uma etapa fundamental na obtenção de dados topográficos confiáveis e na compreensão da geografia de uma determinada área.

Um levantamento topográfico pode ser classificado em diferentes tipos com base em sua finalidade e nos métodos específicos de execução.

• EXPEDITO: Levantamentos rápidos, também chamados de levantamentos de reconhecimento, são realizados com ênfase na rapidez e não na precisão. Eles visam obter informações preliminares sobre uma região e são frequentemente usados como etapa inicial antes de levantamentos topográficos mais precisos. São úteis para o reconhecimento de áreas e ajudam no planejamento de levantamentos futuros, embora tenham uma precisão limitada em comparação com levantamentos mais detalhados.
• REGULAR: Têm como principal objetivo representar com fidelidade uma área de superfície e seus detalhes em um mapa topográfico. São comuns e realizados rotineiramente para diversas finalidades, como registro de imóveis, divisão de terrenos, planejamento urbano e obras civis. Esses levantamentos são caracterizados pela busca de alta precisão e envolvem o uso de instrumentação especializada. A precisão é fundamental para garantir que os mapas resultantes sejam confiáveis e úteis para aplicações específicas.
• DE PRECISÃO: Levantamentos topográficos de precisão são realizados para obter coordenadas extremamente precisas de pontos na superfície da Terra. Eles são necessários em situações em que a precisão é crítica, como em projetos geodésicos abrangendo vastas regiões. Esses levantamentos envolvem cálculos e ajustes complexos para minimizar erros e garantir a confiabilidade das coordenadas dos pontos levantados.

1.1.3.1 Levantamento planimétrico

Um levantamento topográfico planimétrico envolve a determinação dos limites e confrontações de uma propriedade, incluindo a medição dos perímetros da propriedade. Isso também pode incluir a medição do alinhamento da propriedade em relação a uma via pública ou logradouro, bem como sua orientação e conexão com pontos de referência no terreno, como marcos cadastrais ou pontos notáveis nas proximidades (ABNT, 1994). Esse tipo de levantamento é fundamental para estabelecer com precisão os limites e as características de uma propriedade e é frequentemente necessário para fins legais, como a demarcação de terras, a divisão de propriedades ou a atualização de registros cadastrais.

1.1.3.2 Levantamento altimétrico

Um levantamento topográfico altimétrico envolve a determinação das diferenças de elevação ou altitude em uma determinada área. Essas diferenças de nível podem ser medidas diretamente com o uso de instrumentos de medição chamados níveis, ou indiretamente usando métodos trigonométricos ou barométricos (Comastri e Tuler, 1987). O levantamento altimétrico é essencial para criar representações tridimensionais precisas do terreno e é usado em várias aplicações, como o projeto e construção de infraestrutura, estudos hidrológicos, cartografia e muito mais.

1.1.3.3 Levantamento planialtimétrico

Um levantamento topográfico planialtimétrico é uma combinação de levantamento planimétrico e altimétrico, que envolve a determinação tanto das posições horizontais quanto das elevações de pontos na superfície terrestre. Esse tipo de levantamento abrange a representação precisa do relevo do terreno, da drenagem natural e de outros detalhes especificados de acordo com a finalidade do levantamento. Um levantamento topográfico planialtimétrico é fundamental para diversos tipos de projetos, como planejamento urbano, projetos de estradas e ferrovias, gestão de recursos naturais, estudos ambientais e muito mais, pois fornece uma representação completa e detalhada do terreno e das características geográficas da área em questão.

1.2 Topologia

A topologia, na contextura do estudo da topografia, corresponde à parte descritiva ou anatômica e tem por objeto o estudo das formas exteriores da superfície da Terra e das leis que regem o seu modelado. Em outras palavras, a topologia se concentra na análise das características físicas e da morfologia da superfície terrestre, investigando como as formas geográficas se desenvolvem e se relacionam umas com as outras ao longo do tempo. Isso envolve a compreensão das leis naturais que influenciam a configuração da superfície terrestre, como a erosão, sedimentação, movimento tectônico e outros processos geológicos. A topologia é fundamental para a compreensão da evolução da paisagem e para o planejamento de projetos que envolvem o uso da terra e a gestão de recursos naturais.

REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. 2º Ed. Viçosa: UFV, 1987.
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.

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Topografia - Sistema de Referência e Sistema de Coordenadas

1 INTRODUÇÃO

A Topografia é uma disciplina que faz parte da Geodésia e tem a responsabilidade de realizar medições, cálculos e representações de áreas limitadas na superfície terrestre. Para alcançar seu objetivo, a topografia utiliza conceitos de geometria e trigonometria plana, visando a criação de plantas topográficas. No entanto, em certas situações em que é necessário representar uma área extensa, fica evidente que não é possível ignorar a curvatura da Terra. Nessas circunstâncias, os trabalhos topográficos devem necessariamente se basear em pontos de apoio geodésicos, conhecidos como vértices geodésicos, localizados na superfície terrestre.

A palavra Topografia tem origem grega, derivando de "TOPOS" que significa "lugar" e "GRAFIA" que significa "descrição" ou "desenho", resultando na interpretação de "descrição de um lugar". Portanto, a topografia é a disciplina que se dedica ao estudo da representação detalhada de uma porção da superfície terrestre, considerando-a plana (Cardão, 1971).
A principal finalidade da Topografia é determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem considerar a curvatura decorrente da esfericidade da Terra (Espartel, 1980).
Em uma definição mais abrangente, a Topografia é caracterizada como a ciência aplicada que visa estudar e desenvolver métodos e instrumentos para coletar e processar informações do terreno, a partir das quais seja possível criar uma representação gráfica da realidade física em um documento cartográfico (Erba et al., 2009).

1.1 Levantamento topográfico

Realizar um levantamento ou medição envolve a execução de todas as operações e medidas requeridas para estabelecer a posição relativa dos pontos que constituem uma porção da superfície terrestre (Espartel, 1980).

2 DATUM

Trata-se de um sistema de referência empregado para o cálculo ou associação dos resultados obtidos em um levantamento (Brandalize, S.d.).

A palavra "datum" (plural: "data") é um termo de origem latina, cujo significado pode ser compreendido como uma referência geométrica (Silva; Segantine, 2015).

Na Geodésia, o termo "datum" refere-se a uma base a partir da qual as posições de elementos geográficos na superfície terrestre são determinadas. Como referência geodésica, devemos compreender um conjunto de informações que define as formas e o tamanho da Terra (Superfície de Referência), bem como a origem e a orientação do sistema de coordenadas estabelecido para o posicionamento de pontos na superfície terrestre (Silva; Segantine, 2015).

2.1 Sistema geodésico de referência

Para estabelecer um Sistema Geodésico de Referência, é fundamental, em primeiro lugar, definir a superfície (a forma geométrica da Terra) na qual o sistema será baseado de antemão.

• A superfície topográfica ou física: que compreende as irregularidades da superfície do terreno (relevo) formada pelas cadeias de montanhas, vales, campos, fossas oceânicas, pântanos, etc.
• A superfície geoidal: que é gerada pela superfície equipotencial do campo gravitacional terrestre, e que é considerada a forma real da Terra.
• A superfície elipsoidal: que é gerada por uma esfera ligeiramente achatada nos polos, à qual se dá o nome de elipsoide de revolução.

2.1.1 Superfície topográfica ou física (Modelo Real)

Este modelo permite a representação da Terra de forma mais próxima à sua aparência na realidade, sem as deformações que outros modelos apresentam. É a superfície utilizada nas plantas topográficas e como base para a realização de trabalhos topográficos (Silva; Segantine, 2015).

No entanto, devido à complexidade da superfície terrestre, o modelo real ainda não possui definições matemáticas adequadas para uma representação completa. Como resultado, foram desenvolvidos outros modelos menos complexos para abordar essa irregularidade (Brandalize, S.d.).

Fonte: Pena, s.d.
2.1.2 Superfície geoidal

A superfície geoidal é uma superfície equipotencial do campo gravitacional e, em uma primeira aproximação, é aquela que mais se assemelha ao nível médio dos mares não perturbado (Arana, 2009).

Uma superfície equipotencial é aquela em que todos os seus pontos têm o mesmo potencial. No contexto do campo gravitacional, a superfície equipotencial possui a característica de ser perpendicular à direção da vertical em todos os seus pontos (Arana, 2009).

Pode-se considerar a superfície geoidal como a linha de força do campo gravitacional da Terra que passa pelo ponto e é perpendicular ao Geoide.

Fonte: Ponto Final, 2015.
2.1.3 Superfície elipsoidal

A superfície elipsoidal foi estabelecida para resolver o desafio da indeterminação do geoide e a dificuldade de utilizar a superfície topográfica como referência planimétrica.

Um elipsoide é uma superfície matemática criada ao rotacionar uma elipse em torno do seu semieixo menor. Esta figura geométrica tem dimensões que são aproximadamente semelhantes às dimensões da Terra e é definida de forma a proporcionar a melhor correspondência possível entre o elipsoide e o geoide em uma determinada região (Silva; Segantine, 2015).

Comparação gráfica 2D entre o elipsoide e o geoide. Fonte: Silva; Segantine, 2015.
2.2 Sistema geodésico brasileiro - SIRGAS2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas)

De acordo com IBGE (2015):

• Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre Internacional - ITRS (International Terrestrial Reference System).
• Figura geométrica para a Terra: Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80).
• Datum Vertical: Imbituba (Santa Catarina).
• Origem: Centro de massa da Terra.
• Orientação: Polos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com as direções definidas pelo BIH (Bureau International de l´Heure), em 1984,0.
• Época de Referência das coordenadas: 2000,4.
• Materialização: Estabelecida por intermédio de todas as estações que compõem a Rede Geodésica Brasileira, implantadas a partir das estações de referência.

Estações SIRGAS nas Américas. Fonte: SIRGAS.ORG.
3 SISTEMA DE COORDENADAS

Quando o objetivo é determinar a posição de um ponto na superfície terrestre, isso implica calcular suas coordenadas. Calcular as coordenadas de um ponto envolve definir sua localização em relação a um sistema de coordenadas e a uma superfície de referência previamente selecionados. Esses sistemas e superfícies de referência são estabelecidos de forma a assegurar que todos os pontos tenham uma posição única e constante ao longo do tempo.

Neste contexto:

• Sistema de coordenadas Cartesiano Plano ou Sistema Plano-Retangular.
• Sistema de coordenadas Polar Plano.
• Sistema de coordenadas Cartesiano Espacial.
• Sistema de Coordenadas Geodésicas (Elipsoidais).

3.1 Sistema de coordenadas cartesiano plano ou Sistema plano-retangular

O sistema mais amplamente utilizado na Topografia é o Sistema de Coordenadas Cartesianas Plano. Este sistema tem suas raízes no trabalho do filósofo francês René Descartes e é fundamental para representar posições e direções na topografia. Ele é composto por dois eixos geométricos que estão em um mesmo plano e são perpendiculares entre si, criando quatro quadrantes distintos. A origem deste sistema é o ponto onde os dois eixos se cruzam.

O eixo principal, que está na horizontal, é chamado de eixo das abscissas e é representado como "X". O eixo secundário, que está na vertical, é chamado de eixo das ordenadas e é representado como "Y". Ambos os eixos são graduados de maneira igual, seguindo a escala definida para o sistema. Esse sistema de coordenadas cartesianas planas é essencial para a representação e análise de dados topográficos, permitindo uma descrição precisa das posições e elevações dos pontos na superfície terrestre.

No sistema de coordenadas cartesianas planas:

• O eixo (X) é considerado positivo "para a direita", o que significa que os valores aumentam à medida que você se desloca para a direita.
• O eixo (Y) é considerado positivo "para cima", onde os valores aumentam à medida que você se move para cima.

Nesse sistema, as coordenadas de um ponto são expressas como dois números que correspondem às projeções geométricas desse ponto nos eixos das abscissas (X) e das ordenadas (Y). Esse par de valores é chamado de coordenadas cartesianas planas ou coordenadas retangulares planas.

Uma semirreta, dentro deste sistema, é definida por dois pontos ou por um ponto e uma direção geométrica. A direção é indicada pelo ângulo (a) formado entre um dos eixos, geralmente o eixo das abscissas (X), tomado como referência, e a semirreta em questão.

Na trigonometria deste sistema, os valores positivos para as direções são considerados no sentido anti-horário a partir da referência angular, que é o eixo positivo das abscissas (X). Isso significa que os ângulos são medidos no sentido anti-horário a partir do eixo positivo das abscissas, e o sentido positivo da rotação é no sentido anti-horário.

Na Topografia, é comum adotar o eixo vertical como o eixo de origem para as direções, e o sentido angular horário é considerado positivo. Esse sistema de coordenadas recebe o nome de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano Topográfico.

Neste contexto, a direção é indicada pelo ângulo chamado de "Azimute" ou "Rumo". O Azimute é o ângulo formado entre o eixo vertical e o alinhamento considerado. É uma maneira de descrever a direção ou orientação de uma linha ou vetor na superfície terrestre em relação ao sistema de coordenadas topográficas. O sentido positivo do Azimute é no sentido horário, o que significa que os ângulos aumentam no sentido horário a partir do eixo vertical. Esse sistema é frequentemente utilizado na Topografia para representar direções e orientações.

Com as coordenadas cartesianas (X; Y) de dois pontos, é possível calcular facilmente a distância plana (também conhecida como distância euclidiana) entre esses dois pontos usando o teorema de Pitágoras, uma vez que a distância entre eles forma um triângulo retângulo.

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos (X1, Y1) e (X2, Y2) em um sistema de coordenadas cartesianas é:

Distância = raíz((X2-X1)²+(Y2-Y1)²)
Isso envolve subtrair as coordenadas X e Y do primeiro ponto das coordenadas X e Y do segundo ponto, elevar essas diferenças ao quadrado, somá-las e tirar a raiz quadrada do resultado.

Essa fórmula permite calcular a distância entre quaisquer dois pontos em um plano cartesiano, e é amplamente usada em Topografia, Geodésia e em muitos outros campos relacionados à matemática e à ciência.

Sendo as coordenadas do ponto A(1;2) e B(-2;0) temos que: ΔX_AB = – 2 – 1 = – 3 e ΔY_AB = 0 – 2 = – 2

Substituindo, os valores que temos: d_AB = 3,606

3.2 Sistema de coordenadas polar plano

O sistema de coordenadas polar plano é definido por:

• Um ponto fixo chamado "O," que é denominado origem ou polo.
• Uma direção (α), que é medida em relação a um eixo de referência.
• Uma distância (ρ) que representa a medida entre a origem e o ponto cujas coordenadas precisam ser determinadas.

A posição do ponto é estabelecida pela especificação da direção (α), conhecida como ângulo polar, e da distância (ρ), que é chamada de raio vetor. O par de valores (α, ρ) é denominado coordenadas polares planas.

Na matemática, o ângulo polar é considerado positivo no sentido anti-horário, mas na Topografia, esse sentido é invertido, e o eixo de orientação é o vertical.

O sistema de coordenadas polar plano topográfico é amplamente utilizado em todas as observações de direções horizontais e distâncias feitas com instrumentos topográficos em campo.

O procedimento no campo envolve a observação de duas direções e o cálculo do ângulo horizontal com base na diferença entre essas direções, tomando uma delas como referência. Isso resulta no ângulo polar. O raio vetor é determinado pela medição da distância em campo entre a posição do instrumento e o ponto final do alinhamento. Esse sistema é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo.

Medição em campo: obtenção de coordenadas polares. Fonte: Silva; Segantine, 2015.
3.3 Relação: sistema de coordenadas cartesianas planas e sistema de coordenadas polar planas

Um dos exemplos mais simples de transformação de coordenadas no plano é a conversão entre coordenadas retangulares e coordenadas polares, e vice-versa. Essa transformação é não apenas simples, mas também amplamente utilizada na Topografia. Isso ocorre porque as medições topográficas realizadas em campo frequentemente são baseadas em um sistema de coordenadas polares, enquanto suas representações em plantas topográficas se baseiam em um sistema de coordenadas retangulares (Silva; Segantine, 2015). Essa conversão entre os dois sistemas é fundamental para a coleta precisa de dados topográficos em campo e sua posterior representação gráfica em mapas e plantas.

Relação entre coordenadas cartesianas planas e polar planas. Fonte: Veras, 2012.
Analisando a figura abaixo, com fundamento na trigonometria, extraímos os seguintes modelos matemáticos de transformação:

• Polar para cartesiana.

cosα = x/ρ ⇒ x = ρ*cosα
senα = y/ρ ⇒ y = ρ*senα

• Cartesiana para polar.

ρ² = x² + y² ⇒ ρ = raíz(x² + y²)
tgα = y/x ⇒ α = arctan(y/x)
No entanto, na topografia a orientação é a partir do eixo y, assim:

• Polar para cartesiana.

senα = x/ρ ⇒ x = ρ*senα
cosα = y/ρ ⇒ y = ρ*cosα

• Cartesiana para polar.

ρ² = x² + y² ⇒ ρ = raíz(x² + y²)
tgα = x/y ⇒ α = arctan(x/y)
Exemplo 001. (Veras, 2012): Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico R cuja coordenadas polares são ρ = 5 e α=130°30’30”.

R. x = 3,802 unidades e y -3,248 unidades.

Exemplo 002: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico A cuja coordenadas polares são ρ = 10 e α=75°15’45”.

R. x = 9,671 unidades e y = 2,544 unidades.

Exemplo 003: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico A cuja coordenadas cartesianas são x = 9,671 e y = 2,544.

R. ρ = 10 unidades e α=75°15’43,12”.

Exemplo 004: Calcule as coordenadas cartesianas de um ponto topográfico B cuja coordenadas polares são ρ = 8 e α=160°25’50”.

R. x = 2,680 unidades e y = -7,538 unidades.

Exemplo 005: Calcule as coordenadas polares de um ponto topográfico B cuja coordenadas cartesianas são x = 2,680 e y=-7,538.

R. ρ = 8 unidades e α = -19°34'18,93".

Conforme observado, o resultado encontrado não atende às exigências da questão, uma vez que é sabido que o ponto B está localizado no 2º quadrante. A resolução para essa situação será abordada durante a aula sobre orientações.

3.4 Sistema de coordenadas espaciais

O posicionamento espacial de um ponto pode ser determinado em um sistema cartesiano tridimensional, acrescentando um terceiro eixo (Z) ao sistema de coordenadas cartesiano plano (X;Y). Esse terceiro eixo é adicionado perpendicularmente ao plano definido pelos eixos X e Y.

No caso do sistema polar tridimensional, a posição espacial também pode ser determinada acrescentando um segundo ângulo ao sistema de coordenadas polar plano. Esse segundo ângulo é adicionado perpendicularmente ao plano de rotação do primeiro ângulo, permitindo uma representação tridimensional das coordenadas polares. Esse sistema é frequentemente utilizado em áreas como Geodésia e Astronomia para representar posições no espaço tridimensional.

Conforme a orientação dos eixos coordenados, um sistema pode ser classificado como dextrogiro ou levogiro. Um sistema será dextrogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY mediante uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do semieixo OZ. Por outro lado, um sistema será considerado levogiro quando for possível alinhar o semieixo OX com o semieixo OY por meio de uma rotação de 90° no sentido horário em torno do eixo OZ. Essa classificação ajuda a determinar a orientação relativa dos eixos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional.

Sistema dextrogiro e Sistema Levogiro. Fonte: Veras, 2012.
O sistema de coordenadas cartesiano espacial é particularmente adequado para determinar a posição de pontos no espaço, sendo um exemplo típico disso o posicionamento por satélites e das antenas receptoras de sinais GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite).

Nesse contexto, o sistema de coordenadas cartesiano espacial é definido de tal forma que sua origem seja o centro de massa da Terra. Os eixos (X; Y) são posicionados no plano do equador, enquanto o eixo (Z) coincide com o eixo médio de rotação da Terra. Além disso, o eixo (X) é direcionado de modo a interceptar o meridiano escolhido como referência.

Esse sistema recebe o nome de "Sistema Cartesiano Espacial Geocêntrico" e é fundamental para a determinação precisa das coordenadas tridimensionais de pontos no espaço em relação ao centro da Terra. Esse sistema é amplamente utilizado em aplicações de posicionamento global, para calcular com precisão a localização de objetos no globo terrestre.

3.5 Sistema de coordenadas geodésicas (elipsoidais)

No sistema de coordenadas geodésicas, também conhecido como sistema elipsoidal, a referência principal é o formato do elipsoide que melhor se ajusta à forma da Terra. As coordenadas geodésicas incluem a Latitude geodésica (φ) e a Longitude geodésica (λ) e são determinadas por meio de levantamentos geodésicos, que são procedimentos de medição e cálculo precisos realizados em campo.

A altura em coordenadas geodésicas é conhecida como altitude elipsoidal, e pode ser simplificada indiretamente pela soma da altura ortométrica (a altura acima do nível médio do mar) e a ondulação geoidal (a variação da forma do geóide em relação ao elipsoide de referência).

Para densificar ou transportar coordenadas geodésicas, é comum utilizar triangulações geodésicas e, atualmente, métodos baseados em rastreamento de satélites, principalmente o Sistema GNSS (Sistema Global de Navegação por Satélite). Essas técnicas permitem a determinação precisa das coordenadas geodésicas em uma ampla variedade de aplicações, incluindo cartografia, geodésia e posicionamento geoespacial.

Fonte: Gomes, 2020.
REFERÊNCIAS

ARANA, J. M. Introdução a Geodésia Física. Presidente Prudente: Unesp, 2009. Disponível em: <UNESP>.
BRANDALIZE, M. C. B. Apostila [01] Topografia. Disponível em: <UEFS>.
CARDÃO, C. Topografia. Belo Horizonte: Ed. Arquitetura e Engenharia, 1970.
COMASTRI, J. A. Topografia Planimetria. Viçosa: IUUFV, 1977.
ERBA, D. A. et al. Topografia para estudantes de arquitetura, engenharia e geologia. São Leopoldo: Editora Unisinos, 2009.
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. Rio Grande do Sul: Ed. Globo, 1980.
GOMES, D. S. Metodologia para o Georreferenciamento 3d com Fotogrametria Digital nos Levantamentos do Patrimônio Cultural Edificado. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco, Centro de Tecnologia e Geociências. Programa de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas e Tecnologias da Geoinformação, Recife, PE, 2020, . Disponível em: <UFPE>. Acesso: 16 de set. de 2023.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA – IBGE. Resolução do Presidente 1/2005: Altera a caracterização do Sistema Geodésico Brasileiro. 2005. Disponível em: <IBGE>.
SILVA, I.; SEGANTINE, P. C. L. Topografia para engenharia: Teoria e prática de geomática. São Paulo: Ed. Elsevier, 2015.
SIRGAS.ORG. Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas. Disponível em: <SIRGAS ORG>.
VERAS, R. C. Notas de Aula. Teresina: UFPI, 2012.

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