Matemática: Adição e Subtração com Reagrupamento.

Aula 10 - Adição e Subtração com Reagrupamento

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Objetivos da aula

• Compreender a adição quando a soma das unidades ultrapassa 9.
• Compreender a subtração quando é necessário recorrer a uma dezena.
• Resolver adições e subtrações simples com reagrupamento.

1) Adição com reagrupamento

Na adição, quando somamos as unidades e o resultado passa de 9, formamos uma dezena. Essa dezena precisa ser adicionada à ordem das dezenas.

Ao somar 8 unidades com 5 unidades, obtemos 13 unidades. Isso corresponde a 1 dezena e 3 unidades.

Esse processo recebe o nome de reagrupamento.

2) Subtração com reagrupamento

Na subtração, o reagrupamento acontece quando o número de cima não tem unidades suficientes para subtrair.

Nessa situação, retiramos uma dezena e a transformamos em 10 unidades. Assim, conseguimos realizar a subtração corretamente.

Para calcular 42 menos 7, observamos que não é possível tirar 7 unidades de 2 unidades. Então transformamos uma dezena em 10 unidades. O número passa a ter 3 dezenas e 12 unidades.

3) Organização dos cálculos

Para facilitar adições e subtrações com reagrupamento, os números devem estar bem alinhados. Unidades ficam embaixo de unidades. Dezenas ficam embaixo de dezenas.

Essa organização reduz erros e ajuda a entender o que está acontecendo em cada etapa.

4) Exemplos resolvidos e explicados

4.1 Exemplo 1

Calcule 18 + 6.

Somamos as unidades 8 + 6 e obtemos 14. Isso corresponde a 1 dezena e 4 unidades. Somamos a dezena formada às dezenas existentes. O resultado final é 24.

Resposta: 24.

4.2) Exemplo 2

Calcule 52 menos 8.

Não é possível tirar 8 unidades de 2 unidades. Transformamos uma dezena em 10 unidades. O número passa a ter 4 dezenas e 12 unidades. Agora subtraímos 12 menos 8 e obtemos 4. O resultado final é 44.

Resposta: 44.

5) Exercícios para você fazer

5.1) Exercício 1

Calcule 27 + 8.

Resposta: 35.

5.2) Exercício 2

Calcule 61 menos 9.

Resposta: 52.

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Matemática: Subtração de Números Naturais.

Aula 009 — Subtração de números naturais (introdução)

Objetivos da aula

• Compreender a subtração como ideia de tirar ou comparar quantidades.
• Resolver subtrações simples de números naturais.
• Interpretar a subtração em situações do cotidiano.

1) O que é subtração

A subtração é uma operação matemática usada para:

• tirar uma quantidade de outra, ou
• descobrir quanto falta, ou
• encontrar a diferença entre duas quantidades.

Usamos o sinal − (menos) e o sinal = (igual).

Exemplos:

• 7 − 3 = 4
• 10 − 6 = 4

O resultado da subtração é chamado de diferença ou resultado.

2) Termos da subtração

Em uma subtração como 9 − 5 = 4, temos:

• 9 → minuendo (o total inicial)
• 5 → subtraendo (o que será tirado)
• 4 → diferença (resultado)

O mais importante é entender que:

• o primeiro número é “de onde tiramos”
• o segundo número é “o que tiramos”

3) Subtração com apoio na contagem

Uma forma simples de subtrair é contar para trás.

Exemplo:

8 − 3
Começamos no 8 e voltamos 3 passos: 7, 6, 5.

Resultado: 5

4) Exemplos resolvidos e explicados

4.1) Exemplo 1 — Subtração simples

Enunciado: Calcule: 9 − 2

4.1.1) Resolução (explicada): Começamos no 9 e voltamos 2 passos: 8, 7. Logo, 9 − 2 = 7.

Resposta: 7

4.2) Exemplo 2 — Subtração contextualizada

Enunciado: Em uma sala havia 14 alunos. 6 alunos saíram. Quantos alunos ficaram na sala?

4.2.1) Resolução (explicada): Total inicial: 14. Saíram: 6. Subtraímos: 14 − 6 = 8.

Resposta: 8 alunos

5) Exercícios para você fazer (somente respostas)

5.1 Exercício 1

Enunciado: Calcule: 12 − 5

Resposta: 7

5.2) Exercício 2

Enunciado: Uma caixa tinha 20 bombons. Foram retirados 9 bombons. Quantos bombons sobraram?

Resposta: 11

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Teste do Qui-Quadrado (χ²) aplicado à Geodésia.

Entramos agora em um dos testes mais importantes do controle de qualidade em Geodésia: o Teste do Qui-Quadrado (χ²), que é a base para validar a precisão das observações e verificar se o ajustamento está estatisticamente consistente.

Aula 012 – Teste do Qui-Quadrado (χ²) aplicado à Geodésia

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Objetivos da Aula

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1. Entender a origem e a função do teste χ².
2. Avaliar se a variância observada é compatível com a variância teórica do instrumento.
3. Aplicar o teste em observações repetidas e em ajustamentos completos.
4. Interpretar valores críticos e regiões de rejeição.

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1. Por que usar o Teste χ² na Geodésia?

Quando um instrumento declara precisão, por exemplo:

• Receptor GNSS: ±5 mm
• Estação Total: ±1"
• Nível: ±0.4 mm/km

Espera-se que as observações sigam essa variância.

O teste χ² responde à pergunta:

→ A variância observada é compatível com a precisão declarada do instrumento?

Isso é essencial para:

• Validar campanhas GNSS
• Verificar séries repetidas
• Conferir nivelamentos
• Testar redes antes do ajustamento final.

2. Hipóteses do Teste χ²

2.1 Hipótese nula (H₀):

(a variância observada é igual à teórica)

2.2 Hipótese alternativa (H₁):

3. Fórmula do Teste χ²

Para observações repetidas:

Em que:

• n = número de observações
• σ = desvio padrão observado
• σ₀ = desvio padrão teórico

4. Decisão Estatística

Para um nível de significância α (normalmente 5%), existem dois valores críticos:

4.1 Regra:

• Se

→ Não rejeita H₀ (variância consistente)

• Caso contrário

→ Rejeita H₀ (variância inconsistente)

5. Tabela χ² (nível 5%)

Para g.l. = 4 (n=5 observações):

Valor	χ² crítico
χ² inferior	0,484
χ² superior	11,143

(Valores clássicos de tabelas estatísticas)

6. Exemplo Resolvido

6.1 Problema:

Um distanciômetro declara precisão:

Foram obtidas 5 observações, resultando em:

Pergunta: As observações estão coerentes com o padrão do instrumento?

Use α = 5%.

6.2 Solução (Passo a passo)

6.2.2 Passo 1 – Cálculo do χ²:

6.2.3 Passo 2 – Valores críticos para g.l. = 4:

χ²_inf = 0,484

χ²_sup = 11,143

6.2.4 Passo 3 – Decisão:

Como: 25 > 11,143

→ H₀ é rejeitada.

6.2.5 Conclusão:

As observações "não" estão coerentes com a precisão declarada do instrumento. Há forte indicação de inconsistência ou problema operacional.

7. Exemplo Proposto

Um nível óptico declara precisão teórica:

Após 6 observações repetidas, encontrou-se:

Para α = 5%, e g.l. = 5, use:

χ²_inf = 1,145

χ²_sup = 12,833

7.1 Pergunta:

O conjunto de observações é consistente?

7.2 Resposta Final Esperada:

⇒Clique aqui⇐

8. Conclusão da Aula

• O teste χ² verifica se a variância observada está dentro do esperado.
• É fundamental no controle de qualidade.
• É aplicado antes e depois do ajustamento.
• Caso o teste falhe, há indicativo de:
1. Erro grosseiro não detectado.
2. Problema instrumental.
3. Operação inadequada.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Teste de Hipóteses aplicado às Observações Geodésicas.

A partir desta aula entramos no núcleo estatístico do controle de qualidade das observações geodésicas. O conteúdo é essencial para compreender testes de consistência, controle de resíduos e, futuramente, o Teste Global (χ²) e o Teste de Baarda.

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Aula 011 – Teste de Hipóteses aplicado às Observações Geodésicas

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Objetivos da Aula

1. Entender o que é um teste de hipóteses.
2. Aprender a formular hipóteses nula (H₀) e alternativa (H₁).
3. Aplicar testes estatísticos simples às observações geodésicas.
4. Compreender níveis de significância e decisão estatística.
5. Preparar o terreno para os testes χ² e t nas próximas aulas.

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1. O que é um Teste de Hipóteses?

Um teste de hipóteses é um procedimento estatístico que avalia se um conjunto de observações é "compatível" com uma suposição previamente estabelecida. Em Geodésia, aplicamos testes de hipóteses para verificar:

• Se as observações têm a precisão esperada.
• Se existem erros grosseiros.
• Se a variância das observações está coerente com o padrão do instrumento.
• Se um resíduo é suspeito.
• Se a rede está globalmente consistente.

2. Elementos Básicos do Teste de Hipóteses

2.1 Hipótese Nula (H₀)

É a afirmação que se assume como verdadeira até que haja evidência forte contra ela. Exemplo geodésico:

(A variância observada é igual à variância teórica do instrumento)

2.2 Hipótese Alternativa (H₁)

É a afirmação contrária, aceita caso H₀ seja rejeitada.

2.3 Estatística de teste

É o valor calculado a partir das observações e comparado com valores críticos.

2.4 Nível de significância (α)

Probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira. Valores típicos:

• 10% (mais permissivo)
• 5% (padrão)
• 1% (mais rigoroso)

2.5 Região de rejeição

Conjunto de valores em que H₀ é rejeitada.

3. Exemplo Geodésico Real

Suponha que um distanciômetro declare precisão:

Após várias medições repetidas, obtém-se:

A pergunta é: As observações estão coerentes com o manual do instrumento?

Para responder, usamos um teste de hipóteses sobre variância (que será formalizado na Aula 012 – Teste χ²).

4. Decisões em Testes

Existem apenas duas decisões possíveis:

4.1. Não rejeitar H₀

Significa que os dados são “compatíveis” com a hipótese inicial.

4.2 Rejeitar H₀

Significa que os dados apresentam inconsistências.

👉 Observação fundamental:

• Não se “aceita” H₀.
• Dizemos apenas que "não há evidência suficiente para rejeitá-la".

5. Erros em Testes de Hipóteses

Existem dois tipos de erro:

5.1 Erro Tipo I (α)

Rejeitar H₀ quando ela é verdadeira.

O nível de significância controla essa probabilidade.

5.2 Erro Tipo II (β)

Não rejeitar H₀ quando ela é falsa.

Em Geodésia, busca-se:

• α pequeno (rigor)
• β pequeno (confiabilidade)

Inicialmente trabalhamos com α = 5%.

6. Testes Aplicados em Geodésia

Na prática, os testes mais importantes são:

• χ² (qui-quadrado) → testa variância
• t de Student (t-test) → testa resíduos individuais
• Global Test → valida o ajustamento como um todo
• Teste de Baarda → detecção formal de erros grosseiros
• Teste de razão de variâncias → comparar instrumentos

Nesta aula entenderemos o mecanismo geral; nas próximas aulas aplicaremos cada teste matematicamente.

7. Exemplo Resolvido (Conceitual)

Problema: Um GNSS monofrequência declara precisão de:

Após medições repetidas, encontrou-se:

Pergunta: Há indicação de inconsistência nas observações?

Solução (conceitual):

Como: 0,025 m > 0,010 m

Há "forte indicação" de que as observações não estão coerentes com o padrão do instrumento.

Formalmente, na próxima aula faremos:

E compararemos com o valor crítico χ².

8. Exemplo Proposto

Um nível digital declara precisão:

Observações repetidas obtiveram:

Pergunta conceitual: A princípio, há motivo para suspeitar da qualidade das observações?

Resposta Final Esperada: Sim. A variância observada é muito maior do que a teórica, indicando que H₀ tende a ser rejeitada (inconsistência provável).

9. Conclusão da Aula

• Teste de hipóteses é uma ferramenta essencial para validar medições.
• H₀ representa o comportamento esperado; H₁, uma alternativa.
• Decisões estatísticas são baseadas no nível de significância.
• Na Geodésia, usamos testes para avaliar:
  
  
  1. variância,
  2. resíduos,
  3. consistência global,
  4. detecção de erros grosseiros.

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Curso de HTML: Introdução à Web e ao HTML.

Aula 001 — Introdução à Web e ao HTML

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1) O que é a Web (WWW)

A World Wide Web (WWW) é um sistema de páginas e recursos (textos, imagens, vídeos, aplicações) interligados por links e acessados pela internet. O que você “abre no navegador” normalmente é conteúdo da Web.

É fundamental diferenciar:

• Internet: infraestrutura física e lógica, ou seja, a rede mundial de computadores.
• Web: um serviço que utiliza a internet para disponibilizar páginas e aplicações.

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2) Como uma página chega até você (visão simplificada)

Quando você digita um endereço (por exemplo, exemplo.com) no navegador e pressiona Enter, ocorre o seguinte processo:

1. O navegador consulta o DNS para localizar o servidor.
2. É enviada uma requisição via HTTP ou HTTPS.
3. O servidor responde com arquivos como HTML, CSS, JavaScript e imagens.
4. O navegador interpreta o HTML e renderiza a página na tela.

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3) O que é HTML?

HTML (HyperText Markup Language) é uma linguagem de marcação utilizada para estruturar o conteúdo de páginas web.

• HTML não é uma linguagem de programação.
• Ele serve para marcar e organizar conteúdos.
• Define títulos, parágrafos, listas, links, imagens, formulários e outros elementos.

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4) HTML, CSS e JavaScript: funções distintas

No desenvolvimento web, cada tecnologia possui um papel específico:

• HTML: estrutura da página (conteúdo).
• CSS: apresentação visual (cores, fontes, layout).
• JavaScript: comportamento e interatividade.

Exemplo prático:

• O HTML cria um botão.
• O CSS define a aparência desse botão.
• O JavaScript define o que acontece quando o botão é clicado.

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5) Ferramentas básicas para o curso

Para acompanhar este curso, você precisará apenas de:

• Um navegador moderno (Chrome, Firefox, Edge ou Safari).
• Um editor de código, preferencialmente o Visual Studio Code.
• Uma estrutura de pastas organizada.

Sugestão de organização:

curso-html/
└── aula-01/
    └── index.html

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6) Arquivos HTML

Arquivos HTML possuem a extensão .html e podem ser abertos diretamente em um navegador.

Exemplos comuns:

• index.html
• sobre.html
• contato.html

O arquivo index.html geralmente é utilizado como página inicial de um site.

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7) Exercício prático

1. Crie uma pasta chamada curso-html.
2. Dentro dela, crie a pasta aula-01.
3. Crie o arquivo index.html dentro dessa pasta.

Na próxima aula, você escreverá a estrutura completa do seu primeiro documento HTML.

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8) Resumo da Aula 001

• A Web é um serviço que funciona sobre a internet.
• O navegador solicita arquivos a um servidor web.
• HTML é a base estrutural das páginas.
• CSS e JavaScript complementam o HTML.
• Você já organizou o ambiente inicial do curso.

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Leia mais

Curso de HTML: Índice de Aulas.

CURSO COMPLETO DE HTML — DO ZERO AO AVANÇADO

MÓDULO 1 — INTRODUÇÃO À WEB E AO HTML

⇒Objetivo: Apresentar os fundamentos da Web e o papel do HTML.

Aula 001. O que é a Web e como ela funciona
Aula 002. O que é HTML e para que serve
Aula 003. História do HTML e evolução até o HTML5
Aula 004. Estrutura básica de uma página HTML
Aula 005. Entendendo tags, elementos e atributos
Aula 006. Diferença entre HTML, CSS e JavaScript
Aula 007. Navegadores e motores de renderização
Aula 008. Editores de código (VS Code, Notepad++, etc.)
Aula 009. Criando o primeiro arquivo HTML
Aula 010. Exercício prático: primeira página web

MÓDULO 2 — ESTRUTURA FUNDAMENTAL DO HTML

⇒Objetivo: Dominar a base estrutural de qualquer documento HTML.

Aula 011. A declaração ``
Aula 012. A tag `html` e seus atributos
Aula 013. A seção `head`
Aula 014. Metatags essenciais (`charset`, `viewport`, `description`)
Aula 015. A tag `title`
Aula 016. A seção `body`
Aula 017. Comentários em HTML
Aula 018. Indentação e organização do código
Aula 019. Boas práticas iniciais de escrita HTML
Aula 020. Exercício prático: página estruturada corretamente

MÓDULO 3 — TEXTOS, TÍTULOS E FORMATAÇÃO

⇒Objetivo: Trabalhar conteúdos textuais corretamente.

Aula 021. Títulos: `h1` a `h6`
Aula 022. Parágrafos com `p`
Aula 023. Quebras de linha e separadores (`br`, `hr`)
Aula 024. Ênfase e destaque (`strong`, `em`)
Aula 025. Texto pré-formatado (`pre`)
Aula 026. Citações (`blockquote`, `q`)
Aula 027. Abreviações e siglas (`abbr`)
Aula 028. Uso correto da hierarquia de títulos
Aula 029. Erros comuns na formatação textual
Aula 030. Exercício prático: artigo HTML completo

MÓDULO 4 — LISTAS E ORGANIZAÇÃO DE CONTEÚDO

⇒Objetivo: Estruturar informações de forma organizada.

Aula 031. Listas ordenadas (`ol`)
Aula 032. Listas não ordenadas (`ul`)
Aula 033. Itens de lista (`li`)
Aula 034. Listas aninhadas
Aula 035. Listas de definição (`dl`, `dt`, `dd`)
Aula 036. Boas práticas de uso de listas
Aula 037. Aplicações reais de listas em sites
Aula 038. Erros comuns em listas
Aula 039. Organização semântica de conteúdo
Aula 040. Exercício prático: página com múltiplas listas

MÓDULO 5 — LINKS E NAVEGAÇÃO

⇒Objetivo: Criar navegação funcional na web.

Aula 041. A tag `a` e seus atributos
Aula 042. Links internos e externos
Aula 043. Links para arquivos e downloads
Aula 044. Links âncora (navegação interna)
Aula 045. Atributos `target`, `rel` e `title`
Aula 046. Boas práticas de navegação
Aula 047. Estrutura de menus simples
Aula 048. Links acessíveis
Aula 049. Erros comuns em links
Aula 050. Exercício prático: menu de navegação

MÓDULO 6 — IMAGENS, ÁUDIO E VÍDEO

⇒Objetivo: Inserir e controlar mídia no HTML.

Aula 051. A tag `img`
Aula 052. Atributos `src`, `alt`, `width` e `height`
Aula 053. Boas práticas para imagens (acessibilidade e SEO)
Aula 054. Formatos de imagem para web
Aula 055. Inserindo áudio (`audio`)
Aula 056. Inserindo vídeo (`video`)
Aula 057. Controles e atributos multimídia
Aula 058. Mídia incorporada (`iframe`)
Aula 059. Erros comuns com arquivos multimídia
Aula 060. Exercício prático: página multimídia

MÓDULO 7 — TABELAS E ESTRUTURAÇÃO DE DADOS

⇒Objetivo: Trabalhar dados tabulares corretamente.

Aula 061. Introdução às tabelas HTML
Aula 062. Estrutura básica (`table`, `tr`, `td`)
Aula 063. Cabeçalhos de tabela (`th`)
Aula 064. Agrupamento (`thead`, `tbody`, `tfoot`)
Aula 065. Tabelas acessíveis
Aula 066. Boas práticas no uso de tabelas
Aula 067. Tabelas vs layout (o que evitar)
Aula 068. Erros comuns em tabelas
Aula 069. Aplicações reais de tabelas
Aula 070. Exercício prático: tabela completa

MÓDULO 8 — FORMULÁRIOS HTML

⇒Objetivo: Coletar dados do usuário.

Aula 071. Introdução a formulários
Aula 072. A tag `form`
Aula 073. Campos de entrada (`input`)
Aula 074. Tipos de input (text, email, password, number, etc.)
Aula 075. Labels e acessibilidade
Aula 076. Botões (`button`, `input type="submit"`)
Aula 077. Caixas de seleção e rádio
Aula 078. Textarea e select
Aula 079. Validações básicas em HTML5
Aula 080. Exercício prático: formulário completo

MÓDULO 9 — HTML SEMÂNTICO E ACESSIBILIDADE

⇒Objetivo: Criar páginas modernas, organizadas e acessíveis.

Aula 081. O que é HTML semântico
Aula 082. Tags semânticas (`header`, `nav`, `main`)
Aula 083. `section`, `article` e `aside`
Aula 084. `footer`
Aula 085. Importância da acessibilidade
Aula 086. Atributos ARIA (introdução)
Aula 087. SEO básico com HTML
Aula 088. Estrutura semântica correta de páginas
Aula 089. Erros comuns de semântica
Aula 090. Exercício prático: página semântica completa

MÓDULO 10 — HTML AVANÇADO E BOAS PRÁTICAS PROFISSIONAIS

⇒Objetivo: Consolidar o aprendizado e preparar para o mercado.

Aula 091. Integração HTML com CSS
Aula 092. Integração HTML com JavaScript
Aula 093. Organização de projetos web
Aula 094. Boas práticas profissionais em HTML
Aula 095. HTML responsivo (conceitos)
Aula 096. Compatibilidade entre navegadores
Aula 097. Performance e otimização básica
Aula 098. Validação de código (W3C)
Aula 099. Estrutura de um projeto real
Aula 100. Projeto final: site completo em HTML

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Matemática: Adição de Números Naturais.

Aula 008 — Adição de números naturais (introdução)

Objetivos da aula

• Compreender a adição como ideia de juntar quantidades.
• Resolver adições simples de números naturais.
• Interpretar a adição em situações do cotidiano.

1) O que é adição

A adição é uma operação matemática usada para juntar duas ou mais quantidades.

Usamos o sinal + (mais) e o sinal = (igual).

Exemplos:

• 2 + 3 = 5
• 4 + 1 = 5

Ao adicionar, obtemos um resultado chamado de soma.

2) Termos da adição

Em uma adição como 5 + 4 = 9, temos:

• 5 e 4 → parcelas
• 9 → soma (resultado)

As parcelas são os números que estamos juntando.

3) Adição com apoio na contagem

Uma forma simples de somar é contar para frente.

Exemplo: 3 + 2
Começamos no 3 e contamos mais 2 passos: 4, 5.
Resultado: 5

4) Exemplos resolvidos e explicados

4.1) Exemplo 1

Enunciado: Calcule: 4 + 3

Resolução (explicada): Juntando 4 objetos com mais 3 objetos, contamos: 4, 5, 6, 7.

Resposta: 7

4.2) Exemplo 2

Enunciado: João tinha 6 bolas e ganhou mais 5 bolas. Quantas bolas João tem agora?

Resolução (explicada): Quantidade inicial: 6. Quantidade recebida: 5. Somamos: 6 + 5 = 11.

Resposta: 11 bolas

5) Exercícios para você fazer

5.1) Exercício 1

Enunciado: Calcule: 7 + 2

Resposta: 9

5.2) Exercício 2

Enunciado: Em uma caixa havia 8 livros. Foram colocados mais 7 livros. Quantos livros há agora na caixa?

Resposta: 15

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Matemática: Composição e Decomposição de Números Naturais.

Aula 007 — Composição e Decomposição de Números Naturais

Objetivos da aula

• Compreender o que significa compor e decompor números naturais.
• Relacionar a composição/decomposição com centenas, dezenas e unidades.
• Desenvolver segurança na leitura, escrita e organização dos números.

1) O que é decomposição de números

Decompor um número significa separá-lo em partes, de acordo com o valor posicional de cada algarismo.

Em geral, usamos:

• centenas (C),
• dezenas (D),
• unidades (U).

Exemplos:

• 47 = 40 + 7
• 128 = 100 + 20 + 8
• 305 = 300 + 0 + 5

A decomposição ajuda a entender quanto vale cada algarismo no número.

2) O que é composição de números

Compor um número é o processo inverso: juntar centenas, dezenas e unidades para formar o número completo.

Exemplos:

• 20 + 6 = 26
• 100 + 30 + 4 = 134
• 400 + 50 + 9 = 459

Ou seja, na composição, você parte das partes para chegar ao número.

3) Relação com o sistema decimal

A composição e a decomposição estão diretamente ligadas ao sistema de numeração decimal, que organiza os números em grupos de 10.

Sempre vale lembrar:

• 1 centena = 100 unidades
• 1 dezena = 10 unidades

Isso torna os cálculos e a compreensão dos números muito mais fáceis.

4) Exemplos resolvidos e explicados

4.1) Exemplo 1 — Decomposição simples

Enunciado: Decomponha o número 63.

Resolução (explicada): O número 63 possui 6 dezenas (60) e 3 unidades (3). Logo, 63 = 60 + 3.

Resposta: 60 + 3

4.2) Exemplo 2 — Composição com centenas

Enunciado: Forme o número que tem 2 centenas, 4 dezenas e 7 unidades.

Resolução (explicada): 2 centenas = 200; 4 dezenas = 40; 7 unidades = 7. Somando: 200 + 40 + 7 = 247.

Resposta: 247

5) Exercícios para você fazer

5.1) Exercício 1

Enunciado: Decomponha o número 85.

Resposta: 80 + 5

5.2) Exercício 2

Enunciado: Forme o número que possui 5 centenas, 0 dezenas e 9 unidades.

Resposta: 509

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Distribuição Normal e Curva de Gauss.

Entramos agora no Módulo 2 – Estatística Aplicada à Geodésia, começando por um dos temas mais importantes de toda a teoria do Ajustamento de Observações.

Aula 010 – Distribuição Normal e Curva de Gauss

Objetivos da Aula

1. Entender por que a Estatística da Geodésia se fundamenta na distribuição normal.
2. Compreender a forma e as propriedades da Curva de Gauss.
3. Ver como os erros aleatórios se comportam.
4. Relacionar a distribuição normal ao Método dos Mínimos Quadrados.

1. Por que a Distribuição Normal é Essencial na Geodésia?

Toda observação geodésica contém erros aleatórios devido a fatores como:

• refração atmosférica,
• ruído eletrônico,
• vibrações,
• limitações do operador,
• microvariações de sinal GNSS.

Esses erros, quando pequenos e independentes, seguem uma Distribuição Normal (Gaussiana).

Isso é garantido pelo:

• Teorema Central do Limite:


• A soma de um grande número de pequenas perturbações independentes tende à distribuição normal.

Portanto, as observações geodésicas "naturalmente se distribuem" como uma curva de Gauss. E o Método dos Mínimos Quadrados é o estimador ótimo quando os erros seguem essa distribuição.

2. Forma Matemática da Distribuição Normal

A função densidade de probabilidade é:

Em que:

• μ = média
• σ = desvio padrão

3. Características Fundamentais da Curva de Gauss

⇒ Simétrica em torno da média

• μ = valor mais provável

⇒ Quanto maior o desvio padrão (σ), mais larga a curva

• Erros muito dispersos → curva larga
• Alta precisão → curva estreita

⇒ Área total sob a curva = 1

• Representa a probabilidade total.

⇒ Percentis importantes

Intervalo	Probabilidade
μ ± 1σ	68,27%
μ ± 2σ	95,45%
μ ± 3σ	99,73%

Esses limites serão usados para teste de resíduos e detecção de erros grosseiros.

4. Interpretação de σ (desvio padrão)

σ representa o erro médio quadrático.

• σ pequeno → alta precisão
• σ grande → baixa precisão

Se tivermos muitas observações:

É o erro da média ajustada.

5. Relação com o Método dos Mínimos Quadrados

O MMQ é o método "ótimo" quando:

• os erros têm média zero,
• são independentes,
• seguem distribuição normal,
• têm variância constante ou conhecida.

Isto porque o MMQ é o estimador de máxima verossimilhança para erros gaussianos.

6. Importância para Redes Geodésicas

A distribuição normal fundamenta:

⇒ Teste Global (χ²):

Avalia se as observações são estatisticamente consistentes.

⇒ Teste de Baarda (t-test):

Testa resíduos suspeitos.

⇒ Construção da matriz de pesos

⇒ Intervalos de confiança das coordenadas

⇒ Avaliação da precisão final da rede

7. Exemplo Resolvido

7.1 Problema:

Uma distância foi observada repetidamente e apresentou:

σ = 0,004 m

7.2 Pergunta:

Qual a probabilidade de uma observação estar dentro de:

a) ±0.004 m
b) ±0.008 m
c) ±0.012 m

7.3 Solução:

a) ± 1σ → P = 68,27%
b) ± 2σ → P = 95,45%
c) ± 3σ → P = 99,73%

7.4 Interpretação:

Isso significa:

⇒ 68% das leituras estarão a 4 mm do valor verdadeiro,
⇒ 95% estarão a 8 mm,
⇒ 99.7% estarão a 12 mm.

8. Exemplo Proposto

Um ângulo medido com repetição apresenta desvio padrão:

σ = 5''

8.1 Perguntas:

a) Qual a probabilidade de uma observação estar dentro de ±5"?
b) E dentro de ±10"?
c) E dentro de ±15"?

8.2 Resposta Final Esperada:

a) 68.27%
b) 95.45%
c) 99.73%

9. Conclusão da Aula

• A distribuição normal descreve o comportamento dos erros aleatórios.
• A Curva de Gauss é simétrica, contínua e governada por μ e σ.
• O MMQ é matematicamente ideal para erros gaussianos.
• Esses conceitos são indispensáveis para testes estatísticos e avaliação de redes geodésicas.

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Matemática: Valor posicional - Unidades, Dezenas e Centenas.

Aula 006 — Valor posicional: Unidades, Dezenas e Centenas

Objetivos da aula

• Compreender o valor posicional dos algarismos em um número.
• Identificar unidades (U), dezenas (D) e centenas (C).
• Ler e escrever números entendendo o papel de cada posição.

1) O que é valor posicional

No sistema de numeração decimal, o valor de um algarismo depende da posição em que ele aparece no número.

Exemplo:No número 345, o algarismo 3 não vale 3, mas 300, porque está na posição das centenas.

2) Unidades, dezenas e centenas

• Unidade (U): posição da direita; conta de 1 em 1.
• Dezena (D): posição do meio; cada dezena vale 10 unidades.
• Centena (C): posição da esquerda; cada centena vale 100 unidades.

Exemplos:

• 7 → 7 unidades
• 42 → 4 dezenas e 2 unidades
• 318 → 3 centenas, 1 dezena e 8 unidades

3) Decomposição de números

Decompor é separar o número pelo valor posicional de cada algarismo.

Exemplos:

• 64 = 60 + 4
• 205 = 200 + 0 + 5
• 789 = 700 + 80 + 9

Isso ajuda a compreender melhor os números e a realizar operações.

4) Exemplos resolvidos e explicados

4.1) Exemplo 1 — Identificação de posições

Enunciado: No número 58, indique quantas dezenas e quantas unidades existem.

Resolução (explicada): O algarismo 5 está na posição das dezenas (vale 50) e o algarismo 8 está na posição das unidades (vale 8).

Resposta:

• Dezenas: 5
• Unidades: 8

4.2) Exemplo 2 — Valor posicional completo

Enunciado: Analise o número 472 e indique centenas, dezenas, unidades e o valor de cada uma.

Resolução (explicada):

• 4 está nas centenas → vale 400
• 7 está nas dezenas → vale 70
• 2 está nas unidades → vale 2

Somando: 400 + 70 + 2 = 472.

Resposta:

• Centenas: 4 (400)
• Dezenas: 7 (70)
• Unidades: 2 (2)

5) Exercícios para você fazer

5.1) Exercício 1

Enunciado: No número 93, quantas dezenas e quantas unidades existem?

Resposta: Dezenas: 9 | Unidades: 3

5.2) Exercício 2

Enunciado: Decomponha o número 604 em centenas, dezenas e unidades.

Resposta: 600 + 0 + 4

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento.

A Aula 009 conclui o Módulo Introdutório e prepara definitivamente o terreno para entrarmos, a partir da próxima aula, no Método Paramétrico com modelos matemáticos reais e ajustes completos.

Aula 009 – Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento

Objetivos da Aula

1. Entender como um problema de ajustamento é organizado.
2. Identificar os elementos fundamentais: L, x, A, P, v.
3. Compreender a necessidade de modelo funcional.
4. Reconhecer quando é necessário linearizar uma função.
5. Montar a estrutura matricial completa usada no MMQ.

1. Componentes Centrais do Ajustamento

Qualquer problema de ajustamento geodésico possui os seguintes elementos:

1.1 Observações (L)

Vetor contendo todos os valores medidos no campo. Ex.: distâncias, ângulos, desníveis, coordenadas GNSS…

1.2 Incógnitas (x)

Grandezas que queremos determinar.

Exemplos:

• Coordenadas (X, Y, Z)
• Ângulos internos
• Azimutes
• Fatores de escala
• Erros sistemáticos modeláveis

1.3 Modelo Funcional

O elemento mais importante do ajustamento. É a forma matemática que relaciona observações e incógnitas:

ou, na versão paramétrica (linearizada):

O modelo funcional descreve como o mundo físico gera as observações.

1.4 Resíduos (v)

São as correções aplicadas às observações. Eles nos dizem:

• o que está coerente,
• o que está suspeito,
• onde podem existir erros grosseiros.

1.5 Pesos (P)

Com:

Quanto maior o peso → maior a confiança na observação.

2. Linearização de Funções

A maioria dos modelos geodésicos não é linear.

Exemplos:

• Equação da distância entre pontos
• Equação de direção
• Equação de azimute
• Equações GNSS (pseudodistâncias)
• Equação de nivelamento trigonométrico

Como o MMQ exige funções lineares, usamos expansão de Taylor de primeira ordem:

Em que:

• x₀ → aproximação inicial
• A → matriz das derivadas parciais
• δx → correções que buscamos

Essa etapa é chamada de linearização.

3. O Sistema Geral das Equações Normais

A solução do ajustamento é:

Em que:

• A^T P A → matriz normal
• A^T P L → vetor de termos independentes
• x̂ → valores ajustados
• v = Ax̂ - L) → resíduos

4. Organização Geral de um Ajustamento

Para qualquer problema, siga este roteiro:

• Passo 1 – Definir as observações (L):
  • Coletar e organizar todos os valores medidos.
• Passo 2 – Definir as incógnitas (x):
  • Escolher o que será ajustado.
• Passo 3 – Desenvolver o modelo funcional:
  • Relacionar observações ↔ parâmetros (Equações matemáticas do fenômeno).
• Passo 4 – Linearizar o modelo:
  • Obter a matriz A.
• Passo 5 – Construir a matriz de pesos (P):
  • Com base nas precisões instrumentais.
• Passo 6 – Montar e resolver as Equações Normais:
  • (A^T P A)x̂ = A^T P L
• Passo 7 – Calcular os resíduos (v):
  • Indicam coerência ou suspeita.
• Passo 8 – Avaliar a qualidade do ajustamento:
  • Teste global (χ²)
  • Teste de Baarda
  • Análise da precisão das incógnitas

5. Exemplo Resolvido (estrutura)

5.1 Problema:

• Uma distância e um azimute são medidos entre dois pontos A e B.
• Deseja-se determinar as coordenadas do ponto B, conhecendo A.

5.2 Observações:

• Distância: L₁ = 125,373 m
• Azimute: L₂ = 57° 12' 30"

5.3 Incógnitas:

5.4 Modelo funcional:

5.5 Estrutura do ajustamento:

5.5.1 Vetor observado:

5.5.2 Incógnitas:

5.5.3 Linearização → derivadas parciais

5.5.4 Montagem da matriz A

5.5.5 Solução via equações normais

👉 Observação: Não resolvemos completamente aqui porque o objetivo é "mostrar a estrutura", não o cálculo final.

6. Exemplo Proposto

Para medir o ponto B a partir de A foram observados:

• Distância: 233,540 m
• Direção: 145,322°

As incógnitas são X_B e Y_B.

Escreva:

a) O vetor de observações (L).
b) O vetor de incógnitas (x).
c) As equações funcionais.
d) A matriz de derivadas A (sem calcular valores numéricos).

6.1 Resposta Final Esperada (estrutura correta):

⇒Clique aqui⇐

7. Conclusão da Aula

• Todo ajustamento tem cinco elementos essenciais: L, x, A, P, v.
• A linearização é necessária para trabalhar com modelos reais.
• A matriz A, derivada das funções, é o coração do ajuste.
• A partir da próxima aula iniciaremos os modelos paramétricos, resolvendo casos reais.

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