A formulação do modelo funcional é uma etapa fundamental no ajustamento de observações. É nesse momento que se estabelece a relação matemática entre as observações realizadas em campo e os parâmetros desconhecidos do problema. No método paramétrico, as observações são expressas como funções dos parâmetros que se deseja determinar. A correta definição desse modelo é essencial para que o Método dos Mínimos Quadrados produza resultados confiáveis e fisicamente consistentes.
Aula 028 – Formulação do Modelo Funcional Paramétrico
Objetivos
- Compreender o conceito de modelo funcional.
- Identificar a relação entre observações e parâmetros.
- Formular equações observacionais no método paramétrico.
- Escrever o modelo funcional em forma matricial.
- Preparar a base para a linearização do modelo.
1. Conceito de modelo funcional
O modelo funcional descreve a relação matemática entre:
- as observações realizadas
- os parâmetros desconhecidos
De forma geral:
Em que:
- L = vetor das observações
- x = vetor dos parâmetros
- f(x) = função matemática que relaciona observações e parâmetros
2. Inclusão dos erros de observação
Como toda observação contém erro, introduz-se o vetor de resíduos (v):
Em que:
- v = vetor de resíduos
O objetivo do ajustamento é determinar (x) de forma que os resíduos sejam mínimos segundo o critério dos mínimos quadrados.
3. Modelo funcional no método paramétrico
No método paramétrico, as incógnitas são os próprios parâmetros do problema. Assim, o modelo funcional assume a forma:
Ou, reorganizando:
Esse modelo pode ser:
- linear
- não linear
4. Modelo funcional linear
Se a relação entre observações e parâmetros for linear, o modelo torna-se:
Em que:
- A = matriz de coeficientes (matriz de projeto)
Nesse caso, o ajustamento pode ser resolvido diretamente.
5. Modelo funcional não linear
Em muitos problemas geodésicos, a relação entre observações e parâmetros não é linear.
Exemplo clássico: determinação de coordenadas a partir de distâncias.
Nesse caso, o modelo funcional é:
E será necessário realizar linearização para aplicar o MMQ.
6. Elementos do modelo funcional
O modelo funcional contém quatro componentes principais:
6.1 Observações
6.2 Parâmetros desconhecidos
6.3 Funções matemáticas
6.4 Resíduos
7. Exemplo Resolvido
Deseja-se ajustar a relação entre três observações e dois parâmetros.
Observações:
Modelo funcional:
Valores de (xi):
Equações observacionais
Forma matricial
Modelo:
Interpretação
A matriz (A) mostra como cada observação depende dos parâmetros (a) e (b). Cada linha representa uma equação observacional.
8. Exercício Proposto
Considere o modelo:
Dados observados:
Determine:
8.1 Resposta final esperada
9. Conclusão
A formulação do modelo funcional paramétrico estabelece a relação matemática entre as observações e os parâmetros desconhecidos. Essa etapa é essencial para qualquer problema de ajustamento, pois define a estrutura do sistema de equações que será resolvido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
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