Matemática: Composição e Decomposição de Números Naturais.

Aula 007 — Composição e Decomposição de Números Naturais

Objetivos da aula

• Compreender o que significa compor e decompor números naturais.
• Relacionar a composição/decomposição com centenas, dezenas e unidades.
• Desenvolver segurança na leitura, escrita e organização dos números.

1) O que é decomposição de números

Decompor um número significa separá-lo em partes, de acordo com o valor posicional de cada algarismo.

Em geral, usamos:

• centenas (C),
• dezenas (D),
• unidades (U).

Exemplos:

• 47 = 40 + 7
• 128 = 100 + 20 + 8
• 305 = 300 + 0 + 5

A decomposição ajuda a entender quanto vale cada algarismo no número.

2) O que é composição de números

Compor um número é o processo inverso: juntar centenas, dezenas e unidades para formar o número completo.

Exemplos:

• 20 + 6 = 26
• 100 + 30 + 4 = 134
• 400 + 50 + 9 = 459

Ou seja, na composição, você parte das partes para chegar ao número.

3) Relação com o sistema decimal

A composição e a decomposição estão diretamente ligadas ao sistema de numeração decimal, que organiza os números em grupos de 10.

Sempre vale lembrar:

• 1 centena = 100 unidades
• 1 dezena = 10 unidades

Isso torna os cálculos e a compreensão dos números muito mais fáceis.

4) Exemplos resolvidos e explicados

4.1) Exemplo 1 — Decomposição simples

Enunciado: Decomponha o número 63.

Resolução (explicada): O número 63 possui 6 dezenas (60) e 3 unidades (3). Logo, 63 = 60 + 3.

Resposta: 60 + 3

4.2) Exemplo 2 — Composição com centenas

Enunciado: Forme o número que tem 2 centenas, 4 dezenas e 7 unidades.

Resolução (explicada): 2 centenas = 200; 4 dezenas = 40; 7 unidades = 7. Somando: 200 + 40 + 7 = 247.

Resposta: 247

5) Exercícios para você fazer

5.1) Exercício 1

Enunciado: Decomponha o número 85.

Resposta: 80 + 5

5.2) Exercício 2

Enunciado: Forme o número que possui 5 centenas, 0 dezenas e 9 unidades.

Resposta: 509

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Distribuição Normal e Curva de Gauss.

Entramos agora no Módulo 2 – Estatística Aplicada à Geodésia, começando por um dos temas mais importantes de toda a teoria do Ajustamento de Observações.

Aula 010 – Distribuição Normal e Curva de Gauss

Objetivos da Aula

1. Entender por que a Estatística da Geodésia se fundamenta na distribuição normal.
2. Compreender a forma e as propriedades da Curva de Gauss.
3. Ver como os erros aleatórios se comportam.
4. Relacionar a distribuição normal ao Método dos Mínimos Quadrados.

1. Por que a Distribuição Normal é Essencial na Geodésia?

Toda observação geodésica contém erros aleatórios devido a fatores como:

• refração atmosférica,
• ruído eletrônico,
• vibrações,
• limitações do operador,
• microvariações de sinal GNSS.

Esses erros, quando pequenos e independentes, seguem uma Distribuição Normal (Gaussiana).

Isso é garantido pelo:

• Teorema Central do Limite:


• A soma de um grande número de pequenas perturbações independentes tende à distribuição normal.

Portanto, as observações geodésicas "naturalmente se distribuem" como uma curva de Gauss. E o Método dos Mínimos Quadrados é o estimador ótimo quando os erros seguem essa distribuição.

2. Forma Matemática da Distribuição Normal

A função densidade de probabilidade é:

Em que:

• μ = média
• σ = desvio padrão

3. Características Fundamentais da Curva de Gauss

⇒ Simétrica em torno da média

• μ = valor mais provável

⇒ Quanto maior o desvio padrão (σ), mais larga a curva

• Erros muito dispersos → curva larga
• Alta precisão → curva estreita

⇒ Área total sob a curva = 1

• Representa a probabilidade total.

⇒ Percentis importantes

Intervalo	Probabilidade
μ ± 1σ	68,27%
μ ± 2σ	95,45%
μ ± 3σ	99,73%

Esses limites serão usados para teste de resíduos e detecção de erros grosseiros.

4. Interpretação de σ (desvio padrão)

σ representa o erro médio quadrático.

• σ pequeno → alta precisão
• σ grande → baixa precisão

Se tivermos muitas observações:

É o erro da média ajustada.

5. Relação com o Método dos Mínimos Quadrados

O MMQ é o método "ótimo" quando:

• os erros têm média zero,
• são independentes,
• seguem distribuição normal,
• têm variância constante ou conhecida.

Isto porque o MMQ é o estimador de máxima verossimilhança para erros gaussianos.

6. Importância para Redes Geodésicas

A distribuição normal fundamenta:

⇒ Teste Global (χ²):

Avalia se as observações são estatisticamente consistentes.

⇒ Teste de Baarda (t-test):

Testa resíduos suspeitos.

⇒ Construção da matriz de pesos

⇒ Intervalos de confiança das coordenadas

⇒ Avaliação da precisão final da rede

7. Exemplo Resolvido

7.1 Problema:

Uma distância foi observada repetidamente e apresentou:

σ = 0,004 m

7.2 Pergunta:

Qual a probabilidade de uma observação estar dentro de:

a) ±0.004 m
b) ±0.008 m
c) ±0.012 m

7.3 Solução:

a) ± 1σ → P = 68,27%
b) ± 2σ → P = 95,45%
c) ± 3σ → P = 99,73%

7.4 Interpretação:

Isso significa:

⇒ 68% das leituras estarão a 4 mm do valor verdadeiro,
⇒ 95% estarão a 8 mm,
⇒ 99.7% estarão a 12 mm.

8. Exemplo Proposto

Um ângulo medido com repetição apresenta desvio padrão:

σ = 5''

8.1 Perguntas:

a) Qual a probabilidade de uma observação estar dentro de ±5"?
b) E dentro de ±10"?
c) E dentro de ±15"?

8.2 Resposta Final Esperada:

a) 68.27%
b) 95.45%
c) 99.73%

9. Conclusão da Aula

• A distribuição normal descreve o comportamento dos erros aleatórios.
• A Curva de Gauss é simétrica, contínua e governada por μ e σ.
• O MMQ é matematicamente ideal para erros gaussianos.
• Esses conceitos são indispensáveis para testes estatísticos e avaliação de redes geodésicas.

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Matemática: Valor posicional - Unidades, Dezenas e Centenas.

Aula 006 — Valor posicional: Unidades, Dezenas e Centenas

Objetivos da aula

• Compreender o valor posicional dos algarismos em um número.
• Identificar unidades (U), dezenas (D) e centenas (C).
• Ler e escrever números entendendo o papel de cada posição.

1) O que é valor posicional

No sistema de numeração decimal, o valor de um algarismo depende da posição em que ele aparece no número.

Exemplo:No número 345, o algarismo 3 não vale 3, mas 300, porque está na posição das centenas.

2) Unidades, dezenas e centenas

• Unidade (U): posição da direita; conta de 1 em 1.
• Dezena (D): posição do meio; cada dezena vale 10 unidades.
• Centena (C): posição da esquerda; cada centena vale 100 unidades.

Exemplos:

• 7 → 7 unidades
• 42 → 4 dezenas e 2 unidades
• 318 → 3 centenas, 1 dezena e 8 unidades

3) Decomposição de números

Decompor é separar o número pelo valor posicional de cada algarismo.

Exemplos:

• 64 = 60 + 4
• 205 = 200 + 0 + 5
• 789 = 700 + 80 + 9

Isso ajuda a compreender melhor os números e a realizar operações.

4) Exemplos resolvidos e explicados

4.1) Exemplo 1 — Identificação de posições

Enunciado: No número 58, indique quantas dezenas e quantas unidades existem.

Resolução (explicada): O algarismo 5 está na posição das dezenas (vale 50) e o algarismo 8 está na posição das unidades (vale 8).

Resposta:

• Dezenas: 5
• Unidades: 8

4.2) Exemplo 2 — Valor posicional completo

Enunciado: Analise o número 472 e indique centenas, dezenas, unidades e o valor de cada uma.

Resolução (explicada):

• 4 está nas centenas → vale 400
• 7 está nas dezenas → vale 70
• 2 está nas unidades → vale 2

Somando: 400 + 70 + 2 = 472.

Resposta:

• Centenas: 4 (400)
• Dezenas: 7 (70)
• Unidades: 2 (2)

5) Exercícios para você fazer

5.1) Exercício 1

Enunciado: No número 93, quantas dezenas e quantas unidades existem?

Resposta: Dezenas: 9 | Unidades: 3

5.2) Exercício 2

Enunciado: Decomponha o número 604 em centenas, dezenas e unidades.

Resposta: 600 + 0 + 4

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento.

A Aula 009 conclui o Módulo Introdutório e prepara definitivamente o terreno para entrarmos, a partir da próxima aula, no Método Paramétrico com modelos matemáticos reais e ajustes completos.

Aula 009 – Estrutura Geral de um Problema de Ajustamento

Objetivos da Aula

1. Entender como um problema de ajustamento é organizado.
2. Identificar os elementos fundamentais: L, x, A, P, v.
3. Compreender a necessidade de modelo funcional.
4. Reconhecer quando é necessário linearizar uma função.
5. Montar a estrutura matricial completa usada no MMQ.

1. Componentes Centrais do Ajustamento

Qualquer problema de ajustamento geodésico possui os seguintes elementos:

1.1 Observações (L)

Vetor contendo todos os valores medidos no campo. Ex.: distâncias, ângulos, desníveis, coordenadas GNSS…

1.2 Incógnitas (x)

Grandezas que queremos determinar.

Exemplos:

• Coordenadas (X, Y, Z)
• Ângulos internos
• Azimutes
• Fatores de escala
• Erros sistemáticos modeláveis

1.3 Modelo Funcional

O elemento mais importante do ajustamento. É a forma matemática que relaciona observações e incógnitas:

ou, na versão paramétrica (linearizada):

O modelo funcional descreve como o mundo físico gera as observações.

1.4 Resíduos (v)

São as correções aplicadas às observações. Eles nos dizem:

• o que está coerente,
• o que está suspeito,
• onde podem existir erros grosseiros.

1.5 Pesos (P)

Com:

Quanto maior o peso → maior a confiança na observação.

2. Linearização de Funções

A maioria dos modelos geodésicos não é linear.

Exemplos:

• Equação da distância entre pontos
• Equação de direção
• Equação de azimute
• Equações GNSS (pseudodistâncias)
• Equação de nivelamento trigonométrico

Como o MMQ exige funções lineares, usamos expansão de Taylor de primeira ordem:

Em que:

• x₀ → aproximação inicial
• A → matriz das derivadas parciais
• δx → correções que buscamos

Essa etapa é chamada de linearização.

3. O Sistema Geral das Equações Normais

A solução do ajustamento é:

Em que:

• A^T P A → matriz normal
• A^T P L → vetor de termos independentes
• x̂ → valores ajustados
• v = Ax̂ - L) → resíduos

4. Organização Geral de um Ajustamento

Para qualquer problema, siga este roteiro:

• Passo 1 – Definir as observações (L):
  • Coletar e organizar todos os valores medidos.
• Passo 2 – Definir as incógnitas (x):
  • Escolher o que será ajustado.
• Passo 3 – Desenvolver o modelo funcional:
  • Relacionar observações ↔ parâmetros (Equações matemáticas do fenômeno).
• Passo 4 – Linearizar o modelo:
  • Obter a matriz A.
• Passo 5 – Construir a matriz de pesos (P):
  • Com base nas precisões instrumentais.
• Passo 6 – Montar e resolver as Equações Normais:
  • (A^T P A)x̂ = A^T P L
• Passo 7 – Calcular os resíduos (v):
  • Indicam coerência ou suspeita.
• Passo 8 – Avaliar a qualidade do ajustamento:
  • Teste global (χ²)
  • Teste de Baarda
  • Análise da precisão das incógnitas

5. Exemplo Resolvido (estrutura)

5.1 Problema:

• Uma distância e um azimute são medidos entre dois pontos A e B.
• Deseja-se determinar as coordenadas do ponto B, conhecendo A.

5.2 Observações:

• Distância: L₁ = 125,373 m
• Azimute: L₂ = 57° 12' 30"

5.3 Incógnitas:

5.4 Modelo funcional:

5.5 Estrutura do ajustamento:

5.5.1 Vetor observado:

5.5.2 Incógnitas:

5.5.3 Linearização → derivadas parciais

5.5.4 Montagem da matriz A

5.5.5 Solução via equações normais

👉 Observação: Não resolvemos completamente aqui porque o objetivo é "mostrar a estrutura", não o cálculo final.

6. Exemplo Proposto

Para medir o ponto B a partir de A foram observados:

• Distância: 233,540 m
• Direção: 145,322°

As incógnitas são X_B e Y_B.

Escreva:

a) O vetor de observações (L).
b) O vetor de incógnitas (x).
c) As equações funcionais.
d) A matriz de derivadas A (sem calcular valores numéricos).

6.1 Resposta Final Esperada (estrutura correta):

⇒Clique aqui⇐

7. Conclusão da Aula

• Todo ajustamento tem cinco elementos essenciais: L, x, A, P, v.
• A linearização é necessária para trabalhar com modelos reais.
• A matriz A, derivada das funções, é o coração do ajuste.
• A partir da próxima aula iniciaremos os modelos paramétricos, resolvendo casos reais.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Introdução ao Ajustamento de Observações.

A partir desta aula entramos diretamente no Ajustamento de Observações, compreendendo o porquê e o para quê do Método dos Mínimos Quadrados. Esta aula é fundamental antes de entrarmos na matemática formal.

Aula 008 – Introdução ao Ajustamento de Observações

Objetivos da Aula

1. Entender o porquê do ajustamento de observações.
2. Compreender que observações possuem erro inevitável.
3. Ver como o MMQ produz o valor “mais provável”.
4. Introduzir os elementos básicos: observações, parâmetros, resíduos e pesos.
5. Estabelecer a estrutura geral do Ajustamento Geodésico.

1. Por que Ajustar Observações?

Porque todas as observações possuem erro:

Em que:

• L = observação
• L_t = valor verdadeiro
• e = erro (sistemático + aleatório)

Como não conhecemos "L_t", o ajustamento busca encontrar a melhor estimativa possível. Sem ajustamento:

• Cada observação é tratada isoladamente.
• Não há controle de qualidade.
• Erros aleatórios permanecem sem tratamento.
• Erros grosseiros não são detectados.

Com ajustamento:

• As observações “conversam entre si”.
• Produzimos valores consistentes, otimizados e testados.

2. O que é o Ajustamento de Observações?

É o processo matemático que compara:

• O que foi observado (L), com, o que o modelo matemático espera (A·x)

E busca minimizar a soma dos quadrados dos resíduos:

Daí o nome Método dos Mínimos Quadrados (MMQ).

3. O Valor Mais Provável

A solução ajustada "x̂" é chamada de:

• Estimativa de Máxima Verossimilhança (para erros aleatórios normais, independentes e de média zero)

Isto é, para qualquer outra estimativa possível, é preciso:

Ou seja, é o resultado estatisticamente mais confiável.

4. Componentes Fundamentais do Ajustamento

4.1 Observações (L)

São os valores medidos. Ex.: distâncias, ângulos, coordenadas GNSS, desníveis etc.

4.2 Parâmetros (x)

São as incógnitas do problema. Ex.: coordenadas X,Y,Z; azimutes; altitudes etc.

4.3 Modelo Funcional (A·x)

É a relação matemática entre observações e parâmetros. A matriz "A" contém as derivadas parciais das funções.

4.4 Resíduos (v)

Diferença entre observado e ajustado:

ou

4.5 Pesos (P)

Peso é o “valor de confiança” de cada observação:

• Observações mais precisas → maior peso.
• Observações menos precisas → menor peso.

5. O Sistema Geral das Equações Normais

A equação fundamental do MMQ é:

E os resíduos são:

Essa é a modelação matemática que ajustará:

• poligonais
• nivelamento
• redes GNSS
• redes altimétricas
• redes planimétricas
• redes combinadas
• entre outros

6. Intuição Geométrica

Imagine vários pontos medidos ao redor da posição verdadeira. O MMQ encontra o centro estatístico mais provável. Mesma lógica para distâncias, coordenadas ou qualquer observação.

7. Redundância e Ajustamento

Sem redundância (Aula 005), não:

• calculamos resíduos,
• testamos qualidade,
• detectamos erros grosseiros.

O ajustamento é possível, mas não confiável.

8. Exemplo Resolvido

8.1 Problema (conceitual):

Três observações independentes de uma mesma distância:

1. 153,223 m
2. 153,227 m
3. 153,221 m

8.2 Pergunta:

Qual é o valor ajustado pelo MMQ, considerando pesos iguais?

8.3 Solução

Como os pesos são iguais, o MMQ gera a média aritmética:

Não há equações normais explícitas aqui porque:

• Uma única incógnita (valor ajustado da distância).
• Modelo funcional simples.
• A solução do MMQ coincide com a média.

8.4 Resultado final:

L_a = 153,224 m

9. Exemplo Proposto

Quatro observações de uma mesma direção horizontal (em graus):

1. 90,003°
2. 90,001°
3. 89,999°
4. 90,004°

Assumindo mesma precisão, calcule:

a) O valor ajustado (valor mais provável).
b) O resíduo de cada observação.

9.1 Resposta Final Esperada:

⇒Clique aqui⇐

10. Conclusão da Aula

• O ajustamento de observações é uma necessidade em Geodésia.
• O MMQ encontra a solução mais provável para as incógnitas.
• Resíduos, pesos e modelo funcional são elementos fundamentais.
• Essa aula é a ponte entre Estatística e Geodésia Prática.

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Ajustamento de Observações Geodésicas: Propagação de Erros - A Lei de Gaus.

Vamos avançar para uma das aulas mais importantes para quem trabalha com ajustamento geodésico, propagação de incertezas e modelagem matemática de observações:

Aula 007 – Propagação de Erros: A Lei de Gauss

Objetivos da Aula

1. Entender a Lei de Propagação de Erros de Gauss.
2. Saber como calcular a incerteza de grandezas derivadas de medições.
3. Aplicar a propagação de erros a distâncias, ângulos, coordenadas e funções geodésicas.
4. Preparar o terreno para a matriz variância–covariância.

1. O que é Propagação de Erros?

Na Geodésia, quase nunca medimos diretamente o que queremos. Exemplos:

• Medimos distâncias e ângulos → queremos coordenadas.
• Medimos pseudodistâncias GNSS → queremos posição 3D.
• Medimos desníveis → queremos altitudes ou cotas.

Como cada entrada tem uma incerteza, essas incertezas se propagam para o resultado final. A ferramenta matemática para isso é a Lei de Gauss.

2. Lei Geral de Propagação de Erros

Para uma função qualquer:

A variância de f é:

Se houver covariâncias entre as variáveis (que veremos futuramente):

Em que:

• J = jacobiano (matriz de derivadas parciais)
• ∑ = matriz variância–covariância

Nesta aula ficaremos no caso sem covariância (erro independente).

3. Interpretação Intuitiva

A incerteza final depende de:

1. Quanto a função é sensível à variável


• (derivada parcial alta → efeito grande no resultado).


2. Quão incerta é a variável


• (σ alta → piora o resultado).

Portanto:

Erros de entrada multiplicados pelas derivadas → erro de saída.

4. Exemplo fundamental: Distância entre dois pontos

Se conhecemos (x₁, y₁) e (x₂, y₂), a distância é:

A variância da distância é:

As derivadas são:

Esse método será usado diversas vezes no curso.

Para mais detalhes sobre as derivações: ⇒Clique Aqui!!⇐

5. Exemplo Resolvido

5.1 Problema:

Os pontos A e B possuem coordenadas:

A = (100,000 ± 0,005; 200,000 ± 0,005)m
B = (110,000 ± 0,005; 212,000 ± 0,005)m

Calcular:

1. A distância AB
2. O erro (desvio padrão) da distância

5.1 Distância:

5.2 Cálculo da propagação

5.2.1 Derivadas:

5.2.2 Fórmula:

5.2.3 Resultado Final:

d = 15,620 ± 0,007 m

A incerteza final é 7 mm, relativamente baixa para coordenadas com 5 mm de erro.

6. Exemplo Proposto

Os pontos A e B são: A = (305,220 ± 0,004; 121,552 ± 0,004) m, B = (298,910 ±0.004; 140,873 ± 0.004)m.

Calcule:

a) A distância AB.

b) A incerteza da distância.

6.1 Resposta Final Esperada:

⇒Clique aqui⇐
7. Conclusão da Aula

• A Lei de Gauss é fundamental para estimar a incerteza de resultados derivados.
• A propagação depende das derivadas parciais, que medem a sensibilidade da função.
• É aplicada a distâncias, ângulos, coordenadas, GNSS, nivelamento e todos os modelos geodésicos.
• Prepara o caminho para a Matriz Variância–Covariância, essencial no MMQ.

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